湘教版数学九年级下册第2课时 用树状图法求概率教案与反思
树状图求概率教学反思
树状图求概率教学反思上周二上午我上了一堂树状图求概率的课，这节课的内容是数学九年级上册的用列举法求概率。
考虑到本节课的特点，我是把它上成数学活动课，加进了游戏和一些的活动，让学生学得轻松有趣。
在进行新课改的今天，这节课如何体现新课改的精神，就成了我思考的重点。
反思这节课，我觉得有四个方面取得成功：1、从游戏出发，激发学生的兴趣，从实际生活出发，引出课堂重点知识，体现了数学来源于生活，并用于生活的特点，真正是让学生在不知不觉中掌握知识。
2、能从不同的角度去引导学生思考每一个问题，目的是为了培养学生的数学素养。
3、侧重于解决学生所提出的疑问，让学生敢于质疑的胆量和精神。
4、这节课的重点是会用列举法、列表法或树形图法求给定事件的概率；难点是理解求给定事件概率的两个前提条件。
通过学生讨论、自主探究，利用小组合作的学习方式，在自主探究中发现概念的形成过程。
存在的问题：一、缺乏对学生的信任因为前面我已经介绍过列举法求概率的方法，所以本来这节课我是想以学生为主，老师起一个引导配合的作用，充分发挥学生的主动性。
可是我的一些做法抢了学生的角色，首先在读题的环节，我怕学生理解不好题意，还亲自给他们读题，这对培养学生自主学习的能力有影响，对于一个学生读题读懂是最基本的要求，而且我相信九年的的学生在这方面应该是没问题的，可是在这个环节我没有完全相信我的学生，所以以后一定要注意。
其次在分析题目寻找解题方法的时候，我不时的提醒他们，没有给学生足够的思考时间，因此学生没有充分发挥自主创新的能力。
原因在于我担心学生找不到结果，事后我才知道我的担心是多余的，我应该给他们更多的时间和信任。
在倡导培养创新精神和实践能力的今天，更要重视对学生问题意识的培养，问起于疑，疑源于思，课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间。
在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的能力。
在探索问题的关键时候，我碍于教学过程的完美，缺乏耐心急于让学生找到方法，缺乏对学生的相信，若长期下去，学生将产生思维惰性。
九年级数学下册 第4章 概率 课题 用画树状图法求概率
课题：用画树状图法求概率【学习目标】1．会用画树状图法列举试验的所有结果．2．掌握用树状图求简单事件的概率．【学习重点】用树状图求概率．【学习难点】如何正确画出树状图．情景导入 生成问题旧知回顾：1．用列表法求解：(德州中考)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是( C )A .47B .49C .29D .192．若同时投掷三枚硬币，统计三枚向上的所有情况，你会用什么方法列举？答：画树状图法．自学互研 生成能力知识模块 用树状图法求概率为什么用树状图法列举事件所有结果？ 答：为了不重不漏地列出所有可能的结果，除了列表法，我们还可以借助树状图法，对于需要三步列举的事件通常采用树状图法．【例1】 (东营中考)2015年“五一”期间，小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是( A ) A .13 B .16 C .19 D .14【变例1】 连续抛掷一枚均匀的硬币三次，每次都正面朝上的概率是( D ) A .13 B .23 C .29 D .18【变例2】 用写有0、1、2的三张卡片排成三位数是偶数的概率为( A ) A .34 B .23 C .12 D .13【变例3】 (襄阳中考)襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩，如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们都选择古隆中为第一站的概率是__19__． 【例2】 A ，B ，C ，D 四人做相互传花球游戏，第一次A 传给其他三人中的任一人，第二次由拿到花球的人再传给其他三人中的任一人，第三次由拿到花球的人再传给其他三人中的任一人．请用树状图法求第三次花球传回A 的概率．解：画树状图如下：第一次第二次第三次共有27种等可能的情况，传回A 的情况数有6种，所以P(第三次花球传回A)＝627＝29，故第三次花球传回A 的概率为29. 【变例1】 (济宁中考)甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是__23__． 【变例2】 (绍兴中考)箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球.4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是__13__． 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 用树状图法求概率检测反馈 达成目标1．