高中数学类比推理专题

试卷第1页，总12页

1

．设△

的三边长分别为

△

的面积为，内切圆半径为，

则

．类比这个结论可知：四面体

的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体

的体积为，则＝（ ） A ． B ． C ．

D ．

2．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （4,3,2,1=i ），此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （4,3,2,1=i ），若

k a a a a ====43214321，则k

S

h h h h 24324321=

+++．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为i S （4,3,2,1=i ），此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i H （4,3,2,1=i ），若

K S S S S ====4

3214

321，则4321432H H H H +++等于（ ）

A ．

2V K B ．2V K C ．3V K D ．3V

K

3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ）

A ．归纳推理

B ．演绎推理

C ．类比推理

D ．传递性推理 4．我们知道，在边长为a

的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

2

a ，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（ ） A

．

3 a B

．4

．3 a D

．4

a 5．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（ ）

A ．三棱柱

B ．三棱台

C ．三棱锥

D ．正方体 6．平面几何中，有边长为a

的正三角形内任一点到三边距离之和为定值

2

a ，

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类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ） A

B

C

D

7．天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理（ ）

A ．归纳推理

B ．类比推理

C ．演绎推理

D ．反证法

8．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）

A.归纳推理

B.类比推理

C.演绎推理

D.联想推理 9．下列推理是归纳推理的是（ ）

Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由13,11-==n a a n ，求出321,,S S S 猜想出数列的前n 项和S n 的表达式

Ｃ．由圆2

2

2

r y x =+的面积π2

r ，猜想出椭圆122

22=+b

y a x 的面积π=S ab

D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

10．下列正确的是（ ）

A ．类比推理是由特殊到一般的推理

B ．演绎推理是由特殊到一般的推理

C ．归纳推理是由个别到一般的推理

D ．合情推理可以作为证明的步骤

11．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab)c ＝a(bc)”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；

②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n

－2；

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； 上述三个推理中，正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=； B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；

D ．由平面直角坐标系中圆的方程为2

2

2

()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2

2

2

2

()()()x a y b z c r -+-+-= ．

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13．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )

A ．各正三角形内一点

B ．各正三角形的某高线上的点

C ．各正三角形的中心

D ．各正三角形外的某点

14．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为

1

S ，外接圆

面积为2S ，则12

14S S =

，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体

A BCD -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则1

2V V =

（ ）

A ．14

B ．18

C ．116

D ．127

15．已知结论:“在正ABC ?中，BC 中点为D ，若ABC ?内一点G 到各边

的距离都相等,则

2=GD

AG

”

．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ?的中心为M ，四面体内部一点O 到四面

体各面的距离都相等，则=OM

AO

（ ▲ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

16．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； ②由“若数列{}n a 为等差数列，则有

15

515

211076a a a a a a +++=+++ 成

立”类比 “若数列{}n b 为等比数列，则有151********b b b b b b ??=?? 成立”，则得出的两个结论

A. 只有①正确

B. 只有②正确

C. 都正确

D. 都不正确

17．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ） A ．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:8

18．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 19．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）

A. 归纳推理

B. 类比推理

C. 演绎推理

D.以上都不是

20．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，

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甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S

l

”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝

3V

S

”； 乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r

＝

2

”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r

＝3

”．这两位同学类比得出的结论( )

A ．两人都对

B ．甲错、乙对

C ．甲对、乙错

D ．两人都错

21．求“方程345x x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55

x x f x =+，则

()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述

解题思路，方程x x

x x 1

13

3+=+的解为 ． 22．已知正三角形内切圆的半径是高的1

3

，把这个结论推广到空间正四面体，

类似的结论是____________． 23

．

在

等

差

数

列

{}

n a 中，若

10=a ，则有

n n a a a a a a -+++=+++192121

)19(*∈

则存在的类似等式为________________________．

24．半径为r 的圆的面积2

()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2

()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．

25．已知圆的方程是2

2

2

r y x =+，则经过圆上一点),(00y x M 的切线方程为

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2

00r y y x x =+类比上述性质，可以得到椭圆122

22=+b

y a x 类似的性质为

________．

26．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r

________________________

27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则

4T , ， ，16

12T T 成等比数列．

28．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=b ，BC=a ，斜边AB 上的高为h ，则有结论h 2

