四川省巴中市平昌中学2014-2015学年高二数学下学期第一次月考试卷文(含解析)

2014-2015学年四川省巴中市平昌中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．角α的终边上有一点（1，﹣2），则sinα=（）A．﹣ B．﹣ C． D．2．已知，则cosα的值是（）A． B． C． D．3．已知向量，且∥，则tanα=（）A． B． C． D．4．sin135°cos15°﹣cos45°sin（﹣15°）的值为（）A． B． C． D．5．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A． B． C．D．6．已知，则sin2x的值是（）A． B． C． D．7．已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，﹣1）、D（3，4），则向量在方向上的投影（）A． B． C．﹣ D．﹣8．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位9．函数y=cos2x+2sinx在区间上的最大值为（）A． 1 B． 2 C．﹣ D． 310．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上的零点的个数为（）A． 8 B． 9 C． 10 D． 11二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．化简sin2α=．12．满足不等式，x∈（0，2π）的角x的集合是．13．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=．14．已知定义在R上的奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，且当时，f（x）=sinx，则的值为．15．下列命题中，正确的是（填写所有正确结论的序号）①向量与向量平行，则与的方向相同或相反；②在△ABC中，点O为平面内一点，若满足，则点O为△ABC的外心；③函数的对称中心为④在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是直角三角形．三.解答题（本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域作答，解题时应写出文字说明、解题步骤或证明过程.）16．（12分）（2014春•亭湖区校级期末）A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．17．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18．（12分）（2015春•巴中校级月考）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线（1）求实数λ的值；若=（2，﹣2），求的坐标；（2）已知点D（3，6），在（1）的条件下，若A，B，C，D四点构成平行四边形ABCD，求点A的坐标．19．（12分）（2014秋•资阳期末）已知函数f（x）=2sin2（+x）+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．20．（13分）（2015春•巴中校级月考）已知函数f（x）=sinx﹣cosx+2，记函数f（x）的最小正周期为β，向量，，，且（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求的值．21．（14分）（2015春•巴中校级月考）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，o＜ω＜π）在x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）；赛道的中间部分是长为千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．（1）求y=Asin（ωx+φ）的解析式和∠DOE的弧度数；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪PQMN”，矩形的一边MN 在道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且设∠POE=θ，求“矩形草坪PQMN”面积S的最大值，以及S取最大值时θ的值．2014-2015学年四川省巴中市平昌中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．角α的终边上有一点（1，﹣2），则sinα=（）A．﹣ B．﹣ C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：由题意可得x=1，y=﹣2，r=，∴sinα==﹣=﹣，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．已知，则cosα的值是（）A． B． C． D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：先利用三角函数的平方关系求出cos2α，据三角函数的符号判断出角所在的象限，判断出余弦的符号，求出角的余弦．解答：解：∵，又sin2α+cos2α=1∴∵∴α为第二象限的角∴cosα＜0∴故选C．点评：利用三角函数的平方关系求三角函数值时，一定要注意角的范围才能确定三角函数的符号取舍．3．已知向量，且∥，则tanα=（）A． B． C． D．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：根据题设条件，由∥，知，由此能求出tanα．解答：解：∵向量，且∥，∴，∴tanα==．故选A．点评：本题考查平面向量共线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．4．sin135°cos15°﹣cos45°sin（﹣15°）的值为（）A． B． C． D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：根据诱导公式，可将原式化为sin135°cos15°﹣cos135°sin15°，再由两角差的正弦公式，可得原式等sin120°，再由诱导公式，及特殊角的三角函数值，可得答案．解答：解：sin135°cos15°﹣cos45°sin（﹣15°）=sin135°cos15°﹣cos135°sin15°=sin（135°﹣15°）=sin120°=sin（180°﹣60°）=sin60°=故选D点评：本题考查的知识点是两角差的余弦公式，诱导公式，特殊角的三角函数值，是三角函数化简求值类的典型题型，难度不大，熟练掌握各公式是解答的关键．5．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A． B． C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．专题：分析法．分析：先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．解答：解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选A．点评：本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．6．已知，则sin2x的值是（）A． B． C． D．