数学---江苏省镇江市第一中学2016届上学期期中考试

DCBAP江苏省镇江市第一中学2016届上学期期中考试第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1.已知集合{}|12A x x =-≤<，集合{}|1B x x =<，则A B ⋂= .2.某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人.现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有 人. 3．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝2+b i ，z 2＝1－2i ，若12z z 是实数，则实数b = . 4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值 ．5．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-2，2}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是 ．6．已知||2a = ，||3b = ，,a b 的夹角为120 ，则|2|a b +=_________.7．已知一元二次不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞⋃+∞，则(l g )0f x <的解集为 ．8. 设α为锐角，若9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，若 2,60AB BAD ︒=∠=.则当四棱锥P ABCD -的体积等于时，则PC = .10. 在平面直角坐标系xOy 中,过点(4,3)P 引圆222:()1(04)C x y m m m +-=+<<的两条切线,切点分别为A 、B ,则直线AB 过定点.11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =1，若10p q-=，则p q a a -==x12．若曲线ln y a x =与曲线212y x e =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则st= . 13．已知 ABCD 的面积为2，P 是边AD 上任意一点，则22PB PC + 的最小值为 ．14. 设函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤≤，则函数()()6g x xf x =-在区间2015[1,2]内的所有零点的和为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）若cos C =230a c -=． （2）若π(0,)3∈B ，且4cos()5A B -=，求sin B ．16.（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==PB =PC .（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ； （2）若M 为BC 的中点，求证：MN ⊥BC ．17.（本小题满分14分）某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域，其余NDCBAP作为市民活动区域.其中ABD ∆区域种植花木后出售，BCD ∆区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若6BC = km ，4AD CD == km（1）若BD =km ，求绿化区域的面积；（2）设BCD θ∠=，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大.18. (本小题满分16分) 已知A,B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右顶点，F 为其右焦点，在直线4x =上任取一点P （点P 不在x 轴上），连结PA,PF ,PB ．若半焦距1c =，且2PF PA PB k k k =+（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线PF 交椭圆于,M N ，记△AMB 、△ANB 的面积分别为S 1、S 2，求12S S 的取值范围．19.（本小题满分16分）已知函数()()ln R =+∈f x ax x a ，2()ln x g x x x=-．（1）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点123,,x x x （123x x x <<）． ①求实数a 的取值范围；②求证：2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等比数列． （1）设11a =，48a =． ①若22212212111111()n nM a a a a a a +++=+++ ，*N ∈n ，求实数M 的值； ②若在11a 与41a 之间插入k 个数12,,,k b b b ，使得12145111,,,,,,k b b b a a a 成等差数列，求这k 个数的和k S ；（2）若一个数列{}n c 的所有项都是另一个数列{}n d 中的项，则称{}n c 是{}n d 的子数列.已知数列{}n b 是公差不为0的等差数列，11b a =，22b a =，3m b a =,其中m 是某个正整数，且3m ≥，求证：数列{}n a 是{}n b 的子数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修4-1：几何证明选讲）如图，BCD 内接于O ，过B 作O 的切线AB ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，且DB BE ⊥.求证：DB ＝DC .B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，3)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -4，y +2)，求2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρθ=.若点P的坐标为(，求PA PB +的值.D ．（选修4-5：不等式选讲）若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为()1,2,求函数()((f x a b =--.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. 若AC=BC=BE =2,（1）BE 边上是否存在一点M ，使得AD 和CM 的夹角为60︒？ （2）求锐二面角O-CE-B 的余弦值.23. （本小题满分10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且当2n ≥时，1121112()(1)()n n nS S n S S S --=++++ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：当2n ≥时，2224n n a a n n a a +-+≤.参考答案第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. [)1,1-.2. 600. 3．-4. 4．-1 . 5．23. 【解析】m 、n 的取法共有3×2＝6种，即共有6条直线，其中当m ＝0，n ＝2和m ＝－1，n ＝2，直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P ＝23． 6．. 7．()10,100 . 8. 2425. 【解析】因为α所以6πα+24sin(2)2sin()cos()36625πππα+=α+α+=，又因为cos(2)sin(2)63ππα-=α+，所以24cos(2)625πα-=. 9【解析】因为，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD ︒=∠=，所以，12sin 60222ABCD S AB AD ︒=⨯⨯⨯=⨯=PA ⊥平面ABCD ，所以，四棱锥P﹣ABCD 的高为PA ，所以，13PA ⨯=3PA =，因为，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以，PA ⊥AC ，在Rt △PAC中，PB =.10. 5(,3)2- . 【解析】直线AB 上任取一点(,)Q x y ,则2=CQ CP CB CP CB ⋅=⋅ ，因为(,),(4,3)CQ x y m CP m =-=-，所以24(3)()1x m y m m +--=+,即431(3)0x y m y +--+=.所以直线AB :431(3)0x y m y +--+=，令431030x y y +-=⎧⎨+=⎩,则523x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线AB 过定点5(,3)2-. 11．15 . 【解析】等差数列公差为d ，由题意知0d >，因为04536442=--d d所以12. .【解析】 对曲线ln y a x =求导可得a y x '=，对曲线212y x e =求导可得xy e'=，因为它们在公共点(),P s t 处具有公共切线，所以a s s e=，即2s ea =，又21lns 2t a s e ==，即22lns ea s =，将2s ea =代入，所以1a =.所以12t =，s =，即st=. 13．4.【解析】 因为2ABCD S = ，所以1PBC S =△，如图，取BC 的中点M ，连PM ，过点PHM P DCBA作PH BC ⊥于H ，则2PB PC PM += ，PM PH ≥，且1=12S BC PH ⋅=△PBC ，所以2BC PH ⋅=222212()22PB PC PB PC PC PB PB PC BC ⎡⎤+=⋅+-=⋅+⎢⎥⎣⎦()()2222222211142+222PB PC PB PC BC PM BC BC PM BC ⎡⎤⎡⎤=+--+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2212224 4.2PBC PM BC PM BC PH BC S ∆=+≥⋅≥⋅==当且仅当12PM BC =，且点M 与点H 重合时等号成立．所以2PB PC BC ⋅+ 的最小值为4．14.201523()21-.【解析】当312x ≤≤时，88f x x =-（），所以()2(82)18g x x =--，此时当32x =时，0max g x =（）；当322x ≤＜时，168f x x =-（），所以28120g x x =--+（）（）＜；由此可得12x ≤≤时，0max g x =（）．下面考虑122n n x -≤≤且2n ≥时，g x （）的最大值的情况．当12232n n x --≤≤⋅时，由函数f x （）的定义知()11112()2)(22n n x f x f f x --==⋯=,因为13122n x -≤≤，所以()2225(1282)n n g x x --=--，此时当232n x -=⋅时，0max g x =（）；当2322n n x -⋅≤≤时，同理可知()1225(182)20n n g x x --=--+，＜．由此可得122n n x -≤≤且2n ≥时，0max g x =（）．综上可得：对于一切的*n N ∈，函数g x （）在区间12]2[n n -，上有1个零点，从而()g x 在区间[1]2n ，上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，所以，当2015n =时，所有这些零点的和为201523()21-． 二、解答题15.因为sin(A )2cosA 6π+=1A cos A 2cos A 2+=，即sin A ，因为()A 0,∈π，且cos A 0≠，所以tan A A 3π=. …………4分 （1）因为22sin C cos C 1+=，cos C =()C 0,∈π，所以sin C = 由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -=.…………7分（2）因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， …………10分 所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=.……14分 16.（1）取PB 的中点E ，连接NE ，CE ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==易得AC =CB = AB =2， ……………… 2分又因E 为PB 的中点，N 为PA 的中点， 所以NE ∥CD 且NE =CD 所以四边形CDNE 是平行四边形所以DN ∥CE ； ……………… 4分 又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC …所以DN ∥平面PBC ………………………… 6分 （2）连接AM ，PM ．因为PB =PC ，M 为BC 的中点所以PM ⊥BC ， …………8分 因为AC =AB ，M 为BC 的中点所以AM ⊥BC ， …………… 10分 又因为AM PM M = ， ,AM PM ⊂平面PAM ， 所以BC ⊥平面PAM ． ……… 12分 因为NM ⊂平面PAM ，所以MN ⊥BC ． …………………………… 14分 17.（1）在BCD ∆中，BD =，6BC =，4CD =，由余弦定理得，(222222641cos 22642BC CD BDBCD BC CD+-+-∠===⨯⨯ 因为[)0,180BCD ∠∈︒︒， 所以60BCD ∠=︒， …………… 2分 又因为A 、B 、C 、D 共圆，所以120BAD ∠=︒. 