1.1.1 正弦定理练习
(完整)1.1.1正弦定理(用)
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2
k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA
sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
§1.1.1-1 正弦定理(一)
a sin C 20sin 76 c 30(cm). sin A sin 40
(2) 当B≈116°时，
C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 ,
§1.1.1-1 正弦定理(一)
ห้องสมุดไป่ตู้
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§1.1.1-1 正弦定理(一)
解直角三角形需要用到的知识
①三角形内角和定理： A B C 180 ② 锐角三角函数：
a b a sin A ,cos A ,tan A ; c c b a b b sin B ,cos B ,tan B . c c a
2013-1-16 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§1.1.1-1 正弦定理(一)
证法三:
(向量知识来证明)
过A作单位向量 j 垂直于AC AC CB AB，两边同乘以向量 j , B a j ( AC CB ) j AB c j 则：j AC j CB j AB A b j AC cos 90 j CB cos(90 C ) j AB cos(90 A)
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.1.1-1 正弦定理(一)
如何应用正弦定理？ （一）已知两边一对角，可求其 它边和角！(SSA) （二）已知两角一对边，可求 B 其它边和角！(AAS) C a c b A
D
问题：已知任意两角和一边，能否求其 它边和角?
2013-1-16 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 9
【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)
对任意三角形,这个等式都会成立吗 对任意三角形 这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗 怎么证明这个结论？ 怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明 方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角 形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二： 等积法) 在任意斜 ABC当中 作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和 例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在 中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系： 、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角 ）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形 ）在直角三角形ABC中,C=90 则 中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题： 请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解； 当 时 有几个解 几个解； 几个解；当a=3时C有几个解 时 有几个解
正弦定理和余弦定理
§1.1.1 正弦定理学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．(探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a bA B=， 同理可得sin sin c bC B =， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin cC=． 试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin cC ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A = ，60B = ，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B = ，60C = ，12a =cm ，解三角形．例2. 在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆=== 中，求和．变式：在3,60,1,,ABC b B c a A C ∆=== 中，求和．三、总结提升 ※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin cC= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 sin sin a b A B =2sin cR C==，其中2R 为外接圆直径. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（ ）.A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1∶3D ．2∶2∶3 3. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）. A. A B > B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C ++++= ．课后作业1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．§1.1.2 余弦定理学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学 ※ 探究新知 问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC =， ∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ． [理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；c a bA BC②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，33a =，2c =，150B = ，求b ．（2）△ABC 中，2a =，2b =，31c =+，求A ．※ 典型例题例1. 在△ABC 中，已知3a =，2b =，45B = ，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，37c =，大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．三、总结提升 ※ 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展 在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角； 若222a b c +>，则角C 是锐角．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a ＝3，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.A. 342B. 34C. 222D. 222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）. A ．513x << B ．13＜x ＜5 C ． 2＜x ＜5 D ．5＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC|＝________． 5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足 222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．课后作业1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）学习目标1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．