离散数学----谓词逻辑
离散数学第二章谓词逻辑-4-6节.ppt
河南工业大学离散数学课程组
四、谓词公式的蕴含式定义
定义2-5.5：在个体域E上公式A蕴含B。 给定谓词公式A、B，E是它们的个体域，如果不 论对公式A、B作任何赋值，都使得A→B为重言式， 则称在个体域E上公式A蕴含B。
定义：公式A蕴含B。 如果不论对什么个体域E，都使得公式A→B为重 言式，则称A蕴含B，记作AB。
f(1) f(2) P(1) P(2) 21 F T
其中，个体域D={1，2}，a=1 Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2)
(x)(P(x)→Q(f(x),a))
T
T
F
F
(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))
(F →Q(2,1)) ∧(T → Q(1,1))
赋值：令P：2>1， x=4时，公式为P→N(4)，真值是“真”。
谓词公式经过赋值以后，成为具有确定真值的命题。
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带量词的公式在个体域内的展开式
个体域有限时,去掉量词公式，当个体域有限时， 如个体域D={x1,…，xn},由量词意义可知，对任意 A(x),都有:
1. (x) G(x)G(x1)∧G(x2)∧......∧G(xn) 2. (x) G(x)G(x1)∨G(x2)∨......∨G(xn)
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约束变元/指导变元/作用变元：在量词的辖域内，且在 量词后面出现的变元。
约束出现：在(x)和(x)的辖域中，x的所有出现。 自由变元：不受量词约束的变元。
自由出现：A中不是约束出现的其他变元。
约束变元
自由变元
量词
(x)P(x,y)
约束变元
辖域
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离散数学第四章-一阶逻辑基本概念
记作F(x1,x2… … xn) 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 例如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，…
0元谓词——不含个体变项的谓词.实际上就是一般的命题
第四章 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 第五章 一阶逻辑等值演算与推理 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式
自然推理系统NL及其推理规则
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第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容
一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化
x : 个体域中有一个个体x xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F
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量词
全称量词: 表示所有的.
存在量词: 表示存在, 有一个.
xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F xyG(x,y) 表示个体域中所有的个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示个体域中存在个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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一阶逻辑公式及其解释
一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式
离散数学谓词逻辑练习题
离散数学谓词逻辑练习题1. 定义谓词逻辑中的谓词和量词，并给出一个包含谓词和量词的逻辑表达式的例子。
2. 写出以下命题的逻辑表达式：- 所有人都是学生。
- 有些学生不是书呆子。
- 如果今天是星期三，那么明天是星期四。
- 所有人都是学生，并且所有人都是书呆子。
3. 将以下逻辑表达式转换为等价的谓词逻辑表达式：- ∀x (P(x) → Q(x))- ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))- ∀x (P(x) ∨ Q(x))- ∃x (P(x) → Q(x))4. 判断以下命题的真值，并解释你的推理：- 存在一个整数x，使得x的平方加1等于x的立方。
- 对于所有实数x，如果x大于0，则x的平方也大于0。
5. 使用逻辑推理证明以下命题的等价性：- (P → Q) ≡ ¬P ∨ Q- (P ∧ Q) → R ≡ P → (Q → R)6. 给定以下谓词：- P(x): x是偶数- Q(x): x是素数- R(x): x是奇数- S(x): x是合数使用这些谓词构造逻辑表达式，描述以下情况：- 存在一个数x，它是偶数且是素数。
- 对于所有数x，如果x是偶数，则x不是素数。
- 所有数x，如果x是奇数，则x不是合数。
7. 将以下逻辑表达式转换为前束范式：- (P(x) ∧ Q(x)) → R(x)- ¬(P(x) ∨ Q(x)) → R(x)- (P(x) → Q(x)) ∧ (Q(x) → R(x)) → (P(x) → R(x))8. 给定以下逻辑表达式：- P(x): x是人- Q(x): x是学生- R(x): x是教师- S(x): x是学生或者教师使用这些谓词，构造一个逻辑表达式，描述“所有人要么是学生要么是教师”。
9. 使用谓词逻辑表达以下条件语句：- 如果x是偶数，那么x是合数。
- 如果x是素数，那么x不是偶数。
10. 给定以下逻辑表达式：- ∀x (P(x) → Q(x))- ∃x P(x)- ¬Q(a)使用这些表达式，证明以下结论：- ∃x ¬Q(x)。
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
一阶逻辑基本概念-谓词逻辑课件(离散数学)
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二、一阶逻辑中命题符号化
