最不利原则
抽屉原理与最不利原则(4年级培优)学生版
原理1 把多于n 个的物体放到n 个抽屉中，则至少有一个抽屉中有2个或2个以上的物体。
原理2 把多于mn (m 乘以n )个的物体放到n 个抽屉中，则至少有一个抽屉中有1+m 个或多于1+m 个的物体。
✧ 构造“抽屉”、找出“物体”及物体的放法是应用抽屉原理解决问题的关键。
常见的构造抽屉的方法有：数的分组法；剩余类法；图形分割法；染色法。
✧ 当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则情况分析问题。
最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。
我们可以用如下方法，解决简单抽屉原理的问题：将n 个物品放到m 个抽屉中，如果a m n =÷，那么一定有一个抽屉中至少有a 个物品；如果b a m n =÷（0>b ），那么一定有一个抽屉中至少有1+a 个物品。
四年（1）班一共有42名学生，那么一定有至少几名学生的属相相同？盒子中装有红、白、黑三种颜色的小球各20个，这些小球摸起来手感都一样。
14个小朋友闭着眼睛玩摸球游戏，每个小朋友一次只能摸出一个小球。
那么一次至少有几个小朋友摸出的小球颜色相同？有3个不同的自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么？4个连续自然数分别被3除后，必有两个余数相同，为什么？布袋中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出多少块才能保证其中至少有3块颜色相同？一副扑克牌一共有54张，至少从中取出多少张才能保证：（1）至少有4张牌的花色相同；（2）4种花色的牌都有；（3）至少有4张牌是黑桃。
2012名冬令营营员去游览长城、颐和园、天坛，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？某班组织全班45人进行体育比赛，项目有A、B、C三种，规定每人至少参加一项，最多参加三项，至少有几人参加的项目是相同的？从1、2、3、…，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？从1至2011这2011个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两个数都不连续且差不等于4？某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组。
数学人教版六年级下册最不利原则的应用
1分
3分
15 分
（4）师结合学生表述，小结找最不利情况的方法。 5、引导学生尝试用计算法表示出最不利情况下产生的数量，并结合 最不利情况说明这样列算式的依据。
三、巩固练习 1、习题 1—巩固熟练找到具体问题中的最不利情况并解答。 2、习题 2—帮助故事中的毛毛解决找袜子的问题。 3、拓展挑战：我是考官 以小组为单位，更改例题中的 1 个或几个已知条件变成自
2分
14 分
己组内一道新题目，小组讨论并写出答案。再将题目拿出来考 考全班。
四、课堂总结： 今天你学到了什么？
课题
最不利原则的应用
教学时间：1 课时
1、理解什么是最不利原则并熟练运用最不利原则思考并解决生活中的实际问题。 2、通过小组合作探究在实际问题中找最不利情况的办法，运用列表法、计算法去解 答最不利情况下所产生的最少量。 3、让学生感受到数学与生活的联系，培养学生全面考虑问题的习惯。
教 学 目 标
重 点 难 点
理解什么是最不利原则，懂得如何思考实际问题中的最不利情况。
会运用列表法和计算法解答最不利情况下所产生的最少量。
教学过程
一、情景引入，揭示课题 1、教师叙述《毛毛找袜子》的故事，引发学生对问题的思考。 师：上新课前我想跟大家讲一个生活中的小故事。 一天晚上，毛毛的爸妈上晚班 还没回来，这时家里突然停电了，8 岁的毛毛有些怕黑，就打算出门去外婆家，于 是他硬着头皮摸黑去抽屉里找自己的袜子。他的袜子跟他妈妈的袜子是混在一个抽
五、作业布置
1分
板书 设计
最不利原则第二节课
一个袋子里5个白球，6个黑球， 从中最少摸出多少个球，才能保证 拿到白球？
• 例2 一个口袋里有7个白球， 8个绿球。 （1）从中最少摸出多少个球， 才能保证有2个颜色相同的球？
取出四种花色中的三种花色的牌 最不利的情形是： 各13张，再加上2张王牌。
13+13+13+2+1=42（张）
答：最少要取出42张，才能保证取出的牌中四 种花色都有。
• 练习1 在一副扑克牌中，最少取出多少张， 才能保证取出的牌中有2种花色？
• 练习2在一副扑克牌中，最少取出多少张， 才能保证取出的牌中有黑桃？
160-141+1=20（种）
最不利情况： 每种身高4人
20×3+1=61（人）
答；至少要选出61人，才能保证有 4人的身高相同。
个相同颜色的球？
• 练习2 一个袋子里4个白球、6个黑 球、7个红球，从中最少摸出多少 个球，才能保证拿到6个相同颜色 的球？
• 例5 在一副54张的扑克牌中，最少要取出 多少张，才能保证取出的牌中四种花色都 有？
一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、 “黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张， 共计有54张牌。
最不利情况： 每种球各取出1个
1+1+1=3（个）
答：最少摸出３个球，才能 保证有2个颜色 相同的球。
（2）从中最少摸出多少个球， 才能保证有3个相同的球？ 每种球都取出2个 最不利情况：
2+2+1=5（个）
答：最少摸出５个球，才能 保证有３个颜 色相同的球。
最不利原则
将15个座位顺次编为1-15号。如果2号位、5号位 已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号
位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一
