数学建模算法基础

/
2
2
n
} n0
平方收敛
1/ 22n1 0
lim
1
n
1/ 22n
2
0
2.4 算法的收敛阶
类似地，如果收敛的数列是由迭代算法产生的， 定义数列的收敛阶为算法的收敛阶。不过需要注 意，算法是对问题类的算法，不是针对一个特定 问题的，这样算法的收敛阶应该是由该算法生成 的序列都具有的共同特征。
2.5 时间花费与收敛速度
定义 2 如存在向量
x* (x1* , x2* ,, xn* )T ，使向量序列
{x
(
k
)
} k 0
的各分量构成的数列收敛
到向量 x*的对应分量，即
lim
k
x
(k j
)
x
* j
( j 1,2,, n)
称向量序列{x
(k
)
} k 0
收敛到向量
x*.
2.7 范数概念
定义 3 定义在 Rn 上的实值函数 • ，如果满足： 1）非负性： u 0 u Rn ; u 0 u0 2）齐次性： ru r u u Rn , r R 3）三角不等式： u v u v u, v Rn 则称函数 • 是该向量空间上的一 种范数。
限过程，产生截断误差； 在用计算机实现数值算法的过程中，由于计算机表示浮点数采
用的是固定有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示 在某个有限范围内的某些有理数，不能准确表示数学中的所有 实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、 以及最终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。
对于不同的算法，若每一迭代步的时间花费相当， 从收敛阶的定义可以知道，收敛阶高的算法花费 较少的时间；对于同阶的算法，渐近常数小者花 费较少的时间。
2.6 向量序列的极限
多变量问题的迭代算法，产生的近
似解序列是向量序列{x
(
k
)
} k 0

x(k)
(
x
(
1
k
)
,
x 2( k
)
,
,
x n( k
)
)T
原始的可以变化的有限操作对象就是有限输入数据，它 所有可能允许的变化构成求解的问题类。
1.3 算法的分类
对给定的输入数据，算法运行后得到的数据结果 也是有限的，这样可以把算法看成有限输入数据 和有限输出结果之间的对应关系。
将以浮点算术运算为主的算法称为数值型算法， 如线性方程组的求解，数值积分的计算，微分方 程初边值问题的求解等。其它算法称为非数值型 算法，如排序问题，匹配查找问题等。
1.4 算法的评价
算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。 数值型算法的可靠性
算法的收敛性、稳定性、误差估计等 算法必须在有限的时间内得到计算结果，如果某问题类的一个
求解过程是无限长，需要将其截断得到求解算法，并产生截断 误差。 算法的收敛性就是研究当运行时间趋于无限长时，算法的解是 否趋于真实解，即截断误差是否趋于零。
1.2 算法的概念
当数学模型的分析解得不到时，使用计算机进行求解。 我们不会做的计算机肯定不会做，只有当我们会做，但 因为数据计算量太大时，把自己的求解过程（算法）编 写成程序，计算机将其编译、运行得到计算结果。
所谓（串行）算法就是求解一个问题类的无二义性的有 穷过程，这里过程明确无歧义的描述由有限操作（算术 运算、逻辑运算、字符运算、读写操作等）及有限操作 对象合成的按一定顺序执行的有限序列。
如果对于问题类中任一问题，迭代次数k趋于无 穷大时序列极限存在，并且就是该问题的准确解， 则称该迭代算法收敛到问题的解。
2.1 数列收敛阶的定义
定义 1 对于一个收敛的数列
{
y
n
} n0
y*
(n ) ，如果存在常
数 p 1和c 0 ，使得有
lim
n
yn1 y* yn y* p
c
成立（当 p＝1 时要求 c<1），则称
算法基础
1. 算法概念
数学建模竞赛的过程 算法的概念 算法的分类 算法的评价
1.1 建模竞赛的过程
实际上是命题人（某个领域的专家）提出实际问题 参赛人首先读题，分析问题，依照自己的理解准确阐述
问题； 辨析问题中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条
件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中 不同量之间的约束关系，进而得到完备的数学模型； 在研究模型解的存在性与惟一性 如何求其解 利用解对模型的正确性进行评价。
非数值型算法的可靠性更为强调对于整体问题类算法计 算结果的正确性。
算法的评价（2）
评价一个可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂 度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算 机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序 开发的周期以及维护）。
2．数值型算法的收敛阶
迭代是构造数值问题算法的基本思想之一，迭代 的结果是得到问题解的一个近似序列.
x(k) x*
p
c
2.10 常用的矩阵范数
n
A
max 1 i n
j 1
aij
n
A
1
max
1 jn
i 1
aij
A 2
max(AT A)
3 误差及数值算法的稳定性
误差的产生
模型建立时因舍去次要矛盾会产生模型误差； 模型中包含一些参数是通过仪表观测得到的，产生观测误差； 算法必须在有限步内执行结束，这样需要将无穷过程截断为有
数列{
yn
} n0
是
p
阶收敛到
y*，称
c
为渐近误差常数.
2.2 举例
当 p＝1 时称为线性收敛
p>1 时称为超线性收敛
p＝2 时为平方收敛或二次收敛。
如几何级数{1/
2n
} n0
、{1/
3n
} n0
都
是线性收敛的，但前者的渐近常数
大于后者的渐近常数，故后者收敛
更快一些。
2.3 2阶收敛举例
级数{1
2.8 常用向量范数
x
2
n i1
xi
2 1/ 2
n
x 1
xi
i 1
x
max
1i n
xi
2.9 等价性定理、收敛速度
定理 1 向量序列{x(k)}k 0 收敛到向 量 x*的充分必要条件是存在某种向 量范数 • ，使得有
lim x(k) x* 0
k
x(k 1) x*
lim
k
得到的计算结果是这些误差综合影响下的数据。
3.2 浮点数系
浮点数系是计算机常用的实数表示系统，一个浮 点数的表示由正负号、有限小数形式的尾数、以 及确定小数点位置的阶码三部分组成.
设在某一浮点系统中, 尾数占t位二进制数(未计 算尾数的符号位), 阶数占s位二进制数(未计算阶 数的符号位), 实数的浮点表示共需要t＋s＋2位 的二进制数位.