=

，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为

a ，

b ，

c ，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论： ．

29．已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为cr 21、ar 21、br 2

1

，由br ar cr S 212121++=

得c

b a S

r ++=

2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________

30．已知点),(),,(2121x x a x B a x A 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论

12

12

22

x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点)sin ,(),sin ,(2211x x B x x A 是函数)),0((sin π∈=x x y 的图象上任意不同两

点，则类似地有_________________成立． 31．如图(1)有面积关系：PA B PAB S S ''

??＝PA PB PA PB ''??，则图(2)有体积关系：P A B C P ABC

V V '''

--＝________.

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32．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有2

2

2

b a

c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥

LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类

比得到的结论是 ．

33．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：1

3

r h =，把这个结论

推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．

34．在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空间中：

（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ； （2）到已知平面相等的点的轨迹是 .

35．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积

恒为2

4

a ；类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另

一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．

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36．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n

S n

为等差数列，且通项为

1(1)2

n S d

a n n =+-?．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}n

b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ．

37．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为（-1，2），解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：

解：由02>++c bx ax 的解集为（-1，2），得0)()(2

>+-+-c x b x a 的解集为（-2，1），

即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为（-2，1）

参考上述解法，若关于x 的不等式

0<++++c x b x a x k 的解集为（-1， 3

1

-） （21，1），则关于x 的不等式01

11<++++cx bx ax kx 的解集为________________ 38．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

39．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 40．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：_____________________．

42．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为“半径为R 的球内接六面体中以 的体积为最大，最大值为 ” 43．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径C

S

r 2=

．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______________________。 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题,两题都选的只计算第14

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题的得分．）

44．已知结论:“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”。若把该结论推广到空间，则有结论： 45．在等差数列

{}

n a 中，若0

10=a ，则有等式

n n a a a a a a -+???++=+???++192121 ),19(*N n n ∈<成立，类比上述性

质，在等比数列

{}

n b 中，若

19=b ，则有等

式 .

46．已知命题“设12,a a 是正实数，如果12a a m +=，则有1

2114a a m +≥

，用

类比思想推广，”设

123

,,a a a 是正实数，如果

123a a a m

++=，

则 。

47．在圆中有结论：如图所示，“AB 是圆O 的直径，直线AC ，BD 是圆O 过A ，B 的切线，P 是圆O 上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PO 2＝PC ·PD ”．类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，直线AC ，BD 是椭圆过A ，B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有__▲__．”

48．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论： . .

49．若点000(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>外，过点0P 作该椭圆的两

条切线的切点分别为12,P P ，则切点弦12P P 所在直线的方程为

002

21x x y y

a b

+=．那么对于双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，类似地，可以得

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到一个正确的命题为“若点000(,)P x y 不在双曲线)

0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上，过点0P 作该双曲线的两条切线的切点分别为12,P P ，则切点弦12P P 所在直线的方程为 ”．

50．对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比命题的真假性是________

51．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： ． 52．试通过圆和球的类比，由“半径为R 的圆内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2

2R

”，猜测关于球的相应命题

由 。

53．下列使用类比推理所得结论正确的序号是______________ （1）直线,,a b c ，若/,/a bb c ，则//a c .类推出：向量,,a b c ，若/,/a bb c

则//a c

（2）同一平面内，三条不同的直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则//a b .类推出：空间中，三条不同的直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则//a b

（3）任意,,0a b R a b ∈->则a b >.类比出：任意,,0a b C a b ∈->则a b > （4）、以点(0,0)为圆心，r 为半径的圆的方程是2

2

2

x y r +=.类推出：以点

(0,0,0)为球心，r 为半径的球的方程是2222x y z r ++=

54．等差数列有如下性质，若数列}{n a 是等差数列，则当

}{,21n n

n b n

a a a

b 数列时+++=

也是等差数列；类比上述性质，相应地

}{n c 是正项等比数列，当=n d 时，数列}{n d 也是等比数列。

55．在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则

2221111CB

CA h +=；类

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比此性质，如图，在四面体P —ABC 中，若PA ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则h 与PA, PB, PC 有关系式： ．

56．若{}n b 是等比数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：

1n

m

p

p m n n p m b b b b b b ??????