（5）某些人对所有的花粉都过敏。 令 F(x): x是人, G(y): y是花粉,
L(x,y)：x对y过敏。 x(F( x) y(G( y) L( x, y)))
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二、一阶逻辑中命题符号化
（6）所有的学生都上课了，这是错的。 令 F(x): x是学生, G(x): x上课了。 x(F( x) G( x)) 这句话相当于“有些学生没有上课”。
第四章 一阶逻辑基本概念
（谓词逻辑）
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本章主要内容
4.1 一阶逻辑命题符号化 4.2 一阶逻辑公式及解释
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4.1 一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词的概念 一阶逻辑命题的符号化
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一、个体词、谓词、量词的概念
1. 个体词的基本概念 定义：个体词（个体）: 可以独立存在的具 体或抽象的客体。 例：我是老师。其中“我”就是个体词。
谓词变项：表示抽象及泛指的性质或关系 例：…具有性质F，记为F， F(张华)：张华具有 性质F
谓词常项和变项都用大写字母表示。
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一、个体词、谓词、量词的概念
n元谓词(n2): 含有n个个体变项的谓词。 如：L(x,y)：xy，L是一个二元谓词。
一元谓词: 只含有一个个体变项的谓词。 如：F(x)：x是女孩。
即个体域是 无穷集合
全总个体域
宇宙间一切 事物组成。
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一、个体词、谓词、量词的概念
2. 谓词的基本概念
例：张华是大学生。 李凯是大学生。
例：张三比李四高。
…是大学生 …比…高
定义: 表示个体词性质或相互之间关系的词。
离散数学的谓词逻辑详解
“存在x， ┐ P(x)是真”
如: “有些有理数是整数。” 令Ｉ(x）：x是整数， 设x的个体域为有理数集合，则命题可表示为： x I(x）
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4. 论 域
含有量词的命题的表达式的形式，与论域有关。用量词量化 后的命题，其值也与论域有关。 例 1 x（x=0) 若论域为整数集，则此命题值为真， 若论域为正整数集，则命题的值为假。
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变元的约束
令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。 判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？ 例1 ：
P(x， y) P(x， y)∧Q(x) Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
为了方便，引入全总个体域，记为：U，简称全域: 定义:宇宙间所有的个体聚集在一起所构成的集合称为全域。
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特性谓词
后面的讨论中，除特殊说明外，均使用全域。而对个 体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制。
一般地，对全称量词，特性谓词作蕴含的前件引入；而 对存在量词，特性谓词常作为合取项引入。
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3. 量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中的 各种命题。 例如： “ 所有的正整数都是素数 ” “ 有些正整数是素数 ” 两种量词: 全称量词和存在量词.
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全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
定义：一个n元函词即是一个论域Ｄ上的一个n元函数．
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概念的讨论
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。
离散数学谓词逻辑
离散数学谓词逻辑以《离散数学谓词逻辑》为标题，写一篇3000字的中文文章离散数学谓词逻辑（Discrete Mathematics Predicate Logic）是一种非常灵活的数学抽象思维方式，它是用来描述关系的基本逻辑形式。
例如，假设我们有三个人，分别叫做张三、李四和王五，我们可以用离散数学谓词逻辑来描述他们之间的关系。
假设张三、李四和王五是同学，则可以用这样一个谓词逻辑来表示：S(x,y)：表示x和y是同学，x代表一个人，y代表另一个人。
根据谓词逻辑S(x,y)，可以得出如下结论：1、张三和李四是同学，即S(张三,李四)；2、李四和王五是同学，即S(李四,王五)；3、王五和张三不是同学，即~S(王五,张三)，其中“~”表示“取反”，即不成立。
离散数学谓词逻辑的基本概念是由著名数学家许渊冲和英国数学家华罗庚于二十世纪六十年代提出的，它可以用来描述各种复杂系统中的关系和行为规律。
这种数学谓词逻辑是数学逻辑学的一个分支，它将用谓词表达式描述各种复杂的逻辑关系，给出关系的结论。
离散数学谓词逻辑的有点在于，它可以用很详细的方式来描述事实，而且它也可以很容易地描述复杂的系统中的关系和行为规律。
另外，它也是一种很有效的推理工具，可以用来检验某种行为是否符合逻辑规则，从而推断结论。
例如，假设我们有一个机器人A，它可以根据程序执行以下动作：当检测到红色条件时，机器人A会移动到目标地点。
为了模拟这种情况，我们可以定义一组谓词来表示：R(x,y)：表示x处有红色条件，y代表一个位置；M(x,y)：表示x可以移动到y，x代表一个对象，y代表一个位置。
根据上面的谓词表达式，如果给定以下情况：当机器人A检测到位置a处有红色条件时，它应该移动到第b位置，那么我们可以用谓词逻辑来表示：R(a,b)∧M(a,b)，其中“∧”表示“与”，即同时符合R(a,b)与M(a,b)的条件才行。
