正方体的截面问题

数理化 解题研究2019年第28期总第449期正方体的截面问题武增明(云南省玉溪第一中学653100)摘要：正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形 的性质的判定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本文仅举例说明正方体的截面面积和周长 的最值（取值范围）的求解方法以及截面图形的性质的判定方法.关键词：正方体；截面；面积；最值;性质中图分类号:G 632文献标识码:A文章编号：1008 -0333(2019)28 -0010-03一个平面与一个正方体表面的交线围成的封闭平面 图形称为正方体的截面图形，简称正方体的截面.正方体 的截面，对三角形来说，可以是锐角三角形、等腰三角形、 等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；对四 边形来说，可以是等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形，但 不可能是直角梯形；对五边形来说，可以是任意五边形， 但不可能是正五边形；对六边形来说，可以是正六边形. 正方体的截面至多是六边形.判断正方体的截面的形状 的理论依据是，高中立体几何中确定平面的三个公理及 其三个推论.正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面 积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质的判 定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本 文仅介绍正方体的截面面积和周长的最值（取值范围）的 求解方法，以及截面图形的性质的确定方法.解决这三个 问题的关键都是截面形状的判定.下面举例说明.―、正方体的截面面积的最值问题例1 (2018年高考全国卷I .理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则 a 截此正方体所得截面面积的最大值为A . 了B •丁C .—D.y解析因为在正方体/^(^-^^"，中，/^//^：/) //4,B , //C ,£», ,AD //BC //B , C j /AK D ,,A A j /B B j /CC , //所以当平面a 与棱所在的直线所成的角 相等时，正方体的所有棱所在的直线与平面a 所成的角都相等，由正方体的性质易得平面与棱所在的直线所成的角相等，则平面a //平面七BC ,或平面 a 为平面由图易得当平面a 过棱C ,£>,,的中点时，a 截此正方体所得截面面积最大，此时截面是边长为f的正六边形，如图1.则其面积为6x f x (f )2=手,故选 A .评注根据正方体的性质确定平面a 的位置是解题 的关键.图1图2例2 (2004年湖南省数学竞赛试题）过正方体4BCD的对角线仙,的截面面积为S ,记S ,和S 2分别为S 的最大值和最小值，则^为（）.V f#2/J2/6A . 2B . 2L . 3D . 3解析由已知可得如图2,设正方体的棱长为1，故当 M ，/V 分别为A 4,，(：(：,的中点时，截面的面积最小，最小为+勝xBZ ),•当截面为就时，截收稿日期:2019 - 07 - 05作者简介：武增明（1965. 5 -),男，云南省玉溪市易门县人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学及其研究. —10—2019年第28期总第449期数理化解题研究面的面积最大，最大为1x W=力.故S,，于D, /!是从而选C.S23D;........2/D x C, Q Ax/-L/Z)；-B i二、正方体的截面的周长问题例3在正方体/^(：£>-/1",/),中，若过/)1；8的平面截正方体所得的平面四边形的周长的最小值为则正方体的体积K=( )•A.27B. 16C.9D.8分析先由四边形是平行四边形将四边形的周长转化为2( BA/ + MD,),再将正方体的侧面 展开，得到BM+ MD,的最小值，由已知条件求得a的值即 可求解.解析设正方体的棱长为a,如图3,M，yv分别是平面四边形A与A4,,CC,的交点，由题意可知四边形是平行四边形，所以四边形BM Z),；V的周长为2(BM+ MD.).图3沿将正方体的侧面展开，在矩形B Z W,中，易知当且仅当三点共线时, + MD,取得最小值，为V§a.所以二4尽，得a=2, 所以 F= 23 =8.评注解答本题的关键是将正方体的侧面展开，找 到使得平面四边形的周长取得最小值时点M的位置.解析对于①，②，如图5,因为正方体4SCZ) - 的棱长为1,当时，，这时过P，P三点的截面与正方体表面交于点D,,= f，且,截面S为等腰梯形；当0 < C(?< ^■时，过/>，(？