无穷小与无穷大

1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1．无穷小量的定义

定义：如果x → x0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x) 的极限为零 ,那么把f (x) 叫做当x →

x0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。 例如：因为0)1(lim1xx，所以函数x-1是x→1时的无穷小。

因为01limxx，所以函数x1是当x→1时的无穷小。 因为011limxx，所以函数x11是当x→－∞时的无穷小。 以零为极限的数列｛xn｝，称为当n→∞时的无穷小，n1，n32 都是n→∞时的无穷小。 注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x→x0（或x→∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x→x0（或x→∞）时，极限是零。 2.无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。

例1．求xxxsinlim

解：∵1sinx，是有界函数， 而01limxx ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 ∴xxxsinlim＝0 3．函数极限与无穷小的关系 定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。 4．无穷小的比较

例：当x→0时，x, 3x， x2, sinx, xx1sin2都是无穷小。 观察各极限：

0320limxxx x2比3x要快得多

1sinlim0xxx sinx 与x大致相同

xxxxxxxsin1sinlimlim020 sinx比x2慢的多

xxxxxx1sin1sinlimlim

0220 不存在 不可比

极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。 得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小

⑴如果lim＝0，则称β是比α高阶的无穷小

⑵如果lim＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果lim＝k（k≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果lim＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。 例2．比较当x→0时，无穷小xx111与x2阶数的高低。 解：因为

111)1()1()1)(1(1111limlimlimlim02202020xxxxxxxxxxx

xxxx

所以 xx111～x2 例3．当x→1时，无穷小1－x与1-x3是否同阶，是否等价？

解：31)1)(1(1112131limlimxxxxxxxx 故同阶但不等价。 常用的等价无穷小： 当x→0时，sinx～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ；

1-cosx ～221x，ln(1+x)～x ; ex-1～x ；(1+x)a～1-ax 1.4.2无穷大 1．无穷大量的定义

如果当x → x0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x) 的绝对值无限增大,那么函数f (x) 叫做当

x → x0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。 注：⑴说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。如函数x1是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了。 ⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x→x0(或x→∞)时极限为常数本身，并不是无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系

定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，若

f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)(1xf为无穷大。 例4．求453221limxxxx 解：当x→1时，分母x2-5x+4→0，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数的极限

03245)(1211limlimxxxxfxx

由无穷大与无穷小的关系可得)(lim1xfx

1．5函数的连续性 1.5.1函数连续性的概念 1．函数的增量 定义：在函数y=f (x)中，当x由x0（初值）变化到x1（终值）时，终值与初值之差x1-x0叫做自变量的增量（或改变量），记为Δx= x1-x0. 相应的，函数终值f (x)与初值 f (x0)之差Δy，叫做函数的增量。 注意：增量Δx可正、可负；增量Δy可正、可负或为零。 2．函数y=f (x) 在x0的连续性 先观察两个函数的图像的特点

当Δx→0时，Δy→0。 当Δx→0时，Δy不趋向于零。 定义：设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量Δx

趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量)()(00xfxxfy也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x0连续。用极限表示，就是 0lim0yx 或0)()(000limxfxxfx

定义2：设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x1→x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f(x0),即 )()(0lim0xfxfxx 那么就称函数f(x)在点x0处连续。 函数f(x)在点x0处连续必须满足三个条件： ⑴函数f(x)在点x0及其左右近旁有定义； ⑵)(lim0xfxx存在；

⑶)()(0lim0xfxfxx

例5 试证函数0,1sin0,0)(xxxxxf，在x＝0处连续。

证明：函数)(xf在x＝0及其左右近旁有定义 ∵01sinlim0xxx f(0)=0 )0()(lim0fxfx ∴函数)(xf在x＝0处连续。 3．函数y=f(x)在区间(a,b)内的连续 设函数)(xf在区间(a，b]内有定义，如果左极限)(limxfbx存在且等于)(bf，

即)(limxfbx＝)(bf，就说函数)(xf在点b左连续。 设函数)(xf在区间[a，b）内有定义，如果左极限)(limxfax存在且等于)(af，即)(limxfax＝)(af，就说函数)(xf在点a右连续。 定理：函数)(xf在点x0处连续)(xf在点x0处既左连续又右连续)()()(000xfxfxf



在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。 4．复合函数的连续性

设函数)(ufy在点0u处连续，函数)(xu在点0x处连续，且)(00xu，

则复合函数xfy在点0x处连续，即 



xxxxxfxfxflim

lim

000

例6 求xxax1loglim0 解：原式＝xaxx101loglim＝aaeealn1lnlnlog 可以推出：当0x时，xa1log～axln 1．5．2函数的间断点 函数)(xf在0x点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，

则称)(xf在0x点不连续（或间断），并称0x点为)(xf的不连续点或者间断点。 间断点的分类： 第一类间断点：⑴00xfxf，但000xfxfxf，或者0xf无意义。 ⑵00xfxf 不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。 1.5.3 闭区间上连续函数的性质 性质1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。 注意：⑴若区间是开区间，定理不一定成立。 ⑵若区间内有间断点，定理不一定成立。 推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。

性质2 如果函数)(xf在ba,上连续，且)(bfaf＜0，那么至少存在一

点ξ∈(a,b)，使得0f。 对于方程)(xf＝0，若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)内至少存在一个实根ξ，ξ又称为函数)(xf的零点。 例7 证明方程01423xx在区间（0，1）内至少有一个根。 证明：设)(xf＝1423xx，)(xf在1,0上是连续的，又因为 )0(f＝1＞0 )1(f＝－2＜0

根据性质2，至少存在一点ξ∈（0，1），使0f 即 01423 从而证得方程01423xx在区间（0，1）内至少有一个根。 判断命题是否正确：如果函数)(xf在ba,上有定义，在(a,b)内连续，且)(bfaf＜0，那么 )(xf 在(a,b)内必有零点。

解答：不正确。例如函数

)(xf在（0，1）内连续，)0(f·)1(f＝－2e＜0，但)(xf在（0，1）内无零点。

,01()2,0exfxx



