结构动力学课用
结构动力学 教学大纲
结构动力学一、课程说明课程编号：120737Z10课程名称：结构动力学/Structural Dynamics课程类别：学科基础课学时/学分：32/2先修课程：理论力学，结构力学适用专业：土木天佑班教材、教学参考书：1.包世华编著，结构动力学.武汉理工大学出版社，2005年;2.R.克拉夫，J.彭津著；王光远译，结构动力学（第2版）.高等教育出版社，2007年;3.[美] Roy R. Craig, Jr著，常岭、李振邦翻译，人民交通出版社，1996年;4.邹经湘主编，结构动力学.哈尔滨工业大学出版社，1996年。
二、课程设置的目的意义结构动力学是土木工程天佑班学科基础课，它是结构动力响应分析与计算、动力学建模、振动控制等的基础，在土木、交通、机械、航空航天等工程领域中展示了广阔的应用前景。
课程设置目的是使是使学生掌握结构动力学基本原理、概念、分析方法，了解土木工程中常用的各类结构的动力性能与分析，加强动力学分析和计算能力，为相关专业课程及研究工作打下必要的力学基础，为设计和科研提供必要的计算手段。
三、课程的基本要求知识：了解动力问题的基本特性，掌握动力问题与静力问题的主要差别，掌握单自由度体系及多自由度体系的动力学建模及各种激励作用下结构响应的计算，连续分布参数体系的动力学分析方法。
学会不同的方法建立体系动力学方程，为有关专业课程及研究工作打下必要的力学基础。
能力：利用力学定律如牛顿定律、刚度法、柔度法、达朗伯原理等，建立单自由度体系、多自由度体系及连续分布参数体系动力学方程，学会将多自由度体系转化为单自由度体系求解的分析方法，培养解决工程问题的能力，培养创新意识，提高分析、研究和解决问题的能力。
素质：通过课程学习，培养分析、沟通、交流素质，建立动力学分析到应用的思维模式。
通过课外导学的模式，提升自主学习和终身学习的意识，形成不断学习和适应发展素质。
四、教学内容、重点难点及教学设计五、实践教学内容和基本要求无六、考核方式及成绩评定教学过程中采取讲授、讨论、分析、大型作业、课前导学的方式进行，注重过程考核，考核方式包括：笔试、作业、讨论、课内互动，课外阅读等；过程考七、大纲主撰人：大纲审核人：、。
结构动力学课件—2dyanmics of structures-ch3
gure that the maximum steadystate response amplitude occurs at a frequency ratio slightly
less than unity. Even so, the condition resulting when the frequency ratio equals unity, i.e.,
Then we have the general solution,
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
Of great interest, however, is the steadystate harmonic response given by the second term
It is seen that both the dynamic magnication factor D and the phase angle vary with the
frequency ratio and the damping ratio . Plots of D vs. and vs. Are shown in Figs. 33
In order to satisfy this equation for all values of t, it is necessary that each of the two square bracket quantities equal zero; thus, one obtains
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
The particular solution
in which the cosine term is required as well as the sine term because, in general, the response of a damped system is not in phase with the loading. Then we have,
刘晶波结构动力学课件2-1w
f I mu
I — 表示惯性(Inertial)； m— 质量(mass)； ü — 质点的加速度。
9/45
坐标方向：向右为正
10/45
2.1 基本概念
2.1.6 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积 方向指向体系的平衡位置。
物理元件： 质量 集中质量m 阻尼器 阻尼系数c 弹簧 弹簧刚度k
基本动力体系： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
(b) 弹簧-质点体系
19/45 20/45
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.0 牛顿(Newton)第二定律
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
结构动力学 第2章 分析动力学基础 及 运动方程的建立
1/45 2/45
清华大学土木工程系 2015年秋
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标 ：能决定质点系(体系)几何位置的彼此独立的 量称为该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚 至面积和体积来表示。 静力自由度 的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度 的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