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过的每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是__18__． 2．有A ，B 两个不透明口袋，每个口袋里装有两只相同的球，A 袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B 袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一个球，刚好能组成“细心”字样的概率是__14__． 3．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)．记甲立方体朝上一面上的数字为x ，乙立方体朝上一面上的数字为y ，这样就确定点M 的一个坐标(x ，y)，那么点M 落在双曲线y ＝6x 上的概率为( C ) A .118 B .112 C .19 D .16课后反思 查漏补缺1．收获：____________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
中考数学用树状图或表格求概率新授课教案设计与反思
游戏1：小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.16(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?活动目的：通过这个转转盘“配紫色”游戏，让学生再次经历利用树状图或列表的方法求出概率的过程，并体会求概率时必须使每种事件发生的可能性相同培养学生应用所学知识解决问题的能力.提高学生分析问题解决问题的能力.活动效果：学生借助树状图或者列表法表示出所有可能出现的结果，很顺利地求出游戏者获胜的概率。
同时在自学过程中也注意到转盘是被分成面积相等的几份扇形，初步感受了每件事情发生的可能性为下一环节的学习打好基础。
第二环节：合作交流，探求新知游戏2：如果把转盘变成如下图所示的转盘进行“配紫色”游戏.(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?小颖做法如下图，并据此求出游戏者获胜的概率为21小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是21．你认为谁做得对?说说你的理由．（小组合作交流）分析：小颖的做法是不正确的，因为A 盘中红色区域和蓝色区域的面积不同，所以指针落在这两个区域的可能性是不同的。
而小亮的做法是正确的。
他将A 盘的红色区域分成两份，这样各种结果出现的可能性就相同了，也就可以用等可能概型的概率计算公式计算概率了。
活动目的：让学生先自己画树状图或者表格表示出所有可能出现的结果，然后通过合作交流观察A 盘和游戏1转盘的区别并做出正确判断.并总结出求一件事情发生的概率必须是所有可能出现的结果都相同。
红色 蓝色 红色1 （红1，红） （红1，蓝） 红色2 （红2，红） （红2，蓝） 蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）开始红蓝红蓝红蓝(红,红) (红,蓝)(蓝,红)(蓝,蓝)活动效果：通过合作交流学生会发现游戏2中A盘中蓝色部分和红色部分的面积不同，因而指针落在这两个区域的可能性不同。
2022年湘教版数学九下《用画树状图法求概率》立体课件(公开课版)
第2课时
学习目标
1.会用画树状图法列举试验的所有结果；(重点) 2.掌握用画树状图的方法求较复杂事件的概 率．(重点)
问题引入
小明和小华做 “石头、剪刀、布”游戏，游戏 规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀, 剪刀胜 布, 布胜石头;若两人出的相同，则为平局. （1）怎样表示和列举一次游戏的所有可能出现的结果？
有4种，所以P(数字之和大于10)=
4 9
.
5.现有A、B、C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一
个糖包，B盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包 ，C盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就 爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头 除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概 率是多少？
是一种解决试验有多步（或涉及 树状图 用法 多个因素）的好方法.
① 弄清试验涉及试验因素个数 或试验步骤分几步；
注意 ② 在摸球试验一定要弄清“放 回”还是“不放回”.
一.教学目标：
1.理解线段长度的大小的意义，会用度量法和叠合法比较线段的 长短。
2.掌握“两点之间线段最短”的基本事实 。
3.会用直尺和圆规作一条线段等于已知的线段 。
(2)指定事件A：“传球三次后，球又回到甲的手中”， 写出A发生的所有可能结果; (3)求P(A).
