12.1 无穷级数的概念和性质
12.1 常数项级数的概念和性质
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
结论 若级数的一般项un 不趋于0 (n )，则 un 必发散. n1
15
注意
lim
n
un
0并非级数收敛的充分条件.
但
s2n
sn
1 n 1
1 n2
1 n3
1 n 1， 2n 2n 2
矛盾，所以假设不真，故，调和级数发散.
16
例 5 判断下列级数的敛散性，若收敛求其和.
n 1 n 2
1 2
1
n
1 1
1 2
n
1
2
lim
n
sn
1，故，该级数收敛，其和为 1 .
4
4
19
三、柯西审敛原理(选学)
定理(柯西收敛原理) 级数 un 收敛 n1
0，正整数 N，当n N 时，对任意正整数 p，恒有
un+1+un+2 + un+p .
例
解
6
利用柯西审敛原理判定级数 对任意的正整数 p，
n0
的敛散性.
aqn
(a 0)
解：(1)若 q 1，则部分和
sn a aq aq2
aqn1 a aqn 1 q
当
q
1时，由于 lim qn n
0，从而
lim
n
sn
a， 1 q
因此，该级数收敛，且其和s a . 1 q
当
q
1时，由于lim qn n
，从而
lim
n
sn
，故，该级数发散.
8
n0
例 2 判断下列级数的敛散性
12.【高数】第十二章：无穷级数
若 un， vn一收敛一发散, 则 (un vn )发散 若 un， vn均发散, 则 (un vn )敛散性不确定
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本节 知识
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
数项级数的基本性质
n 1
1） [齐次性] 若 un收敛于S，则 kun收敛于kS (k不为0）
n 1 n 1 n 1
2） [可加性] 若 un收敛于S1， vn收敛于S 2, 则 (un vn )收敛于S1 S 2 若 un， vn均收敛, 则 (un vn )收敛
定理：正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界
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本节 内容
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本节 知识
n 1
绝对收敛与条件收敛
对于任意级数 u n
n 1 n 1 n 1
1）若 un 收敛，则称 un绝对收敛
n 1 n 1
2）若 un 发散，但 u n 收敛则称 u n条件收敛
定理：绝对收敛必收敛，收敛不一定绝对收敛！
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第七章 无穷级数(3)
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也发散 .
证： 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
27
(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
什么是级数 ？
假设 {un } 是一个数列
无穷多个数 u1 , u2 , , un ,按次序相加
u
n 1
n
u1 u 2 u n
称为级数.
有限个数连续相加有明确意义. 无穷多个数连续相加的意义是什么？
1
1 1 1 1 例子： ...... ? 2 4 8 16 1 1 1 1 ...... ? 2 3 4 1 1 1 1 1 1 ...... ?
类似可证前面加上有限项的情况 .
19
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级 数的和. 证：设收敛级数S u n ,若按某一规律加括弧, 例如
n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , ) 的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论：若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
即
4
引例2. (神秘的康托尔尘集) 把[0,1]区间三等分, 舍弃中 2 ), , 间的开区间 ( 1 3 3 将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃 问丢弃部 , 在中间的开区间, 如此反复进行这种“弃中”操作 分的总长和剩下部分的总长各是多少？ 2 3 n1 2 2 2 2 1 丢弃的各开区间长依次为 3 , 2 , 3 , 4 , , n ,
无穷级数知识点高一
无穷级数知识点高一无穷级数是数学中的一个重要概念，也是高一学习数学时必须掌握的知识点之一。
掌握无穷级数的概念及其相关性质，对于以后的数学学习和应用有很大的帮助。
本文将从定义、收敛性和求和公式三个方面介绍高一学生需要了解的无穷级数知识。
一、定义无穷级数是由一列数按照一定规律排列形成的数列的和。
形式上，一个无穷级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ... 是数列的项。
无穷级数一般用符号"∑"来表示。
二、收敛性对于一个无穷级数，我们关注它是否有确定的和。
如果一个无穷级数的部分和数列{Sₙ}的极限存在，那么我们称这个无穷级数是收敛的，部分和数列的极限就是该无穷级数的和。
有两个常见的收敛判定准则：1. 比值判别法：若极限 lim(aₙ₊₁/aₙ) 存在且小于1，则无穷级数收敛；若大于1，则无穷级数发散；若等于1，则判定不确定。
2. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，若能找到连续、正值的函数f(x)使得 f(n) = aₙ，则∫f(x)dx从1到正无穷收敛，则原级数收敛；若发散，则原级数发散。
三、求和公式对于一些特定的无穷级数，我们可以找到它们的求和公式，从而便于计算。
以下是一些常见的求和公式：1. 等差数列求和公式：S = (n/2)(a₁ + aₙ)2. 等比数列求和公式：S = a₁ / (1 - r)，其中|r| < 13. 幂级数求和公式：对于幂级数∑(aₙxₙ)，当|x| < 1时，S =a₁ / (1 - x)注意，这里提到的求和公式只是一些常见的情况，实际上，很多无穷级数并不容易求和，需要借助更高级的数学方法来求解。
综上所述，无穷级数是高一数学中的重要内容，学生需要掌握无穷级数的概念、收敛性及求和公式。
理解无穷级数的概念和性质有助于培养学生的数学思维，提高问题解决能力。
同时，也为将来学习数学的更深层次打下了坚实的基础。
高等数学 第十二章 无穷级数
n 1
n 1
设法求出和函数s( x)
an xn ,
n 1
n(n 1)
例10 求 n 1
2n
的和.