离散数学谓词逻辑不仅可以用于描述系统中的关系和行为规律，而且还可以用于复杂系统的建模与推理，它在计算机科学中尤为重要。
离散数学 第二章 谓词逻辑 习题课
第二章 谓词逻辑 习题课
一. 命题符号化 60页(2)
a) (x)(J(x)→L(x)) b) (x)(L(x)∧S(x)) c) (x)(J(x)∧O(x)∧V(x)) d) J(j)∧O(j)∧V(j) e) (x)(L(x)→J(x)) 或者 (x)(L(x)∧J(x) f) (x)(S(x)∧L(x)∧C(x)) g) (x)(C(x)∧V(x) 或者(x)(C(x)→V(x)) h) (x)((C(x)∧O(x))→L(x)) i) (x)(W(x)∧C(x)∧H(x)) j) (x)(W(x)∧J(x)∧C(x)) k) (x)(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) l) (x)(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
习题课
5)b)设N(x):x是数，A(x,y):y是x的后继数
(x)(N(x)∧A(x,1))
(6)设A(x):x是戴眼镜的,B(x):x是用功的,C(x):x是大 学生,D(x):x是大的,E(x):x是厚的，F(x):x是巨著, A(x,y):x在看y,a:那位，b:这本 A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(b)∧ A(a,b)
75页
(1)b)(x)(yP(x,y)→(zQ(z)→R(x))) (x)(yP(x,y)∨(zQ(z)∨R(x))) (x)(yP(x,y)∨(zQ(z)∨R(x))) (x)(yP(x,y)∨ z(Q(z)∨R(x))) (x)yz(P(x,y)∨(Q(z)∨R(x))) (2)c)(x)P(x)→(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨u(zQ(u,z)∨tR(u,y,t)) (x)uzt(P(x)∨(Q(u,z)∨R(u,y,t))) (x)uzt(P(x)∨Q(u,z)∨R(u,y,t)) 此式既是前束析取范式，也是前束合取范式。
离散数学及应用 第3版 第2章 谓词逻辑
2.1个体词、谓词与量词
（3）∃x∀yP(x,y)，其中D = {1,2,3}，谓词P(x,y) : x = y 解：∃x∀yP(x,y)=∀yP(1,y)∨∀yP(2,y)∨∀yP(3,y)
=(P(1,1)∧P(1,2)∧P(1,3))∨(P(2,1)∧P(2,2)∧P(2,3)) ∨(P(3,1)∧P(3,2)∧P(3,3)) =(1∧0∧0)∨(0∧1∧0)∨(0∧0∧1) =0
2.1个体词、谓词与量词
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 x 表示在个体域中存在x 设P (x)是以D为个体域的一元谓词， xP(x) = 0 :对任意的x ∈ D,P(x)取值0 xP(x) = 1 :存在a ∈ D,P(a)取值1
➢ 设D = {a1,···,an}是有限个体域， ∃xP(x) = P(a1)∨P(a2)∨···∨P(an)
所以，∃x∀yP(x,y)与∀y∃xP(x,y)值不相同。
2.1个体词、谓词与量词
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1) 人人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取二个不同的个体域 (a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 .
(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设T(x): x用左手写字, 符号化为 xT(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): x爱美 T(x): x用左手写字 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)T(x))
这是两个基本公式, 注意它们的使用
2.1个体词、谓词与量词
例2.4 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域
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离散数学谓词逻辑 命题逻辑的局限性： 在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些简单而又常见的推理过程。
2.1谓词的概念与表示
2.1.1 客体和谓词 在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体和谓词两部分。客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概念。谓词：用来刻划客体的性质或客体之间的相互关系的词。 刻划一个客体性质的词称之为一元谓词,刻划n个客体之间关系的词称之为n元谓词. 一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英文字母表示客体名称。
注: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填上客体所得到的式子称之为谓词填式。 (2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1，a2,...,an)就变成了命题。 (3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换位置 定义2.1.1:由一个谓词H和n个客体变元组成的表达式H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数.由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题函数.当n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题函数不是命题;特殊情况0元谓词就变成一个命题.复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式.
