因式分解题型分类

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14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】

14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】

14.3 因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.注意:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,而不是部分,因式分解的结果只能是整式的积的形式.(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.题型1:因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解且完全正确的是( )A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4B.x2﹣2x﹣3=x(x﹣2)﹣3C.x2﹣4x+4=(x﹣2)2D.x3﹣x=x(x2﹣1)【变式1-1】下列各式的变形中,属于因式分解的是( )A.(x+1)(x−3)=x2−2x−3B.x2−y2=(x+y)(x−y)C.x2−xy−1=x(x−y)D.x2−2x+2=(x−1)2+1【变式1-2】下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )A.a(x+y)=ax+ay B.a2−4=(a+2)(a−2)题型2:找公因式2.代数式 15a 3b 3(a−b) , 5a 2b(b−a) , −120a 3b 3(a 2−b 2) 中的公因式是( )A .5a 2b(b−a)B .5a 2b 2(b−a)C .5ab(b−a)D .120a 3b 3(b 2−a 2)提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式,另一个因式是,即,而正好是除以所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法。

注意:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律,即 .(2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.(3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“—”号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号.(4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,则提取公因式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误.题型3:提公因式法分解因式3.(1)分解因式:a 2-3a ; (2)分解因式:3x 2y-6xy 2.m m题型4:提公因式法与整体思想4.已知xy=-3,满足x+y=2,求代数式x2y+xy2的值.题型5:平方差公式法分解因式5.因式分解:m2(1)a2-9;(2)25−14题型6:完全平方公式法分解因式6.因式分解:(1)x2-4x+4.(2)16m2-8mn+n2.(3)4x2+20x+25;7.因式分解:(1)x2-3x+2;(2)x2-2x-15(3)x2-7x+12.题型8:分组分解法分解因式8.因式分解:(1)x2+4x-a2+4.(2)9-x2+2xy-y2.题型9:利用因式分解简便运算9.计算:(1)2022+202×196+982(2)652-352;10.已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.题型11:利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5,ab=3,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.题型12:利用因式分解解决整除问题12.求证:对于任意自然数n,(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.题型13:因式分解与几何问题13.如图,边长为a、b的矩形,它的周长为14,面积为10,计算a2b+2ab+ab2的值.a2+4ab+3b2因式分解.【变式13-2】如图,长为m,宽为x(m>x)的大长方形被分割成7 小块,除阴影A,B 外,其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短一边长为y.记阴影A 与B 的面积差为S.(1)分别用含m,x,y的代数式表示阴影A,B 的面积;(2)先化简S,再求当m=6,y=1 时S的值;(3)当x取任何实数时,面积差S 的值都保持不变,问m 与y应满足什么条件?题型14:因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a,b,c,且2a+ab=2c+bc,请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形,还是直角三角形?并说明理由.【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c,且b2+2ab=c2+2ac,判断△ABC的形状.【变式14-2】已知在△ABC中,三边长分别为a,b,c,且满足等式a2+bc−ac−b2=0,请判断△ABC的形状,并写出你的理由.【变式14-3】已知三角形的三边长分别为a,b,c,且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac,试猜想该三角形的形状,并证明你的猜想.一、单选题1.同学们把多项式2x2−4xy+2x提取公因式2x后,则另一个因式应为( )A.x−2y B.x−2y+1C.x−4y+1D.x−2y−12.下列多项式中不能用公式进行因式分解的是( )A.a2+a+ 1B.a2+b2-2ab C.−a2+25b2D.−4−b243.把多项式3m(x﹣y)﹣2(y﹣x)2分解因式的结果是( )A.(x﹣y)(3m﹣2x﹣2y)B.(x﹣y)(3m﹣2x+2y)C.(x﹣y)(3m+2x﹣2y)D.(y﹣x)(3m+2x﹣2y)4.如图,长与宽分别为a、b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a3b+2a2b2+ab3的值为( )A.2560B.490C.70D.495.计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )A.-22020B.-2 2021C.22020D.-26.若c2﹣a2﹣2ab﹣b2=10,a+b+c=﹣5,则a+b﹣c的值是( )A.2B.5C.20D.97.已知n是正整数,则下列数中一定能整除(2n+3)2−25的是()A.6B.3C.4D.58.观察下列分解因式的过程:x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4),这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法,已知a,b,c满足a2−b2−ac+bc=0,则以a,b,c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形,下列描述正确的是( )A.围成一个等腰三角形B.围成一个直角三角形C.围成一个等腰直角三角形D.不能围成三角形二、填空题9.下列因式分解正确的是 (填序号)①x2−2x=x(x−2);②x2−2x+1=x(x−2)+1;③x2−4=(x+4)(x−4);④4x2+4x+1=( 2x+1)210.分解因式:ax2﹣4axy+4ay2= .11.已知:m+n=5,mn=4,则:m2n+mn2= .12.因式分解:1-a2+2ab-b2= .13.边长为a、b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+a b2的值为 .14.若△ABC 的三条边a ,b ,c 满足关系式:a 4+b 2c 2﹣a 2c 2﹣b 4=0,则△ABC 的形状是 .15.甲、乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时,甲看错了b ,分解结果为(x +2)(x +4);乙看错了a ,分解结果为(x +1)(x +9),则多项式x 2+ax +b 分解因式的正确结果为 .三、解答题16.因式分解:(1)a 3−36a(2)14x 2+xy +y 2(3)(a 2+4)2−16a 217.把下列各式因式分解:(1)x 2(y ﹣2)﹣x (2﹣y )(2)25(x ﹣y )2+10(y ﹣x )+1(3)(x 2+y 2)2﹣4x 2y 2(4)4m 2﹣n 2﹣4m+1.18.已知二次三项式x 2+px+q 的常数项与(x-1)(x-9)的常数项相同,而它的一次项与(x-2)(x-4)的一次项相同,试将此多项式因式分解.19.给出三个多项式:12x 2+2x ﹣1,12x 2+4x+1,12x 2﹣2x .请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.四、综合题20.已知 a 2−3a +1=0 ,求(1)a 2+1a 2的值。

精讲精练:因式分解方法分类总结-培优(含答案)

精讲精练:因式分解方法分类总结-培优(含答案)

因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是:(1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。

(2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解 (1)-+--+++a xabx acx ax m m m m 2213(2)a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。

解:-+--=--+++++a xabx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a nn n n -=--=----222121;,是在因式分解过程中常用的因式变换。

解:a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例:计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 分析:算式中每一项都含有9871368,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。

解:原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

因式分解中考经典题型

因式分解中考经典题型

因式分解中考经典题型因式分解是初中数学中的重要一环,也是中考数学中经常出现的题型之一。

在中考数学中,因式分解通常分为三类:公因式提取、完全平方公式、差平方公式。

下面我们将分别讲解一下这三类题型。

一、公因式提取公因式指的是多项式中所有单项式所能共有的“因子”,如2x+4y中的2是这两项的公因式,a^2 b + ab^2是ab的公因式。

公因式提取就是将多项式中的公因式提取出来,从而达到简化多项式的目的。

举例:1、将4a^3 + 8a^2 + 12a分解因式。

解:首先将这三项提取公因式,得4a(a^2 + 2a + 3),然后再将a^2 + 2a + 3分解成(a + 1)^2 + 2,因此4a^3 + 8a^2 + 12a = 4a(a + 1)^2 + 8a。

二、完全平方公式完全平方公式是指某一二次式(如a^2+2ab+b^2)可以化为某个线性式(如a+b)的平方。

在解题时,只需要将二次式进行因式分解,然后再利用平方根的性质就可以得到答案。

举例:2、将x^2 + 6x + 9分解因式。

解:x^2 + 6x + 9是一个完全平方的二次式,因为( x + 3 )^2 = x^2 + 6x+ 9 ,所以x^2 + 6x + 9可以化为( x + 3 )^2 。

