2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期24.4、一元二次方程的应用、专题、一元二方程的有关综合问题素材
【冀教版九年级数学上册教案】24.4一元二次方程的应用(3)
24.4 一元二次方程的应用（3）教课目标【知识与能力】1. 会依据详尽问题, 找到单循环赛及利润问题中的等量关系, 列出一元二次方程并求解.2.能依据问题的实质意义 , 检验所得结果能否合理 .3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和要点.【过程与方法】1. 研究实质问题中的等量关系, 经历实质问题转变成数学问题的过程, 进一步领悟数学中的建模思想 .2.培育学生应用数学的意识 , 提升学生解析问题、解决问题的能力.3.经过依据实质问题列方程 , 领悟数学与生活息息相关 .【感情态度价值观】1.经过用一元二次方程解决实质问题, 领悟数学知识的应用价值 , 激发学生的学习兴趣 .2.进一步培育学生合作的意识和主动研究事物内在联系及变化规律的习惯.教课重难点【教课要点】列一元二次方程解单循环赛问题、利润问题的应用题.【教课难点】在实质问题中找到等量关系, 依据实质意义检验结果能否吻合题意.课前准备多媒体课件教课过程一、新课导入：导入一 :复习发问 :1.列一元一次方程解应用题都有哪些步骤?( ①审题 ; ②设未知数 ; ③找相等关系; ④列方程 ; ⑤解方程 ; ⑥答 )2.列方程解应用题的要点是什么?( 读懂题意 , 找到题目中的等量关系)【师生活动】学生回答 , 教师评论.导入二 :有 m个球队进行足球竞赛, 采纳单循环赛的形式, 即每两个足球队之间都要竞赛一场, 那么这m个球队共赛多少场?【师生活动】学生独立思虑后小组谈论, 对学生的展现教师及时指引和评论.[ 设计企图 ]经过复习旧知识及谈论足球单循环赛问题, 为连续学习一元二次方程的应用做,好铺垫 , 以学生们感兴趣的足球赛导入新课, 感觉生活中到处有数学, 激发学生的学习兴趣提升学生在平常生活中应用数学解决问题的意识.二、新知成立：![ 过渡语 ]我们知道了什么是单循环赛, 让我们一起研究下边足球单循环赛的问题吧一起研究一元二次方程解单循环赛问题【课件展现】某少年宫组织一次足球赛, 采纳单循环的竞赛形式, 即每两个足球队之间都要竞赛一场 , 计划安排28 场竞赛.可邀请多少支球队参加竞赛呢?思路一教师指引学生思虑并回答:设应邀请 x 支球队参加竞赛.(1)依据“每两个足球队之间都要竞赛一场”, 每支足球队要竞赛场.(2)用含 x 的代数式表示竞赛的总场数为. 于是可得方程.(3)解这个方程并检验结果 .【师生活动】学生独立思虑后小组合作交流 , 教师评论并解析如何成立一元二次方程的数学模型 , 让学生独立完成解答过程 , 教师评论板书 , 规范解题格式.【课件展现】解: 设应邀请x支球队参加竞赛 , 则每支球队要与其余( x- 1) 支球队各赛一场.依据题意可得x( x- 1)=28,化简得 x2-x =56,解得 x1=8, x2=- 7(不合题意,舍去),答: 应邀请 8支球队参加竞赛 .思路二小组活动 , 共同研究 , 思虑以下问题 :(1) 解析题意 , 题中的已知条件是什么?(2) 解析题意 , 题中的等量关系是什么?(3) 如何设未知数 , 依据题中等量关系如何列方程?【师生活动】教师在巡视过程中及时解决疑难问题, 学生谈论后小组展现谈论结果, 教师及时增补 .【课件展现】解: 设应邀请x支球队参加竞赛 , 则每支球队要与其余( x- 1) 支球队各赛一场.依据题意可得 x( x- 1)=28,化简得 x2-x =56,解得 x1=8, x2=- 7(不合题意,舍去),答: 应邀请 8支球队参加竞赛 .[ 设计企图 ]在教师设计的问题的指引下, 经过小组活动 , 让学生亲自经历成立数学模型的过程 , 感觉数学在实质生活中的应用, 同时提升学生解析问题、解决问题的能力.例题讲解【课件展现】( 教材 51 页例 4) 某商场经销的太阳能路灯, 标价为 4000 元/个 , 优惠方法是 : 一次购买数目不超出 80 个 , 按标价收费 ; 一次购买数目超出80 个 , 每多买 1 个 , 所购路灯每个可降价 8元, 但单价最低不可以低于3200 元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000 元 , 则该顾客实质购买了多少个路灯?思路一教师指引解析 :(1)若顾客实质购买的路灯数目是80 个, 则所需花费为元 .(2)若顾客一次性购买路灯用去516000 元 , 则所买路灯数目80个 .(3)设该顾客购买这类路灯x( x>80)个,路灯数超出80个的数目是个, 每个路灯可降价元 , 则每个路灯的单价是元.(4)题目中的等量关系是.(5)依据等量关系可列方程.(6)解方程 , 并检验根能否都吻合题意.【师生活动】学生在教师的指引下解析, 对问题 (3) 可进行小组谈论交流答过程 , 小组代表展现 , 教师规范解题的格式, 并进行评论.解: 由于 4000×80=320000<516000,因此该顾客购买路灯数目超出80 个.