??= ? ? ? ?????

??

．类比上述性质，相应地，若{}n a 是等差数列，,,m n p 是

互不相等的正整数，则有正确的结

论： . .

57．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是 ．

58．在平面直角坐标系中，以点00(,)x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为

22200()()x x y y r -+-=，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点

000(,,)P x y z 为球心，半径为r 的球的方程为 ．

59．在平面几何里，已知直角三角形ABC 中，角C 为90 ，AC=b,BC=a,运用类比方法探求空间中三棱锥的有关结论：

有三角形的勾股定理，给出空间中三棱锥的有关结论：________

若三角形ABC 的外接圆的半径为r =论：________

60．已知P(x 0,y 0)是抛物线y 2

=2px(p>0)上的一点,过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:

在y 2

=2px 两边同时求导,得: 2yy'=2p,则y'=

p

y

,所以过P 的切线的斜率:k=0p y .

D O

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试用上述方法求出双曲线x 2

-=1在P(

,)处的切线方程为 .

61．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为

AE AC

EB BC

＝

，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．

62．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结 论为________．

63． 已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于A ′,B ′,C ′,则

''AA OA +''BB OB +'

'

CC OC =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. ''AA OA +''BB OB +''CC OC =ABC OBC S S ??+ABC OCA S S ??+ABC OAB S S ??=ABC

ABC

S S ??=1， 请运用类比思想，对于空间中的四面体V —BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明.

64．把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质.

65．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若A D B C ⊥，则2A B B D B C =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．

66．（本小题12分）类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明。

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参考答案

1．C 【解析】

试题分析：设内切球的球心为O ，所以可将四面体分为四个小的三棱锥，即

，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体的

四

个

面

的

面

积

，

高是内切球的半径，所

以

故选C 。

考点：类比推理。 【方法点睛】类比推理是一种重要的推理方法，可以根据已知题目方法推理出所求题目的方法，甚至直接从形式上推理出答案。本题可以通过三角形面积与内切圆半径的关系的推导方法，推理出四面体的体积与其内切球的半径的关系。三角形的内切圆的圆心与三个顶点相连可将三角形分为三个小的三角形，每个小三角形的底边是原三角形的边，高为其内切圆的半径，运用类比推理，可将四面体的内切球的球心将四面体分为四个小的四面体，每个小四面体的底面是原四面体的四个面，高为其内切球的半径，从而得解。 2．C 【解析】

试题分析：类比，得K

V

H H H H 34324321=

+++；证明如下：连接Q 与三棱锥的四个顶点，则将原三棱锥分成四个小三棱锥，其体积和为V ,即

V V V V V =+++4321,V H S H S H S H S =+++)(3111111111,又由K S

S S S ====4

3214321,

得K S =1,K S 22=,K S 33=,K S 44=，则V H H H H K

=+++)(3

4321，即

K

V

H H H H 34324321=+++，故选C ． 考点：类比推理．

【名师点睛】类比推理的应用一般分类比定义、类比性质和类比方法．

类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解； 类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比性问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键； 类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可将这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移． 3．C 【解析】 试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。本题中描述的都是关于相切问题下的性质，因此属于类比推理 考点：类比推理 4．A 【解析】

=,

所以此棱锥的体积为2

3116

sin 6032V a ??=

?

= ???

, 棱锥内任意一点到四个面的距离之和为h ,可将此棱锥分成4个同底的小棱锥根据体积相等可得2

311sin 603212

V a h a ??=

= ?

??