三、差平方公式差平方公式是指某一二次式(如a^2-b^2)可以化为某个线性式(如a+b)和另一个线性式(如a-b)的乘积。

在解题时,只需要利用差平方公式将二次式进行因式分解,就可以得到答案。

举例:3、将x^2 - 4分解因式。

解:x^2 - 4可以用差平方公式变形为(x + 2)(x - 2),因此,x^2 - 4的因式分解为(x + 2)(x - 2)。

综上所述,因式分解是中考数学中的重要一环,涉及到公因式提取、完全平方公式和差平方公式三类题型,需要学生们在平时的学习中认真掌握和练习。

二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解(1)形如()2ax bx c a b c ++,,都不为零的多项式称为二次三项式;(2)如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为:2ax bx c ++()()12a x x x x =−−.,【考点剖析】 题型一:两根与二次三项式因式分解关系 例1.若方程24210y y −−=的两个根是1y =,2y =,则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________.【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y . 【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x,那么二次三项式2ax bx c ++可分解为:2ax bx c ++()()12a x x x x =−−.【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解. 【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ,则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________.【答案】2211+=x ,2122−=x .【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x,那么二次三项式的分 解公式为:2ax bx c ++()()12a x x x x =−−.【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系.题型二:不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是(,,,,,,) A.2615x x +−;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++;,,,,,,,,, C.2224x x −−;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ;【解析】解:A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是(,,,,,)A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ;【解析】,解:A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;C 、因为24444200b ac −=+⨯=>,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式,故20,240y y ≠∴−<,故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是(,,,,,,)A.2411x x +−;,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ;【解析】解:A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;C 、因为24444200b ac −=+⨯=>,故此二次三项式在实数范围内可以因式分解;D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式,故20,240y y ≠∴−<,故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解,那么m 的值可以是_________.(填出符合条件的一个值) 【答案】5;【解析】解:当241640b ac m −=−<即4m >时,关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解,如m 取5等等.题型三:二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解 例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−;【解析】解:原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式:232x x −−=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭; 【解析】解:因为方程2320x x −−=的两根为x =,故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式:243x x −−=,____________________.【答案】(22x x −−;【解析】解:解方程x2-x-3=0,得x=2±则:x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式: (1)224x x −−;(2)223x xy y −−.【答案】(1)(11x x −−,,,,(2)3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】(1)前两项先配成完全平方公式,然后根据平方差公式,可得答案;(2)先解方程2230x xy y −−=,然后分解因式即可. 【详解】(1)原式=(x2﹣2x+1)﹣5=(x ﹣1)22=(x ﹣1(x ﹣1;(2)∵2230x xy y −−=的解是x y =,∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了因式分解,利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键. 题型四:二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解 例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为(,,,,)A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ;【解析】解:令2x2-8x+5=0,解得:x1=,x2=,则2x2-8x+5=2(x x .故选D .【变式1】在实数范围内因式分解:222x x −−=__________________.【答案】2(x x ;【解析】解:2220x x −−=的解是1x =,214x =,所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解:2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ;【解析】解:22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式:2225x x −−=____.【答案】112()2222x x −−−+;【解析】解:2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−,故答案为:112()()2222x x −−−+.【变式4】分解因式:2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解:因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥,故方程22350a ab b −−=的两根为a ==,故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五:实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解,求p 的取值范围. 【答案】p≥﹣1且p≠0;【解析】解:∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解, ∴px2+2x ﹣1=0有实数解, ∴△=4+4p≥0,且p≠0, 解得:p≥﹣1且p≠0.【变式1】二次三项式2342x x k −+,当k 取何值时,(1)在实数范围内能分解; (2)不能分解;(3)能分解成一个完全平方式,这个完全平方式是什么?【答案】(1)32≤k ;(2)32>k ;(3)32=k ,完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x . 【解析】(1)要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解,则方程23420x x k −+=要有实数根,则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ,解得:32≤k ;(2)要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解,则方程23420x x k −+=没有实数根,则需要满足()021242<⋅−−=∆k ,解得:32>k ;(3)要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式,则方程23420x x k −+=有两个相等实数根,则需要满足()021242=⋅−−=∆k ,解得:32=k .此时,完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x . 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时,则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解,反之,则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解. 【变式2】阅读题:分解因式:223x x −−. 解:原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点,然后加一项,使这三项为完全平方式,我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点,然后用配方法解决下列问题:在实数范围内分解因式:2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方,再根据平方差公式分解即可. 【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用,熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点,然后加一项,使这三项为完全平方式,,再减去一次项系数一半的平方,使整个式子的值不变,这种变形的方法称为“配方法”.,【过关检测】一、单选题1.(2022秋·上海浦东新·八年级统考期中)下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是( )【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解,利用十字乘法把B 分解,再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式,从而可判断C ,D ,从而可得答案. 【详解】解:()22442,x x x −+=−故A 不符合题意;()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意;令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解,故C 符合题意;令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意; 故选:C【点睛】本题考查的是因式分解,一元二次方程的解法,根的判别式,掌握利用公式法解一元二次方程,进而分解因式是解题的关键.2.(2023·上海·八年级假期作业)下列关于x 的二次三项式中,一定能在实数范围内因式分解的是( ) A .21x x −+ B .21x mx −+ C .21x mx −− D .22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥,分别进行判断即可;【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<,故A 错误;21x mx −+的2244b ac m −=−,可能大于0,也可能小于0,故B 错误; 21x mx −−的22440b ac m −=+>,故C 正确;22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤,故D 错误;故选C .【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件,根据题意判断出判别式的符号,认真计算,熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键.3.(2021秋·上海宝山·八年级校考期中)下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是( ) A .x 2﹣3x +2 B .2x 2﹣2x +1C .2x 2﹣xy ﹣y 2D .x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ,C 分解因式,可判断A ,C ,利用一元二次方程根的判别式计算的值,从而可判断B ,D ,从而可得答案. 【详解】解:()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意;令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解,故B 符合题意;()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意;令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解,故D 不符合题意;故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式,一元二次方程的根的判别式的应用,掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出,可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解,之后再代入因式分解的形式中即可.【详解】解:令22230x xy y −−=,解得1x y =,2x y =,所以22232()()x xy y x y x y −−=,故选:C .【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解,掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键. 5.(2022秋·上海嘉定·八年级统考期中)在实数范围内不能分解因式的是( )【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根,根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根,即是否可分解因式. 【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>,B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>,C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<,D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>,只有C 选项∆小于0,,即C 选项不能分解因式,故选:C .【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解,熟练运用根的判别式是解题的关键.【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式,关键是看判别式的范围.0∆≥,能分解因式;Δ0<,不能分解因式.【详解】解:A :24b ac ∆=−,()21413=−−⨯⨯,112=−,,110=−<.23x x −+不能在实数范围内分解因式.故A 错.B :24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+>. 212x mx −−能在实数范围内分解因式.故B 正确.C :24b ac ∆=−,()2243−−=,,40−,223x −+不能在实数范围内分解因式.故C 错.D :24b ac ∆=−,()()21412m =−−⨯⨯−,18m =+,m 的值不定,18m +的符号不确定,故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式.故D 不一定.故答案为:B .【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式,解题的关键是判别式的应用.二、填空题7.(2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习)在实数范围内因式分解:2331x x +−=__________.【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根,即可求解.【详解】解:23310x x +−=3a =,3b =,1c =−,()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>,x =,136x −=,236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭,故答案为:3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解,涉及了公式法求解一元二次方程,解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根.8.(2022秋·上海松江·八年级校考期中)在实数范围内因式分解:223105x xy y ++=________.【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+,可得到()2225x y x +−,再利用平方差公式进行因式分解,即可求解. 【详解】解:223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=.故答案为:)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式:一些式子在有理数的范围内无法分解因式,可是在实数范围内就可以继续分解因式.通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键.9.(2022秋·上海浦东新·八年级统考期中)在实数范围内分解因式:233x x−−=_____.【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=,解得1x=,2x,把233x x−−写成因式分解的形式即可.【详解】解:令2330x x−−=,则1,3,3a b c==−=−,∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=,∴x=,即1x=,2x=,则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭.故答案为:322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭.【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解,正确求解一元二次方程是解题的关键.10.(2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中)在实数范围内分解因式:231−−=xx_________________.【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=,求得方程的两个根,即可求解.【详解】解:2310x x−−=,∵3,,1,1a b c ==−=−,∴2411213b ac ∆=−=+=,∴x ,∴12x x =, ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭.故答案为:3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了解一元二次方程,因式分解,正确的求得方程的两根是解题的关键.11.(2022秋·上海杨浦·八年级校考期中)在实数范围内分解因式237x x −−=_______.【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差,再运用平方差公式分解因式.【详解】解:237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭.故答案为:x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式,其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用. 12.(2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中)若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解,则a 的最大整数解为______.【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解,可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解,再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案.【详解】解:∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解,∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解,∴0a ≠,23440a ∆=−⨯⨯≥,解得,916a ≤且0a ≠,所以a 的最大整数解为1−.故答案为:1−.【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式,一元二次方程根的判别式,掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键. 13.(2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中)在实数范围内因式分解:223105x y xy ++=______.【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =,则式子可化为3105t t ++,令231050t t ++=,求解即可.【详解】解:令t xy =,则式子可化为23105t t ++,令231050t t ++=,3a =,10b =,5c =t ==即1t=,2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为:3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解,涉及了一元二次方程的求解,解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根. 14.(2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中)在实数范围内因式分解:22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =,则式子可化为2231t t −−,令22310t t −=−,求解即可.【详解】解:令t xy =,则式子可化为2231t t −−,令22310t t −=−则2a =,3b =−,1c =−t===则1t =,2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为:xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解,涉及了换元法和一元二次方程的求解,解题的关键是正确求得方程的根.15.(2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中)在实数范围内因式分解:2231x x +−=_____.【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意,当231022x x +−=时,通过求解一元二次方程,得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭,结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭,即可得到 答案.【详解】解:2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭, 当231022x x +−=时,得x ==,∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭,∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭,∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭.故答案为:2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质,从而完成求解.16.(2022秋·上海金山·八年级校联考期末)在实数范围内分解因式:224x x −−=__.【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为:(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解,利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键.17.(2022秋·上海·八年级校考期中)在实数范围内分解因式:2243x x −−___________.【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=,得出22x =,再根据因式分解即可得出答案.【详解】解:由22430x x −−=,得:22x =,原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故答案为:2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式,准确熟练地进行计算是解题的关键.18.(2022秋·上海普陀·八年级校考期中)在实数范围内分解因式:2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2,再将括号里面的式子配方,最后用平方差公式因式分解即可.【详解】解:2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念,主要涉及完全平方公式以及平方差公式,熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键.三、解答题19.(2022秋·上海·八年级专题练习)在实数范围内分解因式:(1)422772x x +−;(2)4241036y y −−+.【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】(1)先利用十字相乘法分解,然后利用平方差公式法分解因式求解即可;(2)先提公因式,然后利用十字相乘法分解,然后利用平方差公式法分解因式求解即可.(1)原式()()22829x x =+−())2833x =+−+(2)原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法,解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.因式分解的方法有:提公因式法,平方差公式法,完全平方公式法,十字相乘法等.20.(2021秋·上海·八年级校考阶段练习)在实数范围内因式分解:22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式,再进行配方,运用平方差公式进行因式分解.【详解】解:22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =. 【点睛】本题主要考查因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键.21.(2022秋·八年级统考期中)在实数范围内因式分解:22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案.【详解】解:解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=, 得:x ==, ∴1x y=,2x y=,∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查实数范围内分解因式,掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ,则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键.22.(2022秋·上海青浦·八年级校考期中)在实数范围内因式分解:22323x xy y−−.【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解:22323x xy y −−=2223()3x xy y −−=22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查因式分解,熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键.23.(2022秋·上海普陀·八年级校考期中)在实数范围内因式分解:223105x y xy ++.【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣.【分析】把223x y 化为222252x y x y −,则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−,然后利用平方差公式分解因式.【详解】解:原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为:xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式:一些式子在有理数的范围内无法分解因式,可是在实数范围内就可以继续分解因式.通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键. 24.(2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习)在实数范围内因式分解:2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程,求得方程的根,再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解:∵关于x 的一元二次方程为:22022x xy y ++=−,∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥,∴x y ==, ∴1x y =,2x y=,∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解,掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ,2x ,则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25.(2022秋·上海·八年级专题练习)在实数范围内因式分解(1)2442y y +−;(2)2235x xy y −−.【答案】(1)(2121y y ++;(2)3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】(1)先拆项,再根据完全平方公式变形,最后根据平方差公式分解即可;(2)首先解方程得出方程的根进而分解因式.【详解】解:(1)2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++;(2)令2235x xy y −−=0, ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△,∴x =,∴x 或x =,∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

因式分解的七种常见方法

因式分解的七种常见方法

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握:
①等式左边必须是多项式; ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示; ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方 面考虑。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
ax ay ax y
方法 1 提公因式法
具体方法:
1.当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;
2.字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;
(2)15b(2a-b)2+25(b-2a)2; =15b(2a-b)2+25(2a-b)2=5(2a-b)2(3b+5)
(3)(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2. =(a-b)(a+b)[(a-b)+(a+b)]=2a(a-b)(a+b)
返回
方法 2 公式法
题型1 直接用公式法
5.把下列各式分解因式:
(2)-3x7+24x5-48x3 =-3x3(x4-8x2+16)
返回
=-3x3(x2-4)2=-3x3(x+2)2(x-2)2.
题型3 先局部再整体法
7.把下列各式分解因式:
(1)(x+3)(x+4)+x2-9; =(x+3)(x+4)+(x+3)(x-3) =(x+3)[(x+4)+(x-3)] =(x+3)(2x+1)
取每项相同的多项式,多项式的次数取最低的。
3.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,
使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法

因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法

1.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的 的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算。

2.常用的因式分解方法:(1)提公因式法:对于ma mb mc ++, 叫做公因式, 叫做提公因式法。

①多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。

②公因式的构成:系数:各项系数的 ;字母:各项都含有的相同字母; 指数:相同字母的最低次幂。

(2)公式法:①常用公式平方差: 完全平方:立方和:3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差:②常见的两个二项式幂的变号规律: 22()()n n a b b a -=-;2121()()n n a b b a ---=--.(n 为正整数)(3)十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中,如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积,并且b a +等于一次项系数中p ,那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中,如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积,把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积,并且1221c a c a +等于一次项系数b ,那么它就可以分解成:()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

(4)分组分解法①定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22a b a b -+-没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。

再提公因式或利用公式法,即可达到分解因式的目的。

例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

②原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。

专题4.5 因式分解章末八大题型总结(拔尖篇)(北师大版)(解析版)

