扭转应力
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扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
轴的扭转-应力,强度
T
T Ip
式中 T——所求切应力点的横截面 上的扭矩
B
B' dA
R O
max
——所求切应力点到圆心的距离
Ip=A2dA——横截面对圆心O的极惯性矩
注意：切应力公式的适用范围：max ≤p
3.最大切应力
T
max
即
TR Ip
B
B' dA
R O
T max Wp
´
上述公式可得到如下结论。
0
0
0 0 , 0 max
45 min , 45 0
45 max , 45 0
450
450 0 90
90 0 , 90 max
取 d = 29.7 mm。
可见：此轴的直径是由刚度条件控制的
155 N . m
圆轴扭转斜面上的应力
为什么研究斜截面应力？ ☆ ☆ 逻辑上，正截面——斜截面 实际上，见下面的实验结果，原因？
扭转轴的破坏（想一想：为什么这样？）
途径：1、仿正截面过程；2、用正截面推导斜截面应力
《应力状态理论》对于
2.应力公式推导 (1) 变形几何方面 取微段dx研究
Me
p
q
Me
x A p dx
T p
B q
O
x
d (1) tg dx d ——单位长度扭转角 式中 dx
即：
q R O2 B' d B C' C q dx
T
A
O1 A'
对给定的截面，与成正比
扭转切应力计算
研究内容：包括材 料选择、加工方法、 加工参数等
发展趋势：智能 化、自动化、绿 色化
应用领域：航空 航天、汽车制造、 建筑工程等
复杂环境下的切应 力计算方法
复杂环境下的切应 力分析方法
复杂环境下的切应 力预测方法
复杂环境下的切应 力控制方法
感谢您的观看
汇报人：
材料的性能测试：通过 测试材料的性能验证材 料的选用和加工工艺的 制定是否合理
扭转切应力的实验 测定
添加项标题
扭转切应力实验台：用于施加扭转切应力
添加项标题
应变片：用于测量应变
ห้องสมุดไป่ตู้添加项标题
温度控制系统：用于控制实验温度
添加项标题
数据采集系统：用于采集实验数据
添加项标题
实验步骤：准备试样、安装试样、施加扭转切应力、测量应变、记录数据、分析数据
截面材料对扭转 切应力也有影响 如高强度材料比 低强度材料扭转 切应力小
材料性质：材料的 弹性模量、剪切模 量等
截面形状：圆形、 方形、矩形等不同 截面形状的影响
截面尺寸：直径、 宽度、厚度等尺寸 对扭矩的影响
加载方式：轴向加 载、径向加载、切 向加载等不同加载 方式的影响
温度：温度升高会 导致材料强度降低 从而影响扭转切应 力
研究新型材料的力学性能如强度、刚度、韧性等 研究新型材料的疲劳性能如疲劳寿命、疲劳强度等 研究新型材料的耐腐蚀性能如耐酸、耐碱、耐盐等 研究新型材料的耐磨性能如耐磨性、耐磨寿命等 研究新型材料的热性能如导热系数、热膨胀系数等 研究新型材料的电磁性能如导电性、磁导率等
研究目的：提高 高强度材料的加 工效率和精度
扭转切应力计算
汇报人：
目录
扭转切应力的概念
扭转应力计算
C 轴： T 3 M 3 95 n P 3 3 4 9 95 3 7 4 6 1 9 0 .8 7 (N 5 m )
2、求各轴横截面上的最大切应力：
E 轴：
Ema xW TP 1110.2 1 1 7 14 3 0 3 01.6 2(4 MP ) a
H 轴：
Hma xW TP 225 0.25 5 1 73 3 0 02.2 2(8 MP ) a
解： Mx=T=9549
P n
= 9549 7.5 100
=716.2 N.m
max=
Mx Wp1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 =0.045 m=45 mm 40 106
26
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
Mx
16 Mx
max=
Wp2
=
=40 MPa
D23(1- 4)
扭转切应力计算
刘舟
1
主要内容
工程中承受切应力的构件 扭转内力——扭矩 扭转切应力分析与计算
2
工程中承受切应力的构件
传动轴
3
工程中承受切应力的构件
4
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示 A
B
5
➢扭转时的内力称为扭矩，截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。 ➢扭矩求解仍然使用截面法
扭转切应力由扭矩产生
解：
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m 根据切应力计算 公式