解:(1)
开始：甲
第一次
乙 丙
第二次 第三次 结果
（乙，甲，乙） 乙甲源自（乙，甲，丙） 丙甲
（乙，丙，甲）
丙
乙
（乙，丙，乙）
甲
乙
（丙，甲，乙）
丙
（丙，甲，丙）
乙
甲
（丙，乙，甲）
4 第2课时用画树状图法求概率
25.2 用列举法求概率第2课时用画树状图法求概率置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣同学们，你们玩过“手心、手背”游戏吗？现有甲、乙、丙三名同学打乒乓球，想通过“手心、手背”游戏来决定其中哪两人先打.规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打；若三人手势相同，则重新决定.那么，你知道通过一次“手心、手背”游戏能决定甲先打乒乓球的概率是多少吗？能用列表法求解吗？[说明与建议] 说明：利用生活中常见的“手心、手背”游戏，激发学生探索问题的兴趣，从而深入思考，发现列表法难以解决，产生疑问后，教师点题，引导学生用画树状图的方法分析求解.建议：教师一定要让学生明白列表法只能解决涉及两个因素或两个过程的试验，而涉及三个因素时，列表法难以解决.——教材第139页练习经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行；（2）两辆车向右转，一辆车向左转；（3）至少有两辆车向左转.【模型建立】用树状图列举结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法求事件的概率很便捷.【变式变形】1.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同.若三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是（ B ）A .16B .38C .58D .232.三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每名运动员的出场顺序都发生变化的概率为 13.3.如图25－2－7，用红、蓝两种颜色随机地对A ，B ，C 三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色.请用画树状图法，求A ，C 两个区域所涂颜色不相同的概率.[答案：12]图25－2－74.甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次.（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回甲手中的概率是多少？ （2）若乙想使球经过三次传递后，传在自己手中的概率最大，则乙应让球开始时在谁手中？请说明理由.[答案：（1）14（2）在甲或丙手中 理由略]5.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：（1）求三辆车全部同向而行的概率；（2）求至少有两辆车向左转的概率；（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的概率为25，向左转和直行的概率均为310.目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整.[答案：（1）19 （2）727 （3）汽车右转的绿灯亮的时间为36秒，左转的绿灯亮的时间为27秒，直行的绿灯亮的时间为27秒][命题角度] 用画树状图法求概率树状图用于分析涉及两个或两个以上因素的试验.在画树状图时，为分析方便，一般把因素中可能出现的结果较多的安排在上面.如教材P 138例3，P 139练习，P 140习题25.2 T 4，T 6等.例1 襄阳中考同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下的概率是 38.例2 宿迁中考有2部不同的电影A ，B ，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看. （1）求甲选择A 电影的概率；（2）求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）.解：（1）甲选择A 电影的概率＝12.（2）画树状图如图25－2－8.图25－2－8共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙3人选择同一部电影的结果数为2，所以甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为28＝14.P 138练习1．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求下列事件的概率：(1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球； (2)两次都摸到相同颜色的小球；(3)两次摸到的球中一个绿球、一个红球．解：经过两次摸球所能产生的结果如下：红红，红绿，绿红，绿绿，所得的结果共有4个，并且这4个结果出现的可能性相等．(1)P (第一次摸到红球，第二次摸到绿球)＝14.(2)P (两次都摸到相同颜色的小球)＝24＝12.(3) P (两次摸到的球是一红一绿)＝24＝12.2．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？解： 所有可能出现的结果列表如下：能够整除第一次取出的数字的结果共有14种，所以P(第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字)＝1436＝718.P 139练习经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：(1)三辆车全部继续直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转； (3)至少有两辆车向左转．