设该顾客购买这类路灯x 个,则路灯的售价为[4000 - 8( x- 80)] 元/个.依据题意 , 得x[4000 - 8( x- 80)]=516000 .2解这个方程 , 得x1=150, x2=430., 而后独立完成解当 x=430时,4000 - 8( x- 80)=4000 - 8×(430 - 80)=1200(元),低于3200元 . 不合题意,舍去 .答: 该顾客实质购买了150 个路灯.思路二【思虑】(1) 一次性购买路灯用去516000 元 , 购买路灯数目能否超出80 个 ?(2) 若设顾客购买路灯x 个,则超出80个的数目是多少?每个路灯可降价多少元?每个路灯的单价是多少 ?(3)题目中的等量关系是什么 ?能否依据等量关系列出方程 ?(4)解方程 , 并检验答案能否吻合题意.【师生活动】小组合作交流, 共同研究 , 教师在巡视过程中帮助有困难的学生题过程 , 教师规范解题格式.【课件展现】解: 由于 4000×80=320000< 516000, 因此该顾客购买路灯数目超出80 个.设该顾客购买这类路灯x 个,则路灯的售价为[4000 - 8( x- 80)] 元/个., 学生展现解依据题意 , 得x[4000 - 8( x- 80)]=516000 .2解这个方程 , 得x1=150, x2=430.当 x=430时,4000 - 8( x- 80)=4000 - 8×(430 - 80)=1200(元),低于3200元 . 不合题意,舍去 .答: 该顾客实质购买了 150 个路灯.[ 设计企图 ]该例题的难度有所增添 , 教师在指引学生解析过程中, 以层层递进的问题帮助学生正确理解题意, 并指导正确用未知数表示等量关系中涉及的量, 从而成立方程模型求解 ,在共同解析、解答的过程中提升学生解析问题及解决问题的能力.练一练 :经销商以 21元/ 双的价格从厂家购进一批运动鞋, 假如售价为a元/双 , 那么可以卖出这类运动鞋 (350-10) 双物价限拟订每双鞋的售价不得超出进价的120% 假如该商店卖完这批鞋a ..赚得 400元,那么该商店每双鞋的售价是多少元?这批鞋有多少双 ?【师生活动】学生独立完成后小组内交流答案, 学生展现成就后, 教师评论.【课件展现】解: 依据题意 , 可得 (350 - 10a)( a- 21)=400,化简可得 a2- 56a+775=0,解得 a=25或 a=31,由于售价不得超出进价的120%,即 21×120%=25. 2( 元 ),因此 a=25,共卖出 350- 10×25=100(双 ) .答: 该商店每双鞋的售价是25 元 , 这批鞋有100 双.三、课堂小结：1.单循环赛问题中的等量关系:竞赛总场数=x×(x- 1) ÷2(x 为球队个数) .易错点是列方程时忽视除以2.2.利润问题中的等量关系:利润 =( 售价-进价 ) ×销售量.2.解决较为复杂的应用题时, 要认真读懂题意, 正确找到等量关系并正确表达, 成立方程模型,并检验解出的根能否吻合题意.。
九年级数学上册 24.4 一元二次方程的应用 探讨数学应
探讨数学应用题的优美解答数学应用题的优美解答就象一件精美艺术品一样，能给人们精神上的享受和心理上的满足．解数学应用题，首先应深入分析题意，利用它所提供的一切信息，迅速抓住问题的本质；第二，要充分发挥自己直觉思维的作用．领悟事物的本质，随机应变，独辟蹊径，设计出新颖、别具一格的解题方法．英国科学家狄拉克说：“谁只要照次追求方程美的观点去工作，谁只要具有良好的直觉，谁就确定地走在了前进的路上”；第三，要能按陌生原理，即无论对熟悉的或不熟悉的题目，都能用好奇、探索的眼光去审视它．只有这样，才有可能得到独创性的、优美的妙解．例1．甲、乙二人自A、B两地骑车相向而行，两人相遇在离A地8公里处．相遇后两人继续按原方向前进，分别到达A、B之后立即返回，又在离B地10公里处相遇，求A、B 两地的距离．【分析】设A、B两地距离为x公里．第一次相遇时，甲走了8公里；第二次相遇时，甲走了（x+10）公里；显然，第二次相遇时，甲、乙共走过的路程是第一次相遇时，甲、乙共走的路程的3倍，因而，第二次相遇时甲所走过的路程，也是第一次相遇时甲所走的路程的3倍，则得：x+10=3×8．x=14答：A、B两地的距离为14公里．【注】这是《中等数学习题集》第一册（翟连林等编）第181页的一道题．书中的解答是：设A、B距离为S公里，甲、乙的速度分别为x公里/小时，y公里/小时，则得例2．甲、乙两个工程队合做一项工程，12天可以完工．如果甲队单独先做5天后，乙队也来参加，两队再合做9天才完工．两队单独完成这项工程各需多少天？【分析】设甲队与乙队的工效的比为x∶1，则甲队做12天等于乙队做12x天，甲队做5+9=14（天）等于乙队做14x天，故乙队独做需（12+12x）天或（9+14x天）天，则得：12+12x=9+14x，x=1.5．所以，乙队独做需12+12x=12+12×1.5=30（天）．答：甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需30天．【注】这是现行课本初中代数第三册149页习题第9题，“教参”中的解是：设单独完成这项工程甲队需要x天，乙队需y天，则例3．