专题4.5因式分解章末八大题型总结(拔尖篇)【北师大版】【题型1利用整体思想分解因式】 (1)【题型2利用拆项法分解因式】 (6)【题型3利用添项法分解因式】 (8)【题型4利用因式分解的结果求参数】 (10)【题型5利用因式分解进行有理数的简算】 (12)【题型6利用因式分解探究三角形形状】 (14)【题型7与因式分解有关的探究题】 (16)【题型8因式分解的应用】 (22)【题型1利用整体思想分解因式】【例1】(2024八年级下·山东东营·期中)[阅读材料]因式分解:+2+2++1.解:将“+”看成整体,令+=,则原式=2+2+1=+12.再将“A”还原,原式=++12.上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.[问题解决](1)因式分解:1+4−+4−2;(2)因式分解:2−62−6+18+81;(3)证明:若n为正整数,则代数式+1+22+3+1的值一定是某个整数的平方.【答案】(1)1+2−22(2)−34(3)见解析【分析】(1)用换元法设−=,将原式化为1+4+42,再利用完全平方公式得出1+22,再将A还原即可;(2)设2−6=,则原式=+92后,再将B还原后,最后再利用完全平方公式即可;(3)先计算+1+2=2+3+2,再利用完全平方公式即可.【详解】(1)解:令−=,原式=1+4+42=1+22=1+2−22;(2)令2−6=,则2−62−6+18+81=+18+81=2+18+81=+92=2−6+92=−34;(3)+1+22+3+1=2+3+22+3+1=2+32+22+3+1=2+3+12,∵n为正整数,∴2+3+1正整数.∴+1+22+3+1=2+3+12,即代数式+1+22+3+1的值一定是某个整数的平方.【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式,理解“换元法”的意义,掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键.【变式1-1】(2024八年级下·山西运城·期中)(1)2+2−+22;(2)−−2−+1.【答案】(1)3(+p(−p;(2)(−−1)2.【分析】(1)设=2+s=+2,先利用平方差公式进行因式分解,再将s换回去,计算整式的加减即可得;(2)设=−,先计算整式的乘法,再利用完全平方公式进行因式分解,然后将换回去即可得.【详解】解:(1)设=2+s=+2,则原式=2−2=(+p(−p,将s换回去得:原式=(2+++2p2+−(+2p,=(3+3p(−p,=3(+p(−p;(2)设=−,则原式=−2+1,=2−2+1,=(−1)2,将换回去得:原式=(−−1)2.【点睛】本题考查了因式分解,熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键.【变式1-2】(2024八年级下·福建漳州·期中)(1)因式分解:2−4+12−4+7+9;(2)因式分解:+−2B+−2+B−12;(3)求证:多项式+1+2+3+6+2的值一定是非负数.【答案】(1)(1)−24(2)−121−2(3)见解析【详解】(1)解:解法一:设2−4=,则原式=+1+7+9=2+8+16=+42=2−4+42=−24;方法二:设2+1=,−4=,则原式=+++6+9=+2+6++9=++32=2+1−4+32=2−4+42=−24;(2)解:设+=,B=,则原式=−2−2+−12=2−2B−2+4+2−2+1=2−2B−2+−12=2−2+1++12=−−12=+−B−12=−121−2;(3)解:+1+2+3+6+2=2+7+62+5+6+2,设2+6=,=,则原式=+7+5+2=2+12B+362=+62=2+6+62,∵2+6+62≥0,∴+1+2+3+6+2≥0,∴多项式+1+2+3+6+2的值一定是非负数.【点睛】本题主要考查了因式分解,正确理解题意是解题的关键.【变式1-3】(2024八年级下·河南洛阳·期中)整体思想是数学解题中常见的一种思想方法.下面是对多项式(2+2p(2+2+2)+1进行因式分解的解题思路:将“2+2”看成一个整体,令2+2=,则原式=o+2)+1=2+2+1=(+1)2.再将“x”还原为“2+2”即可.解题过程如下:解:设2+2=,则原式=+2+1(第一步)=2+2+1(第二步)=(+1)2(第三步)=2+2+12(第四步).问题:(1)①该同学完成因式分解了吗?如果没完成,请你直接写出最后的结果;②请你模仿以上方法尝试对多项式2−42−4+8+16进行因式分解;(2)请你模仿以上方法尝试计算:(1−2−3−⋯−2023)×(2+3+⋯+2024)−(1−2−3−⋯−2024)×(2+3+⋯+2023).【答案】(1)①该同学没有完成因式分解;最后的结果为(+1)4;②(−2)4(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式,理解整体思想是解决问题的前提,掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键.(1)①根据因式分解的意义进行判断,再利用完全平方公式分解因式即可;②利用换元法进行因式分解即可;(2)设=1−2−3−⋯−2023,=2+3+⋯+2024,则原式=B−(−2024)(−2024),整体代入计算即可.【详解】(1)①该同学没有完成因式分解;设2+2=,则原式=+2+1(第一步)=2+2+1(第二步)=(+1)2(第三步)=2+2+12(第四步)=(+1)22=(+1)4.∴最后的结果为(+1)4.②设2−4=,原式=o+8)+16=2+8+16.=(+4)2=2−4+42=(−2)4;(2)设=1−2−3−⋯−2023,=2+3+⋯+2024,则1−2−3−⋯−2023−2024=−2024,2+3+⋯+2023=−2024,+=1+2024=2025,原式=B−(−2024)(−2024)=B−B+2024(+p−20242=2024×2025−20242=2024×(2024+1)−20242=20242+2024−20242=2024.【题型2利用拆项法分解因式】【例2】(2024八年级下·山东济宁·期中)观察下面因式分解的过程:4+3+22+3−3=4+3−2+32+3−3=22+−1+32+−1=2+32+−1上面因式分解过程的第一步把22拆成了−2+32,这种因式分解的方法称为拆项法.请用上面的方法完成下列题目:(1)2−2+2+6−8;(2)4−232+1.【答案】(1)+−2−+4(2)2+1+52+1−5【分析】本题考查因式分解,理解题中拆项法是解答的关键.(1)将−8拆成1−9,然后重新组合,利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可;(2)将−232拆成22−252,然后重新组合,利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可.【详解】(1)解:2−2+2+6−8=2−2+2+6+1−9=2+2+1−2−6+9=+12−−32=+1+−3+1−+3=+−2−+4;(2)解:4−232+1=4+22−252+1=4+22+1−252=2+12−52=2+1+52+1−5.【变式2-1】(2024八年级下·陕西榆林·期中)(1)分解因式:2−6+5;(2)分解因式:2+4B−52.【答案】(1)−1−5(2)+5−【分析】(1)将5拆解成9−4,再根据完全平方公式得−32−22,然后利用平方差公式进一步分解.(2)将−52拆解成42−92,再根据完全平方公式得+22−92,然后利用平方差公式进一步分解.【详解】(1)原式=2−6+9−4=−32−22=−3−2−3+2=−1−5(2)原式=2+4B+42−92=+22−92=+2+3+2−3=+5−【点睛】本题考查了因式分解的应用,解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值.【变式2-2】(2024八年级下·黑龙江鸡西·期中)(1)分解因式:x2﹣6x﹣7;(2)分解因式:a2+4ab﹣5b2【答案】(1)(x+1)(x-7);(2)(a+5b)(a-b)【分析】(1)仿照例题方法分解因式即可;(2)仿照例题方法分解因式即可;【详解】解:(1)x2﹣6x﹣7=x2﹣6x+9-16=(x-3)2-42=(x-3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7);(2)a2+4ab﹣5b2=a2+4ab+4b2﹣9b2=(a+2b)2-(3b)2=(a+2b+3b)(a+2b-3b)=(a+5b)(a-b).【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式,熟记公式,理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键.【变式2-3】(2024八年级下·上海嘉定·期中)把多项式4+322+44分解因式.【答案】2+22+B2+22−B【分析】把原式中的第二项的系数3变为4−1,化简后三项结合构成完全平方式,剩下的一项写成平方形式,然后再利用平方差公式即可分解因式.【详解】解:4+322+44=4+422+44−22=2+222−B2=2+22+B2+22−B.【题型3利用添项法分解因式】【例3】(2024八年级下·山西·期中)阅读与思考任务:(1)请根据以上阅读材料补充完整对3+3因式分解的过程.(2)已知a+b=2,ab=-4,求3+3的值.【答案】(1)+2−B+2(2)3+3=32【分析】(1)在题干的基础上再提取公因式+,整理即可;(2)由(1)可知求出2−B+2的值即可求出3+3的值.将2−B+2变形为+2−3B,再代入+和B的值即得出2−B+2的值,由此即得出结果.【详解】(1)3+3=3+2−2+3=3+2−2−3=+⋅2−+⋅−=+⋅2−−.=+2−B+2;(2)∵2−B+2=+2−3B=22−3×−4=16∴3+3=+2−B+2=2×16=32.【点睛】本题考查因式分解,代数式求值.读懂题干,理解题意,掌握因式分解的方法是解题关键.【变式3-1】(2024八年级·全国·合肥期中)将下列式子因式分解:4+44【答案】(x2+2y2+2xy)(x2+2y2﹣2xy)【分析】运用添项法因式分解,根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解;【详解】解:x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2,=(x2+2y2)2﹣4x2y2,=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2﹣2xy);【点睛】本题考查了添项法因式分解,理解完全平方公式和平方差公式是解答关键.【变式3-2】(2024八年级下·甘肃兰州·期中)分解因式:−2−2−4−3.【答案】++1−−3【详解】解:2−2−2−4−3=2−2+1−1−2−4−4−3+4=−12−+22=−1++2−1−−2=++1−−3.【点睛】本题主要考查了分解因式,熟知乘法公式分解因式是解题的关键.【变式3-3】(2022·广西柳州·八年级期中)分解多项式5−1的结果是.【答案】−14+3+2++1【分析】直接根据添项方法进行因式分解即可.【详解】解:5−1=5−4+4−3+3−2+2−+−1=4−1+3−1+2−1+−1+−1=−14+3+2++1,故答案为:−14+3+2++1【点睛】本题考查添项法对多项式进行因式分解,解题的关键是熟练运用提公因式法,也考查了学生的观察能力和整体思想.【题型4利用因式分解的结果求参数】【例4】(2024八年级下·浙江宁波·期中)因为2+2−3=+3−1,这说明多项式2+2−3有一个因式为−1,我们把=1代入此多项式发现=1能使多项式2+2−3的值为0.利用上述阅读材料求解:(1)若+3是多项式2+B+12的一个因式,求的值;(2)若−3和−4是多项式3+B2+12+的两个因式,试求,的值.(3)在(2)的条件下,把多项式3+B2+12+因式分解.【答案】(1)=7(2)=−7,=0(3)o−3)(−4)【分析】(1)将=−3代入多项式并使多项式等于0,求;(2)将=3和=4分别代入多项式并使多项式等于0,解二元一次方程组,求,;(3)将(2)中解得的,的值代入多项式,然后进行因式分解即可.【详解】(1)解:∵+3是多项式2+B+12的一个因式,∴当=−3时,2+B+12=9−3+12=0,解得=7;(2)∵(−3)和(−4)是多项式3+B2+12+的两个因式,∴33+×32+12×3+=043+×42+12×4+=0,解得=−7=0.∴=−7,=0.(3)解:由(2)得3+B2+12+即为3−72+12,∴3−72+12=o2−7+12)=o−3)(−4).【点睛】本题考查因式分解的创新应用,熟练掌握因式分解的原理是解题的关键.【变式4-1】(2024八年级下·安徽合肥·期中)已知关于的二次三项式2−B+可分解为+2−3,则3−的值为.【答案】9【分析】把+2−3展开,求出、的值,计算即可.【详解】解:∵+2−3=2+2−3−6=2−−6,∴2−B+=2−−6,∴=1,=−6,∴3−=3×1−−6=3+6=9,故答案为:9.【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解,解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算.【变式4-2】(2023八年级下·江苏·专题练习)已知多项式4+B+能分解为(2+B+p(2+2−3),则=,=.【答案】−2;7.【分析】把2+B+2+2−3展开,找到所有z和y的项的系数,令它们的系数分别为0,列式求解即可.【详解】解:∵2+B+2+2−3=4+B3+B2+23+2B2+2B−32−3B−3=4++23++2−32+2−3−3=4+B+.∴展开式乘积中不含3、2项,∴+2=0+2−3=0,解得:=−2=7.故答案为:−2,7.【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系,将结果式子运用整式乘法展开后,抓住“若某项不存在,即其前面的系数为0”列出式子求解即可.【变式4-3】(2024八年级下·江苏苏州·期中)已知多项式2+B+36能分解为两个整系数一次式的乘积,则k的值有()个.A.10B.8C.5D.4【答案】A【分析】设2+B+36能分解成++,根据整式的乘法化简,得到+=s B=36,根据s为整数求解即可.【详解】设2+B+36=++=2+++B,则+=s B=36∴=1=36,=2=18,=3=12,=4=9,=6=6,=−1=−36,=−2=−18,=−3=−12,=−4=−9,=−6=−6∴=+=37,20,15,13,12,−37,−20,−15,−13,−12,共10个故选A【点睛】本题考查了因式分解,整式的乘法,掌握之间的关系是解题的关键.【题型5利用因式分解进行有理数的简算】【例5】(2024八年级下·上海青浦·【答案】2021.【分析】此题考查了因式分解的应用,先设2020=,然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可,解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用.【详解】解:设2020=,则原式===+1,∴原式=2020+1=2021.【变式5-1】(2024八年级下·重庆·期中)简便计算:(1)9999×10001−100002;(2)999992+199999.【答案】(1)−1(2)10000000000【分析】本题考查了因式分解的应用,平方差公式.(1)利用平方差公式进行计算,即可解答;(2)利用因式分解进行计算,即可解答.【详解】(1)解:原式=10000−1×10000+1−100002=100002−12−100002=−1;(2)解:原式=999992+99999+100000=99999×99999+1+100000=99999×100000+100000=100000×99999+1=100000×100000=10000000000.【变式5-2】(2024八年级下·山东烟台·期中)下列算式不正确的是()A.999×1001=1000−1×1000+1=10002−1B.802−160×78+782=80−782 C.257−512=514−512=51252−1D.1992=200−12=2002−1【答案】D【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算,灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键.【详解】解:A、999×1001=1000−1×1000+1=10002−1,选项正确,不符合题意;B、802−160×78+782=80−782,选项正确,不符合题意;C、257−512=514−512=51252−1,选项正确,不符合题意;D、1992=200−12=2002−2×200×1+1,选项错误,符合题意.故选:D.【变式5-3】(2024八年级下·四川遂宁·期中)已知=999999,=1110990,那么、的大小关系为()A.>B.<C.=D.不确定【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用,以及积的乘方逆用,根据作差法比较两个数的大小即可.【详解】解:−=999999−1110990=999−1110×99999=999−11×999999=999×1−11999=−10×999999<0,∴<.