解： 根据题意，可以画出如下的树状图：从树状图上看出，所有可能的结果共有27个，它们出现的可能性相等． (1)P (三辆直行)＝127.(2)P (两辆右转，一辆左转)＝327＝19. (3) P (至少有两辆车向左转)＝727. P 139习题25.2 复习巩固 1．把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概率：(1)抽出的牌是黑桃6； (2)抽出的牌是黑桃10； (3)抽出的牌带有人像； (4)抽出的牌上的数小于5；(5)抽出的牌的花色是黑桃．解：13张黑桃牌中有1张点数为6，1张点数为10，3张带人像，4张点数小于5， ∴下列事件的概率分别为 (1) P (黑桃6)＝113.(2) P (黑桃10)＝113.(3) P (带有人像)＝313.(4) P (牌上的数小于5)＝413.(5) P (花色是黑桃)＝1.2．有一个质地均匀的正十二面体，十二个面上分别写有1～12这十二个整数．投掷这个正十二面体一次，求下列事件的概率：(1)向上一面的数字是2或3；(2)向上一面的数字是2的倍数或3的倍数．解：所有可能性有12种，向上一面出现2或3各1种，向上一面是2或3的倍数可能为2，3，4，6，8，9，10，12，共8种．∴(1)P(数字是2或3)＝16.(2)P(数字是2的倍数或3的倍数)＝812＝23.3．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球. 求下列事件的概率：(1)两次取出的小球的标号相同； (2)两次取出的小球标号的和等于4.解：经过两次摸球所能产生的结果如下：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)，并且出现的可能性相等．(1) P (两次取出的小球的标号相同)＝14.(2) P (两次取出的小球的标号的和等于4)＝316.综合运用4．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少？解：从图形可知，蚂蚁共有6种走法，并且每种走法的机会都是均等的，能获得食物的路径有2种，所以P (获得食物)＝26＝13.5．第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求下列事件的概率：(1)取出的2个球都是黄球；(2)取出的2个球中1个白球、1个黄球． 解：列表如下：(1)取出的2个球都是黄球的结果共有1种，故P (2个球都是黄球)＝16.(2)取出的2个球中1个白球、1个黄球共有3种，故 P (1个白球、1个黄球)＝36＝12.6．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是多少？解：不妨用A 表示雄鸟，用B 表示雌鸟，画树状图如下图：共8种可能性，恰好有2只雄鸟的可能性有3种，故P(恰有2只雄鸟)＝38.拓广探索7．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？解： 用A 和B 分别代表两把锁，相应地，三把钥匙分别用a 、b 、c 来表示，则可列表如下：从表中可以看出共有6种结果，它们出现的可能性相等． ∴P (一次开锁)＝26＝13.8．如图所示的两张图片形状完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？解： 用A 和a 、B 和b 表示两幅画，则可画如下图所示的树状图：由树状图看出，共12种结果，能合成一张完整图片的结果有4种， ∴P (合成一张完整图片)＝412＝13.9．盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．(1)从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，写出表示x 和y 关系的表达式．(2)往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为12，求x 和y 的值．解：(1)依题意，得x x ＋y ＝38， 解得y ＝53x.∴表示x 和y 关系的表达式为y ＝53x.(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋y ＝38，x ＋10x ＋y ＋10＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝25.[当堂检测]11．（2012•泰安）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（ ）A.61 B. 31C. 21D. 322．（2012•山西）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ）A.41 B. 31C. 21D. 323．（2012•三明）在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（ ）Ａ.32 Ｂ.95Ｃ.94 Ｄ.314. （2012•青岛）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）A.41 B. 43 C. 31 D. 21 5．（2011•孝感）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是____________...参考答案2 A 3. Ａ 4. D ; 5. 43[当堂检测]11．将1，2，3三个数字随机生成的点的坐标，列成下表．如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，则这个点在函数y=x 的图象上的概率是（ ）A ．0.3B ．0.5 C.3 D.3２. 准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是（ ） A.31 B. 41 C. 51 D. 61 ３. （2011•台湾）一签筒内有四支签，分别标记号码1，2，3，4．