学习过程一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝252，b ＝502，解此三角形． 二、新课导学 ※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝502；② A ＝6π，a ＝5063，b ＝502；③ A ＝6π，a ＝50，b ＝502.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC BACB1ABACB2CHHH试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b cA B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 22032ab C =，求角C ．三、总结提升 ※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a bb +的值=（ ）. A.13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．课后作业1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。
1.1.1正弦定理
B
CBD 90, C C c sin C sin C 2R
c O
a
C
c A b 2R sin C a b 同理， 2 R, 2R sin A sin B C/ a b c 2R sin A sin B sin C （R为外接圆半径）
1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它 所 对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
2R
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
1、A B C 或180 ;
b sin A 3 sin 45 = = 2 ∴ a sin B sin 60
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45 ，B= 60 ，求a。
a b 解： ∵ sin A sin B
，A= 75 ，B= 60 ，求b。 （2） 在△ABC中，已知c= 3 解： ∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60 ) 45 b c 3 sin 60 3 2 c sin B ∴b 又∵ sin B sin C sin 45 2 sin C
a
B
c sin A 10 sin 45 10 2 得a = sin 30 sin C
b c 由正弦定理 sin B sin C
c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) 得 b= = sin C sin 30
高中数学 解三角形 正弦定理 练习含答案
第一章 解三角形1.1.1 正弦定理一．选择题1.在ABC ∆中，︒︒===15,30,3B A a ，则c 等于（ ）A.1B.2C.3D.232. 已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =( )A.2 B ．4＋ C ．4— D 3. 在ABC ∆中,3:2:1::=C B A ，则c b a ::等于（ ）A.3:2:1B.1:2:3C.1:3:2D.2:3:14. 在ABC ∆中,10=a ，︒=60B ,︒=45C ，则=c （ ） A.310+ B.)13(10- C.13+ D.3105.在ABC ∆中，4,6,60===︒b a A ，那么满足条件的ABC ∆（ ）A. 有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定6. 在ABC ∆中，4=a ，34=b ，︒=30A ，则B ∠等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°7. 在ABC ∆中，若60A ︒=,a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于（ ）A.2B.12 D.28. 在ABC ∆中，2cos a b C =，则这个三角形一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形二．填空题9. 在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________10. 在单位圆上有三点,,A B C ,设△ABC 三边上分别为,,a b c ，则2sin 2sin sin a b c A B C++=11. 在ABC ∆中，已知1,3ABC a C S ∆===b = 12. 在ABC ∆中，222sin sin sin A B C +=，则C =三．解答题13．在△ABC 中，3,30a c A ︒===，解三角形.14．已知在△ABC 中，45,2A c a ︒===，解三角形17. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，判断ABC ∆的形状；解三角形1.1.1正弦定理1-5 DADBC 6-8 DAA 9. 30150︒︒或； 10.7 ； 11. 12.90︒13. 60,90,6C B b ︒︒===； 或 120,30,3C B b ︒︒===14. 60,75,1C B b ︒︒=== 或 120,15,1C B b ︒︒=== 15. sin 2sin 2A B =，该三角形为等腰三角形或直角三角形1.1.2余弦定理（1）1-5 DBCBB ACB 9.120︒； 10.45︒； 11. 120︒； 12.30︒13. 22()21cos 22a c acb B ac +--==-，解得3ac =所以1sin 2ABC S ac B ∆==14. 18,60b c bc +==，22()22cos 144a b c bc bc A =+--=所以12a =5sin sin sin sin 14b c B C A A a a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15. 30B ︒=; b =。
1.1.1正弦定理
A ------ C -------------设A,B 两点在河的两岸，测量者在 A 同侧取点C,测得AC 长为20米,BAC =75 , BCA =45 ,求A,B 两点间距离(2)初中学习过三角形的哪些边角关系？定性关系： 曰.¥ W定量天系：(3)思考2中的定量关系适用于锐角或钝角三角形吗？试证明 练：在• ABC 中，a = 8,B = 60 ,C = 45解三角形1.1.1正弦定理导学案2、概念形成一、 学习目标： 1、 通过对任意三角形边角关系的探究，掌握正弦定理的内容及证明方法 2、 能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题 3、 熟记定理和变形公式解决三角形中的问题 二、 学习重难点 重点：正弦定理的内容与证明 难点：正弦定理解三角形 三、 学习过程 1、( 1 )创设情境-B定理内容： 常见变形：3、概念深化解三角形：三角形的三个角及三条边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形思考1.至少知道几个元素才可以解三角形？ 思考2•正弦定理可以解决哪类解三角形问题四、经典例题 类型一：例一、设A,B 两点在河的两岸，测量者在A 同侧取点C,测得AC 长为20米，BAC = 75 BCA 二45 ,求A,B 两点间距离类型二：例 1 已知a=16, b= 16\3 , A=30° .求角B, C 和边c 变1、已知a=16, b=16 、、 3 ,B=60 ° 求角 A , C 和边c例2、在ABC中, A的角平分线AD与边BC交于点D，求证BDDCABACA五、巩固练习1•在- ABC 中，A = 60 ,• B = 45,b=2 则a 二A.「2B.、, 6C.二D.2「62•在ABC 中，a=8, B = 60，- C = 75 ,则b二A.4.2B.4「6C.4「3D. 2「63•在ABC 中，A = 60a=43，b = 4、2，贝U B =o o o oA. 4 5或1 3 5B.45 C = 135 D.以上答案都不对4•在ABC 中，a = 2,c= .6，/ A =45 ，则C =A.60B. 1 2 0C.6 0或1 2 0D.无解5•在ABC中，• A = 60,・ C=45,b = 2，则此三角形的的最小边长为6•在ABC 中，A: B:C =1: 2:3 ,则a: b:c 二(3) a 二3,b 二、3,一A = 60A.1: 2:3B.3 : 2 : 1C. 1 C3 : 2D. 2 :. 一3 : 1六、能力提升(4) a = 3,b = 2上B = 45(5) b = 4,c = 4.8上C = 751•在锐角- ABC中，角代B所对的边长为a,b若2asin B -、3b，则A角等于 2.求证：在ABC中, sin A sin Bsin C提示：令a bsin A sin BcsinC2•在ABC中，若acosA二bcosB，则三角形一定是三角形提示：令a _ bsin A sin BcsinC3在ABC中，sin2A - si n2B=si n2C,求证ABC是直角三角形七、作业1•已知ABC，根据下列条件，解三角形（1）Z A 二 60 , EB = 30 , a = 3(2) A =45 ,. B =75 ,b =8练习册P651-9 题。