• 一个袋子里，有5个白球和6个黄球， 从中最少摸出多少个球，才能 保证 拿 到白球？
1 2 4 1 2 4 5 3 6 3 5
提示：保证拿到，就是一定要拿到！ 只要口袋里还有黄球，就不能保证 拿到的是白球。
答案：7个
• 一个口袋里有7个白球，8 个绿球 （1）从中最少摸出多少个 球，才能保证有2个颜色 相同的球？
想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位 都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就 座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的 人相邻。因此所求的答案为5人。
2 5 8 11 14
• 例3一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙 和10把锁，最少要试验多少次就一定能使 全部的钥匙和锁相匹配？ • 9＋8＋7＋„＋2＋1＝45次。
• 例4 • 在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才 能保证取出的牌中四种花色都有？ • • 42张
老师总结，我发现
• 解决最不利原则类问题，常用列举法，找 到一切不可能的情况，只要把最不利的情 况都考虑到了，一一排除，方能成功。
• 基本公式：一切最不利的情况+1＝成功
我能行
1. 肉馅包子5个，素馅包子6个，从外表上看不出是什 么馅。你喜欢吃什么馅？至少吃多少个包子才能保证 吃到你喜欢的呢？ 喜欢肉馅，至少吃7个：喜欢素馅，至少吃6个。 2.口袋中有8个白球，5个黄球，15个 黑球。让你闭着眼睛从口袋中摸球， 要保证取出的球中有黑球，至少取出 多少个球？ 8+5+1=14（个） 至少取出14个球，能保证取出的球中 有黑球。
小学数学：最不利原则例题解答
最不利原则例题解答在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1:口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
因此所求的最小值是12。
例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？分析与解：将15个座位顺次编为1～15号。
公式法巧解最不利原则
公式法巧解最不利原则中公教育在公务员的考试中，数量关系一直是大家非常头疼的一类问题，数量关系的题量较大、分值较高，由于具有一定的难度而拉开了很多同学的差距，但是也有一些模型程度高、利用基本公式就可以解决的简单题型，今天我们就去了解其中的一类---最不利原则问题。
一、最不利原则的含义最不利原则的常见问法为：至少......，才能保证......发生，考虑的就是与成功差一步之遥的情况，当扫清了所有的障碍，找到了最不利的情况，再试一次就可以成功实现要做的事情了。
二、解决方法套用公式：找到最不利的情况数+1三、常见考法1、单一型最不利原则此类题型已经给出了结果的情况总数，则直接根据最不利的解决方法来进行求解即可，既若要求保证至少有一种情况数量为n，则每一种情况按照数量均为n-1来算，再加1即可。
例1:一个袋子中有质地均匀、颜色不同的红白黄三种颜色的球若干，则一次至少取出多少个球，才能保证有5个球是同一颜色？解析:问法为至少......，才能保证......的类型，所以可以使用最不利原则的公式来求解，既最后球的颜色只有三种结果，为了保证有5个球是同一颜色，则每一种结果均按照4来计算，最后再加1即可，结果为：3×4+1=15个例2：有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。
问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同？解析：题目问的是“至少......才能保证......”，对于这一类题目，一般需要考虑最不利情况。
此题的最差情况为“软件设计类、市场营销类、财务管理类各录取69人，人力资源管理类预设的50人全部录取”，此时任意再录取1人能够保证有70名找到工作的人专业相同。
因此至少要69×3+50+1=258人找到工作才可以。
2、综合性最不利原则此类题目一般没有给出结果的情况总数，首先需要结合排列组合的知识先求出结果总数，再利用单一性最不利原则来进行求解。
教学“最不利原则
教学“最不利原则在教学中，我们考虑更多的往往是最佳原则，总在追求最理想的境界，殊不知，教学也需要“最不利原则”，也叫“最倒霉原则”。
在生活中，要保证完成某项任务，也必须考虑到最糟糕的情况，准备在最不利的条件下的对策，这样才能确保完成任务。
首先，教学要多预设一份方案。
“最不利原则”要求在考虑了所有不利情况后，还得剩下一种方法用以解决问题。
就像女人塞得满满的衣柜里永远有一个空间留给下一件衣服一样，教师们在设计教学时也应在心里多备一份“虚案”，留给有着无限可能的课堂。
在西安诗歌教学研讨会上，肖培东老师上课前才发现学生没有课本，他即兴改换了另一种方案，与学生一起呈现了一堂独一无二的诗歌教学课。
张玉新老师在全国初中语文名家精品课堂展示活动中，因为学生事先学过《小石潭记》，就临时换成了复习课，也同样精彩。
有时候，看似山重水复，事实上也许离成功仅有一步之遥，教师不妨向前多走一步。
有备才无患，关键在于不忘考虑最坏的情况，多一种打算。
另外，教学还得计算成本，减少不必要的损失。
“最不利原则”的优势在于它总是先考虑需要的成本，从而最大程度保证任务的完成，提高效率。
而在很多情况下，我们都把效率直接等同于质量，认为高效课堂就是高质量的课堂，而忽略了时间、资源、精力等方面的成本的影响。
一堂课的时间是有限的，在教学时，教师就该考虑降低这些成本。
教师首先要放弃自己的表演，把时间、资源、精力等尽量分配给学生，让学生成为课堂的主角，教学就会高效很多。
余映潮老师的课目标明确、流程简单，教学活动始终围绕学生的思维展开。