故选:B.【题型6利用因式分解探究三角形形状】(2024八年级下·山东泰安·阶段练习)已知s s为三角形三边,且满足2+2+2−B−B−B=0.【例6】试说明该三角形是等边三角形.【答案】见解析【分析】可将题目所给的关于、、的等量关系式进行适当变形,转换为几个完全平方式,然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系,进而可判断出△B的形状.【详解】解:∵2+2+2−B−B−B=0,∴22+22+22−2B−2B−2B=0,∴(2−2B+2)+(2−2B+2)+(2−2B+2)=0,∴(−p2+(−p2+(−p2=0,∴−=0,−=0,−=0,∴==,∴△B为等边三角形.【点睛】本题考查了配方法的应用,关键是对要求的式子进行变形和因式分解,将已知的等式转化为偶次方的和,根据非负数的性质解答.【变式6-1】(2024八年级下·福建福州·期中)已知△B的三边a,b,c满足−+−=0,则△B 是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用,等腰三角形的定义,解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解.先提取公因式,得到−−=0,进而得出−=0或−=0,即可判断△B的形状.【详解】解:∵−+−=0,∴−−−=−−=0,∴−=0或−=0,∴=或=,∴△B的形状为等腰三角形,故选:B.【变式6-2】(2024八年级下·四川内江·阶段练习)若a、b、c是△B的三边,且满足2+B−B−B=0,2+B−B−B=0,则△B的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】D【分析】根据2+B−B−B=0,2+B−B−B=0,分别提取公因式即可得到(+p(−p=0,(+p(−p=0,再根据+≠0,+≠0,得到−=0,−=0,据此即可判定该三角形的形状.【详解】解:∵2+B−B−B=0,2+B−B−B=0,∴(+p(−p=0,(+p(−p=0,又∵、b、c是△B的三边,∴+≠0,+≠0,∴−=0,−=0,∴=,=,∴==,∴该三角形是等边三角形,故选:D.【点睛】本题考查了因式分解的应用,解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解【变式6-3】(2024八年级下·重庆北碚·期中)已知△B三边长、、满足32+2B=32+2B,试判定△B的形状.【答案】△B为等腰三角形.【分析】根据分组分解法对式子进行因式分解,即可判断.此题考查了因式分解的应用、等腰三角形的定义等知识,利用因式分解对原式进行变形是解题的关键.【详解】解:∵32+2B=32+2B,∴32+2B−32−2B=0,∴3+−+2−=0,∴−3+3+2=0∵a,b,c是△B的三边长,∴3+3+2≠0,∴−=0∴=∴△B为等腰三角形.【题型7与因式分解有关的探究题】【例7】(2024八年级下·山东淄博·期中)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为“智慧数”,两个正整数为它的“智慧分解”.例如,因为16=52−32,所以16就是一个智慧数,而5和3则是16的智慧分解.那么究竟哪些数为智慧数?第2022个智慧数是否存在,若存在,又是哪个数?为此,小明和小颖展开了如下探究.小颖的方法是通过计算,一个个罗列出来:3=22−12,5=32−22,7=42−32,9=52−42,…小明认为小颖的方法太麻烦,他想到:设两个数分别为+1,,其中≥1,且为整数.则(+1)2−2=(+1+p(+1−p=2+1.(1)根据上述探究,可以得出:除1外,所有都是智慧数,并请直接写出11,15的智慧分解;(2)继续探究,他们发现8=32−12,12=42−22,所以8和12均是智慧数,由此,他们猜想:4o≥2,且为整数)均为智慧数请证明他们的猜想;(3)根据以上所有探究,请直接写出第2023个智慧数,以及它的智慧分解.【答案】(1)奇数,11的智慧分解:5、6,15的智慧分解:7、8(2)见解析(3)第2023个智慧数是2700,2700=6762﹣6742=(676+674)(676﹣674)【分析】(1)由小明的探究可得,2+1(≥1,且为整数)是除1外,所有的奇数.根据探究可求得11、15的智慧分解;(2)借助小明的探究思路,可证猜想;(3)根据探究,前四个正整数只有3是智慧数,后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数,由此可得第2023个智慧数.【详解】(1)解:∵(+1)2−2=(+1+p(+1−p=2+1(≥1,且为整数),∴智慧数是除1外所有的奇数,(5+1)2−52=62−52=(6+5)(6−5)=11,(7+1)2−72=82−72=(8+7)(8−7)=15,故答案为:奇数,11的智慧分解:5、6,15的智慧分解:7、8;(2)证明:设≥2,且为整数,∵8=32−12=(2+1)2−(2−1)2=(2+1+2−1)(2+1−2+1),12=42−22=(3+1)2−(3−1)2=(3+1+3−1)(3+1−3+1),∴(+1)2−(−1)2=(+1+−1)(+1−+1)=4,∴除4外,所有能被4整除的偶数都是智慧数.∴4o≥2且为整数)均为智慧数;(3)解:据探究得,智慧数是奇数时≥1,且为整数,智慧数是4的倍数时,≥2且为整数,∴正整数中前四个正整数只有3为智慧数,此后每连续四个数中有三个智慧数,(2023−1)÷3=674,4×(674+1)=2700,∴第2023个智慧数是2700,∵2700能被4整除,∴2700=6762−6742=(676+674)(676−674).【点睛】本题考查了对因式分解的推理,掌握对因式分解的反推是本题的关键.【变式7-1】(2024八年级下·吉林长春·期中)探究题:(1)问题情景:将下列各式因式分解,将结果直接写在横线上:2+6+9=__________;2−4+4=________;42−20+25=________;(2)探究发现:观察以上三个多项式的系数,我们发现:62=4×1×9;(−4)2=4×1×4;(−20)2=4×4×25;归纳猜想:若多项式B2+B+o>0,>0)是完全平方式,猜想:系数a,b,c之间存在的关系式为_____________________.(3)验证结论:请你写出一个不同于上面出现的完全平方式,并用此式验证你猜想的结论.(4)解决问题:若多项式(+1)2−(2+6)+(+6)是一个完全平方式,利用你猜想的结论求出n的值.【答案】(1)+32;−22;2−52(2)2=4B(3)见解析(4)=3【分析】(1)可用完全平方公式进行分解因式;(2)根据问题情境,式子中的系数关系,可猜想2=4B;(3)可用完全平方公式进行验证;(4)多项式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式,则系数a,b,c存在的关系为b2=4ac,可列[−(2n+6)]2=4(n+1)(n+6),进而求出n的值.【详解】(1)解:2+6+9=+32;2−4+4=−22;42−20+25=2−52.故答案为:+32;−22;2−52.(2)由情境中给的式子系数关系,可归纳猜想:2=4B.故答案为:2=4B.(3)验证结论:可用x2+4x+4,验证:∵b2=42=16,4ac=4×1×4=16,∴2=4B.(4)根据题意可得:−2+62=4+1+642+24+36=42+7+642+24+36=42+28+244=12=3【点睛】本题主要考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用,以及对因式分解的理解和应用,综合性较强.【变式7-2】(2024八年级下·湖南长沙·期中)阅读理解并填空:(1)为了求代数式2+2+3的值,我们必须知道x的值.若=1,则这个代数式的值为________﹔若=2,则这个代数式的值为_______;……可见,这个代数式的值因x的取值不同而变化,尽管如此,我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围.(2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大(或最小)值问题.例如:2+2+3=2+2+1+2=+12+2,因为+12是非负数,所以这个代数式的最小值是______,此时相应的x的值是______.(3)求代数式−2−6+12的最大值,并写出相应的x的值.(4)试探究关于x、y的代数式52−4B+2+6+25是否有最小值,若存在,求出最小值及此时x、y的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)6,11(2)2,−1(3)代数式−2−6+12的最大值是21,相应的x的值是−3(4)代数式52−4B+2+6+25有最小值是16,相应的=−3,=−6【分析】(1)把=1和=2分别代入代数式2+2+3中,再进行计算即可得出答案;(2)根据非负数的性质即可得出答案;(3)根据完全平方公式把给出的式子进行整理,即可得出答案;(4)先把代数式化成完全平方的形式,再根据非负数的性质求出最小值及此时x、y的值.【详解】(1)解:把=1代入2+2+3中,得:12+2+3=6;若=2,则这个代数式的值为22+2×2+3=11;故答案为:6,11;(2)解:根据题意可得:2+2+3=2+2+1+2=+12+2,∵+12是非负数,∴这个代数式2+2+3的最小值是2,相应的x的值是−1;故答案为:2,−1;(3)解:根据题意得:∴−2−6+12=−+32+21,∴代数式−2−6+12的最大值是21,相应的x的值是−3;(4)解:代数式52−4B+2+6+25有最小值是16,相应的=−3,=−6,理由如下:52−4B+2+6+25=42−4B+2+2+6+9+16=2−2++32+16,∵2−2及+32都是非负数,当2−=0,+3=0时,代数式有最小值是16,相应的=−3,=−6.【点睛】此题考查了因式分解的应用,用到的知识点是完全平方公式,非负数的性质,解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答.【变式7-3】(2024八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)在学习《因式分解》)时,邹老师给同学们发了很多硬纸片(×的正方形A,×的正方形B,×的长方形C.(1)在探究中,小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明2+B可以分解为______;(2)继续探究中,小明用1张A,2张B和3张C再次拼得一个长方形,请在框1中画出示意图,并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上(3)尝试应用:请你仿照小明同学的探究方法,尝试用1张A,4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形,请你设计两种不同的拼法,在框2和框3中分别画出示意图,并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果.【答案】(1)o+p;(2)2+3B+22=(+2p(+p;(3)2+5B+42=(+4p(+p或2+4B+42=(+2p2.【分析】(1)根据这个图形的面积有直接求和间接求两种方法,即可写出分解因式的结果.(2)先画出图形,再根据面积法写出分解因式的结果.(3)先画出图形,再根据面积法写出分解因式的结果.【详解】(1)由图知长方形的面积还可表示为o+p,因此2+B可以分解为o+p.故答案为:o+p(2)如图1张A,2张B和3张C可拼成一个长方形,由此得2+3B+22=(+2p(+p.故答案为:(+2p(+p.(3)如图,用1张A,4张B,5张C可拼成一个长方形,由此可得2+5B+42=(+4p(+p.如图,用1张A,4张B,4张C可拼成一个正方形,由此可得2+4B+42=(+2p2.故答案为:2+5B+42=(+4p(+p或2+4B+42=(+2p2.【点睛】本题考查了因式分解的应用,利用面积法写出一个多项式因式分解的结果,能够正确的列出等式是解题的关键.【题型8因式分解的应用】【例8】(2024八年级下·湖北恩施·期中)在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理是:如对于多项式4−4,因式分解的结果是−+2+2,若取= 9,=9,则各个因式的值是:−=0,+=18,2+2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式3−B2,取=52,=28,用上述方法产生的密码不可能是()A.528024B.522824C.248052D.522480【答案】B【分析】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键.先提公因式,然后根据平方差公式因式分解,进而代入字母的值即可求解.【详解】解:∵3−B2=2−2=+−,∵=52,=28,则各个因式的值为=52,+=80,−=24,∴产生的密码不可能是522824,故选:B.【变式8-1】(2024八年级下·湖南湘西·期中)如图,某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为、的长方形场地,已知2+B2=240,则这个长方形场地的面积为()平方米.A.32B.24C.16D.12【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用.由题意得+=10,再由已知变形得到B=24,即可求解.【详解】解:由题意得+=202=10(米),2+B2=240,∴B+=240,解得B=24,∴个长方形场地的面积为24平方米.故选:B.【变式8-2】(2024八年级下·吉林·期中)如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为vm的大正方形,2块是边长为vm的小正方形,5块长是vm,宽为vm的相同的小长方形,且>(1)观察图形,可以发现代数式22+5B+22可以因式分解为;(2)若图中阴影部分的面积为34cm2,大长方形纸板的周长为30cm.①求+的值;②求图中空白部分的面积.【答案】(1)+2+2(2)①5;②20cm2【分析】本题考查了因式分解的应用.(1)题目中给的代数式是图形的面积,因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案;(2)①根据长方形的周长是23+3=30即可得出+的值;②由图可得空白部分的面积是5B,故我们可以根据第一步中求出的+的值,以及阴影部分的面积,即可推出空白部分的面积.【详解】(1)解:通过观察图形可以得出图形的面积是:22+5B+22cm2,长方形的长是2+cm,宽是+2cm,由此可得:22+5B+22=+2+2,故答案为:+2+2;(2)解:①根据长方形的周长为30cm,可得:22+++2=30,23+3=30,6+=30,+=5.答:+的值为5.②空白部分的面积为5Bcm2,根据②得:+=5,∵阴影部分的面积为34cm2,且阴影部分的面积表示为22+22,故2+2=17,∵+2−2B=2+2,∴52−2B=17,∴B=4,∴5B=20.答:空白部分的面积为20cm2.【变式8-3】(2024八年级下·福建泉州·期中)【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时,用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块,进行实践探究:(1)现取其中两个拼成如图2所示的大长方体,请根据体积的不同表示方法,写出一个代数恒等式:;(2)【问题解决】若要用这四种长方体拼成一个棱长为+2的正方体,其中②号长方体和③号长方体各需要多少个?试通过计算说明理由;(3)【拓展延伸】如图3,在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体,请根据体积的不同表示方法,直接写出3−3因式分解的结果,并利用此结果解决问题:已知与2分别是两个大小不同正方体的棱长,且3−83=−24−4B,当−2为整数时,求B的值.【答案】(1)+·b=B2+3;(2)②号长方体需要6个,③号长方体需要12个,+23=3+32·2+3b22+23=3+62+12B2+83,(3)B=0.3.【分析】(1)根据图2立方体的体积求法即可;(2)根据题中的给定的长方体组合把+23计算即可;(3)先把3−3因式分解,然后据此分解3−83=3−23=−22+2B+22=−22+2B+42=−24−4B即可;此题考查了因式分解的应用,解题的关键是利用几何体的体积进行因式分解及数形结合思想的应用.【详解】(1)根据题意可知:+·b=B2+3,故答案为:+·b=B2+3;(2)②号长方体需要6个,③号长方体需要12个,+23=3+32·2+3b22+23=3+62+12B2+83;(3)由题意得:3−3=−2+B+2,由上可知:3−83=3−23=−22+2B+22=−22+2B+42=−24−4B,∴−22+2B+42−4+4B=0,整理得:−22+6B+42−4=0,∵且与2两个大小不同正方体的棱长,∴−2≠0,∴2+6B+42−4=0,则−22=4−10B,∵−2为整数,则4−10B为平方数,∴4−10B=1,∴B=0.3.。