p(t )u f I u f Du f su 0
p (t ) f I f D f s 0
结构动力学-第一章
2019/9/16
38
2019/9/16
39
2019/9/16
40
2019/9/16
41
2019/9/16
42
2019/9/16
43
三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
结构动力学-课件(全10章+总结)(刘晶波,杜修力主编.机械工业出版社出版)
质量块mg 无质量弹簧k
(a) 弹簧－质点
2ust
动力反应
u
(b) 静力和动力反应
静力问题和动力问题位移反应的区别
1.4 结构离散化方法
离散化：把无限自由度问题转化为有限自由 度的过程
三种常用的离散化方法： 1、集中质量法、 2、广义坐标法、 3、有限元法。
F (t) = Asinωt F (t) = Acosωt F (t) = Asin(ωt − φ)
可以是机器转动引起的不平衡力等。
p(t)
t
(a) 简谐荷载
1.2 动力荷载的类型
（2）非简谐周期荷载
荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不
能简单地用简谐函数来表示。 例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋 桨产生的推力等。
n =1
nπx
L
sin(.)— 形函数（形状函数），给定函数，满足边界条件；
bn(t)— 广义坐标，一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数。
∑ u( x, t )
=
N n =1
bn
(t)
sin
nπx
L
2、广义坐标法
悬臂梁：
x
(b) 悬臂梁
用幂级数展开：
∞
∑ u(x) = b0 + b1x + b2 x2 + L = bn xn n=0
结构动力学和静力学的本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力
惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位 置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义 的不同。
结构动力学【习题课】(单自由度体系1)
EI l
m
4.图 所示结构周期为T 则图b 4.图a所示结构周期为Ti,则图b所示体系的周期为
T =
T1 + T + T
2 2 2
2 3
ki m
k1 k2 k3 m
(a) 5.图示体系的自振频率为 5.图示体系的自振频率为 .
(b)
EI = ∞ k
l l
m
6.图示体系的动力自由度为5. 6.图示体系的动力自由度为5. 图示体系的动力自由度为 EI=常数
第1 、2 章
小结 动力特性计算 公式法 能量守恒 幅值方程 动力反应计算 简谐荷载 周期荷载 阶跃荷载 冲击荷载 一般荷载
动荷载及其分类 自由度及其确定 运动方程的建立 惯性力法 虚功法 运动方程的求解方法 经典解法 频域解法 时域解法 数值解法 确定动力特性的试验方法 阻尼力假定及阻尼的影响
1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 若使单自由度体系的阻尼增大 错
EA = ∞
7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 体系的振幅和自振频率与初始条件有关
8.在图示体系中,若要使其自振频率增大,可以 8.在图示体系中,若要使其自振频率增大, 在图示体系中 A.增大 ; A.增大P; 增大 C.增大 ; C.增大m; 增大 B.增大EI; B.增大EI; 增大 D.增大 l . D.增大
ωD = ω 1−ξ 2
&& + 2ξω y + ω 2 y = P ( t ) / m & y
)
2.单自度体系运动方程为 2.单自度体系运动方程为 其中未考虑质体重力,这是因为( 其中未考虑质体重力,这是因为(
结构动力学课件
同样地，可获得时间步长期间的速度为
自然，时间步终了时的速度和位移成为下一时间步的初始条件，则等价的使用等 价的式子步进到下一步终点、依此类推。
对于能用大直线很好逼近所作用荷载的情况，分段精确法无疑对单自由 度体系反应计算是极其有效的。但是必须始终记住:所讨论的荷载仅是真实荷 载历程的近似，该历程通常是光滑变化的曲线;为达到真实反应历程的一个可接 受近似，必须选择步长。
7-2 分段精确方法
对单自由度体系分析最简单的逐步法称为.‘分段精确”方法，它基于在离散时间间 隔内线性变化荷载作用下，线性结构反应的运动方程精确解。在使用这种方法时，荷载 历程被分成时问间隔，通常由实际荷载历程的斜率显著改变来定义;在这些点之间假设荷 载曲线的斜率保持常数。虽然得自这些线性改变荷载步的反应表达式是精确的，但必须 认识到，实际荷载历程仅仅是由常数斜率近似得到的。因此，所计算的反应一般不是实 际荷载下真实反应的精确表示，但可以通过减小时间步长以更好地接近荷载，使误差减 少到任何可接受的程度。
如果为了用一系列直线段得到最好的荷载历程的拟合，应该期望从一时间段到下一 时间段时间步长是可变的口但是，从计算效率考虑，习惯上还是采用常步长。
为了说明这些分析方法中所应用的符号，定义荷载历程中的一步如图7一a所示，这 步从t0到t1的持续时间记为h。假设在这一步，荷载按下式线性改变
7-2 分段精确方法
式中a是常斜率，是步内的时间变量，而P。是初始荷载。在粘滞阻尼单自由 度体系运动方程中ז引人这些荷载表示，可得
