2019学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》16PPT课件
提问：在公路旁的A处是一个居民房子，如何测量房子到公路的距离？
如何测量路宽？
主要是培养学生的解决问题的能力，能够把房子抽化为点， 路宽的界限当成两条平行线的距离
把房子抽化成点，路的两个界限为两条平行线，所以抽化成两个数学问 题：点到直线的距离和两条平行线的距离
如何定义两条平行线间的距离？ 平行线具有怎样的性质？（考察了初中的部分知识）
（1）平行线间距离公式的推导 （2）平行线间距离公式的运用
相应练习册：固学案 第三课时
本节课内容不是很难，还是要让学生 们多独立思考
两条平行线间的距离
教学目标：
知识目标：理Leabharlann 两条平行线间的距离的概念，会将直线间的距离转 化为点到直线的距离来求。 能力目标：提升自主探究能力，充 分体会转化思想。 情感目标：通过对问题的探究活动， 获得成功的体验和克服困难的经 历，增进学习数学的信心，优化 数学思维品质
教学重点：两条平行直线的距离公式 的推导、应用；线线距与点线距的转 化 教学难点：两条平行直线间的距离的 求法及灵活应用
求证：两条平行直线
的距离
证明：在直线 ，
上任取一点
，则
。根据上边的讲解得知只需求P点到
的距离即可。所以
。得证。
小组讨论应用此公式 时需注意的问题
直线方程必须是 一般式
两条直线方程x，y的 系数必须一致
练习1：求下列平行直线的距离d （1）
（2）
练习2：求与直线 直线方程。
平行且到l的距离为2的
2019年高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修2
3.直线y=3x-4关于点P(2,-1)对称的直线l的方程是( A ) (A)y=3x-10 (B)y=3x-18 (C)y=3x+4 (D)y=4x+3
解 析 : 在 直 线 上 任 取 两 点 A(1,-1),B(0,-4), 则 其 关 于 点 P 的 对 称 点 A',B'可由中点坐标公式求得为A'(3,-1),B'(4,2).由两点式可求得方 程为y=3x-10.故选A.
(1)
5x 2x
4y 2 0, y 2 0;
解:(1)解方程组
5x 2x
4y 2 0, y 2 0,
得该方程组有唯一解
x y
10 3
14 . 3
,
所以两直线相交,且交点坐标为(- 10 , 14 ). 33
2x 6 y 3 0,
自我检测(教师备用)
1.直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k的值为( C ) (A)-24 (B)6 (C)±6 (D)-6 2.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B ) (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
方程组
A1x A2 x
B1y C1=0，的解 B2 y C2 =0
直线 l1 和 l2 的公共点个数
直线 l1 和 l2 的位置关系
一组
一个 相交
无数组
无数个 重合
无解
零个 平行
2.过两条直线交点的直线系方程 过两条直线l1,l2交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0,其中λ 为参数. 在这个方程中,不论λ 取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,即它不能表示直线l2. 3.两点间的距离公式
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》319PPT课件
已知点P (x0, y0) ，到直线Ax+By+C=0的距离：d Ax0 By0 C
平面内的两直线之间的位置关系：
A2 B2
平行和相交
两平行直线间的距离： 定义：两条平行直线间的距离 是指夹在两条平行直线间的公垂线的长。 结论：平行线间的距离处处相等。
例1：已知直线 l1 ：2x-7y-8=0, l2;6x-21y1=0, l1与 l2 是否平行？若平行，求l1 l2之
使用公式时要注意：
必须是一般式；A,B的系数必须一样。
目标检测： ①已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段 长为3，且该直线过点（2，3），求该直线方程。 ②求两平行线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离。 ③求与两条平行直线2x+3y-8=0与2x+3y+18=0的距离相等 的直线方程。
作业： 课本110页A组10题，B组9题。
谢谢大家！
.