, 解得h =

．故A 正确． 考点：1棱锥的体积；2类比推理． 5．C 【解析】

试题分析：一般平面几何中的点对应立体几何中的线，线对应平面，所以对应的是三棱锥. 考点：类比推理 6．C 【解析】

试题分析：设任一点O 到四个平面BCD ACD ABD ABC ,,,的距离分别为4321,,,d d d d ，则

正

四

面

体

的

体

积

()43213

1

d S d S d S d S V V V V V BCD ACD ABD ABC BCD O ACD O ABD O ABC O BCD A ?+?+?+?=

+++=????-----

正四面体的体积等于()43213

1

31d d d d S h S V +++??=??

=

??，所以h d d d d =+++4321，这样转化为求正四面体的高，求法，如图：

由点A 向平面BCD 引垂线，垂足为P ,连BP ,这样在直角三角形ABP 内，根据勾股定理：

a a a BP AB h AP 36332

222=???

? ??-=-=

=，故选C ．

考点：1．类比推理；2．等体积转化求高． 7．B 【解析】 试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理． 考点：类比推理 8．B 【解析】

试题分析：圆的圆心?三棱锥的球的球心，相同类型，用类比方法. 考点：类比推理． 9．B 【解析】

试题分析：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前3个123S S S ，，的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．C 选项由圆x 2

+y 2

=r 2

的面积S=πr 2

，

π=ab ，用的是类比推理，不符合要求．D 选项用的是演绎推理，不符合要求．故选B ．

考点：归纳推理． 10．C 【解析】

试题分析：对于A,类比推理是从个别到个别的推理,故A 错；对于Ｂ：演绎推理是由一般到特殊的推理，故Ｂ错；对于Ｃ：归纳推理是由个别到一般的推理，是正确的；对于Ｄ：合情推理不可以作为证明的步骤，故Ｄ错；因此选Ｃ． 考点：推理方法． 11．C 【解析】

试题分析：①显然错误,向量没有结合律;

②根据221+=+n n a a ,可构造出)(21m a m a n n +=++,即2=m ,可得

22

2

1=+++n n a a ,该数列

是公比为2,首项是221=+a 的等比数列, 所以其通项公式为n n a 22=+,可得22-=n

n a ,

正确;

③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.

考点：向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理. 12．A 【解析】 试题分析：根据演绎推理的定义，应该是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，只有A 符合从特殊到一般这一特征． 考点：演绎推理的定义． 13．C

【解析】

试题分析：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选C．

考点：类比推理.

14．D

【解析】平面上，若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为1：4，则它们的半径比为1：2，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的外接球的半径比为1：3，则它以体积比为1：27，故选D

15．C

【解析】解：设正四面体ABCD边长为1，易求得，又O到四面体各面的距离都相等，

，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=3V /S表，可求得r即OM=

12

所以AO=AM-OM=

，所以AO OM =3 故答案为：3

4

16．C

【解析】因为在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”成立。同理根据等差中项与等比中项性质可知也成立，选C

17．D

【解析】

试题分析：

由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为 1：8故选D

考点：类比推理

点评：本试题主要是考查了类比推理，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去。

18．C

【解析】

试题分析：根据题意，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平行四边形的运用，故可知答案为C.

考点：类比推理

点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。

19．B

【解析】

试题分析：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的

体积最大”是类比推理。选B 。 考点：本题主要考查类比推理。

点评：简单题，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 20．C 【解析】利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径

r

21．-1或1 【解析】

试题分析：设()3311f x x x x x ??

=+-+

??

?函数的增区间为(),0-∞()

0,+∞且

()()10,10f f -==，所以方程x x

x x 1

13

3+=

+的解为-1或1 考点：方程与函数的互相转化 22．正四面体内切球的半径是高的

1

4

【解析】 试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。本题中正三角形内切圆类比到空间为正四面体内切球，因此类似的结论为正四面体内切球的半径是高的14

考点：类比推理

23．n n b b b b b b -=172121 )17(*

∈

【解析】

试题分析：等差是加，等比就是乘，由已知，当n n >-19时，10

n n n a a a -+++++1921....=()02-1910=a n ，所以原式成立，当10≥n 时，左边-右边等于()0192...102120=-=+++--a n a a a n n n ，所以原式成立当为等比数列时，猜想n n b b b b b b -=172121 )17(*∈-17时，9

=1......21791721==--++n

n n n b b b b 等式成立，当n n <-17时，即9≥n 时，右边/左边

=1......