在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠ ，MNDCBAPB将4AD =，BD =代入化简得24120AB AB +-=，解得2AB =（6AB =-舍去）. ……… 4分所以1124sin12046sin 6022ABCD ABD BCD S S S ︒︒=+=⨯⨯+⨯⨯=即绿化空间的面积为2km ……… 6分（2）在BCD ∆、ABD ∆中分别利用余弦定理得22264264cos BD θ=+-⨯⨯ ①()222424cos -BD AB AB πθ=+-⨯ ②联立①②消去BD 得28cos 48cos 360AB AB θθ++-= ，得()()68cos 60AB AB θ++-=，解得68cos AB θ=-（6AB =-舍去）. (10)分因为0AB >，所以68cos 0θ->，即3cos 4θ<. ()()11sin 68cos 4sin 12sin 16sin cos 22ACD S AB AD πθθθθθθ∆=-=-⨯=- 11sin 64sin 12sin 22BCD S BC CD ∆==⨯⨯= θθθ 因为草皮每平方米售价为a 元，则花木每平方米售价为3a 元，设销售金额为y 百万元.()()()312sin 16sin cos 12sin 48sin sin cos y f a a a θθθθθθθθ==-+=- …… 12分()()()()()22248cos cos sin 482cos cos 1482cos 1cos 1f a a a θθθθθθθθ'=-+=-++=-+-令0y '>，解得1cos 12-<<θ，又3cos 4<θ，不妨设03cos 4=θ，则函数()f θ在02,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；令0y '<，解得1cos 2θ<-，则函数()f θ在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以当23=πθ时，()max f =θ.答：（1）绿化区域的面积为2km ；（2）当23πθ=时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元. … 14分18. （1）令0(4,)P y ,(,0),(,0)A a B a -, 因为1c =，所以(1,0)F 因为2PF PA PB k k k =+，所以00024144y y ya a=+-+-， ………2分 解得2a =，从而2223b a c =-=故椭圆方程为22143x y += ………6分（2）令1122(,),(,)M x y N x y ，设直线PF 方程为1x my =+ 由2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩消x , 得22(34)690m y my ++-=， 122634m y y m +=-+① 122934y y m =-+ ② 所以2122214234y y m y y m ++=-+，令12y t y =，则222161110810334334m t t t t m m ++=+==-++ ………12分所以11023t t <+<，从而133t <<且1t ≠，因为121212AMBANBAB y S t S AB y == ， 所以()1,11,33AMB ANB S S ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭………16分 19.（1）当1a =时，()ln f x x x =+，定义域为()0+∞，． ()11'1x f x x x+=+=． 所以()'0f x >，()f x 在()0+∞，上单调递增； 即()f x 的单调增区间为()0+∞，. ………3分 （2）①由题意可得，关于x 的方程2ln ln x ax x x x=+-在()0+∞，上有三个不同的解． 即关于x 的方程ln ln x xa x x x=--在()0+∞，上有三个不同的解． 令()ln ln x xF x x x x=--，()0+x ∈∞，．所以()()()()()2222ln 1ln 2ln 1ln 1ln ln ln x x x x xx F x x x x x x x ----'=-=--． ………5分 显然，当()0+x ∈∞，时，2ln 0x x ->，证明如下： 令()2ln 0y x x x =->，121'2x y x x-=-=． 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，'0y <，函数2ln y x x =-在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，'0y >，函数2ln y x x =-在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增． 所以当12x =时，2ln y x x =-取最小值11ln 2-．所以，当()0+x ∈∞，时，2ln 0x x ->． ………7分 令()0F x '=，可得1x =或e ． 将x,h 1(x),h(x)变化情况列表如下又当0,(),() 1.x h x x h x →→+∞→+∞→时当， 所以，实数a 的取值范围为1(1,)1e e e--． ………10分 ②由①可知，当12301x x e x <<<<<时，ln 1ln ln ln 1x x xa x x x x x x=-=---．令ln x t x =，则11a t t=--， 即()2110t a t a +-+-=，1210t t a +=-<，1210t t a =-<． ………12分 不妨设12t t <，则120t t <<． 又()()ln 0x t x x x =>，()21ln 'xt x x-=，当()0x e ∈，时，()'0t x >，()t x 在()0e ，上单调递增； 当()x e ∈+∞，时，()'0t x <，()t x 在()e +∞，上单调递减． 显然，当()01x ∈，时，()0t x <；当()x e ∈+∞，时，()0t x >． 所以111ln x t x =，32223ln ln x x t x x ==． ………14分 所以 2223121212312ln ln ln ln ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2122111t t t =---()()21211t t =--⎡⎤⎣⎦()212121t t t t =-++⎡⎤⎣⎦()()2111a a =--+-⎡⎤⎣⎦1=．即2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ………16分 20.