他的教学过程就是学生进行阅读实践的过程，卸掉了学生额外的负担，提高了单位时间内的课堂效益。
除了追求低耗，还应做到大胆假设、小心求证，这样教學才能得以优化。
“最不利原则”总是假设最极端的结果，逐一列出多种可能性，一一求证，直到构成能完成任务的充分条件。
教学也一样。
“多种可能”给教师提供了自由创造的空间，教师可以发挥智慧和想象力，“用思想去创造一个可能的世界”。
专题十二 最不利原则
专题十二最不利原则在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造。
常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解答：如果碰巧，可能你一次取出的4个小球的颜色都相同。
但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。
因此，为了“保证至少有4个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。
那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？那就是我们摸出了3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
为什么说这就是最不利的了呢？因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以，一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。
由此我们看到了，最不利原则就是从“极端糟糕”、从“运气最差”的角度来考虑问题。
什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢？那就是题目中出现要“保证……”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。
例2 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出几个，为保证这几个小球至少有5个同色，那么最少要取多少个？分析与解答：与上例类似，这也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是什么呢？是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
第五、六讲 数阵图与第七讲 最不利原则
第五讲数阵图 (一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
【例1 】把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【思路】中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
同步练习1将1～7这七个数分别填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
【例2 】把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
【思路】与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
三年级 第十讲 最不利原则
第十讲 最不利原则 1、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？ 2、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？ 3、一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 4、一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？ 5、在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？ 6、若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？ 7、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？ 8、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？ 9、一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 10、一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 11、口袋里有三种颜色的筷子各10根。问： （1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？ （2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？ （3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？ 12、一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？ 13、一把钥匙只能开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？ 14、10吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过1吨。为了确保将这批货物一次运走，最少要准备几辆载重量为3吨的汽车？
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“最不利原则”解极值问题
来看一个非常典型的问题：“一个班至少有多少个人才能保证有两个人是同一天生日(同月同日)?”