17

291918==---n n n n b b b b ，等式成立。

考点：1．类比推理；2．等差数列的性质；3．等比数列的性质． 24．3

24(

)'43

R R ππ=，球的体积函数的导数等于球的表面积函数 【解析】

试题分析：根据导数的计算公式知：3

24()'43

R R ππ=，用语言叙述为球的体积函数的导数等于球的表面积函数. 考点：类比推理

25．经过椭圆12222=+b y a x 上一点）（00,y x P 的切线方程为12020=+b

y

y a x x

【解析】圆的性质中，经过圆上一点),(00y x M 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y

分别用）（00,y x M 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆122

22=+b y a x 类似的性质为：过椭圆

12222=+b y a x 上一点),(00y x P 的切线方程为1202

0=+b

y

y a x x . 26．在三棱锥A —BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此三

棱锥的外接球半径R

【解析】 试题分析：根据类比推理的特点，平面中的直角三角形应类比空间中三十个侧面两垂直的三棱锥；平面中三角形的外接圆类比空间中三棱锥的外接球，于是答案应填：在三棱锥A —BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此三棱锥的外接球半径R

考点：合情推理. 27．

84T T 12

8

T T 【解析】

试题分析：当数列是等差数列时4841281612S S S S S S S ,-,-,-成立，所以由类比推理可得：当数列是等差数列时应为84T T 12

8

T T . 考点：类比推理.

28．h 2

=222

222222

a b c a b b c c a

++ 【解析】 试题分析：

如图，设PA 、PB 、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，

三棱锥P-ABC 的高为PD=h ， 连接AD 交BC 于E ，

∵PA 、PB 、PC 两两互相垂直， ∴PA ⊥平面PBC ，PE ?平面PBC ， ∴PA ⊥PE ，PA ⊥BC ， ∴AE ⊥BC ，PE ⊥BC

22

2

2

2

b c P E

b c ∴=+,

22

2

2

22

PA PE h PD PA PE ∴==

+22

2

2

2

222

2

2

b c a b c b c a b c ?+=

++=

222

222222

a b c a b b c c a ++

考点：类比推理． 29．

1234

3V

S S S S +++

【解析】

试题分析：设球心为O ，分别连结四个顶点与球心O ，将四面体分割成底面面积分别为

4321,,,S S S S 高为R 的三棱锥，其体积分别为113S R ，213S R ，313S R ，41

3

S R ，由

V=

113S R +213S R +313S R +41

3

S R 得，R=

12343V S S S S +++. 考点:类比推理 30．

2

sin 2sin sin 2121x

x x x +<+

【解析】

试题分析：由于函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位

于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论12

12

22

x x x x a a a ++>成立;而函数

)),0((sin π∈=x x y 的图象上任意不同两点)sin ,(),sin ,(2211x x B x x A 的线段总是位于A 、

B 两点之间函数图象的下方,类比可知应有：2

sin 2sin sin 2121x

x x x +<+成立．

考点：类比推理． 31．

PA PB PC PA PB PC

'''

????

【解析】

试题分析：过点p

作直线

''A H ⊥平面

PAC ，BH ⊥平面

PAC,'''''1''3P A B C PB C V A H S -=

;1

3

P ABC PAC V BHS -= 221

1()(1)2,(10)()(1)2,(1)f a a

a f a a a ?=+->>?

??=+->?

因为''//A H B H ，所以由（1）类比得'''P A B C P A

B C V V --=''

1

''313

PB C PAC A H S BHS =''''PB PC A H PAPCBH =PA PB PC PA PB PC '''????

考点：类比法.

32．2

42

32

22

1s s s s =++ 【解析】

试题分析：由正方形截下的一个直角三角形，有勾股定理2

22b a c +=，即两边的平方等于截边的平方，所以类比得2

42

32

22

1s s s s =++。

考点：合情推理的运用

33．1

4

r h =

【解析】