1 将其转化成幂级数求和函数问题.
2
原式
s(
1 2
),
s(x)
n(n
n 1
1)xn
2x (1 x)2
.
3
推广：
n1
n（n 3n
1）
S
(
1
)，
3 n1
n（n 1
n1）
S(1) 5
.
5
n1 的和 .
n0
(2n1)!
解: 原式 = 1 (1)n (2n 1) 1
2 n0 ( 2 n 1)!
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1 [cos1 sin 1 ].
2
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
化
an an x0n s( x0 ),
0
0
n 0
∴
f(x)
x(1)nx2ndx(1)nx2n 1
(
x
1).
0 n0
n0 2n1
例13
将函数
(2
1
x )2
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
11
2
1
x 2
1 2
xn 2n
n0
1 2
n 1
n x n1 2n
x2 (
)n
x n1 2
1x12x2
x 2x2
,
第五讲 无穷级数
第五讲 无穷级数§1 概念及其性质 无穷级数（简称级数）：121nn n uu u u ∞==++++∑，n u 称为第n 项式通项一般项。
121nn n i i S u u u u ==+++=∑为1n n u ∞=∑的前n 项和。
定义：若lim n n S S →∞=（有限数），则称级数1nn u∞=∑收敛，S 为其和，即1nn uS ∞==∑；若lim n n S →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散。
例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。
（1）1n ∞=； （2）()11!n n n ∞=+∑； （3）()()1112n n n n ∞=++∑；提示：将通项n u 写成两项差的形式，即1n n n u v v -=-。
解：（1）n u ==)(()111n S n n =++++=→∞ →∞∴1nn u∞=∑发散。
（2）()()()11111!!1!n n u n n n +-==-++； ()()()1111111112!2!3!!1!1!n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-→ →∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴11nn u∞==∑。
（3）()()()()()1111122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦()()()1111111212232334112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()1111212124n n n ⎡⎤=-→ →∞⎢⎥⋅++⎣⎦ ∴114nn u∞==∑。
性质：① 设0c ≠为常数，则1nn cu∞=∑与1nn u∞=∑具有相同的敛散性；② 设1nn uS ∞==∑，1n n v σ∞==∑，则()1n n n u v S σ∞=±=±∑；设1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，则()1nn n uv ∞=±∑发散；设1nn u∞=∑与1nn v∞=∑均发散，则()1nn n uv ∞=±∑具体分析。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总无穷级数是由无穷多个数的和组成的数列。
它是数学中的基本概念，具有广泛的应用，涉及到数学分析、物理学、工程学等领域。
无穷级数的收敛与发散是无穷级数研究的核心问题。
收敛意味着无穷级数的和存在，而发散则意味着无穷级数的和不存在。
接下来，我们将介绍几个与无穷级数收敛与发散相关的知识点。
1.部分和的概念：对于给定的无穷级数，在给定的位置截取有限个数进行求和，这个和称为部分和。
部分和序列是由部分和构成的数列。
在研究无穷级数收敛与发散时，通常先分析部分和序列的性质。
2.等比级数：等比级数是指形如a+ar+ar^2+...的级数，其中a是首项，r是公比。
当公比，r，<1时，等比级数收敛，和为a/(1-r)。
当，r，≥1时，等比级数发散。
3.绝对收敛与条件收敛：如果一个无穷级数的各项绝对值组成的级数收敛，那么这个级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么这个级数是条件收敛的。
4. 正项级数：如果一个无穷级数的各项都是非负数，或者说对于所有的n，an≥0，那么这个级数是正项级数。
正项级数的部分和序列是递增的，且如果部分和序列有上界，则该级数收敛。
5.收敛判别法：为了判断一个无穷级数的收敛性，数学家发展了多种不同的方法。