在任意时间步〔如图7一1b所示)期间的反应V()ז，由自由振动项Vh()ז加 上指定线性荷载变化的特解Vp()ז构成，因而
而容易验证，线性变化的特解为
7-2 分段精确方法
结构动力学2PPT课件
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
l2
2021/5/25
第10页/共32页
10
解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
结构动力学课件-部分
第六章 结构动力学问题结构静力学的有限元法，是将作用在结构上的载荷假定为与时间t 无关.相应产生的位移，应变和应力也都与时间t 无关。
动力学研究则不同。
载荷随时间t 而变，相应产生的位移，应变和应力也都与时间t 有关。
分析和步骤和方法与静力学相同，不同的是，要按机械振动的理论建立动力学方程。
在单元分析中除形成单元刚度矩阵外，还有质量矩阵和阻尼矩阵。
§6.1 动力学方程根据达朗伯尔原理，动力学问题只要在外力中计及惯性力，就可以按静力学问题求解，静力学单刚方程：{}{}[]e e e F K δ=计及惯性力和阻尼力，就可以在上面方程的基础上导出动力学方程： {}{}{}{}()()()[]()e e e e e i cF t F t F t K t δ++= 由于力和位移是时间t 的函数，所以上式也就是时间t 的函数表征，选择位移插值函数，也就变为： {}{}()[]()e t N t δδ=则速度 {}{}()[]()et N t δδ= ()()t t t δδ∂∂= 则加速度 {}{}()[]()et N t δδ= 22()()()t t t t t δδδ∂∂∂∂== 由于{}ei F 是单元惯性力，可以看成单元中分布的惯性力向节点移置的结果。
设ρ为结构的密度，则单位体积上产生的惯性力为： {}{}()()t P t δρ=- 其中负号表示力的方向与加速度相反。
运用虚功原理，单元惯性力作的虚功：{}{}()(())V t t dV U δδρ*-=⎰节点惯性力的虚功：{}{}()()T e e i t WF t δ*= 由W U =得：{}{}{}{}()()()(())T e e V i t F t t t dV δδρδ**=-⎰ 将 {}{}()()e N t t δδ**⎡⎤⎣⎦= ， {}{}()()[]e t t N δδ= 代入得： {}{}{}{}()()(())(())e e T T e e V i N N t F t t t dV δδρδ**⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦-⎰{}{}()()()e T e V i N N F t dV t ρδ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦-⎰ 记 Te V M N N dV ρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎰ 上式也就为：{}()()e e e i M F t t δ⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭=- 其中 e M ⎡⎤⎣⎦为单元质量矩阵 同理可推出阻尼矩阵： {}{}()()e e e c F t C t δ⎡⎤=⎣⎦- 单元阻尼矩阵T e V C v N N dV ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎰ 单刚的动力学方程就为： {}{}()()()()e e e ee e e M C K t t t F t δδδ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭++= 将各个单元刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换，进行迭加，就能得到结构的总动力学方程：{}{}()()()()M C K t t t R t δδδ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭++=该方程与多自由度系统的振动方程完全相同。
结构力学课件—结构动力学
中南大学
退出
返回
17:04
§14-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
结构力学
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是 简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。 F
r
m
F (t) F t
θ t
o
简谐荷载
l/ 2
l/ 2
非简谐性周期荷载
F (t)
例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
o
退出
返回
17:04
§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
同刚度法所得方程
此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。 初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移 m （2）结构具有初始速度 Δ st 静平衡位置 （3）上述二者同时存在
yd
结构力学
自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。
k11
m
FS (t )
yd
W
FI ( t )
1. 不考虑阻尼时的自由振动