正弦定理知识点
1．1．1正弦定理课上讲解：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R其中R 为三角形外接圆半径。
2.正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3.常用变形： ①π=++C B A②C B A C B A sin )cos(,sin )sin(=+=+ ③C ab S abc sin 21=∆题型一：已知两角和一边（唯一确定）例1. 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆.变式练习1：1.已知ΔABC ，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:A.3B.2C.3D.2 2.已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A.8B.4C.43-3D.83-8 3.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sin x 的性质决定） 例2.在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆变式练习1：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆变式练习2：02,135,3,ABC a A b B ∆===中，求变式练习3： 在ABC ∆中，已知角334,2245===b c B ，，则角A 的值是 A.15 B.75 C.105 D.75或15变式练习4：在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，，则A= 。
题型三：外接圆问题 例3. 试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径变式练习1：在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A 2R B RC 4RD R 2(R 为△ABC 外接圆半径)变式练习2：在ABC ∆中，5,40,20===c B A oo ，则R 2为 （ ）A 、3310 B 、10 C 、25 D 、210变式练习3：在ABC ∆中，=+A Rb B R a cos 2cos 2 （ ） A 、B A sin sin + B 、)sin(B A +C 、)sin(B A -D 、)cos(B A -变式练习4：设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．题型四：比例问题 例4.在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．变式练习1：已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1。
1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。
1.1.1正弦定理2
a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
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第一章 解三角形---正弦定理巩固练习
1. 在ABC ∆中，60A =°，a =b =，则角B 等于 ( ).
A.45°或135°
B.135°
C.45°
D.以上答案都不对 2.在△ABC 中，若
sin A cos B a b ＝，则角B 等于 ( ) A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90° 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3A π
=，3a =，
b=1，则c 等于（ ）. A. 2 B. 1 C. 13- D. 3
4.已知锐角△ABC 的面积为BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( )
A ．60° 或120°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
5.在△ABC 中，A ∶B ∶C=4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于 ( ) A.∶1∶1 B.2∶1∶1 C.∶1∶2 D.3∶1∶1
6.三角形两边长之差为2，其夹角的余弦值为35
，面积为14，那么这个三角形的两边长分别是 ( )
A ．3和5
B ．4和6
C ．6和8
D ．5和7
7.已知锐角三角形ABC 中，AB 4AC 1 ＝，＝，△ABC 则A
BA C ⋅ 的值为( ) A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4 8.在△ABC 中,AC =,AB =,cos A =,则S △ABC = .
9.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且A b a s i n 3=，则=B s i n ________.10.在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝
3π，b ＝1，△ABC 的外接圆半径为1，则△ABC 的面积S ＝_________.
11.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，，已知b cos C +c cos B =2b ，则a b
=_______. 【变式】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a cos B +b cos A 等于( ) A.
B.b
C.c
D.a
12. 在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，△ABC 的面积为a =5.求角C 和b .
13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B =3，sin(A +B )= 9
ac =求sin A 和c 的值.
13.【解题指南】先判断A+B，再将其看作一个整体，利用两角和与差的三角公式，结合正弦定理求解.
【解析】在△ABC中，cosB=，则sinB=.
因为sin(A+B)=<，所以A+B为钝角，
cos(A+B)=-，
所以sinA=sin(A+B-B)
=sin(A+B)cosB-cos(A+B)sinB
=×-×=.即sinA=.
因为sinC=sin(A+B)=，sinA=，ac=2，
由正弦定理=，
得ac=c2=c2=2，所以c=1.
13.在△ABC中，(a2+b2)sin(A-B)=( a2- b2)sin(A+B),试判断△ABC的形状.
13.【解析】由(a 2+b 2)sin(A-B)=(a 2-b 2)sin(A+B)得 a 2［sin(A+B)-sin(A-B)］
=b 2［sin(A+B)+sin(A-B)］,
所以a 2cos Asin B=b 2sin Acos B.
由正弦定理得sin 2Acos Asin B=sin 2Bsin Acos B. 因为0<A<π,0<B<π,
所以sin A>0,sin B>0,0<2A<2π,0<2B<2π,
所以cos Asin A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. 所以2A=2B 或2A+2B=π.
即A=B 或A+B=2
. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.。