其中一些著名的判别法包括比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些方法根据级数项之间的关系，通过判断级数的部分和序列是否满足一些特定条件，进而判断级数的收敛性。
6.绝对收敛级数的性质：绝对收敛级数在加法和乘法运算下具有良好的性质。
例如，绝对收敛级数可以无限重排项而不改变其和。
此外，对于绝对收敛级数，我们可以通过将级数分拆成两部分再进行求和，这样的重排不改变级数的和。
除了以上内容，无穷级数还涉及到级数的收敛半径、幂级数、Fourier级数等等一系列的概念和方法。
-收敛半径是幂级数中重要的一个概念，指的是幂级数在哪些点上收敛的临界点。
可以使用柯西－阿达玛公式来计算收敛半径。
院校资料无穷级数.pptx
sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
第13页/共122页
对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
第4页/共122页
对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
第30页/共122页
例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
第22页/共122页
定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
无穷级数知识点范文
无穷级数知识点范文无穷级数是数学中的一个重要概念，它描述了一系列无穷多个数的总和。
在数学分析中，无穷级数经常出现在函数的展开式中，以及讨论收敛性和散度等问题。
下面我们将详细介绍无穷级数的相关知识点。
一、无穷级数的定义在数学中，无穷级数可以定义为无穷个数按一定次序排列并求和的结果。
设{an}是一个数列，它的和可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，an为数列的第n个元素。
这个求和过程可以一直进行下去，也就是无穷级数的求和是无限的。
二、无穷级数的收敛与发散无穷级数的重要性在于讨论它的收敛性和发散性。
如果无穷级数的部分和数列{s1, s2, s3, ...}是有界的，即存在一个实数S使得对于所有n∈N，有sn ≤ S，则称该无穷级数是收敛的，记为S = lim(n→∞)sn。
否则，无穷级数是发散的。
三、等比级数与调和级数1.等比级数等比级数是指每一项与前一项的比等于一些常数q的无穷级数。
设首项为a1，公比为q，则等比级数可以表示为：S=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^n+...。
在求和时需要对公比q的绝对值进行讨论，若，q，<1时，等比级数收敛，其和为S=a1/(1-q)；当，q，≥1时，等比级数发散。
调和级数是指以倒数为一般项的无穷级数。
它的一般形式为：S=1+1/2+1/3+...+1/n+...。
调和级数是个典型的发散级数，其部分和数列{s1,s2,s3,...}发散，即无界。
四、常用的无穷级数的表示方法1.级数求和符号级数求和符号可以简洁地表示无穷级数的求和过程。
对于数列an，无穷级数可以用求和符号∑表示，即S = ∑an。
其中，n为下标，从1开始逐渐增加，表示数列的第n个元素。
2.和式表示和式表示是一种将无穷级数表示为无穷多个数的有限项和的形式。
例如，将无穷级数S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...记作S = Σn≥1 an。
无穷级数课堂讲解
无穷级数课堂讲解
无穷级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在无穷级数课堂讲解中，我们将探讨无穷级数的定义、性质、公式以及应用。
首先，让我们了解无穷级数的定义。
无穷级数是一种数学表达式，其中项的数量无限增加，但项的值无限趋近于一个常数。
例如，无穷级数
{1,2,3,4,5,......}中的项数无限增加，但每一项的值都等于 5。
接下来，我们来学习无穷级数的性质。
无穷级数的性质包括：极限、递推、级数收敛性等。
其中，极限是指无穷级数中的项数无限增加时，每一项的值与极限值之间的差值趋近于 0。
递推是指无穷级数可以通过递推公式进行推导。
级数收敛性是指无穷级数的每一项是否趋近于一个常数。
此外，我们还需要考虑无穷级数的应用。
无穷级数在物理学、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，无穷级数可以用来描述运动物体的速度和加速度;在经济学中，无穷级数可以用来描述市场需求和供应的关系;在工程学中，无穷级数可以用来描述材料的应力和应变关系。
最后，我们来学习无穷级数的公式。
无穷级数的公式包括：常数项级数、常数项和导数项级数、幂级数等。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用无穷级数。
总结起来，在无穷级数课堂讲解中，我们将深入了解无穷级数的定义、性质、公式以及应用。
通过学习无穷级数，我们将能够更好地理解数学概念，并在实际问题中应用数学知识。