空间向量综合测试(含答案)

空间向量综合测试

一、选择题：本题共12小题，每小题5分

1．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，则线段AB 的中点坐标和|AB →

|是( )

A.????2，1，52，17

B.????2，－1，52，17

C.????2，1，－52，17

D.????2，－1，－52，17

2．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D.－a ＋b －c

3．平面α的法向量u ＝(1，2，－1)，平面β的法向量v ＝(λ2，2，8)，若α⊥β，则λ的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D.不存在

4．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3，5，2)，CD →

＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →

的坐标为( )

A ．(2，3，3)

B ．(－2，－3，－3)

C ．(5，－2，1) D.(－5，2，－1) 5．已知四面体ABC

D 的所有棱长都是2，点

E ，

F 分别是AD ，DC 的中点，则EF →·BA →

＝( ) A ．1 B ．－1 C. 3 D.－ 3

6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则与直线CE 垂直的直线是( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D.A 1A

7．已知a ＝3m －2n －4p ≠0，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，则x ，y 的值为( )

A ．x ＝－13，y ＝8

B ．x ＝－13，y ＝5

C ．x ＝7，y ＝5 D.x ＝7，y ＝8 8．已知棱长为1的正方体ABC

D -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1 D.2

9．已知直线l 的方向向量为n ＝(1，0，2)，点A (0，1，1)在直线l 上，则点P (1，2，2)到直线l 的距离为( )

A.

305 B.30 C.30

10

D.230 10．在四棱锥P -ABCD 中，AB →＝(4，－2，3)，AD →＝(－4，1，0)，AP →＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h ＝( )

A ．1

B ．2

C ．13 D.26

11.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC

→

＋BD →，则|BP →

|2的值为( )

A.32 B ．3 C.74 D.94

12．三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，N 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，且满足：A 1P →＝λA 1B 1→

，则直线PN 与平面ABC 所成角θ取最大值时λ的值为( )

A.12

B.22

C.32

D.255

一、选择题：本题共12小题，每小题5分

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________．

14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，0)，B (2，1，6)，则向量AB →

与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．

15．点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM →·PN →的取值范围是__________．

16．如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)如图所示，在四棱锥M -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的

长为3，且AM 和AB ，AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →

，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →

，并求BN 的长．

18．(12分)四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，M 、N 分别是PC 、AB 的中点，求证：MN ⊥平面PCD .

19．(12分)如图所示，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4，将△CBD 沿BD

折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .

(1)求证：AB ⊥DE ；

(2)若点F 为BE 的中点，求直线AF 与平面ADE 所成角的正弦值．

20．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，AG ＝1

3GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点．(1)求异面直

线GE 与PC 所成角的余弦值；(2)若F 是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PF

FC

的值．

21．(12分)在△A ′BC 中，A ′B ＝4，A ′C ＝42，∠BA ′C ＝45°，以A ′C 的中线BD 为折痕，将△A ′BD 沿BD 折起，构成二面角A -BD -C ，在平面BCD 内作CE ⊥CD ，且CE ＝2，连接DE ，AE ，AC ，如图所示．

(1)求证：CE ∥平面ABD ；(2)若二面角A -BD -C 的大小为90°，求二面角B -AC -E 的余弦值．

22．(12分)如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝12

CD ＝1，PD ＝ 2.

(1)若M 为P A 的中点，求证：AC ∥平面MDE ；(2)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值；

(3)在线段PC 上是否存在一点Q (除去端点)，使得平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为π3

？

空间向量综合测试答案

1.解析：选A.设P (x ，y ，z )是AB 中点，则

OP →＝12(OA →＋OB →)＝12[(3，2，1)＋(1，0，4)]＝????2，1，52，d AB ＝|AB →

|＝（3－1）2＋（2－0）2＋（1－4）2＝17.

2.解析：选D.如图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →－CC 1→

＝b －a －c .

3.解析：选C.α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?λ2＋4－8＝0?λ＝±2.

4．解析：选B.取AC 中点M ，连接ME ，MF ，则ME →＝12AB →＝????－32，52，1，MF →＝12CD →

＝???

?－72，－12，－2，所以EF →＝MF →－ME →＝(－2，－3，－3)，故选B.

5.解析：选B.如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·BA →＝12AC →·(－AB →

)＝－12×2×2cos

60°＝－1故选B.

6.解析：选B.以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z

轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A (0，0，0)，C (1，1，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，E ????12，12，1，所以CE →＝????－12，－12，1，AC →＝(1，1，0)，BD →

＝(－1，1，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)．显然CE →·BD →＝12－12

＋0＝0，所以CE →⊥BD →

，即CE ⊥BD .