Am B axW TA AB B0.2 5 1863004.88M 3 Pa BC maxW TB BC C01.2.85130607M 2 Pa
《扭转应力分析》PPT课件
W = N×1000×60 (1)
外力偶矩m所作的功：
W = m2 n
(2)
(1) = (2) 得
N×1000×60 = m 2 n
m 9549 N n
m 7024 N n
N ─ kW
n
─
rpm
m ─ N m
N ─ PS
n
─
rpm
m ─ N m
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
§5-4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
(D4
d4)
A
d /2
32
D4 (1 4 )
32
Wt
Ip
max
Ip D
2
D3 (1 4 )
16
极惯性矩：
d4
实心圆： I p 32
空心圆：I p
(D4 d 4) 32
D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量：
实心圆：
Wt
d3
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
材料力学扭转应力
材料力学扭转应力材料力学中的扭转应力，指的是在材料中由于扭转作用而产生的应力。
扭转应力是材料力学中的基本概念之一，广泛应用于各种工程和结构设计中。
在材料力学中，扭转应力可由以下公式表示：τ=T*r/J其中，τ表示扭转应力，T表示应用在材料上的扭矩大小，r表示材料中的极径，J表示截面转动惯量。
从上述公式中可以看出，扭转应力与扭矩、极径以及截面转动惯量有关。
扭转作用会使材料发生变形，而扭转应力则是描述这种变形现象的力学量。
在实际工程中，我们常常需要计算材料在扭转作用下的变形和应力值，以保证结构的安全和可靠性。
扭转应力的计算和分析在工程设计过程中非常重要。
在旋转机械、传动轴、扭转梁、桥梁、挠性杆件等结构中，承受扭转作用的构件都需要进行扭转应力的计算。
只有通过准确地计算和分析扭转应力，才能保证这些结构的正常运行和使用。
在实际工程中，我们常常使用各种方法和理论来计算和分析扭转应力。
最常用的一种方法是应用弹性力学理论，即将材料视为弹性体，在假设材料的应变具有线性关系的基础上，引入材料的弹性模量和剪切模量等材料参数，进行扭转应力的计算。
另外，材料的形状和几何特征也对扭转应力产生影响。
对于圆形截面的材料，扭转应力分布为圆对称分布，与极径成反比。
而对于其他形状的截面，扭转应力的分布则会有所差异。
因此，在具体的工程设计中，需要分析材料的截面形状以及其他几何特征，以计算准确的扭转应力。
此外，材料的性质也会影响扭转应力的大小和分布。
不同材料的弹性模量和剪切模量不同，因此在应用扭转应力公式时，需要考虑到材料的特性。
总之，扭转应力是材料力学中的重要概念，对于工程设计和结构分析具有重要意义。
能够准确计算和分析扭转应力，可以保证工程结构的安全和可靠性。
因此，在实际工程中，我们需要充分理解材料的扭转应力，并结合具体的情况进行准确的计算和分析。
扭转应力与强度条件
T1 M A 180 N m T2 MC 140 N m
T1l 1.50 10-2 rad GI p T2 l 1.17 10-2 rad GI p
37
AB
BC
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
7
扭矩与扭矩图
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负
8
扭矩图 试分析轴的扭矩（m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
A
Ip Wp －抗扭截面系数 R
15
小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面
dj T 扭转变形基本公式： dx GI p
扭转切应力公式： 最大扭转切应力：
T Ip T max Wp
公式的适用范围： 圆截面轴；max≤ p
16
讨论
在线弹性情况下，精确解：
max
16T D 3 (1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
19
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA 2π d
Ip
D/ 2 d/2
2 2π d
π D4 Ip 14 32
d D
π D3 Wp 14 16