A、B两地相距36公里，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时出发相向而行．若行走4小时，则两人相遇；若行走6小时，则此时甲所余下的路程是乙所余下的路程的2倍，求甲、乙两人每小时各走多少公里？【分析】设走6小时后，乙的余路为x公里，甲的余路为2x公里，又显然，这两人的速度和为36/4=9（公里/小时），而两人共走6小时，再加上共有的余路应等于全程的两倍，则得6×9+3x=2×36∴x=6答：甲每小时走4公里，乙每小时走5公里【注】这是1990年福建省初中毕业会考试题，其参考答案是：设甲每小时走x公里，乙每小时走y公里，根据题意得例4．猴子分桃趣题．有五只猴子分一堆桃子，可是怎样分也平分不了，于是大家先去睡觉，明天再说．夜里，一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下，剩下的桃子正好可以分成五份，它把自己的一份收藏起来就睡觉去去．第二只猴子起来也扔掉一个，所剩的桃子又刚好能分成五份，它把自己的一份收藏起来也睡觉去了．第三、第四、第五只猴子都照此办理．问一共有多少个桃子？【分析】设加上4个桃子之后，桃子总数为x，依题意x可以被5整除，不过答：桃子数至少为3121个．【注】这是《世界数学名题趣题选》（王长烈等编）第1题，书中是这样“提示”的：设有桃子数为x，n只猴子各自藏起来的桃子数依次为k1，k2，…，k n，则得方程组（n－l）（k1+1）=n（k2+1）（n－1）（k2+1）=n（k3+1）（n－1）（k n－1+1）=n（k n+1）再把这些等式两边乘起来可得（n－1）n－1（k1+1）=n n－1（k n+1）由此可知，k1+1必是n n－1的倍数，记为k1+1=n n－1k （k∈N）代入①得x=n（n n－1k－1）+1即 x=n n k－（n－1）取k=1，得最小的正整数解为n n－（n－1），令n=5，求得题中最少的桃子数为55－4=3121（个）例5. 甲、乙两人分别从A、B两地同时向同一方向出发，甲经过B地后，再走3小时12分在C地追上乙，这时两人共走72公里，而C，A两地的距离等于乙走5小时的路程．求A、B两地的距离．【分析】设甲的速度与乙的速度之比为x∶1，而已知甲走｜BC｜需16/5小时，所以，乙走｜BC｜需16x/5小时，从而甲走｜AC｜需16x/5小时，于是，乙走｜AC｜需16x2/5小时，则得16x2/5=5∴x=±1.25x=－1.25不合题意，舍去．∴x=1.2516x/5=16×1.25/5=4（时），因而A、B两地距离为：[72/（5+4）]（5－4）=8（里）答：A、B两地的距离为8公里．【注】这是78年辽宁中学数学竞赛第二试题．1978年全国部分省市《中学数学竞赛试题解答汇集》（福建省教育学院数学组编）中是这样解答的：设A、B地距离为x公里，乙的速度为y里/时，则甲的速度为（5y－x）/3.2（里/时）则得例6. 一号列车由甲地向乙地出发1时后，二号列车由乙地出发，速度较一号列车每时大10里．两车相遇之地点，适在甲乙两地之中央，又若一号列车出发之时间，在二号列车出发后1小时，而仍欲在甲乙两地之中央相遇，则一号列车之速度，非每时增加28里不可，求甲乙两地之距离及一号列车每时之速度．【分析】第一次：一号列车早出发1时．二号列车速度较一号列车速度每时大10里．所以，若设二号列车由乙地出发x小时后，适在甲乙两地之中央与一号列车相遇．则一号列车之速度为10x/1（里/时）；第二次：一号列车较二号列车迟一时出发．且仍要在甲乙两地之中央与二号列车相遇，所以，一号列车走这一距离用（x－1）时，它的速度非每时增加28里不可．但实际上，较二号列车每时只大（28－10）里．所以，二号列车的速度为（28－10）（x－1）（里/时），故得（28－10）（x－1）－10x=10x=3.5所以，一号列车之速度为10x=35（里/时），两地距离为2x（35+10）=2×3.5×45=315（里）答：甲：乙两地距离为315里．一号列车之速度为35里/时．【注】这是《代数学辞典》第1188题，书中的解答是：设甲、乙两地距离为2x公里，一号列车每时之速度为y里，则得例7. 一水槽，以甲、乙二管注水．今先在乙管注满所需时间之3/5内，单以甲管注之，继单以乙管注满其余．这样所用的时间，较之以甲、乙二管同时开放注满所需之时间多6时．又甲、乙二管同时开放，至注满为止，所注水量，甲为乙的2/3，问单以甲或乙一管注之，各需若干时而满？【分析】由题设可知，甲管的工效是乙管工效的2/3倍，所以，同时开放二管至注满止，乙管注该水槽的3/5，设单以乙管注满水槽需x 小时，则二管同时开放需（3/5）x 小时才能注满，又在乙管注满所需时间之3/5内，单以甲管注之，其注水量只相当于乙管注水232x x 355⎛⎫= ⎪⎝⎭（小时）所注水量，所以，继单以乙管注满其余，还需3x 5小时，故得答：单以甲管注之需15小时，单以乙管注之需10小时．【注】这是《代数学辞典》（日本，长泽龟之助著，德炯等编译．以下简称《代》）第2391题．书中的解答是：设甲需x 时而满，乙需y 时而满．则先用甲管之时间为（3/5）y 时，故所注之水量为全量的3y/5x ．又此时所余之水量，为全量之1－（3y/5x ），故以乙管注满此量所需之时间为3y y(1)5x -时，据此，所经之总时间为3y 3y y(1)55x+-时，若两管同时开放，则经1xy 11x yx y +++时而水满，故得。