7.解析：选A.因为a ∥b 且a ≠0，

所以b ＝λa ，即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp . 又因为m ，n ，p 不共面，所以x ＋13＝8－2＝2y

－4，

所以x ＝－13，y ＝8.

8．解析：选C.由于AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12

(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →

，

则AO 1→·AC →＝[AA 1→＋12(AB →＋AD →)]·(AB →＋AD →)＝12(AB →＋AD →)2＝12

(AB →2＋AD →

2)＝1.

9.解析：选A.过P 点作PH ⊥l 于H 点，

则PH →＝P A →＋AH →，由AH →∥n ，可设AH →

＝λn ＝(λ，0，2λ)． 所以PH →

＝(－1，－1，－1)＋(λ，0，2λ)＝(λ－1，－1，2λ－1)， 由PH →⊥n ，得λ－1＋2(2λ－1)＝0，解得λ＝35所以PH →

＝????－25，－1，15. 因此点P 到l 的距离为|PH →

|＝

425＋1＋125＝305

，选A. 10.解析：选B.设平面ABCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则?????n ⊥AB →n ⊥AD →，即?????4x －2y ＋3z ＝0

－4x ＋y ＝0，设y

＝4，则n ＝????1，4，43，所以cos 〈n ，AP →

〉＝n ·AP →|n ||AP →

|＝－6＋8－32

3

133×226

＝－2626，所以h ＝2626×226＝2，故选B.

11.解析：选D.由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →

|＝ 2. 〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.

所以|BP →

|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD →＝14＋14＋2－

12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22

＝9

4

.

12.解析：选A.

如图，分别以AB →，AC →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，则P (λ，0，1)，N ????12，12，0，PN →＝(1

2－λ，12，－1)．易得平面ABC 的一个法向量n ＝(0，0，1)，则直线PN 与平面ABC 所成的

角θ满足：sin θ＝|cos 〈PN →

，n 〉|＝

1

????λ－122

＋54

，于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈???

?0，π2，

所以当sin θ最大时，θ最大．所以当λ＝12时，sin θ最大，为25

5，同时直线PN 与平面ABC 所成

的角θ取到最大值．

13解析：A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →

〉＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2.答案：a 2

14解析：设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t ，0)(t ≠0)．又AB →＝(1，3，6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|

＝3t 4|t |，因为〈n ，AB →〉∈[0，π]，所以sin 〈n ，AB →〉＝

1－????3t 4|t |2＝74 答案：74

15解析：由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，则PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝OP 2→

＋PO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|PO →|2－1.因为1≤|OP →|≤5，所以PM →·PN →∈[0，4]．答案：[0，4]

16.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0，0)，B 1(0，0，3a )，C (0，2a ，0)．设点E 的坐标为(2a ，0，z )，则CE →＝(2a ，－2a ，z )，B 1E →＝(2a ，0，z －3a )．由CE →⊥B 1E →

，得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a ，即AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a

17.解：BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12CM →＝AD →＋12(AM →－AC →

)

＝AD →＋12[AM →－(AD →＋AB →

)]＝－12AB →＋12AD →＋12AM →.

所以BN →

＝－12a ＋12b ＋12

c ，

|BN →|2＝BN →2＝????－12a ＋12b ＋12c 2

＝14(a 2＋b 2＋c 2

－2a·b －2a·c ＋2b·c )＝174

，

所以|BN →

|＝172，即BN 的长为172

.

18.证明：建立空间直角坐标系如图所示，设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b ，

则P (0，0，a )，D (0，a ，0)，B (b ，0，0)，C (b ，a ，0)，N ????b 2，0，0，M ????b 2，a 2，a

2， 所以MN →＝????0，－a 2，－a 2，DC →＝(b ，0，0)，PC →

＝(b ，a ，－a )， 所以MN →·PC →＝－a 22＋a 22

＝0，MN →·DC →

＝0，

所以MN →⊥PC →，MN →⊥DC →

，即MN ⊥PC ，MN ⊥DC ，又因为PC ∩DC ＝C ，MN ?平面PCD ，所以MN ⊥平面PCD .

19.解：(1)证明：在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ，即BD 2

＝4＋16－16×1

2＝12，所以BD ＝23，所以BD 2＋AB 2＝AD 2，所以△ABD 和△EBD 均为直角三角

形，所以ED ⊥DB .又DB 是平面EBD 和平面ABD 的交线，且平面EBD ⊥平面ABD ，ED ?平面EBD ，

所以ED ⊥平面ABD .

又AB ?平面ABD ，所以AB ⊥DE .