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
T1l 1.50 10-2 rad GI p T2 l 1.17 10-2 rad GI p
37
AB
BC
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
7
扭矩与扭矩图
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负
8
扭矩图 试分析轴的扭矩（m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
A
Ip Wp －抗扭截面系数 R
15
小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面
dj T 扭转变形基本公式： dx GI p
扭转切应力公式： 最大扭转切应力：
T Ip T max Wp
公式的适用范围： 圆截面轴；max≤ p
16
讨论
在线弹性情况下，精确解：
max
16T D 3 (1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
19
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA 2π d
Ip
D/ 2 d/2
2 2π d
π D4 Ip 14 32
d D
π D3 Wp 14 16
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
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PA M A 9.55 n
MB
B
MC
C
MA
MD
D
A
400 9.55 5.46 kN m 700 PB 120 M B MC 9.55 9 . 55 1 . 64 kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m n 700
dx
变形的关系
一节课
26
切应变和扭转变形的关系
a
b
T
d
G G’ dx
T
在小变形的条件下
O2
d
G1G d dx
a
dx
b
d dx
27
dx :扭转角沿长度方向变化率，称为单位长度扭转角 结论：横截面上距圆心为 任一点处的切应变 与到圆心的距离 成正比。 分析：切应力＝？ 切应力和切应变是什么关系？
x
0 , T3 M D 0
扭矩按正扭 矩方向假设
T3 M D 2.18kN m
正号表示扭矩和假设方向相同，并且为正扭矩。 讨论：平衡方程中T3 负号的含义？ 1.结论中的正负号表示： （1）扭矩和假设方向是否相同？ 正号表示相同，负号表示相反 （2）若扭矩和假设方向相同，正号表示是正扭矩。 2.在平衡方程中，内力T3的正负号有相关的规定； 此处负号表示：列力矩平衡方程时， T3的矢量方向和x轴正向相反。
3、挤压实用计算：假设挤压应力在有效挤压面上均匀分布 Fbs P 挤压应力、 bs bs P 强度条件： Abs 有效挤压面积Abs：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积
分析次序：外力=》横截面内力=》横截面上的应力
1
第 6 章 圆轴扭转时的强度和刚度计算 一、 扭转的概念和实例 x 1. 什么是扭转变形？
x
Me
T ' T ' ' T ' ' ' Me
外力偶矩有几个？ 内力偶矩=>扭矩有几个？
12
例. 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮A的输入 功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。
解： 1. 由功率－转速 关系计算外力偶矩
（τ ≤τp) ，切应力和切应变存在下列线性关系：
G
(τ ≤ τ p )
( σ ≤ σp )
称为剪切胡克定律
正应力：σ=Eε
称为胡克定律 统称为物理关系
29
G
剪切胡克定律
式中：G是材料的弹性常数，称为切变模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通 过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料， 这三个弹性常数之间存在下列关系: 在三个弹性常数中，只要 E 知道任意两个，第三个量就可 G 2(1 ) 以推算出来。
19
分析应力的步骤： 做扭转实验 →找出变形规律 →分析应力分布规律 注意 →推导应力计算公式。 我们不求一点处的内力， 求内力，求的是截面内力， 即截面上分布力系的合力或合力偶矩。 求应力，求的是 一点 处的应力， 即单位面积上的内力。 用什么方法 求应力？