注意:命题函数中,客体变元在哪些范围内取特定的值,对命题的真值极有影响.
在命题函数中，客体变元的取值范围称为个体域，又称之为论域。个体域可以是有限事物的集合，也可以是无限事物的集合。 全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域。
2.1.2 量词 量词：分为全称量词()和存在量词() 1.全称量词：对日常语言中的“一切”、“所有”、“凡”、“每一个”、“任意”等词，用符号“” 表示， x表示对个体域里的所有个体， xＦ(x)表示个体域 里的所有个体具有性质F.符号“”称为全称量词. 2.存在量词：对日常语言中的“有一个”、“有的”、“存在着”、“至少有一个”、 “存在一些”等词，用符号“”表示， x表示存在个体域里的个体， xＦ(x)表示存在个体域里的个体具有性质F.符号“”称为存在量词. 3. 使用量词时应注意的问题 （1）在不同的个体域，同一命题的符号化形式可能相同也可能不同。 （2）在不同的个体域，同一命题的真值可能相同也可能不同 （3）约定以后如不指定个体域，默认为全总个体域。对每个客体变元的变化范围,用特性谓词加以限制. 特性谓词:限定客体变元变化范围的谓词 一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前件；对存在量词，特性 谓词常作合取项. (4)一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序不能随意调换。 (5) 当个体域为有限集合时,对任意谓词A(x),有(x) A(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) ； (x) A(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
小结:本节将原子命题进行分解,分为客体和谓词两部分.进而介绍了客体和谓词、一
元谓词和n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握一元谓词和n元谓词的概念、全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
2.2谓词公式与翻译 n元谓词A(x1, x2, ... , xn) 称为谓词演算的原子公式。定义2.2.1谓词演算的合式公式,可由下述各条组成: （1）原子公式是合式公式。 （2）若A 是合式公式，则(┐A)也是合式公式。 （3）若A，B是合式公式，则(A∧ B)，(A∨B)， (A B)，(AB)也是合式公式。 （4）若A是合式公式，x是A中出现的任何变元,则(x) A, (x) A，也是合式公式。 (5)只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式.
小结：本节介绍了谓词合式公式的概念，重点掌握谓词公式的翻译.
2.3.1变元的约束 定义2.3.1:在谓词公式中,形如(x)P(x)和(x)P(x)的部分,称为谓词公式的x约束部分. (x)P(x)或(x)P(x)中的x叫做量词的指导变元或作用变元，P(x)称为相应量词的作用域或辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，相应的x称为约束变元; P(x)中除约束变元以外出现的变元称为是自由变元。
说明:
(1)n元谓词公式A(x1，x2,... ,xn) 中有n个自由变元,若对其中的k(k≤n)个进行约束,则构成了n-k元谓词;如果一个公式中没有自由变元出现,则该公式就变成了一个命题 (2)一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关紧要的,如(x)M(x)与(y)M(y)意义相同.
2.3.2 约束变元的换名与自由变元的代入规则 一个变元在同一个公式中既是自由出现又是约束出现, 这样在理解上容易发生混淆.为 了避免这种混乱,可对约束变元进行换名. 换名规则: (对约束变元而言） 对约束变元进行换名,使得一个变元在一个公式中只呈一种形式出现. (1)约束变元可以换名,其更改的变元名称范围是量词中的指导变元以及该量词作用域中所出现的该变元,公式的其余部分不变. (2)换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元名称. 代入规则（对自由变元而言）对公式中自由变元的更改称为代入 (1)对于谓词公式中的自由变元可以作代入,代入时需要对公式中出现该自由变元的每一处进行; (2)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同.