已知小武以每次取一支且取后不放回的方式，取两支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的机率为（ ） A.43 B. 32 C. 21 D. 314. （2011•深圳）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是________ .5. 在一个不透明的袋子中装有2个红球，3个白球，它们除颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后将它放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是________.参考答案2. Ａ3. B 4 .94［解析］画树状图得： ∴一共有9种等可能的结果，指针指向的数字和为偶数的有4种情况， ∴指针指向的数字和为偶数的概率是94.5. 254[能力培优]专题一 有放回抽取下求事件的概率1. 【2012·内江】如图所示，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是 .2.随机掷一枚质地均匀的硬币三次，至少有一次正面朝上的概率是 ．3.小华和小丽两人玩数字游戏，先由小丽心中任意想一个数记为x ，再由小华猜小丽刚才想的数字，把小华猜的数字记为y ，且他们想和猜的数字只能在1、2、3、4这四个数字中． （1）请用树形图或列表法表示出他们想和猜的所有情况；（2）如果他们想和猜的数字相同，则称他们“心灵相通”．求他们“心灵相通”的概率； （3）如果他们想和猜的数字满足∣x -y ∣≤1，则称他们“心有灵犀”．求他们“心有灵犀”的概率．专题二 无放回抽取下求事件的概率4. 某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是（ ）A.124B.112 C.16D.135. 6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等. （1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树形图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？6.【2011·乐山】在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x ；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y ．（1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数y=﹣x+6图象上的概率；（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x 、y 满足xy ＞6，则小明胜；若x 、y 满足xy ＜6，则小红胜．这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平？知识要点：1.当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.2.当一次试验要涉及三个或者更多个因素时，通常采用树形图法.温馨提示：1.随机抽取两个等价于无放回抽取.2.“至少”或者“至多”包含几种情况一定要分清.规律总结：修改游戏规则问题，两种最快的方法：（1）利用前一问的列表或者画图的结果将规则修改公 平；（2）利用前一问得到的概率，修改规则. 如第6题中P （小明胜）=412=13；P （小红胜）=612=12. 修改规则为xy ＞6时，得2分，xy<6时，得3分.正三角形 A 正方形 B D 正六边形 正五边形 C E 正八边形 正十边形 F参考答案1.29【解析】此格点图共有36个格点，要想△ABC 的面积为1，那么符合要求的点如下图：从图上可知，符合要求的点共有8个，所以恰好能使△ABC 的面积为1的概率是29. 2.87【解析】画出树形图∵随机掷一枚质地均匀的硬币三次，∴根据树状图可知至少有一次正面朝上的概率是87． 3.【解（2）根据（1）得所有可能的情况有16种，想和猜的数相同的情况有4种， ∴P（心灵相通）=41164=； （3）根据（1）得所有可能的情况有16种，数字满足|x ﹣y|≤1的情况有10种， ∴P（心有灵犀）=105168=． 4.B5.【解】（1）∵这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，()31==62P 单独一种能镶嵌.（2由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中能进行平面镶嵌的 结果有8种，分别是：AB ， AD ， BE ， CF ， BA ， DA ， EB ， FC . ()843015P ==两种能镶嵌. 6.【解】（1）画树形图：所以共有12个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其中满足y=﹣x+6的点有（2，4），（4，2），所以点（x ，y ）在函数y=﹣x+6图象上的概率=212=16； （2）满足xy ＞6的点有（2，4），（4，2），（4，3），（3，4），共4个；满足xy ＜6的点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），共6个， 所以P （小明胜）=412=13；P （小红胜）=612=12； ∵13≠12，∴游戏规则不公平． 游戏规则可改为：若x 、y 满足xy≥6，则小明胜；若x 、y 满足xy ＜6，则小红胜．“一次抽取2个”概率类问题的探究引例：一个盒子里有6个除颜色外其余都相同的玻璃球，3个红色，1个黄色，2个白色，现随机从盒子中一次取出2个球，求这两个球都是白球的概率是多少？分析；大家知道求解概率问题我们常用列树状图或列表的方法解决．现在我们仍遵循常规的思路来探索解决．