20
6.2 横截面上的切应力分析与强度计算 一、等直圆杆扭转实验观察： 1.实验前 ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m 2.实验后 得到哪些结论？ ①各纵向线均倾斜了同 一微小角度 ②圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形
17
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
各截面内力： BC段
MB
B
T1 1.64kN m
T1
MC
C
T3
MD
D
CA段
AD段
T2 3.28kN m
T3 2.18kN m
MB
B
T2
作扭矩图 最大扭矩在CA段
2.18
T /kN.m C B 1.64 3.28
Tmax 3280N m
3
5. 扭转构件实例
有扭转变形的杆件 ，横截面多数是圆 形，所以本章主要 介绍 圆轴扭转。
4
二、本章研究什么内容？ •扭转强度问题 分析步骤： 计算外力 求截面内力 推导截面上某点的应力计算公式 求最大应力，建立强度条件 •扭转刚度问题 分析步骤 计算外力 求截面内力推导变形计算公式 求最大变形，建立刚度条件
Me
n
Me
Me
n • x
Me
T
•
T´
x
m
扭矩
m
结论：T 和T´都代表 nn截面的扭矩，其 大小相同，符号相 同，且都用T表示。
11
3. 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上 扭矩变化规律的图线。 画扭矩图的目的：直观地给出扭矩变化规律 Me Me
Me
T T' • x
T''
T''' Me
T
Me
扭矩： T
d ——是单位长度扭转角 ， dx 对同一截面各点而言是常量。
结论：横截面上距圆心为 的点，其切应力 与 到圆心的距离 成正比。
31
d G dx
结论：横截面上距圆心为 任一点处的切应力 与 到圆心的距离 成正比。
判断：切应力是什么方向？
25
问题：横截面上任意一点转过的圆弧长度＝？ •变形几何关系
m m
dx
在圆轴上用两相邻横截 面截取相距为dx的微段 在小变形的条件下 设dx微段两截面相对 扭转角为d ，半径 G1G' d dx 为 （任意同轴圆柱 d 切应变和扭转 面）处的切应变为
D
A
扭矩图
危险截面为： CA 段各截面
18
扭矩T是nn截面上的内力，T是集中力偶矩。 Me
n
Me
讨论： nn截面上是否 作用着由等值反向的 两个力构成的力偶？
nn截面上有无数个质点， 每一点都受力，构成的是 连续分布的力系 这些分布力系的合成结果＝？ 合力偶矩——扭矩！
n
Me
T
问题：这些分布力系是怎样分布的？ 即内力的集度——应力＝？
0 0
结论：横截面上只有切应力，没有正应力。 轴向拉压时: 横截面上只有正应力， 没有切应力
23
（2）以平面假设为基础，推导变形规律 即建立变形几何关系——扭转变形和应变关系 什么是扭转变形？ m 两截面的相对扭转角（）： A m B l 任意两截面绕轴线转动而产生的角位移 什么是应变？ 有正应力，相应有正应变（线应变） ——即单位长度的伸长量； 有切应力，相应有 切应变（）： 切应变；切应变怎 直角的改变量称 样定义？ 为切应变
T2 M B MC 3.28kN m
负号表示扭矩和假设方向相反，并且为负扭矩 扭矩的符号（±）与坐标轴是否有关？
15
MB
B
1 1
MC
C
MA 2
A
3
MD x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
2 T3
先回顾：正应力和正应变是什么关系？ 胡克定律：应力小于比例极限时成立 正应力：σ=Eε 正应力和正应变的关系是怎样得到的？
d d 切应变 R时 R dx d dx
由拉压试验得到。
28
分析：切应力和切应变的关系？
实验结果表明，对于大多数工程材料，当处于弹性范围 内，即切应力不超过材料的剪切比例极限时
30
d 结论：横截面上距圆心为 任一点处的 dx 切应变 与到圆心的距离 成正比。
分析：横截面上距圆心为 任一点处的切应力＝？
利用剪切胡克定律： 将上式代入得 任一点处的切应力：
G是切变模量, 是材料常数；
G
d d G G G dx dx
21
根据圆轴表层的变形特 征，对其内部变形规律 做如下平面假设： 横截面变形前为平面，变形后仍保持 为平面，形状和大小不变;截面上半径保持 为直线;相邻横截面间的距离不变。 ——圆轴扭转时的平面假设
即圆轴的横截面就像 刚性平面一样， 绕轴线旋转了一个角度 平面假设 有什么作用？
22
平面假设：