九年级数学上册24.4一元二次方程的应用教材说明素材冀教版(new)
24.4一元二次方程的应用初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题,列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题.本课教学思想是应用一元二次方程解决实际问题时，使学生经历完整的数学化过程,培养学生从多角度思考和分析问题以及有条理地表达自己思考过程的能力.不必强求学生解决问题的方法和策略完全统一，只要思路正确,解法合理,结果符合实际即可。
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九年级数学上册第24章一元二次方程244一元二次方程的应用第3课时营销问题作业新版冀教版
[24.4 第3课时营销问题]一、选择题1．生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送x名同学，则根据题意可列出的方程是 182件．若全组有标本( )xxxx－1)＝182 B．A．182 ((＋1)＝xxxx－1)．＝182×22(( ＋1)＝182 DC．2．商场某种商品平均每天可销售30件，每件赢利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设x元．在上述条件不变、销售正常的情况下，为使商场日赢利达到2100每件商品降价元，则每件商品应降价( )A．15元 B．20元 C．15或20元 D．10元二、填空题3．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有________队.4．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种桃树__________棵．三、解答题5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利44元，为了增加销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5件．若商场平均每天要赢利1600元，每件衬衫应降价多少元？16．某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？7．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．据市场调查aa)10件，元，则可卖出(320若每件商品的售价为发现，该商品的售价与销售量的关系为：－但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.如果商店计划要获利400元，那么每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？(每件商品的利润＝售价－进货价)8．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克．经市场调查发现，该产品yxx≤18)之间的函数关系如图14－K－110≤千克，元)每天的销售量(千克与销售价(/且所示．若该经销商想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少？21－14－K图“出血热”]“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生．9[2017秋·南平期中的烈性传染病毒，传染性极强，一游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮人受到感染，求：121传染后，共有每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如果病毒得不到有效控制，按如此的传播速度，经过三轮传染后将有多少人受到感(2) 染？310．某公司投资新建了一个商场，共有商铺30间．据预测，当每间商铺的年租金定为10万元时，可全部租出．若每间商铺的年租金每增加5000元，则少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元(收益＝租金－各种费用)?11建模思想为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，则最多用多少资金购买书桌、书架等设施？(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20000元．经筹委会进一aa＞0)，则每户平均集资的资金在自愿参与的户数在步宣传，200户的基础上增加了%(其中10aa的值．，求元的基础上减少了150%9451．