我们用A 1、A 2、A 3分别表示3个红球，B 表示黄球，C1、C 2 表示两个白球，列表如下：列出表格之后有的同学不加深入的思考分析，观察表格便机械地得出共有36种可能的结果，其中一次取出2个白球（C 1C 1C 1C 2或C 2C 1、C 2C 2）共有4种情况，因而两个球都是白球的概率为P =364=91． 熟不知上述辛辛苦苦探究得到的答案是错误的，原因出在何处呢？仔细分析上述解法，从列表中可以发现：6种情况（A 1A 1、A 2A 2、A 3A 3、BB 、C 1C 1、C 2C 2）根本不会出现，（因为一个球不可能取2次）；其次一次取两个球，表中列出的A 2A 1、A 1A 2……等等，实际上是一种情况，因而表格中的以对角线为分界线的右上部分与左下部分是相同的（重复），所以我们计算出现的所有可能的情况时只需选择右上部分情况加以统计即可．共有5+4+3+2+1=15，其中均为白球只有（C 1C 2）1种情况，因此随机从盒子中一次取出2个球，这两个球都是白球的概率为P =151． 爱因斯坦说过：“从新的角度看待旧的问题，需要有创造性的想象能力”．如果我们把表中的表示“球”的字母A 1、A 2、B 、C 1、C 2，看作线段的端点，那么一次取2个球，就可以看作以这2个字母为端点连成一条线段，显然线段A 2A 1、A 1A 2表示同一条线段，从而说明一次取2个球（先取球A 1再取球A 2 与先取到球A 2再取到球A 1）实际上是一种情况，因此一次取2个问题的概率，我们可以借助计算线段的条数模型来计算．。
2022年湘教版九下《用画树状图法求概率》立体精美课件
拓展结论
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.可以得到结论：
OP垂直平分AB. B
OM
P
A
方法归纳
（1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
例2 如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、 AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5， 且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ ）
A.
1 4
1
1
3
B. 3
C. 2
D. 4
3.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，
它们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个
球，摸到黄球的概率为 4
5
，则n=
8
.
4.在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字 6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全 相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放 回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用画树状图的方法求下列事件的概率.
小明
列 小华
剪
锤
布
表
剪
（剪,剪） （锤,剪） （布，剪）
法
锤 （剪，锤） （锤,锤） （布,锤）
布
（剪,布） （锤,布） （布,布）
（2）除了列表法，你还可以想到其它的方法吗？
为了不重不漏地列出所有可能的结果，除了列表法， 我们还可以借助树状图法.
讲授新课
一 用画树状图求概率
u树状图的画法 如一个试验中涉及2
ABΒιβλιοθήκη ED CHI（1）取出的3个小球中恰好有1个，2个，3个 写有元音字母的概率各是多少？
甲
A
B
解：由树状图得，所
乙 C D E C D E 有可能出现的结果有
用画树状图法求概率
第2课时 用画树状图法求概率
解：不正确．改正如下： 画树状图如图所示．
由树状图可知，两次摸出的球上的数字之和共有 9 种结果，且每种结果 出现的可能性相等，其中和为偶数的结果有 5 种，所以两次摸出的球上的数 字之和为偶数的概率是59.
第2课时 用画树状图法求概率
一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个球，这 些球除所标数字不同外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球， 记录下数字后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，记录下 数字．求两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率．
第2课时 用画树状图法求概率
解：画树状图如图 25－2－1 所示． 由树状图可知，两次摸出的球上的数字之和共有 6 种等可能的 结果，且每种结果出现的可能性相等，其中和为偶数的结果有 2 种， 所以两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率是26＝13. 以上解答正确吗？若不正确，请改正．
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
第2课时 用画树状图法求概率
总结反思
知识点 用画树状图法求概率
当一次试验涉及三个或更多的因素时，列表法就不方便了，为了 不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用_画__树__状_图__法．
例 教材例3针对训练 小红、小明、小芳在一起做游戏时，需 要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪刀、石头、布”的 方式确定，则在一个回合中三个人都出“布”的概率是多少？
第2课时 用画树状图法求概率
解：如图画出了树状图的一部分(列出 9 种结果)，把图中小红的“剪刀” 改为“布”重复上述画法，可再列出 9 种结果，最后改为“石头”，同样也可 列出 9 种结果，所以共有 27 种结果，且每种结果发生的可能性相同，三个人 都出“布”的结果只有 1 种，则 P(布、布、布)＝217.