间的距离。
解: l1 的斜率 k1
2 7
, l2 的斜率 k2
6 21
2 7
.
l1 的纵截距 b1
8 7
, l2 的纵截距 k2
1. 21
因为 k1 k2 , b1 b2 ,所以 l1 l2 .
求得 l1 与 x 的交点 A 的坐标为 (4,0) .
点
A 到直线 l2
的距离 d
|
6 4 21 0 62 212
13
22 32
13
（2）取点（0，0）到直线3x+4y=10的距离
30 40 10
d
2
32 42
深化提高
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》311PPT课件
【自主解答】 法一 若在直线l1上任取一点A(2,1)，则 点A到直线l2的距离即为所求的平行线间的距离，
则d＝|3×2＋342＋×412－15|＝1. 法二 直接应用两条平行直线间的距离公式． l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0， 故d＝|－103－2＋－4215|＝1.
所以k＝－k1AB＝－2－1－1＝－3，
8分
6－－3
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和
y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
12分
归纳总结
1．两条平行线间的距离处理方法有两种： 一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化 归转化思想． 二是直接套用公式 d＝ |CA1－2＋CB22| ，其中 l1：Ax＋By＋ C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线 l1 与 l2 的方 程为一般式且 x，y 的系数分别相同．
法二 ∵直线x＝2与y轴平行， ∴由图(1)知d＝|－1－2|＝3. (3)法一 由点到直线的距离公式得 d＝|－1×002＋＋122－1|＝1. 法二 ∵直线y－1＝0与x轴平行， ∴由图(2)知d＝|2－1|＝1.
新知探究
例 1 求两条平行直线 l1：6x＋8y＝20 和 l2：3x＋4y－15 ＝0 的距离．
一师一优课 一课一名师
3.3.4 两条平行直线间的距离 舒兰市第二高级中学校 数学 陈立影
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解两平行直线的距离公式的推导过程． (2)掌握两平行直线的距离公式． (3)掌握平行直线的距离公式的应用．
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》951PPT课件
直线方程。
3.已知直线 l 与两直线 l1 : 2x y 3 0 l2 : 2x y 1 0 距离相等，求直线 l 的方程
4.已知一直线被两平行线 3x 4y 8 0 3x 4y 7 0 所截的线段长度为3，且该直
线过点 A(2,0) ，求该直线方程。
河北蠡县第二中学
结束语：
我的说课到此结束，欢迎各位老师 品评指正，谢谢！
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河北蠡县第二中学 杨新贺 邮箱
119352247@
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知识小结 提高认识：
由学生回顾本节课中的公式及其应 用时应注意的问题。
回顾检验学生当堂学习 效果，加深学生印象
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课后作业 练习深化：
* 课本Ｐ109-110A组第15，10题;B组3题 * 附加课外题 1.两平行线 6x my 1 0 3x y 3 0 间的距离
尽力营造轻松的学习环境，让学生享受学习的 快乐和成功的喜悦. 2．学法 在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法 为思考问题、共同探讨、解决问题、简单应用、 重现探索过程、练习巩固。让学生参与探索的 全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的 方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学 习转化为主动的自主学习.
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学生特征：
本节课的授课对象是本校高一实验 班全体同学，本班学生水平处于中 等偏上，本班学生具有善于动手的 良好学习习惯，接受能力较强，所 以采用探究发现式的教学方法完成 本节课的教学内容.
河北蠡县第二中学
教学策略选择与设计：
１．教法
在本节课的教学过程中，本人以学生为主题， 以发现为主线，尽力渗透化归、数形结合等数 学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同 探究、综合应用等教学模式，还给学生“时 间”、“空间”， 由易到难，由特殊到一般，
高中数学3.3 直线的交点坐标与距离公式优秀课件
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
k 1 1 3 1 11 2 2 4
所以直线的方程为：4x 3y 6 0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足以下条件的直线l的方程。
(3)和直线2x-y+6=0平行
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
(1 )2 ( 2)1 (4 2) 0
4 所以直线的方程为：x 2 y 4 0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足以下条件的直线l的方程。
(2)和直线3x-4y+5=0垂直
解: (2) 设经过二直线交点的直线方程为：
例1 已知点A(1,2), B(2, 7 ),在x轴上求一点P, 使得| PA|| PB |, 并求| PA| 的值.