B2． B [解析] 设每件商品降价x元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2100.解得x＝15，x＝20. 21∵该商场为了尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去，∴x＝20.13．5 [解析] 设参加比赛的球队有x队．由题意可得x(x－1)＝10，2解得x＝5，x＝－4(不符合题意，舍去)，所以参加比赛的球队有5队．214．20 [解析] 设应多种x棵桃树，则(100＋x)·(1000－2x)＝100×1000×(1＋15.2%)．，＝380(不合题意，舍去0，解得x＝20，x＝整理，得x－400x＋760021棵桃树．所以应该多2)种20 元．5．解：设每件衬衫应降价x ，5x)＝1600根据题意，得 (44－x)(20＋36. ＝，x解得x＝421∵增加销售量，减少库存， 4不合题意，舍去，x∴＝136.x＝∴ 36元．答：每件衬衫应降价个小分支．x6．解：设每个支干长出，x＋x·x＝111由题意，得1＋2，110x－＝0x即＋＝0，10)(x∴(x－＋11) )11(＝－，＝x解得10x不合题意，舍去．216答：每个支干长出10个小分支．7．解：设每件商品的售价定为x元．根据题意，得(x－18)(320－10x)＝400.0－50x＋616整理，得x28.2，＝x＝x＝22，解得21 22.5，)，而28＞18×(1＋25%)＝22.5(元∵22. x＝x＝28不合题意，舍去，∴∴2 )．－10×22＝100(件卖出商品的件数为320 100件．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品代入，24)，(18，40)kx＋b(b≠0)，把(10，8．解：设y与x之间的函数表达式为y＝，2，k＝－10k＋b＝40????解得得??，60，b＝18k＋b＝24????∴y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋60(10≤x≤18)．当销售利润为150元时，可得(x－10)(－2x＋60)＝150，．＝25(不合题意，舍去x375＝0，解得x＝15，整理，得x－40x＋21 /千克．元的销售利润，2 )则销售价应定为15元答：若该经销商想要每天获得150 个人．(1)设每轮传染中平均一个人传染了x9．解：，x)x＝121＋x＋(1＋1根据题意，得．不合题意，舍去)10，x＝－12(解得x＝个人．答：每轮传染中平均一个人传染了331331. 1)＝＋10时，(x＋1)＝(10＝(2)当x 1331 2110人受到感染．答：经过三轮传染后将有 )万元＝30000元．1010．解：(1)13－＝3( )．间＝－，间＝×÷30000500016()30624( 答：能租出24间．7(2)设每间商铺的年租金增加x万元．xxx根据题意，得(30－)×(10＋x)－(30－)×1－×0.5＝275.0.50.50.52－11x＋5＝0，整理，得2x解得x＝5，x＝0.5.＋5＝15(万元)，10＋0.5＝10.5(万元)．2110答：每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该公司的年收益为275万元．元．(1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x11 解：3x. ≥30000－x由题意，得7500. ≤解得x 元购买书桌、书架等设施．答：最多用7500 由题意，得(2)10????a%－120000. ＝×150200(1＋a%)??910????y－12.y)＝，则有设y＝a%3(1＋??90.3＝10y2＋y－整理，得0.5. y2＝，＝－解得y10.6(不合题意，舍去)50. a＝，∴＝∴a%0.5 8。
九年级数学上册24.4一元二次方程的应用找准参照物素材冀教版(new)
找准参照物在运动学问题中，若能找准参照物，则可使问题简化，起到化难为易的效果．例1两列火车均以20米/秒的速度相向行驶,一列车中的射手垂直向另一车射击，机枪射速为900发/分,火车全长30m，则车厢壁中弹孔最多有多少个？分析解这道题时可设射手所在列车为参照物，则另一列车相对于它的速度为0.75秒≈12（个）．例2一队伍长120米，现通讯员从队尾跑到排头又立即从排头跑回队尾，设在此过程中,队伍与通讯员均作匀速运动，且在这过程中队伍前进了160米,求通讯员往返所跑过的路程．分析设队伍速度为V1，通讯员速度为V2,整个过程所用时间为t，以队伍为参照物，则通讯员前半部分相对于队伍的速度为V2—V1，后半段路程相对于队伍的速度为V2+V1,则队伍所走路程 S1=V1t=160米通讯员所走路程S2=V2t=2V1t=320米．例3一座电梯可在一分钟内把人从楼下送上楼,若电梯不动，人走上去须3分钟,则求人在开着的电梯中走上去须多少时间？分析在解这道题时,可选地面为参照物,则电梯动而人不动时，人与电梯的速度相等为V1，人动电梯不动时，设人的速度为V2，则人在运动的电梯中也走时相对于地面的速度是V1+V2，在这三部分中，总路程S不变,所以∴ V1+V2=4V2尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