横截面变形前为平面，变形后仍保持 为平面，形状和大小不变;截面上半径保持 为直线;相邻横截面间的距离不变。 （1）平面假设可以用于推测 横截面上有哪些应力 （正应力？切应力？）
13
MB
B
1
MC
C
MA 2
A
3 3
MD
x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
MB
B
1 T1
2
x
2.求BC段各截面内力 扭矩按正扭矩方向假设T1 负号的含义？
m
x
0 , T1 M B 0
M B 1.64kN m
扭矩和假设方向相反， 并且为负扭矩。
14
MB
B
1
MC
C
MA 2
A
3 3
MD
x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
MB
B
1 MC
C
2 T2 x
3.求CA段各截面内力
MB
B
MC
C
MA
MD
D
A
400 9.55 5.46 kN m 700 PB 120 M B MC 9.55 9 . 55 1 . 64 kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m n 700
dx
变形的关系
一节课
26
切应变和扭转变形的关系
a
b
T
d
G G’ dx
T
在小变形的条件下
O2
d
G1G d dx
a
dx
b
d dx
27
dx :扭转角沿长度方向变化率，称为单位长度扭转角 结论：横截面上距圆心为 任一点处的切应变 与到圆心的距离 成正比。 分析：切应力＝？ 切应力和切应变是什么关系？
x
0 , T3 M D 0
扭矩按正扭 矩方向假设
T3 M D 2.18kN m
正号表示扭矩和假设方向相同，并且为正扭矩。 讨论：平衡方程中T3 负号的含义？ 1.结论中的正负号表示： （1）扭矩和假设方向是否相同？ 正号表示相同，负号表示相反 （2）若扭矩和假设方向相同，正号表示是正扭矩。 2.在平衡方程中，内力T3的正负号有相关的规定； 此处负号表示：列力矩平衡方程时， T3的矢量方向和x轴正向相反。
3、挤压实用计算：假设挤压应力在有效挤压面上均匀分布 Fbs P 挤压应力、 bs bs P 强度条件： Abs 有效挤压面积Abs：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积
分析次序：外力=》横截面内力=》横截面上的应力
1
第 6 章 圆轴扭转时的强度和刚度计算 一、 扭转的概念和实例 x 1. 什么是扭转变形？
x
Me
T ' T ' ' T ' ' ' Me
外力偶矩有几个？ 内力偶矩=>扭矩有几个？
12
例. 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮A的输入 功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。
解： 1. 由功率－转速 关系计算外力偶矩
（τ ≤τp) ，切应力和切应变存在下列线性关系：
G
(τ ≤ τ p )
( σ ≤ σp )
称为剪切胡克定律
正应力：σ=Eε
称为胡克定律 统称为物理关系
29
G
剪切胡克定律
式中：G是材料的弹性常数，称为切变模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通 过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料， 这三个弹性常数之间存在下列关系: 在三个弹性常数中，只要 E 知道任意两个，第三个量就可 G 2(1 ) 以推算出来。
19
分析应力的步骤： 做扭转实验 →找出变形规律 →分析应力分布规律 注意 →推导应力计算公式。 我们不求一点处的内力， 求内力，求的是截面内力， 即截面上分布力系的合力或合力偶矩。 求应力，求的是 一点 处的应力， 即单位面积上的内力。 用什么方法 求应力？
20
6.2 横截面上的切应力分析与强度计算 一、等直圆杆扭转实验观察： 1.实验前 ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m 2.实验后 得到哪些结论？ ①各纵向线均倾斜了同 一微小角度 ②圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形
17
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
各截面内力： BC段
MB
B
T1 1.64kN m
T1
MC
C
T3
MD
D
CA段
AD段
T2 3.28kN m
T3 2.18kN m
MB
B
T2
作扭矩图 最大扭矩在CA段