考点：二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求出sinx+cosx的值，两边平方即可求出sin2x的值．解答：解：cos（﹣x）=（sinx+cosx）=﹣，两边平方得：（sinx+cosx）2=（1+sin2x）=，则sin2x=﹣．故选D点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7．已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，﹣1）、D（3，4），则向量在方向上的投影（）A． B． C．﹣ D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先利用有向线段的坐标求法求出向量和的坐标，然后利用向量的投影定义解答．解答：解：因为点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，﹣1）、D（3，4），则向量=（5，5），=（2，1），所以向量在方向上的投影为=；故选B．点评：本题考查了向量的投影的计算；在上的投影为，属于基础题．8．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．解答：解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：C．点评：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．9．函数y=cos2x+2sinx在区间上的最大值为（）A． 1 B． 2 C．﹣ D． 3考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为﹣（sinx﹣1）2+2，根据x的范围求得﹣≤sinx≤1，再根据二次函数的性质，求得函数f（x）的最大值．解答：解：∵函数f（x）=cos2x+2sinx=1﹣sin2x+2sinx=﹣（sinx﹣1）2+2，x∈[﹣，π]，∴﹣≤sinx≤1，∴当sinx=1，即x=时，函数f（x）取得最大值为2，故选：B．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．10．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上的零点的个数为（）A． 8 B． 9 C． 10 D． 11考点：正弦函数的图象；根的存在性及根的个数判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得可得f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数．本题即求函数f（x）的图象和函数g（x）的图象在区间[﹣5，5]上的交点的个数，数形结合可得结论解答：解：由f（x+1）=，可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期为2的周期函数．函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上的零点的个数，即函数f（x）的图象和函数g（x）=的图象在区间[﹣5，5]上的交点的个数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，如图所示：数形结合可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象在区间[﹣5，5]上的交点的个数为10，故选：C．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，正弦函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．化简sin2α=cos2α．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式化简所给的式子，可得结果．解答：解：sin2α=cos2α+1﹣（+）•sinαcosα=cos2α+1﹣（sin2α+cos2α）=cos2α，故答案为：cos2α．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．12．满足不等式，x∈（0，2π）的角x的集合是[，] ．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得sinx≥．再结合x∈（0，2π），求得x得集合．解答：解：由不等式，可得sinx≥．再结合x∈（0，2π），可得x∈[，]，故答案为：[，]．点评：本题主要考查三角不等式的解法，正弦函数的图象，属于基础题．13．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，画出图形，结合图形，得出=+①，=+②；由①、②得出=+，从而求出λ的值．解答：解：△ABC中，D是AB边上一点，=2，=，如图所示，∴=+=+2①，=+，∴2=2+2=2﹣2②；①+②得，3=+2，∴=+；∴λ=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义问题，是基础题目．14．已知定义在R上的奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，且当时，f（x）=sinx，则的值为﹣．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：由已知中函数f（x）定义在R上的奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，可得=f（﹣）=﹣f（），进而由当时，f（x）=sinx，可得答案．解答：解：∵函数f（x）定义在R上的奇函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，∴=f（﹣）=﹣f（），又由当时，f（x）=sinx，∴f（）=，故=﹣，故答案为：﹣点评：本题考查的知识点是函数的周期性与函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．15．下列命题中，正确的是④（填写所有正确结论的序号）①向量与向量平行，则与的方向相同或相反；②在△ABC中，点O为平面内一点，若满足，则点O为△ABC的外心；③函数的对称中心为④在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是直角三角形．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：的方向不确定，且与任意向量均平行，可判断（1）；由点O为△ABC的垂心，可判断（2）；直接求出函数y=tan（2x﹣）的对称中心判断③；由三角恒等变换的运用化简已知等式判断④．解答：解：对于①，的方向不确定，且与任意向量均平行，故①错误；对于②，在△ABC中，点O为平面内一点，若满足，则点O为△ABC 的垂心，故②错误；对于③，由2x﹣=kπ，k∈Z得x=kπ+，k∈Z，∴函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（kπ+，0），（k∈Z），故③错误；对于④，在△ABC中，由sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），得sin（A﹣B）=1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，∴sin（A+B）=1，即A+B=90°，∴△ABC是直角三角形，故④正确．