九年级数学上册24.4一元二次方程的应用仔细看,大胆想,巧解“难题”素材冀教版(new)
仔细看，大胆想,巧解“难题”在解决数学习题时，若能认真观察，用心思考．辅以大胆猜测，则奇趣妙法将层出不穷．故原方程无解．爱因斯坦说：“真正可贵的是直觉，”我们在学习中要培养直觉的能力．知原方程无解．例3 若圆内接四边形的边长依次为25，39,52,60，则此圆直径为［ ]．（A)62． (B)63． (C）65．（D)66．观察发现25，60，65是一组勾股数．可大胆猜想此圆直径为65．再由39,52,65也是一组勾股数得到证实．故应选C.“数学王子”高斯曾说:“没有大胆而放肆的猜想．就谈不上科学的发现．”他的话，对我们既是鼓舞．也是启发.观察思考后发现．方程①×②×③得(xyz)2＝36,∴ xyz＝±6 ④例5 求方程x4+y4＝626的整数解解∵ x．y是整数，而14＝1， 626—1＝625＝54．24＝16， 626-16＝610．34＝81， 626—81＝545．44＝256， 626-256＝370．54＝625， 626—625＝1．解因为x2—y2＝1993是二元方程．在一般情况下它的解是不定的．但是题设：x，y是整数，并且1993是质数，于是由（x+y)（x—y）＝1993×1到此几个小小的“难题”解完了．最后让我们记住爱因斯坦下面的话："只睁大你的眼睛看见东西，那是不会发现什么的，还要你的心能思考才行．”同学们，睁大你的眼睛，活跃你的思维，去探索这充满神奇的世界吧！尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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【冀教版九年级数学上册教案】24.4一元二次方程的应用(1)
24.4 一元二次方程的应用（1）教课目的【知识与能力】1.会依据实质问题中面积的等量关系, 列出一元二次方程并求解 .2.能依据问题的实质意义 , 查验所得结果能否合理 .3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和要点.【过程与方法】, 经历将实质问题抽1. 经过解决有关面积的实质问题, 学会将实质应用问题转变为数学识题象为代数问题的过程, 进一步领会数学中的建模思想.2.培育学生的应用数学意识 , 提升学生剖析问题、解决问题的能力.3.经过依据实质问题列方程 , 领会数学与生活息息有关 .【感情态度价值观】1.经过用一元二次方程解决身旁的问题 , 领会数学知识应用的价值 , 提升学生学习数学的兴趣.2.进一步培育学生合作的意识和主动研究事物内在联系及变化规律的习惯.教课重难点【教课要点】列一元二次方程解决与面积有关的应用题.【教课难点】在实质问题中找到等量关系, 依据实质意义查验结果能否切合题意.课前准备多媒体课件教课过程一、新课导入：[ 导入语 ]同一元一次方程, 二元一次方程( 组 ) 等同样 , 一元二次方程和实质问题也有密切的联系 , 本节课就来议论如何利用一元二次方程来解决实质问题.导入一 :【复习回首】1.三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么呢?2.解一元二次方程的方法有哪些?3.列方程解应用题的一般步骤是什么?【师生活动】教师发问 , 学生回答.导入二 :你能求解本章序言中的问题吗?【师生活动】 学生独立达成板书展现 , 并概括总结解题步骤 , 教师重申指出要联合题目的已知条件正确决定一元二次方程两个根的弃取问题.[ 设计企图 ]经过复习列方程解应用题的步骤及有关面积公式 , 为本节课的研究活动做好铺垫, 很自然地走进今日的学习内容 ; 创建实质问题的导入 , 让学生感觉建模思想在与面积有关的实质问题中的应用 , 激发学生学习兴趣 .二、新知建立：共同研究 列一元二次方程解应用题【课件展现】( 教材 47 页例 2) 已知一本数学书的长为26 cm, 宽为 18. 5 cm, 厚为 1 cm . 一张长方形包书纸如下图 , 它的面积为 21260 cm , 虚线表示的是折痕 . 由长方形相邻两边与折痕围成的 四角均为大小同样的正方形 . 求正方形的边长 .思路一【课件展现】思虑以下问题 , 小组沟通 :(1) 此题中有哪些数目关系 ?( 包书纸的长×宽 =1260)(2) 包装纸的长和宽如何用正方形的边长 x 表示 ?( 包装纸的长 =书宽 +厚 1 cm+2x , 包装纸的宽 =书长 +2x )(3) 如何利用题目中等量关系列出方程 ?(4) 解方程并得出正确结论 . 【师生活动】 学生独立思虑后 , 小组针对问题进行沟通议论, 共同研究问题并做出解答师给学生充分的思虑时间, 对学习有困难的学生加以指导, 对学生的解答教师评论并规范解, 教题步骤 . 【课件展现】解: 设正方形的边长为x cm,依据题意 , 得 (26+2 x )(18 . 5×2+1+2x )=1260 .