2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.4 平

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2.3.4 平面与平面垂直的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线
的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．
答案：D
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：对于A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故A错误；
对于B，若m∥β，β⊥α则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故B错误；对于C，若
m
⊥β，n⊥β，则m∥n，又n⊥α，则m⊥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，
则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故D错误．
答案：C
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．a∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C
都有可能．
答案：D
4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则
这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
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解析：由线面垂直的性质可得．
答案：B
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，所
以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE.

答案：B
二、填空题
6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．

解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形
AFED
是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确的个数为________．
解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊄α，可得出b∥α，①正确；②若
a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c
⊥β，故可得出α⊥β，

②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a⊂α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α
或b⊂α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．
答案：4
8．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若
AB＝2，AC＝BD＝1，则CD
的长为________．

解析：如图，连接BC.因为二面角α­l­β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，α∩β＝l，
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所以AC⊥β.
又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.
又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝2.
答案：2
三、解答题
9.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝
BC，E是PC
的中点．求证：

(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P­ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC，
而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PDC，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE＝A，
所以PD⊥平面ABE.
10．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
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(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，
AB
⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.

设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝22x.
故四棱锥P­ABCD的体积
VP­ABCD＝13AB·AD·PE＝13x
3
.

由题设得13x3＝83，故x＝2.
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PB＝PC＝22.
可得四棱锥P­ABCD的侧面积为
12PA·PD＋12PA·AB＋12PD·DC＋1
2
BC
2
sin 60°＝6＋23.

B级 能力提升
1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把
这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.

给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A．①与② B．①与③
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C．②与③ D．③与④
解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，
这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.
答案：B
2．在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，
PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM
的最小值为________．

解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，

可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△
ABC
中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.
答案：27
3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，

AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC
＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P­ABCD的体积．
(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂
平面PAD，故BC∥平面PAD.
(2)解：如图，

取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝12AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正
方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，
PM⊥底面ABCD
.

因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.
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设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x，如图，取CD的中点N，连接PN，
则PN⊥CD，

所以PN＝142x.

因为△PCD的面积为27，所以12×2x×142x＝27，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23.

所以四棱锥P­ABCD的体积V＝13×2（2＋4）2×23＝43.