小结：本节介绍了约束变元、自由变元的概念，重点掌握约束变元的换名与自由变元的代
入. 2.4.1谓词的等价和永真的概念 定义2.4.1:给定任意的谓词公式A,其个体域为E,对于A的所有赋值,公式A都为真,则称A在E上是永真的(或有效的);若对于A的所有赋值,公式A都为假,则称A在E上是永假的(或不可满足的);若至少存在着一种赋值使得公式A为真,则称A在E上是可满足的. 定义2.4.2:给定任何两个谓词公式A 、B，设它们有共同的个体域E，若对A和B的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称谓词公式A和B在E上等价，并记为A B 1、命题公式的推广 在命题公式中成立的式子，用谓词公式去代换其中相应的命题变元，得到的公式依然成立 2、量词与┐之间的关系 ┐(x) P(x)(x)┐P(x) ┐(x) P(x)(x)┐P(x) 3、量词辖域的扩张与收缩 量词辖域中如果有合取或析取项，且其中有一个是命题，则可将该命题移至量词辖域之外。 量词辖域的扩张 （xA(x)B）(x) (A(x) B） ((x) A(x)B) (x) (A(x)B） (B(x) A(x)) (x) (B A(x)) (B(x) A(x)) (x) (B A(x)) 4、量词分配等值式 设A(x)、B(x)是任意的含自由出现个体变元x的公式，则 (1) x(A(x)∧B(x)) x A(x) ∧ x B(x) (2)x(A(x)∨B(x)) x A(x) ∨ x B(x) (3)x(A(x)∨B(x)) x A(x)∨ x B(x) (4) x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x) 5.谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧xB(x) 6.多个量词的使用 多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
小结：本节介绍了谓词公式的概念及谓词演算的等价式与蕴涵式，重点掌握谓词演算的等
价式与蕴涵式 2.5.1前束范式 定义2.5.1:任何一个谓词公式A，如果具有如下形式： (□x1) (□x2)… (□xn)B 其中□可能是量词或量词， xi（i=1,…, n）是客体变元，B是不含量词的谓词公式，则称A是前束范式。
说明:前束范式的量词均在全式的开头,它们的作用域延伸到整个公式的末尾。
定理2.5.1:任何一个谓词公式,均和一个前束范式等价。 前束范式的求法： 第一步：否定深入。即利用量词转化公式，把否定联结 词深入到命题变元和谓词填式的前面。 第二步：改名。即利用换名规则、代入规则更换一些变元的名称，以便消除混乱。 第三步：量词前移。即利用量词辖域的收缩与扩张把量词移到前面。这样便可求出与公式等价的前束范式。
2.5.2前束析取范式和前束合取范式 在前束范式的基础上,可以定义前束析(合)取范式. 定义2.6.2:任何一个谓词公式A，如果具有如下形式则称为前束合取范式： (□x1) (□x2)…(□xn)[(A11∨A12∨…∨A1k1)∧ (A21∨A22∨…∨A2k2 )∧…∧(Am1∨Am2∨…∨Amkm)] 其中n大于等于1,Aij(j=1, …,ki ,i=1,2,3,…,m)为原子谓词公式或其否定,□为量词或量词， xi
（i=1,…,n）为客体变元.
任何一个谓词公式A，如果具有如下形式则称为前束析取范式： (□x1) (□x2)…(□xn)[(A11∧A12∧…∧A1k1)∨(A21∧A22∧…∧A2k2 )∨…∨(Am1∧Am2∧…∧Amkm)] 其中n大于等于1,Aij(j=1, …,ki ,i=1,2,3,…,m)为原子谓词公式或其否定,□为量词或量词，xi（i=1,…, n）为客体变元. 定理2.6.2:每一个谓词公式都可以转化为与其等价的前束析(合)取范式.
小结：本节介绍了谓词公式的前束范式、前束析取范式和前束合取范式.重点掌握前
束析取范式和前束合取范式求法。 2.6.1推理规则 在谓词演算中，推理的形式结构仍为 H1H2H3....HnC 若 H1H2H3....Hn C是永真式，则称由前提H1,H2,H3,....,Hn逻辑的推出结论C，但在谓词逻辑中, H1,H2,H3,....,Hn, C均为谓词公式。 命题演算中的推理规则，可在谓词推理理论中用。与量词有关的四条重要推理规则： 1、全称指定规则（US规则） 2、全称推广规则（UG规则） 3、存在指定规则（ES规则） 4、存在推广规则（EG规则）
注意：只能对前束范式适用上述规则。
1. 全称指定规则（ US ）： x P(x) ∴P(c) 使用此规则时要注意： （1）x是P(x)中的自由变元； （2）c是论域中的某个任意的客体. 2.全称推广规则（UG）： P(y) ∴ x P(x)