整理,得x2+3268=0.x-解这个方程 , 得x1=2, x2=- 34( 不合题意 , 舍去 ) .答: 正方形的边长是 2 cm .[ 设计企图 ]学生针对教师提出的问题, 在小组内展开议论沟通, 使学生思路清楚 , 目的明确 ,充分表现建模思想解决实质问题的应用, 培育学生剖析问题、解决问题的能力.思路二教师指引剖析 , 学生思虑 , 并回答以下问题 :题中的等量关系式是, 设正方形的边长为x cm, 则长方形包装纸的长为, 宽为,则可列方程为.【师生活动】学生在教师的指引下思虑回答, 独立达成解答过程 , 教师帮助有困难的学生 ,并展现答案 ,同时规范做题格式.[ 设计企图 ]师生共同找题中的已知量与未知量之间的等量关系, 列出方程解决问题, 提升学生的读题、审题能力 , 培育学生深入思虑、剖析问题的能力 ,又培育学生合作解决问题的意识.做一做已知一个直角三角形两直角边的和是12, 斜边的长是10, 求这个直角三角形两直角边的长.【思虑】1.题目中有几个未知量?未知量之间有什么数目关系?( 两个未知量 , 两直角边的和是12)2.设一个未知量为( 设一条直角边长为x,则另一个未知量如何用未知数表示x,则另一条直角边长为12-x )?3.直角三角形中直角边和斜边之间的数目关系是什么?( 勾股定理 )4.你能依据等量关系列出方程吗?5.解方程 , 写出正确答案.【师生活动】学生独立思虑, 试试独立达成解答过程, 小组内沟通答案, 教师对学生的解答作出评论 .[ 设计企图 ]经过设置问题降低学生独立解决问题的难度, 进一步增强学生一元二次方程解决实质问题的能力, 增强学生的应企图识和独立思虑的能力.三、讲堂小结：1.一元二次方程解决实质问题的要点: 剖析题意找等量关系.2.列方程解应用题的一般步骤:审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、查验、写出答案.。
冀教版数学九年级上册(教学设计)《24.4一元二次方程的应用--读一读 方程的近似解》
《一元二次方程的应用--读一读 方程的近似解》方程的解并不都是精确的解，那么对于我们不能狗精确求解出来的问题，我们应该怎么办呢，采取什么样的方式来解决呢，这节有助于真正的了解方程的根和系数的关系。
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．【教学重点】一元二次函数的应用问题【教学难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．多媒体课件一、复习提问一元一次方程的概念。
二、导入新课一面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？ 解：设矩形的宽为xm ，则长为(x ＋2) m, 根据题意得：x (x＋2) ＝120即x2＋ 2x－120 ＝0三、讲授新课一、增长率问题例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率.例2、李先生将10000元存入银行一年，到期后取出2000元购买彩电，剩余8000元和利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是8925元，试求这种存款的年利率.（不计利息税）二、面积问题例3、用12m长的一根铁丝围成长方形.(1)如果长方形的面积为5m2,那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m2呢?(2)能否围成面积是10m2的长方形?为什么?(3)能围成的长方形的最大面积是多少?三、数字问题例4、有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，求原来的两位数.四、销售问题例5、某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么，将售价定为多少时，才能使所赚利润为640元？。
2024年冀教新版九年级上册第二十四章一元二次方程24.4一元二次方程的应用
解析 若道路的宽为x米,则余下部分可拼成长为(32-x)米、 宽为(20-x)米的矩形,根据矩形面积公式,得(32-x)(20-x)=540.
8.(2024河北秦皇岛昌黎期中,18,★★☆)某社区在开展“美 化社区,幸福家园”活动中,计划利用如图所示的直角墙角 (阴影部分,两边足够长),用50米长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围AB,AD两边).若在直角墙角点P处有一棵桂 花树,且与墙BC,CD的距离分别是10米,30米,要将这棵树围 在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积 不能 (填“能”或“不能”)达到625平方米.
(2)能.设左边的正方形的边长为y cm,
根据题意得(14-2y)·32
2
2
y
=180,解得y=1或y=22,
经检验,y=22不符合题意,舍去,
∴盒子的体积为180×1=180 cm3.