2.18
T /kN.m C B 1.64 3.28
Tmax 3280N m
3
5. 扭转构件实例
有扭转变形的杆件 ，横截面多数是圆 形，所以本章主要 介绍 圆轴扭转。
4
二、本章研究什么内容？ •扭转强度问题 分析步骤： 计算外力 求截面内力 推导截面上某点的应力计算公式 求最大应力，建立强度条件 •扭转刚度问题 分析步骤 计算外力 求截面内力推导变形计算公式 求最大变形，建立刚度条件
Me
n
Me
Me
n • x
Me
T
•
T´
x
m
扭矩
m
结论：T 和T´都代表 nn截面的扭矩，其 大小相同，符号相 同，且都用T表示。
11
3. 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上 扭矩变化规律的图线。 画扭矩图的目的：直观地给出扭矩变化规律 Me Me
Me
T T' • x
T''
T''' Me
T
Me
扭矩： T
d ——是单位长度扭转角 ， dx 对同一截面各点而言是常量。
结论：横截面上距圆心为 的点，其切应力 与 到圆心的距离 成正比。
31
d G dx
结论：横截面上距圆心为 任一点处的切应力 与 到圆心的距离 成正比。
判断：切应力是什么方向？
25
问题：横截面上任意一点转过的圆弧长度＝？ •变形几何关系
m m
dx
在圆轴上用两相邻横截 面截取相距为dx的微段 在小变形的条件下 设dx微段两截面相对 扭转角为d ，半径 G1G' d dx 为 （任意同轴圆柱 d 切应变和扭转 面）处的切应变为
D
A
扭矩图
危险截面为： CA 段各截面
18
扭矩T是nn截面上的内力，T是集中力偶矩。 Me
n
Me
讨论： nn截面上是否 作用着由等值反向的 两个力构成的力偶？
nn截面上有无数个质点， 每一点都受力，构成的是 连续分布的力系 这些分布力系的合成结果＝？ 合力偶矩——扭矩！
n
Me
T
问题：这些分布力系是怎样分布的？ 即内力的集度——应力＝？
0 0
结论：横截面上只有切应力，没有正应力。 轴向拉压时: 横截面上只有正应力， 没有切应力
23
（2）以平面假设为基础，推导变形规律 即建立变形几何关系——扭转变形和应变关系 什么是扭转变形？ m 两截面的相对扭转角（）： A m B l 任意两截面绕轴线转动而产生的角位移 什么是应变？ 有正应力，相应有正应变（线应变） ——即单位长度的伸长量； 有切应力，相应有 切应变（）： 切应变；切应变怎 直角的改变量称 样定义？ 为切应变
T2 M B MC 3.28kN m
负号表示扭矩和假设方向相反，并且为负扭矩 扭矩的符号（±）与坐标轴是否有关？
15
MB
B
1 1
MC
C
MA 2
A
3
MD x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
2 T3
先回顾：正应力和正应变是什么关系？ 胡克定律：应力小于比例极限时成立 正应力：σ=Eε 正应力和正应变的关系是怎样得到的？
d d 切应变 R时 R dx d dx
由拉压试验得到。
28
分析：切应力和切应变的关系？
实验结果表明，对于大多数工程材料，当处于弹性范围 内，即切应力不超过材料的剪切比例极限时
30
d 结论：横截面上距圆心为 任一点处的 dx 切应变 与到圆心的距离 成正比。
分析：横截面上距圆心为 任一点处的切应力＝？
利用剪切胡克定律： 将上式代入得 任一点处的切应力：
G是切变模量, 是材料常数；
G
d d G G G dx dx
21
根据圆轴表层的变形特 征，对其内部变形规律 做如下平面假设： 横截面变形前为平面，变形后仍保持 为平面，形状和大小不变;截面上半径保持 为直线;相邻横截面间的距离不变。 ——圆轴扭转时的平面假设
即圆轴的横截面就像 刚性平面一样， 绕轴线旋转了一个角度 平面假设 有什么作用？
22
平面假设：
横截面变形前为平面，变形后仍保持 为平面，形状和大小不变;截面上半径保持 为直线;相邻横截面间的距离不变。 （1）平面假设可以用于推测 横截面上有哪些应力 （正应力？切应力？）
13
MB
B
1
MC
C
MA 2
A
3 3
MD
x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
MB
B
1 T1
2
x
2.求BC段各截面内力 扭矩按正扭矩方向假设T1 负号的含义？
m
x
0 , T1 M B 0
M B 1.64kN m
扭矩和假设方向相反， 并且为负扭矩。
14
MB
B
1
MC
C
MA 2
A
3 3
MD
x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
MB
B
1 MC
C
2 T2 x
3.求CA段各截面内力