专题07因式分解(4个知识点13种题型)(解析版)

专题07因式分解(4个知识点13种题型)【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解知识点2.公式法因式分解知识点3.十字相乘法法因式分解知识点4.分组分解法法因式分解【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念题型2.用提公因式法分解因式(公因式为单项式)题型3.用提公因式法分解因式(公因式为多项式)题型4.用提公因式法分解因式的简单应用题型5.利用平方差公式分解因式题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式题型7.完全平方式题型8.利用完全平方公式分解因式题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式题型10.十字相乘法题型11.十字相乘法的灵活应用题型12.利用分组分解法分解因式题型13.分组分解法的灵活应用【方法三】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.提公因式法因式分解一.因式分解的意义1、分解因式的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式,整式乘法是多项式的表现形式.例如:3、因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.二.公因式1、定义:多项式ma+mb+mc中,各项都含有一个公共的因式m,因式m叫做这个多项式各项的公因式.2、确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:①定系数,即确定各项系数的最大公约数;②定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);③定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.三.因式分解-提公因式法1、提公因式法:如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.2、具体方法:(1)当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.(2)如果多项式的第一项是负的,一般要提出“﹣”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“﹣”号时,多项式的各项都要变号.3、口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶.4、提公因式法基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同.知识点2.公式法因式分解1、如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.平方差公式:a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b );完全平方公式:a 2±2ab +b 2=(a ±b )2;2、概括整合:①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反.②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.3、要注意公式的综合应用,分解到每一个因式都不能再分解为止.知识点4.十字相乘法法因式分解十字相乘法:如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积,而且一次项系数p 又恰好是a b +,那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式,即:()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式,就需要找到两个数a 、b ,使它们的积等于常数项q ,和等于一次项系数p ,满足这两个条件便可以进行如下分解因式,即:22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++.由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况,怎样才能找到两个合适的数,通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式.知识点5.分组分解法法因式分解如何将多项式am an bm bn +++因式分解?分析:很显然,多项式am an bm bn +++中既没有公因式,也不好用公式法.怎么办呢?由于()am an a m n +=+,()bm bn b m n +=+而:()()()()a m n b m n m n a b +++=++.这样就有:()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组,各组分别分解后,彼此又有公因式或者可以用公式,这就是分组分解法.说明:如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.【方法二】实例探索法题型1.因式分解的概念1.(2022秋•闵行区校级期末)下列各式从左到右的变形是因式分解的是()A.a(a+b)=a2+ab B.a2+2a+1=a(a+2)+1C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.2a2﹣6ab=2a(a﹣3b)【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.据此作答即可.【解答】解:A.等式右边不是乘积形式,故选项错误,不合题意;B.等式右边不是乘积形式,故选项错误,不合题意;C.等式右边不是乘积形式,故选项错误,不合题意;D.符合定义,故选项正确,符合题意.故选:D.【点评】本题考查了因式分解,解题的关键是理解因式分解的定义.2.(2022秋•浦东新区校级期末)下列等式从左到右是因式分解,且结果正确的是()A.a2+8a+16=(a+4)2B.(a+4)2=a2+8a+16C.a2+8a+16=a(a+8)+16D.a2+8(a+2)=a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.【解答】解:A.等式由左边到右边的变形属于因式分解,并且正确,故本选符合题意;B.等式由左边到右边的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;C.等式由左边到右边的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;D.等式由左边到右边的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;故选:A.【点评】本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义是解此题的关键,把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.题型2.用提公因式法分解因式(公因式为单项式)3.(2022秋•嘉定区期中)多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是.【分析】直接利用公因式的确定方法:①定系数,即确定各项系数的最大公约数;②定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);③定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂,进而得出答案.【解答】解:多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2.故答案为:3x2y2.【点评】此题主要考查了公因式,正确把握确定公因式的方法是解题的关键.4.(2022秋•嘉定区期中)分解因式:3x3﹣9x2﹣3x=.【分析】提取公因式后即可因式分解.【解答】解:3x3﹣9x2﹣3x=3x(x2﹣3x﹣1),故答案为:3x(x2﹣3x﹣1).【点评】本题考查因式分解,熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键.5.(2022秋•宝山区校级期末)分解因式:4x2y﹣12xy=.【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可.【解答】解:4x2y﹣12xy=4xy(x﹣3),故答案为:4xy(x﹣3).【点评】本题主要考查了分解因式,熟知分解因式的方法是解题的关键.6.(2022秋•嘉定区校级期中)因式分解:﹣15a﹣10ab+5abc=.【分析】直接提取公因式﹣5a,进而分解因式即可.【解答】解:原式=﹣5a(3+2b﹣bc).故答案为:﹣5a(3+2b﹣bc).【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.题型3.用提公因式法分解因式(公因式为多项式)7.(2022秋•徐汇区期末)分解因式:(x﹣5)(3x﹣2)﹣3(x﹣5)=.【分析】将原式的公因式(x﹣5)提出即可得出答案.【解答】解:(x﹣5)(3x﹣2)﹣3(x﹣5)=(x﹣5)(3x﹣2﹣3)=(x﹣5)(3x﹣5).故答案为:(x﹣5)(3x﹣5).【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法,因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.一般来说,如果可以提取公因式的要先提取公因式.8.(2022秋•宝山区校级期中)分解因式:a(a﹣b)+b(b﹣a)=.【分析】首先把式子变形为:a(a﹣b)﹣b(a﹣b),再找出多项式的公因式,然后提取公因式法因式分解即可.【解答】解:a(a﹣b)+b(b﹣a)=a(a﹣b)﹣b(a﹣b)=(a﹣b)(a﹣b)=(a﹣b)2.故答案为:(a﹣b)2.【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解,根据题意找出公因式是解决问题的关键.9.(2022秋•浦东新区校级期中)2m(a﹣c)﹣5(a﹣c).【分析】直接提取公因式a﹣c即可.【解答】解:原式=(a﹣c)(2m﹣5).【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是正确找到公因式.10.(2022秋•嘉定区期中)因式分解:6(x+y)2﹣2(x+y)(x﹣y)【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案.【解答】解:6(x+y)2﹣2(x+y)(x﹣y)=2(x+y)[3(x+y)﹣(x﹣y)]=2(x+y)(2x+4y)=4(x+y)(x+2y).【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确掌握公因式是解题关键.11.(2022秋•杨浦区期中)分解因式:a2(a+2b)﹣ab(﹣4b﹣2a).【分析】原式变形可得a2(a+2b)+2ab(a+2b),再提公因式a(a+2b)因式分解即可.【解答】解:a2(a+2b)﹣ab(﹣4b﹣2a)=a2(a+2b)+2ab(a+2b)=a(a+2b)(a+2b)=a(a+2b)2.【点评】本题考查了提公因式法因式分解,正确找出公因式是解答本题的关键.题型4.用提公因式法分解因式的简单应用12.(2022秋•嘉定区期中)当a=3,b=时,代数式﹣a2+4ab的值为.【分析】将原式变形为﹣a(a﹣4b),把a与b的值分别代入计算即可得到结果.【解答】解:当a=3,b=时,﹣a2+4ab=﹣a(a﹣4b)=﹣3×(3﹣4×)=﹣3×2=﹣6.故答案为:﹣6.【点评】此题考查了代数式求值和因式分解,熟练掌握运算法则是解本题的关键.题型5.利用平方差公式分解因式13.(2022秋•徐汇区期末)分解因式:x2﹣=.【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点:两项平方项,符号相反.直接运用平方差公式分解即可.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).【解答】解:x2﹣=(x+)(x﹣).故答案为:(x+)(x﹣).【点评】本题考查因式分解.当被分解的式子只有两项平方项;符号相反,且没有公因式时,应首要考虑用平方差公式进行分解.14.(2022秋•嘉定区校级期中)因式分解:x4﹣16=.【分析】利用平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),进行两次分解.【解答】解:x4﹣16=(x2+4)(x2﹣4)=(x2+4)(x+2)(x﹣2).故答案为:(x2+4)(x+2)(x﹣2).【点评】此题主要考查了用公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.15.(2022秋•黄浦区期中)分解因式:﹣(a+b)2+1=.【分析】直接利用平方差公式分解因式,进而得出答案.【解答】解:原式=[1﹣(a+b)][1+(a+b)]=(1﹣a﹣b)(1+a+b).故答案为:(1﹣a﹣b)(1+a+b).【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确运用平方差公式分解因式是解题关键.16.(2022•黄浦区校级二模)分解因式:x2﹣4y2=.【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.【解答】解:x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y).故答案为:(x+2y)(x﹣2y).【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用平方差公式是解题关键.17.(2022秋•上海期末)分解因式:9a2﹣25(a+b)2.【分析】根据平方差公式因式分解即可.【解答】解:9a2﹣25(a+b)2=[3a﹣5(a+b)][3a+5(a+b)]=(﹣2a﹣5b)(8a+5b)=﹣(2a+5b)(8a+5b).【点评】本题考查了公式法进行因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.18.(2022秋•黄浦区期中)分解因式:25(m+n)2﹣9(m﹣n)2.【分析】直接利用平方差公式分解因式.【解答】解:25(m+n)2﹣9(m﹣n)2=[5(m+n)﹣3(m﹣n)][5(m+n)+3(m﹣n)]=(2m+8n)(8m+2n)=4(m+4n)(4m+n).【点评】本题考查了因式分解﹣公式法:掌握a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)是解题的关键.题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式19.(2022秋•浦东新区校级期末)分解因式:4x2﹣16=.【分析】先提取公因式4,再对剩余项x2﹣4利用平方差公式继续进行因式分解.【解答】解:4x2﹣16,=4(x2﹣4),=4(x+2)(x﹣2).故答案为:4(x+2)(x﹣2).【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解,分解因式一定要彻底.20.(2022秋•青浦区校级期中)因式分解:3a(a+b)2﹣27ab2.【分析】先提取公因式,再套用平方差公式.【解答】解:原式=3a[(a+b)2﹣9b2]=3a(a+b+3b)(a+b﹣3b)=3a(a+4b)(a﹣2b).【点评】本题主要考查了整式的因式分解,掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键.题型7.完全平方式21.(2022秋•青浦区校级期中)下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的()A.x2+x+1B.x2﹣2x﹣1C.x2+2x+4D.x2﹣x+【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可.【解答】解:A.x2+x+1,不能利用完全平方公式进行因式分解,因此选项A不符合题意;B.x2﹣2x﹣1,不能利用完全平方公式进行因式分解,因此选项B不符合题意;C.x2+2x+4,不能利用完全平方公式进行因式分解,因此选项C不符合题意;D.x2﹣x+=(x﹣)2,能利用完全平方公式进行因式分解,因此选项D符合题意;故选:D.【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法,掌握完全平方公式的结构特征是正确判断的前提.题型8.利用完全平方公式分解因式22.(2022秋•黄浦区期中)因式分解:(x2﹣4x)2+8(x2﹣4x)+16.【分析】直接利用完全平方公式分解因式,进而得出答案.【解答】解:原式=(x2﹣4x+4)2=(x﹣2)4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确运用完全平方公式是解题的关键.23.(2022秋•长宁区校级期中)(m+n)2+6(m2﹣n2)+9(m﹣n)2.【分析】首先利用平方差公式分解m2﹣n2,观察发现此题代数式符合完全平方公式,再利用完全平方公式进行分解即可.【解答】解:原式=(m+n)2+6(m﹣n)(m+n)+9(m﹣n)2,=[(m+n)+3(m﹣n)]2,=(4m﹣2n)2,=4(2m﹣n)2.【点评】此题主要考查了公式法分解因式,关键是掌握完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.24.(2022秋•长宁区校级期中)分解因式:m(m﹣4)+4.【分析】先运用单项式乘以多项式法则将括号展开,再利用完全平方公式进行因式分解即可.【解答】解:m(m﹣4)+4=m2﹣4m+4=(m﹣2)2.【点评】本题主要考查了因式分解,熟练掌握完全平方公式(a2±2ab+b2=(a±b)2)是解答本题的关键.题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式25.(2022秋•长宁区校级期中)因式分解:=.【分析】先提取公因式,再利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解:原式=(m2﹣4m+4)=(m﹣2)2.故答案为:(m﹣2)2.