首先，来看一下这类问题的题型特征。
这里要注意到题目里出现了“至少…才能保证”，也就是说必须得考虑一种情况，只要满足这种情况，题目中所要达到的效果就一定会实现。
那这时候就要考虑最倒霉的情况了，这种情况如果都满足，那么也就是所说的“保证”了。
要想满足条件，只要班里有两个学生，且同月同日生就可以。
事实往往是这两个学生不能保证是同一天生日。
所以来找一下最坏的情况：如果班里有365个人，他们的生日非常巧地刚好分布在一年中的每一天，如果班里再转来一个人，这个人是不是一定会和之前的某个同学的生日重合?答案是否定的，因为存在一种最坏的情况。
最坏的情况是什么呢?试想一下如果有一个同学的生日是2月29呢?虽然他4年才能过一次生日，但是他的这一天确实是跟其他365个同学不重复。
所以最坏的情况是366个人的生日分布在一年的每一天，再有一个学生一定会跟其中某个重合。
也就是说，这道题的答案是367。
这就是最不利原则的整个思维过程，接下来来看一下具体的例题。
例1：布袋中有60块形状、大小相同的木块，每6块编上相同的号码，那么一次至少取( )块才能保证其中至少有三块号码相同。
A.19
B.20
C.21
D.22
解析：题目中出现了“至少…才能保证”，符合最不利原则的题型特征，所以接下来要从最坏的情况入手。
题目里面说有60块木块，每6块是相同的号码，所以一共有10种号码。
考虑最坏的情况，如果连续两次抽中某个号码，如果再抽到一次就满足条件了，但是抽中了其他号码，而且又连续抽了两次，这时候依然很倒霉，接着抽到了第三个号码。
所以最坏的情况就是每个号码都抽中两次，一共抽了2×10块，如果再抽一块，那一定会跟其中的某块号码一样，也就满足了条件。
所以答案是20+1=21，选择C。
例2：某单位有52人投票，从甲、乙、丙三人中选出一名先进工作者。
在计票过程中的某时刻，甲得17票，乙得16票，丙得11票。
如果规定，得票数比其他两人都多的候选人才能当选。
那么甲要确保当选，最少要再得票()
A.1张
B.2张
C.3张
D.4张
解析：题目中依然出现了“确保”“最少要”，也就是“至少要保证的意思”，那依然要用最不利原则来解题。
考虑最坏的情况，要想让甲确保当选，那最坏的情况当然是让跟他最有竞争力的乙先得到跟他一样的票数，甲再险胜就满足条件了。
一共有52个人投票，所以有52票。
目前为止一共投出了44票，还剩8票。
首先给乙一票，让乙追平。
还剩7票，再让甲险胜，也就是甲4票，乙3票，所以答案选择C。
通过这两道题大家可以发现，首先要通过题型特征来判断是否能用最不利原则解题，如果属于这一类型，那直接考虑最坏的情况，得出的结果就是“至少…能够保证”。
这类题型非常重要,华图教育专家提醒各位考生熟练掌握,在认清题型特征之后能够快速应用。