故答案为：④．点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．三.解答题（本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域作答，解题时应写出文字说明、解题步骤或证明过程.）16．（12分）（2014春•亭湖区校级期末）A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据角θ的终边与单位交点为（cosθ，sinθ），结合同角三角函数关系和sinθ=，可得B点坐标；（2）由（1）中结论，结合诱导公式化简，代入可得答案．解答：解：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．设B点坐标为（x，y），则y=sinθ=．x=﹣=﹣，即B点坐标为：（2）∵===．点评：本题考查的知识点是同角三角函数基本关系的运用，诱导公式，难度不大，属于基础题．17．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．18．（12分）（2015春•巴中校级月考）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线（1）求实数λ的值；若=（2，﹣2），求的坐标；（2）已知点D（3，6），在（1）的条件下，若A，B，C，D四点构成平行四边形ABCD，求点A的坐标．考点：平面向量坐标表示的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；（2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案．解答：解：（1）∵=+=+（═，∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得=k．即=，得（1+2k）=（k﹣1﹣λ）．∵是平面内两个不共线的非零向量，∴，解得k=﹣，λ=﹣．=（2，﹣2），∴=+=﹣3﹣=（﹣6，﹣3）+（﹣1，1）=（﹣7，﹣2）．（2）∵A、B、C、D四点构成平行四边形，∴=．设A（x，y），则=（3﹣x，6﹣y），又=（﹣7，﹣2），∴，解得，∴点A（10，8）．点评：本题考查的是平面向量的坐标运算，有一定的思维量，属于中档题．19．（12分）（2014秋•资阳期末）已知函数f（x）=2sin2（+x）+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求出函数f（x）在x∈[0，]的取值情况，利用数形结合即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2sin2（+x）+cos2x=1﹣cos（+2x）+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+2sin（2x+），由由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z所以函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]．k∈Z．（Ⅱ）由f（x）﹣m=2得f（x）=m+2，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，由图象得f（0）=1+2sin=1+，函数f（x）的最大值为1+2=3，∴要使方程f（x）﹣m=2在x∈[0，]上有两个不同的解，则f（x）=m+2在x∈[0，]上有两个不同的解，即函数f（x）和y=m+2在x∈[0，]上有两个不同的交点，即1+≤m+2＜3，即﹣1≤m＜1．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，利用数形结合是解决本题的关键．20．（13分）（2015春•巴中校级月考）已知函数f（x）=sinx﹣cosx+2，记函数f（x）的最小正周期为β，向量，，，且（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用辅助角公式求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．（2）由条件利用两个向量的数量积公式求得sinα 的值，可得cosα 的值，再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得要求式子的值．解答：解：（1）函数f（x）=sinx﹣cosx+2=2sin（x﹣），故函数f（x）的最小正周期为β=2π．令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得2kπ+≤x≤2kπ+，故函数f（x）的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．（2）由向量，，，且=2+cosα•tan（α+π）=2+sinα，可得sinα=，∴cosα==，∴===2cosα=．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两个向量的数量积公式、诱导公式、辅助角公式，正弦函数的单调性，属于中档题．21．（14分）（2015春•巴中校级月考）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，o＜ω＜π）在x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）；赛道的中间部分是长为千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．（1）求y=Asin（ωx+φ）的解析式和∠DOE的弧度数；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪PQMN”，矩形的一边MN 在道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且设∠POE=θ，求“矩形草坪PQMN”面积S的最大值，以及S取最大值时θ的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得∠COD=和∠DOE的值．（2）由条件求得矩形草坪面积为S=sinθ（cosθ﹣sinθ），再利用三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域求得S的最大值以及此时θ的值．解答：解：（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象可得A=2，=﹣1﹣（﹣4）=，∴ω=．再根据五点法作图可得+φ=0，求得φ=，故该曲线段是函数y=2sin（x+）．当x=0时，y=OC=2sin=，又 CD=，∴∠COD=，从而得到∠DOE=．（2）OD=OC=，易知当矩形草坪面积最大时，点P在DE弧上，故OP=．设∠POE=θ，θ∈（0，），则矩形草坪面积为S=sinθ（cosθ﹣sinθ）=6（sinθcosθ﹣sin2θ）=6（sin2θ+cos2θ﹣）=3sin（2θ+）﹣3，再根据2θ+∈（，），可得当2θ+=，即θ=时，矩形草坪面积为S取得最大值为3﹣3．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。