解 ： 设P点 的 坐 标 为(a,0) | PA| (1 a)2 (2 0)2 4 (a 1)2
| PB | (2 a)2 ( 7 0)2 7 (2 a)2 | PA|| PB | 4 (a 1)2 7 (2 a)2 解 得 ：a 1 | PA| 4 (a 1)2 2 2
A的坐标是方程组的解
直线l1与l2的交点是A
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
例1：求以下两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0；l2： 2x解+y：+2解=0方. 程组
3x+4y－2 =0
x= －2
2x+y+2 = 0 得 y=2
∴l1与l2的交点是M〔- 2，2〕
练习1、判定以下各对直线的位置关系，假设相交，
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》34PPT课件
（3）参数的几何意义: （a，b）表示圆心坐标, r表示圆的半径。
(4) 若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 y2 r 2
(三)直接应用（内化新知）
试一试:
1、已知圆的标准方程，请说出圆心和半径.
(1) x 12 y 22 9 (1, 2) 3
圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程.
y A(1,1)
O C
x B(2,-2)
l : x y 1 0
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D
的坐标为
(3, 2
1), 直线AB的斜率:
2
k AB
2 1 2 1
3，
因此线段AB的垂直平分线l′的方程是
4.1.1 圆的标准方程
圆的标准方程
讷河二中 谢敬
生活掠影 一石激起千层浪
福建土楼
奥运五环
乐在其中
小憩片刻
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就 一起来认识一下圆吧！
教学目标:
1.掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实
际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力 .
D.(x－3)2＋y2＝2
【解析】选B.圆的圆心是(0,－3)，半径是r＝ 1 |－5－(－1)|＝2.故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4.
2
3. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-
2=0上，求圆M的方程.
【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
直线的交点坐标与距离公式课件PPT
解析： (1)|MN|＝ 5－m2＋m＋12＝2 5， ∴m2－4m＋3＝0. ∴m＝1，或 m＝3. (2)设 P 点坐标为(x,0)， 则有 x－32＋0－42＝5， 即(x－3)2＝9， ∴x＝0 或 x＝6. 答案： (1)1或3 (2)(0,0)或(6,0)
[归纳升华] 解含有参数的直线恒过定点的问题
1．方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然 后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
2．方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0，其中 λ 是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可 由方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00， 解得．若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示 的所有直线必过定点(x0，y0).
所以 l1 与 l2 相交，
且交点坐标为－130，134.
2x－6y＋3＝0，① (2)解方程组y＝13x＋12，② ②×6 整理得 2x－6y＋3＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1 与 l2 重 合．
(3)解方程组2y＝x－13x6＋y＝12，0，②① ②×6－①得 3＝0，矛盾． 方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
谢谢观看！
数学 必修2
填一填 研一研 练一练
第三章 直线与方程
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
[学习要求]
本 课
1.了解点到直线距离公式的推导方法；
时 栏
2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》890PPT课件
动
探 究
当－1≤k<0时，倾斜角的范围是3π 4 ，π.故选D.
第9页
第9章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
基
础
知 识
[拓展探究] (1)本例(1)改为：“若直线 l 的方程为 xsin
回 顾
α－ycos
α＋1＝0，其中α∈
－π，0 2
”，则直线
l
的倾斜角
课 时 跟 踪 训
高考总复习·课标版·数学（文）
解法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
基
础 知
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
识
回 顾
令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，
课 时 跟
踪
考
由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，
训 练
点
互 动 探
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，
踪
训
练
考 点 互 动 探 究
第12页
解析
第9章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝
基 0过定点A(0，－1)，
础 知 识 回
当m≠0时，kQA＝32，
顾 kPA＝－2，kl＝－m1 .