(2)由(1)知∠ABD ＝∠CDB ＝90°，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，2)，A (23，－2，0)，F (3，0，1)，所以DA →＝(23，－2，0)，DE →＝(0，0，2)，AF →

＝(－3，2，1)．

设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则有?????n ·

DA →＝0，n ·DE →＝0，即???23x －2y ＝0，2z ＝0.令x ＝1，则y ＝ 3.又z ＝0，所以n ＝(1，3，0)．

设直线AF 与平面ADE 所成的角为α，则有sin α＝|cos 〈n ，AF →

〉|＝|n ·AF →

||n ||AF →

|＝32×22＝68.

20.解：(1)以G 点为原点，GB ，GC ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE →＝(1，1，0)，PC →

＝(0，2，－4)．

因为cos 〈GE →，PC →

〉＝GE →·PC →

|GE →||PC →|＝22×25＝1010，所以GE 与PC 所成角的余弦值为1010.

(2)因为GD →＝34

BC →

＝????－32，32，0，所以D ????－32，32，0. 设F (0，y ，z )，则DF →

＝(0，y ，z )－????－32，32，0＝????32

，y －32，z . 因为DF →⊥GC →，所以DF →·GC →

＝0，即????32，y －32，z ·(0，2，0)＝2y －3＝0，所以y ＝32

. 又点F 在PC 上，所以PF →＝λPC →

，即????0，32，z －4＝λ(0，2，－4)，所以z ＝1，故F ????0，32，1，

所以PF →＝????0，32，－3，FC →

＝????0，12，－1，所以PF FC ＝35

25

2

＝3. 21.解：(1)证明：由AB ＝4，A ′C ＝42，∠BA ′C ＝45°，得BC ＝4，所以△A ′BC 为等腰直角三

角形，又D 为A ′C 的中点，所以BD ⊥A ′C .所以折起后BD ⊥CD .又CE ⊥CD ，所以CE ∥BD ，

因为CE ?平面ABD ，BD ?平面ABD ，所以CE ∥平面ABD .

(2)由二面角A -BD -C 的大小为90°，AD ⊥BD ，得AD ⊥平面BCD ，由(1)知BD ⊥CD ，

于是以D 为坐标原点，分别以DB ，DC ，DA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设F 为AC 的中点，连接DF ，则DF ⊥AC ，且DF ＝2.

因为CE ⊥CD ，AD ⊥平面BCD ，所以CE ⊥平面ACD ，所以DF ⊥CE ，所以DF ⊥平面ACE .

易求得BD ＝CD ＝AD ＝22，所以D (0，0，0)，B (22，0，0)，C (0，22，0)，A (0，0，22)，F (0，2，2)．所以平面ACE 的一个法向量为DF →

＝(0，2，2)．

又AB →＝(22，0，－22)，AC →

＝(0，22，－22)，

设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB →＝0，n ·AC →

＝0，

所以x ＝y ＝z ，取n ＝(1，1，1)为平面ABC 的一个法向量．所以cos 〈n ，DF →

〉＝n ·DF →

|n ||DF →

|＝63，

根据图形可知二面角B -AC -E 的余弦值为－63

.

22.解：(1)证明：如图，在矩形PDCE 中，设PC 交DE 于点N ，则点N 为PC 的中点．连接MN .

在△APC 中，点M 为P A 的中点，点N 为PC 的中点，所以AC ∥MN .

又MN ?平面MDE ，AC ?平面MDE ，所以AC ∥平面MDE .

(2)由∠ADC ＝90°，得AD ⊥CD ，

由平面PDCE ⊥平面ABCD ，且平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，得AD ⊥平面PDCE ， 所以AD ⊥PD .

在矩形PDCE 中，PD ⊥CD ，则DA ，DC, DP 两两垂直．

以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，P (0，0，2)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，

所以AP →＝(－1，0，2)，CP →＝(0，－2，2)，BC →

＝(－1，1，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????CP →·n ＝－2y ＋2z ＝0BC →·

n ＝－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，2)．

设直线P A 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|AP →

·n ||AP →

||n |＝3

6.

所以直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为

36

. (3)假设存在点Q 满足条件，则可设CQ →＝λCP →

(0<λ<1)，得Q (0，2－2λ，2λ)． 又DA →＝(1，0，0)，DQ →

＝(0，2－2λ，2λ)， 设平面QAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 由?????DA →·n 1＝x 1＝0DQ →·n 1＝（2－2λ）y 1＋2λz 1＝0，

令y 1＝2λ，则n 1＝(0，2λ，2λ－2)． 由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为π3

，

得cos π3＝|n 1·n ||n 1||n |＝|32λ－22|2×2λ2＋4（λ－1）2＝12，所以λ＝1

3

或λ＝1(舍去)，

所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点，即在线段PC 上存在点Q 满足条件．

4．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M

是CD 上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．

M

D C

B

A

5．(2018天津)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG

∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===． (1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (2)求二面角E BC F --的正弦值；

(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长．

N A

B

C D E

F G M