【点评】本题考查的是多项式的因式分解,掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键.26.(2022秋•长宁区校级期中)分解因式:﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2.【分析】先提取公因式,再利用完全平方公式.【解答】解:﹣6x2y﹣3x3﹣3xy2=﹣3x(x2+2xy+y2)=﹣3x(x+y)2.【点评】本题考查了整式的因式分解,掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键.27.(2022秋•青浦区校级期中)因式分解:3a2+12ab+12b2.【分析】先提取公因式,再套用完全平方公式.【解答】解:3a2+12ab+12b2=3(a2+4ab+4b2)=3(a+2b)2.【点评】本题主要考查了整式的因式分解,掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键.题型10.十字相乘法28.(2022秋•青浦区校级期末)因式分解:2x2﹣6x﹣8=.【分析】原式先提取公因数2,再利用十字相乘法求出解即可.【解答】解:原式=2(x2﹣3x﹣4)=2(x﹣4)(x+1),故答案为:2(x﹣4)(x+1).【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法,熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键.29.(2022秋•虹口区校级期中)分解因式:x2﹣7xy﹣18y2=.【分析】由十字相乘法进行分解因式即可.【解答】解:x2﹣7xy﹣18y2=(x﹣9y)(x+2y).故答案是:(x﹣9y)(x+2y).【点评】本题考查因式分解,熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键.30.(2022秋•宝山区期末)分解因式:2x2+6xy+4y2.【分析】先提公因式,再用十字相乘法因式分解即可.【解答】解:2x2+6xy+4y2=2(x2+3xy+2y2)=2(x+2y)(x+y).【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.31.(2022秋•奉贤区期中)分解因式:ax4﹣14ax2﹣32a.【分析】首先提取公因式a,再利用十字相乘法分解因式,再结合平方差公式分解因式即可.【解答】解:ax4﹣14ax2﹣32a=a(x4﹣14x2﹣32)=a(x2+2)(x2﹣16)=a(x2+2)(x+4)(x﹣4).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式,正确运用公式是解题关键.32.(2022秋•虹口区校级期中)分解因式:(a2﹣a)2+2(a2﹣a)﹣8.【分析】先变形,局部逆用完全平方公式,再使用十字相乘法.【解答】解:(a2﹣a)2+2(a2﹣a)﹣8=(a2﹣a)2+2(a2﹣a)+1﹣9=(a2﹣a+1)2﹣9=(a2﹣a+4)(a2﹣a﹣2)=(a2﹣a+4)(a﹣2)(a+1).【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解,熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键.33.(2022秋•上海期末)分解因式:3x2﹣9x﹣30.【分析】先提取公因式,再利用十字相乘法分解.【解答】解:3x2﹣9x﹣30=3(x2﹣3x﹣10)=3(x﹣5)(x+2).【点评】本题考查了整式的因式分解,掌握提公因式法和十字相乘法是解决本题的关键.34.(2022秋•徐汇区期末)分解因式:(1)2ab2﹣6a2b2+4a3b2;(2)(x2﹣4x)2﹣5(x2﹣4x)﹣24.【分析】(1)先提取公因式,再利用十字相乘法;(2)先利用十字相乘法,再利用公式法和十字相乘法.【解答】解:(1)2ab2﹣6a2b2+4a3b2=2ab2(1﹣3a+2a2)=2ab2(2a﹣1)(a﹣1);(2)(x2﹣4x)2﹣5(x2﹣4x)﹣24=(x2﹣4x﹣8)(x2﹣4x+3)=[(x2﹣4x+4)﹣12](x﹣3)(x﹣1)=[(x﹣2)2﹣12](x﹣3)(x﹣1)=(x﹣2+2)(x﹣2﹣2)(x﹣3)(x﹣1).【点评】本题主要考查了整式的因式分解,掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键.35.(2021秋•金山区期末)分解因式:(x2﹣x)2﹣18(x2﹣x)+72.【分析】把(x2﹣x)看成一个整体,利用十字相乘法分解即可.【解答】解:(x2﹣x)2﹣18(x2﹣x)+72=[(x2﹣x)﹣6][(x2﹣x)﹣12]=(x﹣3)(x+2)(x﹣4)(x+3).【点评】本题考查了整式的因式分解,掌握十字相乘法和整体的思想是解决本题的关键.36.(2021秋•奉贤区期末)分解因式:(a2+a)2﹣8(a2+a)+12.【分析】因为﹣2×(a2+a)=﹣2(a2+a),﹣6×(a2+a)=﹣6(a2+a),所以可利用十字相乘法分解因式;得到的两个因式,还可以用十字相乘法分解因式.【解答】解:根据十字相乘法,(a2+a)2﹣8(a2+a)+12,=(a2+a﹣2)(a2+a﹣6),=(a+2)(a﹣1)(a+3)(a﹣2).【点评】本题考查了十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程;并注意一定要分解完全.题型11.十字相乘法的灵活应用37.(2022秋•静安区校级期中)多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成(7x+a)(bx+c),其中a、b、c均为整数,求a+b+c之值为何?()A.0B.10C.12D.22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解,继而求得a,b,c的值.【解答】解:利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解,可得:77x2﹣13x﹣30=(7x﹣5)(11x+6).∴a=﹣5,b=11,c=6,则a+b+c=(﹣5)+11+6=12.故选:C.【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解:这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).38.(2022秋•宝山区期末)分解因式:x2﹣9x+14=(x+□)(x﹣7),其中□表示一个常数,则□的值是()A.7B.2C.﹣2D.﹣7【分析】利用十字相乘法因式分解即可.【解答】解:x2﹣9x+14=(x﹣2)(x﹣7),∴□表示﹣2,故选:C.【点评】本题考查因式分解,熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键.39.(2022秋•虹口区校级期中)如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解,那么下列c的取值正确的是()A.2B.3C.4D.5【分析】∵4=﹣1×(﹣4),﹣1+(﹣4)=﹣5,∴可以用十字相乘法因式分解.【解答】解:当c=4时,x2﹣5x+c=x2﹣5x+4=(x﹣1)(x﹣4).故选:C.【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法,熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键.40.(2021秋•普陀区期末)已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积,那么整数k的值为.【分析】把常数项分解成两个整数的乘积,k就等于那两个整数之和.【解答】解:∵﹣3=﹣3×1或﹣3=﹣1×3,∴k=﹣3+1=﹣2或k=﹣1+3=2,∴整数k的值为:±2,故答案为:±2.【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法,熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键.41.(2022秋•嘉定区校级期中)阅读下列文字,解决问题.先阅读下列解题过程,然后完成后面的题目.分解因式:x4+4解:x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)以上解法中,在x4+4的中间加上一项,使得三项组成一个完全平方式,为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变,必须减去同样的一项.这样利用添项的方法,将原代数式中的部分(或全部)变形为完全平方的形式,这种方法叫做配方法.按照这个思路,试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式.【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1,化简后三项结合构成完全平方式,剩下的一项写出完全平方式,然后再利用平方差公式即可分解因式.【解答】解:x4+3x2y2+4y4=x4+4x2y2+4y4﹣x2y2=(x2+2y2)2﹣x2y2=(x2+2y2+xy)(x2+2y2﹣xy).【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力,考查了分组分解法进行分解因式,是一道中档题.本题的思路是添项构成完全平方式.题型12.利用分组分解法分解因式42.(2022秋•徐汇区期末)分解因式:xy+(x+1)(y+1)(xy+1).【分析】根据分组法和十字相乘法因式分解即可.【解答】解:xy+(x+1)(y+1)(xy+1)=xy+(xy+x+y+1)(xy+1)=xy+[(xy+1)+(x+y)](xy+1)=(xy+1)2+(x+y)(xy+1)+xy=(xy+x+1)(xy+y+1).【点评】本题考查了分组法进行因式分解,熟练掌握分组法和十字相乘法是解题的关键.43.(2022秋•青浦区校级期末)因式分解:x2+4y﹣1﹣4y2.【分析】首先重新分组,进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案即可.【解答】解:x2+4y﹣1﹣4y2.x2﹣(﹣4y+4y2+1)=x2﹣(1﹣2y)2=(x﹣2y+1)(x+2y﹣1).【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式,正确分组是解题关键.44.(2022秋•浦东新区校级期末)分解因式:(1)m2﹣n2+6n﹣9;(2)(x+2y)x2+6(x+2y)x﹣7x﹣14y.【分析】(1)根据平方差公式和完全平方公式解答;(2)用提公因式法和十字相乘法解答.【解答】解:(1)原式=m2﹣(n2﹣6n+9)=m2﹣(n﹣3)2=(m﹣n+3)(m+n﹣3);(2)原式=(x+2y)x2+6(x+2y)x﹣7(x+2y)=(x+2y)(x2+6x﹣7)=(x+2y)(x﹣1)(x+7).【点评】本题考查了因式分解,熟悉乘法公式和提公因式法是解题的关键.45.(2022秋•闵行区校级期末)分解因式:2x3﹣2x2y+8y﹣8x.【分析】两两分组:先分别提取公因式2x2,8;再提取公因式2(y﹣x)进行二次分解;最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案.【解答】解:原式=2x2(x﹣y)﹣8(x﹣y)=2(x﹣y)(x2﹣4)=2(x﹣y)(x+2)(x﹣2).【点评】本题考查了平方差公式,分组分解法分解因式,要先把式子整理,再分解因式.对于一个四项式用分组分解法进行因式分解,难点是采用两两分组还是三一分组.46.(2022秋•闵行区校级期中)因式分解:a2﹣6ab+9b2﹣16.【分析】先分成两组,用完全平方公式,再用平方差公式分解因式.【解答】解:原式=(a2﹣6ab+9b2)﹣16=(a﹣3b)2﹣42=(a﹣3b+4)(a﹣3b﹣4).【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法,掌握因式分解﹣分组分解法的方法,先分组,再分解因式,完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键.47.(2022秋•青浦区校级期中)因式分解:2ac﹣6ad+bc﹣3bd.【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式,进而分解因式得出即可.【解答】解:2ac﹣6ad+bc﹣3bd=2a(c﹣3d)+b(c﹣3d)=(c﹣3d)(2a+b).【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式,正确分组得出是解题关键.48.(2022秋•宝山区校级期末)分解因式:b2﹣4a2﹣1+4a.【分析】利用分组分解法,将﹣4a2﹣1+4a分为一组,先利用完全平方公式,再利用平方差公式即可.【解答】解:原式=b2﹣(4a2+1﹣4a)=b2﹣(2a﹣1)2=[b+(2a﹣1)][b﹣(2a﹣1)]=(b+2a﹣1)(b﹣2a+1).【点评】本题考查分组分解法分解因式,掌握分组的原则和分组的方法是正确解答的前提,掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解决问题的关键.49.(2022秋•嘉定区校级期末)因式分解:x2﹣4+4y2﹣4xy.【分析】直接将原式分组,再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案.【解答】解:x2﹣4+4y2﹣4xy=x2+4y2﹣4xy﹣4=(x﹣2y)2﹣4=(x﹣2y+2)(x﹣2y﹣2).【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式,正确运用公式是解题关键.50.(2022秋•宝山区期末)分解因式:m2﹣2m+1﹣4n2.【分析】先分组再利用平方差公式.【解答】解:m2﹣2m+1﹣4n2=(m﹣1)2﹣4n2=(m﹣1+2n)(m﹣1﹣2n).【点评】本题主要考查了整式的因式分解,掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键.51.(2022秋•闵行区校级期中)因式分解:x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y.【分析】先把多项式按三、二分组,再分别因式分解,最后提取公因式.【解答】解:x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y=(x2+9xy+18y2)﹣(3x+9y)=(x+3y)(x+6y)﹣3(x+3y)=(x+3y)(x+6y﹣3).【点评】本题考查了整式的因式分解,掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键.题型13.分组分解法的灵活应用52.(2022秋•静安区校级期中)已知x2﹣x﹣3=0,那么x3﹣2x2﹣2x+2022=.【分析】根据x2﹣x﹣3=0,得出x2=x+3,代入求值即可.【解答】解:∵x2﹣x﹣3=0,∴x2=x+3,x3﹣2x2﹣2x+2022=x(x+3)﹣2x2﹣2x+2022=﹣x2+x+2022=﹣(x2﹣x﹣3)+2019=2019,故答案为:2019.【点评】本题主要考查因式分解的应用,熟练掌握因式分解是解题的关键.53.(2022秋•闵行区校级期中)已知a2﹣a﹣1=0,则代数式a3﹣2a+6=.【分析】根据已知条件得到a2﹣a=1,将要求的代数式化简得到a(a2+a)﹣a2﹣2a+6,两次代入求解即可.【解答】解:∵a2﹣a﹣1=0,∴a2﹣a=1,a3﹣2a+6=a3﹣a2+a2﹣2a+6=a(a2﹣a)+a2﹣2a+6=a+a2﹣2a+6=a2﹣a+6,将a2﹣a=1代入原式=1+6=7.故答案为:7.【点评】本题考查因式分解的应用,合理利用已知条件是关键.【方法三】成功评定法一、单选题1.(2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中)如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解,那么下列c的取值正确的是()A.2B.3C.4D.5【分析】根据平方差公式逐项分析即可.【详解】解:A.()()x y x y +-22x y =-,故能用平方差公式计算;B.()()x y x y +-+22y x =-,故能用平方差公式计算;C.()()x y x y -+-222()2x y x xy y =--=-+-,故不能用平方差公式计算;D.()()x y x y -+--22x y =-,故能用平方差公式计算;故选:C .【点睛】此题主要考查了乘法公式,熟练掌握公式是解答本题的关键.完全平方公式是()2222a b a ab b ±=±+;平方差公式是()()22a b a b a b +-=-.二、填空题三、解答题【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出答案.【详解】解:224691x y y +--()224961x y y =--+()22431x y --=()()231231x y x y =+--+.【点睛】此题主要考查因式分解,解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解.22.(2022秋·上海·七年级阶段练习)因式分解:221218a b ab b -+【答案】22(3)b a -.【分析】先提公因式2b ,再利用完全平方公式即可【详解】解:原式()2269=-+b a a 22(3)=-b a .【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式,熟练掌握方法是解题的关键23.(2022秋·上海·七年级校考阶段练习)因式分解:()()2222225225m n m n ---【答案】()()()2221m n m n m n +-+【分析】直接利用平方差公式分解因式即可.【详解】原式()()2222222252255225m n m n m n m n =-+---+()()22227733m n m n =-+()()222221m n m n =-+()()()2221m n m n m n =+-+【点睛】本题考查了公式法分解因式,熟练应用平方差公式是解题关键.24.(2022秋·上海·七年级校考阶段练习)因式分解:()()2280x y y x ----【答案】()()810x y x y ---+【分析】利用十字相乘法分解因式即可.【详解】()()2280x y y x ----。