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第2课时用树状图法求概率
前事不忘，后事之师。
《战国策·赵策》
原创不容易，【关注】，不迷路！
【知识与技能】
1.会用画树状图法列举试验的所有结果.
2.掌握用树状图求简单事件的概率.
【过程与方法】
通过生活中简单的例子，掌握画树状图的方法，进而掌握用树状图求概率的一般步骤.
【情感态度】
通过小组讨论，培养学生合作、探究的意识和品质.
【教学重点】
用树状图求概率.
【教学难点】
如何正确地画出树状图.
一、情境导入，初步认识
活动1：将一枚质地均匀的硬币连掷三次，问：
(1)列举出所有可能出现的结果.
(2)求结果为一次正面，两次反面的概率.
教师问：该问题可以用列表法来解决吗?请试一试看(学生分组讨论).
经探究发现，上述问题用列表法不易解决，因为列表法适用于试验只需两步完成的事件，而上述掷硬币需三步完成，所以不易用列表来解决，这就需要一种新的方法来解决——树状图法.
二、思考探究，获取新知
如何用树状图来解决［活动1］中的问题呢？
先让我们一起来画树状图.
从所画树状图可知共有正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反8种结果，而结果为一次正面两次反面的结果，有正反反，反正
反，反反正3种，∴P(一次正面，两次反面)=3 8
【教学说明】列表法求概率适用的对象是两步完成或涉及两个因素的试验，而树状图法既运用于两步完成的试验，又适用于三步及三步以上较复杂的试验.
例1小明和小华做“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若两人出的相同，则为平局.
(1)怎样表示和列举一次游戏的所有可能结果?
(2)用A、B、C表示指定事件：
A：“小明胜”B.“小华胜”C.“平局”
分别求出事件A、B、C的概率.
【教学说明】本例为教材P129“动脑筋”，教师要求学生先小组讨论，后独立完成，再以小组交流的方法去完成，过程见P130.
例2教材P130例2
【教学说明】用列表法或画树状图法都可以不重不漏地列举出试验所有可能出现的结果，只是适用的范围不同，一般来讲，可用列表法解决的问题都可以用树状图来解决，反过来，就不一定.
画树状图时，一定要看清题意，注意试验是几步完成，一般来讲试验几步完成.树状就“分枝”几次；树状图可以横着画，也可以竖着画.
四、运用新知，深化理解
1.要从小强、小红和小华三人中随机选取两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是()
2.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过的每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是()
3.一套书共有上、中、下三册，将他们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上、中、下顺序的概率为________.
4.三个同学同一天生日，他们做了一个游戏：买来了三张相同的贺卡各自在其中一张内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张，则他们拿到的贺卡都不是自己所写的概率是________.
5.一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少?
【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的掌握.
【答案】1.B2.B3.1
6
4.
1
3
5.解：画树形图如下：
P（1个男婴，2个女婴）=3
8
.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾用树状图求概率的方法，特别要注意树状图的画法.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问，请与同学们交流.
1.教材P131第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课由次掷硬币引出用树状图概率，与上节课“两次掷硬币”用列表法求概率相比较，让同学们学会比较、观察、探究问题的能力，加深对求概率知识的掌握.
【素材积累】
司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
他游历各地，阅读了大量书籍。
不料正在他着手编写《史记》时，遭到了李陵之祸的株连。
但他矢志不渝，忍辱负重，身受腐刑，幽而发愤，经过十余年的艰苦奋斗，终于写成了鸿篇巨著——《史记》。