三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截 面S为四边形，故①，②正确.对于③，④，⑤，如图6,延长(?/?交的延长线于点/V,连接4/V交4, £»,于点M，连接MC,.取/!£»的中点G,作C////PC»交DD,于点//，可得，GH// AN，R GH =专 AN.设 CQ(+<«吳1)，则 = = 2i/ /!RC,「.当-时，可得C,f f:，故③正确.当+<t<l时，S为五，ND'D,R2tC,R1J\R=~2边形，故④错误.当《 = 1时,M为/l,D,的中点，S为菱形狀=尸c,，，：及』的面积=菱三、正方体截面图形的性质问题例4 (2013年高考安徽卷.文15理15)如图4,正方体/1BCZ)-义fi,C,/?,的棱长为1,P为6C的中点，()为 线段CC,上的动点，过点/I，P，（(的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是____(写出所有正确命题的编号）.①当0<(^<士时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当C(?= |时，S与C,£>,的交点/?满足C,尺=+;④当|< 1时,S为六边形；⑤当〇?=丨时，S的面积为形 /1PC,A/ 的面积二 2S A C，抑=2x士 f，故⑤正确.故所有正确命题的编号为①，②，③，⑤.例5 (2005年全国高中数学联赛试题）如图7,已知正方体/1B C D任作平面《与对角线/1C,垂直，使得平面a与正方体的每个面都有公共点.记这样得到 的截面多边形的面积为S,周长为Z.则（）.A. S为定值，/不为定值B. S与/均为定值C. S不为定值，/为定值C.S与Z均不为定值解析先考察特殊情形.不妨设正方体棱长为1.如图7，取£，F，C,//，/,1/分别为六条棱的中—11—数理化 解题研究2019年第28期总第449期点，显然，正六边形是符合要求的截面，它的周长 =於,面积S , =¥.当截面为正W D 时，其周长/2 =3/5"，面积 S 2=f .注意到= Z 2 ,S , #S 2，由此可以断定S 不为定值，而/ 有可能为定值.再考察一般情形•设六边形W, G ,//,/,为任意一个符合要求的截面，则此截面与前面两个特殊的截面平行.由相似三角形对应边成比例，得£丨尸,_B ,£,Z ),B ,所以=在A A=在B A ，J ,E , +E ,F , =^2(A ,E , +B lE l)—=^/2 .同理,另四边之和为2尽.因此，六边形■/,£，,(；,//,/,的周长为定值3^.故选C .评注解本题应用了由特殊到一般的思维方法，这 是求解复杂问题的常用方法之一.参考文献：[1]陆珂•截面[J ].中学数学教学参考（上旬），1995(4) ：43 -45.[2] 傅钦志•立体几何中的截面问题[J ].中等数学，2007(3) ：5 -9.[3] 蒋孝国•立体几何中的最值问题[J ] •数学通讯(上半月），2016(3) :40-43.[责任编辑：杨惠民]一个正三角形面积最值的求法探究许银伙(福建省泉州外国语中学362〇00)摘要：本文对一个正三角形的面积最值问题，分别运用坐标法、几何性质法、三角函数法、向量法、复数 法等多种知识，从不同角度和方法进行分析解决，提高知识应用能力.关键词：三角函数；坐标法；向量法；正三角形中图分类号：G 632文献标识码：A文章编号：丨008 -0333(2019)28 -0012 -03问题已知中，乙/l 〇e =90°，04=l ，O B =W ， 等边A £F C 的三个顶点分别在A /10S 的三边上运动，求 A £F C 面积的最小值•分析一以边〇/1,所在直线分别为*,y 轴，建立 直角坐标系，通过正三角形的直观性质三边相等和已知 条件求出的长度关系，进而求出的最小值.解法一如图1，建立平面直角坐标系，则点/!(1，〇)，B (0，万），设点 £(*。

,0)，尸（/«，幻'(0,7。

）.则直线方程:x + 士 = 1.△为正三角形，所以丨£川=\E G \ = |F C |,I(m -x 0)2 +n 2 =m 2 + (n -y 0)2 , ( 1)(m -x 0)2 +n 2 =xl +y 20, (2)m 2 + {n - y Q)2 - x \ + y \.(3)由（1)得:= (4)2 r 〇 2由（2) + (3)得:2(/n 2 +n 2) -2顧。

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=4 + %，化简得：(爪-f )2 + (卩-令)2 + W ).⑴把⑷代入(5)得:[1 + (i )2](m -十)2 =手(4 +r 〇 2 4收稿日期:2019-07 -05作者简介:许银伙（1963.9 -)，男，福建省惠安人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.—12 —。