(完整版)向量相关练习题及答案

向量相关练习

一：选择题（共12题，每题5分，共60分）

1．设向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r ,,||1,||2a b a b ⊥==r r u u r u u r ,则2||c =u r （）

A ．1 B.2 C.4 D.5

2． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)||||(

AC AB OA OP +=λ，[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一

定通过△ABC 的（ ）

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

3.已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ ）

A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）

4、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2

5．已知向量a b 、满足1,4,a b ==，且2a b =g ，则a 与b 的夹角为 ( )

A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．2

π

6．设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )

A.(2,6)

B.(－2,6)

C.(2,－6)

D.(－2,－6)

7.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）

A.→--AB ＝→--DC

B.→--AD ＋→--AB ＝→--AC

C.→--AB －→--AD ＝→--BD

D.→--AD ＋→--CB ＝→0 8.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若=, =,则=（ ）

A ．1142a b +r r B. 2133a b +r r C. 1124a b +r r D. 1233

a b +r r 9.已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =m x －7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 A 3

2- B 23- C 14

D 4 10.点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为（ ）

A （-2，4）

B （-30，25）

C （10，-5）

D （5，-10）

11. （2007上海）直角坐标系xOy 中，i j r r

，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若

j k i j i ρρρρ+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

12.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r ( )

A.反向平行

B.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

二：填空题（共四题，每题4分，共14分）

A B D

13.若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则a b +的值等于_________.

14．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则? ＝

15．已知向量

(1,0),(1cos ,sin ) OA OB θθ==+u u u r u u u r ，则向量OA u u u r 与向量OB u u u r 的夹角的取值范围是[,]32ππ．

16.关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：

①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-。

③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o 。

其中真命题的序号为 . ．（写出所有真命题的序号）

三：解答题

17（本题10分）.已知向量a ρ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ?＝(2sin 2cos x

x ，-)，且

x ∈[0，2π]．

（1）求b a ??+

（2）设函数b a x f ??+=)(+b a ???，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。

解：（I ）由已知条件： 20π

≤≤x ， 得：

22)2sin 23(sin )2cos 23(cos )2sin 23sin ,2cos 23(cos x

x x

x

x

x

x

x

b a -++=-+=+ρρ

x x sin 22cos 22=-=

（2）2sin 23sin 2cos 23cos sin 2)(x

x

x x x x f -+=x x 2cos sin 2+=

2)2(sin 21sin 2sin 222+--=++-=x x x 因为：20π

≤≤x ，所以：1sin 0≤≤x

所以，只有当： 21

=x 时， 23)(max =x f

0=x ，或1=x 时，1)(min =x f

18(本题10分)

已知1

1),(2a b =-=，存在实数k 和t ，使得2(3)x a b t =+-，y a b k t =-+， 且x y ⊥，若不等式2k t m t +>恒成立，求m 的取值范围．

解：由题意，有

||2,||1a b ==，∵1102a b =-=g ∴a b ⊥，

∵0x y ?=，∴2[(3)]()0a b a b t k t +-?-+=， ∴2332(3)1(3)4b a t t k t t -==-，∴222117(43)(2)444

k t t t t t +=+-=+- 故2t =-时，2k t t +有最小值74-，即74

m <-．

19（本题12分）

已知二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x ) = f (1＋x )成立，设向量→a = ( sinx , 2 ) ，→b = (2sinx , 12)，→c = ( cos 2x , 1 )，→d

=(1,2)，当x ∈[0,π]时，求不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集。

解：设f (x )的二次项系数为m ，由条件二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x ) = f (1＋x )成立得f (x )的图象关于直线x =1对称，若m ＞0，则当x ≥1时，f (x )是增函数 ；

若m ＜0，则当x ≥1时，f (x )是减函数。

∵→a ·→b =（sinx ，2）·（2sinx , 12）=2sin 2x ＋1≥1

→c ·→d =（cos 2x ，1）·(1,2)=cos 2x ＋2≥1

∴当m ＞0时，f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )?f (2sin 2x ＋1)＞ f (cos 2x ＋2)

? 2sin 2x ＋1＞cos 2x ＋2?1－cos 2x ＋1＞cos 2x ＋2

? cos 2x ＜0?2k π＋2π

＜2x ＜2k π＋23π

,k ∈z

?k π＋4π

＜x ＜k π＋43π

, k ∈z

∵0≤x ≤π ∴4π＜x ＜43π

当m ＜0时 同理可得不等式的解集为{ x |0≤x ＜4π或43π

＜x ＜π}

综上所述，不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集是：

当m ＞0时，为{ x |4π＜x ＜43π

} ；

当m <0时，为{ x |0≤x ＜4π或43π

＜x ＜π}。

20（本题12分）设G 、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心，A(0，2)，B （0，－2）且GM λ=(λ∈R).（Ⅰ）

求点C(x ，y )的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点(2，0)作直线L 与曲线E 交于点M 、N 两点，设ON OM +=，是否存在这样的直线L ，使四边形OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

解：（１）由已知得(,)33x y G , 又GH AB λ=u u u r u u u r ，∴(,0)3

x H

∵CH=HA ∴222()()433

x x x y -+=+即221(124x y x +=≠± （2）设l 方程为y =k(x -2)，代入曲线E 得（3k 2+1）x 2-12k 2x +12(k 2-1)=0

设N (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，则x 1 +x 2=221231k k +，x 1 x 2=2212(1)31

k k -+ ∵OP ON OM =+u u u r u u u r u u u u r ，∴ 四边形OMPN 是平行四边形.

若四边形OMPN 是矩形，则ON OM ⊥u u u r u u u u r

∴x 1 x 2+y 1 y 2=0 ∴222

222212(1)12(1)24(4)0313131

k k k k k k k --+-+=+++得k=±∴ 直线l 为：y =

2)y x =-