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，48a =，得2q =， ………2分① 因为{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且公比为12，22212212111111()n nM a a a a a a +++=+++ ， 所以22111()1()22111124n nM --=⋅--对*n N ∈都成立， 所以32M =； ………4分 ②因为111a =，4118a =，51116a =，因为12145111,,,,,,k b b b a a a 成等差数列，所以公差5411116d a a =-=-，6分 且4111(1)k d a a -=+，即111(1)()816k -=+⨯-，解得13k =； 所以这13个数的和1131313()131117(1)22816b b S +==+=……8分 （2）设数列{}n b 的公差为d ，则0d ≠，由条件得11b a =，11b d a q +=，211(1)b m d a q +-=，所以2(1)(1)(1)m q q --=-，因为0d ≠，所以1q ≠，从而2q m =-，因为m 是某个正整数，且3m ≥，所以q 也是正整数，且1q >，10分 因为11b a =，22b a =，3m b a =,所以1a ，2a ，3a 是数列{}n b 中的项， ………12分 当4n ≥时，若n t a b =，则1111(1)(1)n a q a t a q -=+--， 化简得1221111n n q t q q q q----==++++- ， 即222n t q q q -=++++ ，且q 是正整数， 所以，t 也是正整数，所以对任意4,n n N *≥∈，存在t N *∈，使得n t a b =，即数列{}n a 中的每一项都是数列{}n b 中的项． 所以，数列{}n a 是{}n b 的子数列． ………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．如图，连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°， 所以，DBE DEC ≅ ，所以，DB ＝DC . ………10分 B ．依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦3x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦42y y -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，即64 3122 x y x y +=-⎧⎨+=+⎩，，解得0 10 x y =⎧⎨=⎩，， 21 21 27 103 43 415 22M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以，27 1001001022015 22x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ． ………10分C．由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +=．将l的参数方程3,,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ，故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+= ………10分 D ．因为不等式20x ax b -+<的解集也为()1,2,所以可得，3a =,2b =.又函数()((f x a b =--由柯西不等式可得:22222(21]≤++,当且仅当16[3,5]5x =∈时取等号, 所以，当165x =时,函数()(1(1f x a b =--. …10分 22．（1）因为AB 是圆O 的直径，所以AC CB ⊥以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 因为AC=BC=BE =2,所以C (0,0,0),B(2,0,0),A (0,2,0),O (1,1,0),E (2,0,2)，D (0,0,2)， 所以(0,2,2)AD =-设BE 边上是否存在一点M ，设[](2,0,),0,2M λλ∈所以(2,0,)CM λ=所以1cos ,2AD CM <>==解得2λ=所以，当点M 与点E 重合时，AD 和CM 的夹角为60︒. ………5分（2）平面BCE 的法向量()0,1,0m = ，设平面OCE 的法向量()000,,n x y z =由()()2,0,2,1,1,0CE CO ==所以00n CE n CO ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0000220,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩，故0000,,z x y x =-⎧⎨=-⎩ 令()01,1,1,1x n =-=-因为二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则cos ,m n m n m n<>==.故锐二面角O-CE-B的余弦值为3.....................................10分 23．（1）当2n =时，由1121112()(1)()n n nS S n S S S --=++++ ， 可得22123(1)1a a =⨯++，所以22a =，同理33a = 猜想n a n =.当1,2n =时，命题成立，假设当n k =时命题成立，即k a k =， 则当n=k+1时，11211112()(11)()k k k S S k S S S ++-=+++++ 所以1121111111()2k k k k a S S S S ++++=++++ 因为(1)2k k k S +=， 所以121111111111112(1)()()2231k k k k S S S S k k S a ++⎡⎤++++=-+-++-+⎢⎥++⎣⎦ 1111212(1)11k k k k k k S a k S a ++=-+=+++++， 即11221(1)212k k k k a k k k a ++⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦解得11k a k +=+所以，当1n k =+时命题成立，综上，n a n =. ……………5分（2）当n ≥2时，欲证2224n n a a n n a a +-+≤，只需证明214nn ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，因为0112222222(1)41()()()1242nn nnn n n n n C C C C n n n n n -⎛⎫+=++++≥++⋅≥ ⎪⎝⎭所以对任意正整数n (n ≥2)，都有2224n n a a n n a a +-+≤成立． …………10分。