专题10 因式分解重难点题型分类(解析版)八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题10 因式分解重难点题型分类-高分必刷题(解析版)专题简介:本份资料包含《因式分解》这一在各次期中期末中常考的主流题型,所选题目源自各名校期中、 期末试题中的典型考题,具体包含六类题型:因式分解的概念、提公因式法、用平方差公式分解因式、用完全平方公式分解因式、用十字相乘法分解因式、分组分解法,本专题资料适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。

题型一:因式分解的概念因式分解的概念(1)定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.(2)原则:①分解必须要彻底(即分解之后因式均不能再做分解);②结果最后只留下小括号 ③结果的多项式首项为正。

1.(2022·福建泉州)下列各式由左边到右边的变形中,正确因式分解的是( )A .232(3)2a a a a -+=-+B .2(1)a x a a ax -=-C .()22393x x x ++=+D .()()2141414a a a -=+- 【详解】A 、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;B 、符合因式分解的定义,故本选项正确;C 、左边≠右边,不是因式分解,故本选项错误;D 、左边≠右边,不是因式分解,故本选项错误.故选:D .2.(2021·江西)下列因式分解中,正确的是( )A .()211x x x +=+B .()()2222x x x -=+-C .()22693x x x -+=-D .()()21644x x x x x +-=+-+ 【详解】解:A 、等式左边不能因式分解,故本选项错误;B 、()()2222x x x -=+-,故本选项错误; C 、用完全平方公式,()22693x x x -+=-,正确;D 、等式右边不是因式分解,故本选项错误.故选C .3.(2022·上海)下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为( )A .()()22x y x y y x --=--B .23231226a b a b ⋅=C .()()()442281933x y x y x y x y -++-=D .()()()()222222821222812a a a a a a a a +-++++-+= 【详解】解:AD.等号右边都不是积的形式,所以不是因式分解,故AD 不符合题意;B.左边不是多项式,所以不是因式分解,故B 不符合题意;C.符合因式分解的定义,故C 符合题意;故选:C .题型二:提公因式法提公因式法的定义(1)定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成 因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.(2)理论依据:乘法分配律的逆运算)(c b a ac ab +=+.4.(2022·甘肃)已知a −b =3,ab =2,则22a b ab -的值为____________.【详解】解:∵3a b -=,2ab =,∴22a b ab - ()=ab a b - =23⨯ =6.故答案为:6.5.(2022·河北邯郸)分解因式:x (x -3)-x +3=_______________________.【详解】解:x (x -3)-x +3=x (x -3)-(x -3)=(x -3)(x -1),故答案为:(x -3)(x -1).6.(2022·辽宁)因式分解:()()26a x y b y x ---=________. 【详解】解:2a (x -y )-6b (y -x )=()()23x y a b -+.故答案为:()()23x y a b -+.题型三:用平方差公式分解因式公式法(1)公式法的定义:逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.(2)方法归纳:①平分差公式))((22b a b a b a -+=-;②完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±.7.(2022·河北邯郸)下列多项式中,既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是( ) A .22a b -- B .24a -+ C .34a a - D .24a a + 【详解】解:A.22a b --,不能因式分解,故该选项不符合题意;B.24a -+()()22a a =+-,只用了平方差公式因式分解,故该选项不符合题意;C.34a a -()()()2422a a a a a =-=+-,故该选项符合题意;D. 24a a +,能用提公因式的方法因式分解,故该选项不符合题意.故选C .8.(2022·辽宁沈阳)在下列各式中,能用平方差公式因式分解的是( )A .24a +B .24a -C .24a --D .22a m + 【详解】解:A 、24a +,不能用平方差公式因式分解,故本选项不符合题意;B 、()()2422a a a -=+-,能用平方差公式因式分解,故本选项符合题意;C 、()2244a a --=-+,不能用平方差公式因式分解,故本选项不符合题意;D 、22a m +,不能用平方差公式因式分解,故本选项不符合题意;故选:B9.(2022·广西贺州)在实数范围内分解因式:425x -=________________________________.10.(2022·陕西汉中)分解因式:()2249a b +-=________.【详解】解:原式()()22=43a b +-()()=4343a b a b +-++ 故答案为:()()4343a b a b +-++.11.(2022·辽宁葫芦岛·八年级期末)因式分解:2()25()x m n n m -+-【详解】解:原式=2)(25()x m n m n ---=2()(25)m n x -- =()(5)(5)m n x x -+-.12.(2022·山东济宁)()()2222x y x y +-+分解因式的结果是______. 【详解】解:()()2222x y x y +-+=()()()()222+-2⎡⎤+++⎡⎤⎣⎦⎣⎦+x y x y x y x y =2+2)((22)+++--x y x y x y x y =(3+3()-+)x y x y =3(+()-)x y x y - 或=3(+()-)x y y x 故答案为:3(+()-)x y x y -或3(+()-)x y y x . 13.(2022·湖南永州)因式分解(1)336m m - (2)()222224m n m n +- 【详解】解:(1)解:336m m -()236m m =-()()66m m m =+-;(2)解:()222224m n m n +-()()22222m n mn =+-()()222222m n mn m n mn =+++-()()22m n m n =+-.14.(2022·山东菏泽)分解因式:(1)2()4()x a b b a -+- (2)22(2)(2)a b a b +-- 【详解】解:(1)解:原式()2()4a b x =--()(2)(2)a b x x =--+; (2)解:原式(22)(22)a b a b a b a b =++-+-+(3)(3)a b b a =+-.题型四:用完全平方公式分解因式15.(2022·陕西榆林)下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( )A .241x -B .221x x +-C .221x x ++D .22x xy y -+ 【详解】解:A 、241x -可以用平方差公式因式分解为(2x +1)(2x -1).故选项A 不符合题意; B 、221x x +-不能用完全平方公式进行因式分解,故选项B 不符合题意;C 、2221(1)x x x ++=+,故选项C 符合题意;D 、22x xy y -+不能用完全平方公式进行因式分解,故选项D 不符合题意.故选:C .16.(2022·山东滨州)下列各式:①22x y --;②22114a b -+;③22a ab b ++;④222x xy y -+-;⑤2214mn m n -+,能用公式法分解因式的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个17.(2022·山东济南)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )A .21x +B .221x x --C .239x x ++D .214x x -+ 【详解】解:A .x 2+1,缺少积的2倍项,不能用完全平方公式进行分解因式,故A 不符合题意;B .x 2+2x -1,缺少两数的平方的和,不能用完全平方公式进行分解因式,故B 不符合题意;18.(2021·湖北·十堰)分解因式:3222a a b ab -+=_________________.【详解】解:()()23222222a a b ab a a ab b a a b -+=-+=-,故答案为:()2a ab -. 19.(2022·辽宁)已知多项式29(6)4x m x -++可以按完全平方公式进行因式分解,则m =________________.【详解】解:多项式()2229(6)43(6)2x m x x m x -++=-++,∵该多项式可以按完全平方公式进行因式分解,∴(6)232m -+=⨯⨯或(6)232m -+=-⨯⨯,解得18m =-或6m =.故答案为:18-或6.20.(2022·湖南岳阳)若多项式29x kx ++可以用完全平方公式进行因式分解,则k =_________.【详解】解:∵多项式29x kx ++可以用完全平方公式进行因式分解,∴2136k =±⨯⨯=±.故答案为:6±.21.(2022·吉林)分解因式:am 2﹣2amn +an 2=_____.【详解】解:am 2﹣2amn +an 2=()()2222a m mn n a m n -+=-, 故答案为:()2a m n -.22.(2022·辽宁营口·八年级期末)分解因式:﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3=_____.【详解】解:原式=﹣2ab (4a 2﹣4ab +b 2)=﹣2ab (2a ﹣b )2,故答案为:﹣2ab (2a ﹣b )2.23.(2022·陕西渭南)分解因式:﹣x 2y +6xy ﹣9y =___.【详解】解:﹣x 2y +6xy ﹣9y()()22=693y x x y x --+=--故答案为:()23y x --.24.(2021·四川达州)分解因式24(21)x x +-=________.【详解】解:(2x +1)2-x 4=(2x +1-x 2)(2x +1+x 2)=(2x +1-x 2)(x +1)2.故答案为:(2x +1-x 2)(x +1)2.题型五:用十字相乘法分解因式十字相乘法(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和.(二)二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件:(1)21a a a = 1a 1c(2)21c c c = 2a 2c(3)1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果:c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++25.(2022·辽宁抚顺)分解因式:2-2-8a a =______.【详解】解:a 2-2a -8=(a -4)(a +2),故答案为:(a -4)(a +2).26.(2022·吉林长春)分解因式:x 2﹣5x ﹣6=_____.【详解】解:x 2﹣5x ﹣6 ()()61x x =-+故答案为:()()61x x -+.27.(2022·上海浦东)因式分解:2412x x --=_______.【详解】解:因为1262,624-=-⨯-+=-,且4-是x 的一次项的系数,所以2412(6)(2)--=-+x x x x ,故答案为:(6)(2)x x -+.28.(2021·上海虹口)因式分解:2a 2-4a -6=________.【详解】解:2a 2-4a -6=2(a 2-2a -3)=2(a -3)(a +1)故答案为:2(a -3)(a +1).29.(2022·黑龙江)把多项式2412ab ab a --分解因式的结果是_________.【详解】2412ab ab a --2(412)a b b =--()()62a b b =-+故答案为:(6)(2)a b b -+.30.(2022·上海)在实数范围内分解因式:2252x x -+=________.【详解】解:225221()()2x x x x -+=--,故答案为:(21)(2)x x --.31.(2022·山东淄博)分解因式:3243a a a -+=__________.【详解】解:32243(43)(1)(3).a a a a a a a a a -+=-+=--32.(2020·上海浦东)分解因式:32514x x x --=__________. 【详解】解:32514x x x --=()2514x x x --=()()27x x x +-故答案为:()()27x x x +-.33.(2018·黑龙江)在实数范围内分解因式:x 4﹣2x 2﹣3=_____.题型六:分组分解法34.(2022·黑龙江)分解因式:2224a ab b -+-=________________.【详解】解:2224a ab b -+-2()4a b =--(2)(2)a b a b =-+--故答案为:(2)(2)a b a b -+--. 35.(2021·江苏常州)因式分解:22421x y y ---=__________.【详解】22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--. 故答案为:(21)(21)x y x y ++--.36.已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边,且满足222244a c b c a b -=-,试判断ABC ∆的形状( )A .直角三角形B .等腰三角形C .直角或等腰三角形D .直角或等边三角形【解答】解:222244a c b c a b -=-,2222222()()()c a b a b a b ∴-=+-,2222222()()()0c a b a b a b --+-=, 22222()()0a b c a b ---=,22a b ∴=或222c a b =+,ABC ∴∆是等腰三角形或直角三角形, 故选:C .37.分解因式:22424x xy y x y --++= .【解答】解:22424x xy y x y --++22(44)(2)x xy y x y =-++-2(2)(2)x y x y =-+-(2)(21)x y x y =--+.故答案为:(2)(21)x y x y --+.38.已知2226100a b a b ++-+=,求ab 的值.【解答】解:2226100a b a b ++-+=,2221690a a b b ∴+++-+=,22(1)(3)0a b ∴++-=, 10a ∴+=,30b -=,1a ∴=-,3b =,133ab ∴=-⨯=-.39.已知a ,b ,c 是ABC ∆的三边,且满足222222a b c ab ac ++=+,试判断ABC ∆的形状,并说明理由.【解答】解:ABC ∆为等边三角形,理由如下:由222222a b c ab ac ++=+得: 2222220a ab b a ac c -++-+=,22()()0a b a c ∴-+-=,0a b ∴-=,0a c -=a b ∴=,a c = a b c ∴==,ABC ∴∆为等边三角形.40.已知a ,b ,c 为ABC ∆的三边,若2222220a b c ac bc ++--=,判断ABC ∆的形状?【解答】解:2222220a b c ac bc ++--=,2222220a c ac b c bc ∴+-++-=, 即22()()0a c b c -+-=,0a c ∴-=且0b c -=,即a c =且b c =,a b c ∴==. 故ABC ∆是等边三角形.41.三角形ABC 的三条边长a ,b ,c 满足222166100a b c ab bc --++=,求证:2a c b +=.【解答】证明:222166100a b c ab bc --++=,222269(1025)0a ab b c bc b ∴++--+=, 22(3)(5)0a b c b ∴+--=,(35)(35)0a b c b a b c b ∴++-+-+=,即(2)(8)0a c b a b c +-+-=, a ,b ,c 是三角形三边长,0a b c ∴+->,80a b c ∴+->,20a c b ∴+-=, 2a c b ∴+=.。