课 时 跟 踪
考 ∴－m1 ≤－2或－m1 ≥32.解得0<m≤12或－23≤m<0；
点斜 式
过点(x0，y0)，斜率为k
回顾斜ຫໍສະໝຸດ 式斜率为k，纵截距为b两点 过两点(x1，y1)，(x2，
考 式 y2)，(x1≠x2，y1≠y2)
2019-2020年新人教A版高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件必修2
即时训练 2 1:已知点 A(-1,2),B(2, 7 ),在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|,并求 |PA|的值.
解:设所求点 P(x,0), 于是由|PA|=|PB|得
x 12 0 22 = x 22 0 7 2 ,
即 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1. 所以,所求 P 点坐标为(1,0),
|AC|= 3 12 0 12 = 5 ,
|BC|= 3 12 0 32 = 25 =5,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2, 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形.
题型二 两点间距离公式的应用
【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0). (1)判断△ABC的形状.对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
提示:两条直线平行⇔A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0(或 B1C2-B2C1≠0); 两条直线相交⇔A1B2-A2B1≠0;
A1B2 A2B1 0,
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- 1 -
3.3.4 两条平行直线间的距离
A级 基础巩固
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A．32 B.22 C．3 D.322
解析：点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1－1×（－1）＋1|12＋（－1）2＝322.
答案：D
2．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于5，则k的取值范围是
( )
A．[－11，－1] B．[－11，0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
解析：y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意，得|k＋2＋4|22＋12＝|k＋6|5≤5，且
k
＋2≠－4即k≠－6，得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1，且k≠－6.
答案：C
3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.95 B.185 C．3 D．6
解析：由题意知，|PQ|的最小值即为两平行线间的距离．
将6x＋8y＋6＝0化为3x＋4y＋3＝0，则|PQ|的最小值为d＝|3－（－12）|32＋42＝155＝3.
答案：C
4．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于55的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
解析：根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d＝
- 2 -
|c－1|22＋12＝5
5
，解得c＝0或c＝2.所以所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：D
5．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0
二、填空题
6．点P(2，4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．
解析：点P到直线l的距离d＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝3.
答案：3
7．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是
____________．
解析：由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，
则|C－4|12＋22＝|C|12＋22，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
答案：x－2y＋2＝0.
8．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是
________．
解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5.
答案：5
三、解答题
9．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是3510的直线l的方程．
解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝|3×（－1）－0＋m|32＋（－1）2＝|m－3|10＝3510.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
10．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为y2－0＝x＋31＋3，即x－2y＋3＝0.
- 3 -
由两点间距离公式得
|BC|＝（－3－1）2＋（0－2）2＝25，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d
＝|－1－2×3＋3|12＋（－2）2＝455，
所以S＝12|BC|·d＝12×25×455＝4，
故△ABC的面积为4.
B级 能力提升
1．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则
AB的中点M
到原点距离的最小值是( )
A．32 B．23
C．33 D．42
解析：由题意，结合图形可知点M必然在直线x＋y－6＝0上，故M到原点的最小距离为
|－6|
2
＝32.
答案：A
2．直线x＝1上一点P到直线4x＋3y＝0的距离为25，则点P的坐标是________．
解析：设P(1，y)，由已知得|4×1＋3y|42＋32＝25，
解得y＝－23或y＝－2.
所以P点的坐标为1，－23，(1，－2)．
答案：1，－23，(1，－2)
3．直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，l1到l2的距离为5，求l1，l2的方
程．
解：(1)若l1， l2的斜率存在，设直线的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，
即kx－y－5k＝0，
则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，
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所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，所以k＝125.
所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
(2)若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，
同样满足条件．
综上，满足条件的直线方程有两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或
l1：x
＝0，
l2：x
＝5.