八年级因式分解经典题型

八年级因式分解经典题型一、因式分解的概念与方法回顾。

1. 因式分解的定义。

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

2. 因式分解的方法。

- 提公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。

例如:ma + mb+mc=m(a + b + c)。

- 公式法。

- 平方差公式:a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 完全平方公式:a^2±2ab + b^2=(a± b)^2。

二、经典题型及解析。

1. 分解因式x^3-2x^2+x- 解析:首先观察多项式各项都有公因式x,先提取公因式x,得到x(x^2-2x + 1)。

然后对括号内的式子x^2-2x + 1,可以发现它是一个完全平方形式,即(x -1)^2。

所以原式分解因式的结果为x(x - 1)^2。

2. 分解因式9x^2-16y^2- 解析:这个式子符合平方差公式a^2-b^2的形式,其中a = 3x,b=4y。

根据平方差公式可得(3x + 4y)(3x-4y)。

3. 分解因式4x^2+12xy+9y^2- 解析:观察式子,它符合完全平方公式a^2+2ab + b^2的形式,这里a =2x,b = 3y。

所以原式分解因式的结果为(2x+3y)^2。

4. 分解因式x^4-1- 解析:可先利用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b),这里a=x^2,b = 1,得到(x^2+1)(x^2-1)。

而x^2-1还可以继续利用平方差公式分解为(x + 1)(x - 1),所以最终结果为(x^2+1)(x + 1)(x - 1)。

5. 分解因式2x^2-8- 解析:先提取公因式2,得到2(x^2-4),然后x^2-4可以利用平方差公式分解为(x + 2)(x - 2),所以原式分解因式的结果为2(x + 2)(x - 2)。

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《因式分解》知识演练2.1分解因式【考点演练】1、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为 1、bx ax b a x -=-)(2、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-3、)1)(1(12-+=-x x x4、c b a x c bx ax ++=++)(5、12a 2b =3a ·4ab6、(x +3)(x -3)=x 2-97、4x 2+8x -1=4x (x +2)-1 8、21ax -21ay =21a (x -y ) 9、(a +3)(a -3)=a 2-910、x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 11、x 2+1=x (x +x1) 12、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22422、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+,那么这个多项式是( )A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ,则c b ,的值为()A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式,则k=_________.2.2提公因式法【考点演练】1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。

2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时,应提取的公因式是( ) A 、ab 3- B 、223b a - C 、b a 23- D 、333b a -3、下列各式分解正确的是( )A 、)34(391222xy xyz y x xyz -=-B 、)1(333322+-=+-a a y y ay y aC 、)(2z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+ 4、下列各式的因式分解中正确的是( )A 、 -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )B 、9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy )C 、3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b )D 、21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是( )A 、22)()(y x x y -=- B 、)(b a b a +-=-- C 、33)()(a b b a --=- D 、)(n m n m +-=+- 6、m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于( )A 、(a -2)(m 2+m )B 、(a -2)(m 2-m )C 、 m (a -2)(m -1)D 、m (a -2)(m+1) 7、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是( ) A 、()()p p a +-21 B 、()()p p a --21 C 、()()11--p a p D 、()()11+-p a p8、已知x +y =6,xy =4,则x 2y +xy 2的值为 ; 9、若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是 10、把下列各式分解因式(1)222axy y x a - (2)5335y x y x +- (3)23)(10)(5x y y x -+-(4))3()3(2a a -+- (5)c ab ab abc 249714+-- (6)228168ay axy ax -+-(7)32)(12)(18b a b a b ---; (8)mn(m -n)-m(n -m) (9)a 2(x -y )+b 2(y -x )2.3运用公式法—平方差公式 【考点演练】1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是____________________。

1、22)(b a-+ 2、mn m2052- 3、22y x--4、92+-x5、-a 2+b 26、-x 2-y 27、49x 2y 2-z 28、16m 4-25n 2p 29、42+-m 10、22y x -- 11、122-y x 12、()()22a m a m +--2、分解因式=-942x ____________________;分解因式14-x 得____________________。

3、把下列各式分解因式(1)4m 2-9n 2; (2)9(m+n)2-16(m-n)2; (4)9(a+b )2-(a-b )2;(5)4416n m -; (6)522m m - (7)3123x x -2.4运用公式法—完全平方公式 【考点演练】1、下列多项式中,不能用完全平方公式分解因式的是(1)、412m m ++ (2)、22-y 2y x x + (3)、224914b ab a ++ (4)、 2444x x ++(5)、-x 2-2x -1 (6)、x 2+4y 2 (7)、2242b ab a +- (8)、4142+-m m(9)、269y y +- (10)、2244x ax a +-- (11)、2412x x ++- 2、分解因式=+-442x x ____________________。

=++224124n mn m()()49142++-+y x y x =____________________。

=++-+9)(6)(2b a b a ________________.3、如果2592++kx x 是一个完全平方式,那么k 的值是( )A 、15B 、 ±5C 、30D ±30 4、如果2216y mxy x ++是完全平方式,则m=__ ____. 4a 2-20a+m 是完全平方式,那么m= __ ____. 5、把下列各式分解因式1、4224817216b b a a +-2、xy y x 81622-+3、254624+-x x4、-3ma 3+6ma 2-12ma5、25)(10)(2++++y x y x6、(x 2-6x)2+18(x 2-6x)+817、()()110252+-+-x y y x8、20)3(8)3(222-+-+a a a a 9、 21222++x x 10、;223x x x +-2.5十字相乘法分解因式【考点演练】1、x 2 + 3x + 22、x 2 - 2x - 33、x 2 + 12x - 134、x 2 - 4x + 35、x 2 - x - 66、 x 2 + 6x - 77、x 2 + 2x - 38、 x 2 - 5x - 6第二章《因式分解》训练1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是( ) A .(2)(3)(3)(2)m m m m --=-- B .21(1)(1)a a a -=+- C .2(1)(1)1x x x +-=- D .2223(1)2a a a -+=-+2.下列各式的公因式是a 的是( )A .5ax ay ++B .246ma ma +C .2510a ab +D .24a a ma -+3.一次数学课上,老师出了下面一道因式分解的题目:41x -,请问正确的结果为( ) A.22(1)(1)x x -+ B.22(1)(1)x x +- C.2(1)(1)(1)x x x -++ D.3(1)(1)x x -+4.多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是( )A .2(2)x y - B.2(2)x y -- C .2(2)x y -- D .2()x y + 5. 222516a kab a ++是一个完全平方式,那么k 之值为( ) A.40B.40±C.20D.20±6、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(,则E 是( )A 、p q --1B 、p q -C 、q p -+1D 、p q -+1 7、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式,则p 为( ) A 、-15 B 、-2 C 、8 D 、28、一次课堂练习,小敏同学做了如下4道因式分解题,你认为小敏做得不够完整的一题是( ) A、32(1)x x x x -=-B、2222()x xy y x y -+=- C、22()x y xy xy x y -=-D、22()()x y x y x y -=-+9、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+,那么这个多项式是()A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b10、下列多项式的分解因式,正确的是( )A 、)34(391222xyz xyz y x xyz -=-B 、)2(363322+-=+-a a y y ay y aC 、)(22z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+A 、41x -B 、22x y -C 、2()x y -D 、22a a + 13、如果。

,则=+=+-==+2222,3,5y x xy y x xy y x 14、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= .15、若=,,则b a b b a ==+-+-0122216、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22,则A =___________.17、若a 2+2a+b 2-6b+10=0, 则a=___________,b=___________. 18.(2009年北京市)把3222x x y xy -+分解因式,结果正确的是( )A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C ()2x x y + D ()2x x y -19.(2009年长沙)因式分解:224a a -= . (2009威海)分解因式:(x+3)2 - (x+3) ___________.20.已知正方形的面积是9x 2+6xy+y 2平方单位,则正方形的边长是___________ 21.利用因式分解简便计算下列各式:(1)、4.3×200.8+7.6×200.8-1.9×200.8 (2)、20082-16×2008+64(3)1.2222×9-1.3332×4 (4)、(5)、32004-32003 (6)、(-2)101+(-2)10022、先分解因式,再求值:21,34,416922-==++y x y xy x 其中.23、先分解因式,再求值:已知22==+ab b a ,,求32232121ab b a b a ++的值。

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