第二十四章 一元二次方程
24.4 一元二次方程的应用
第二课时 利用一元二次方程解 决百分率问题
基础过关全练
知识点2 利用一元二次方程解决增长(降低)率问题
A.(30+2x)(15+x)=392 B.(30-2x)(15-x)=392 C.(30+x)(15+2x)=392 D.(30-x)(15-2x)=392
解析 小道的宽为x米,则6个小矩形(阴影部分)可合成长为 (30-2x)米、宽为(15-x)米的大矩形,利用种植面积=合成大矩 形的面积,得(30-2x)(15-x)=392.
5.(2023安徽合肥寿春中学模拟改编,7,★★☆)商场里某品牌 手机经过5,6月份连续两次降价每部售价由10 000元降到6 4 00元,且第二次降价的百分率是第一次的2倍,设第二次降价 的百分率为x,根据题意可列方程为
一元二次方程的应用-ppt课件
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
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1
专题：一元二方程的有关综合问题
1．考点分析
根据新课标的要求，这部分内容考试所占的比重较大，不但有填空、选择、解答题，近
年来考查这类应用的题目越来越多，而且一大批具有较强的时代气息，设计自然，紧密联系
日常生活实际问题的应用题不断涌现，对于情境设计、设问方式等方面有新突破
2．典例剖析
例1．（2007义乌）如图2，某剧组在东海拍摄广泛风光片，拍摄基地位于A处，在其
正南方向15海里处一小岛B，在B的正东方向20海里处有一小岛C，小岛D位于AC上，且
距小岛A10海里．
（1）求∠A的度数（精确到1°）和点D到BC的距离；
（2）摄制组甲从A处乘甲船出发，沿A→B→C的方向匀速航行，摄制组乙从D处乘乙
船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发
并且在B、C间的F处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
分析：本题是由课本上的一道例题改编的，它的背景新颖、活泼，它源于课本而高于课
本，只要结合图形，运用学过的知识就很容易解决．
图2
2
解：（1）在Rt△ABC中，∵tanA=43BCAB，
∴53A，过点D作DE⊥BC于点E，
∵2222152025ACABBC，而Rt△ABC∽Rt△DEC，
∴ABACDECD，
∴251015925CDDEAC，
∴D到BC的距离为9海里．
（2）设相遇时乙船航行了x海里，则DF=x，AB+BF=2x．∵CD=15，DE=9，∴CE=12．∴
EF=15+20－2x－12=23－2x，在Rt△DEF中，222(232)9xx，解得：121.0x（不合
题意，舍去），29.7x．答：相遇时乙船航行了9.7海里．
点评：本题是一道综合应用题，它综合了一元二次方程的根的概念、解法以及三角形相
似、勾股定理、三角函数等重要知识，综合地考察学生的应用能力、分析和解决问题的能力．
专练
1．（2007天门）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m－1＝0．
（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设α、β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值．
2．（2007丽水）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的
几种方法，请你按有关内容补充完整：
图3
3
复习日记卡片
内容：一元二次方程解法归纳 时间：2009年6月
×日
举例：求一元二次方程210xx的两个解
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解
解方程：210xx．
解：
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解
如图所示，把方程210xx的解看成是二次
函数y 的图象与x轴交点的
横坐标，即12,xx就是方程的解．
方法三：利用两个函数图象的交点求解
x
y
1
x
2
x
O
4
（1）把方程210xx的解看成是一个二次函数y 的图象与一个一次函
数y 图象交点的横坐标；
（2）画出这两个函数的图象，用12,xx在x轴上标出方程的解．
3．8块相同的长方形地砖拼成面积为2400㎝2的矩形ABCD（如图4），则矩形ABCD的
周长为（ ）
A．200㎝ B．220㎝ C．240㎝ D．280㎝
4．如图5，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到
折痕AE，则点E到点B的距离为（ ）
A．212 B．213 C．215 D．216
图4 图5
x
y
O
-1
3 2 1
3
-1
-2
1
2
4
-2
-3
5
5．已知关于x的一元二次方程x2－mx+2m－1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．
某同学的解答如下：
解：设x1、x2是方程的两根，由根与系数的关系，得x1+x2= －m，x1x2=2m－1；由题意，
得x12+x22=23；又x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2；∴m2－2（2m－1）=23．解之，得m1=7，m2=－3，
所以，m的值为7或－3．上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答．
错误：
解：
6．如图6，在ABC中，90,40,50CmBCmAC，点P从点A开始
沿AC边向点C以sm2的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以sm3的速度沿着
CB
匀速移动，几秒后，PCQ的面积等于2450m？
7．某军舰以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/时的速度由
南向北航行，它能侦察周周围50海里（含50海里）范围内的目标．如图7，当该军舰行至
A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里．若军舰和侦察船仍按原速
度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军？如果能，最早何时能侦察
到？如果不能，请说明理由．
P
Q
C
B
A
图6 图7
6
参考答案：
1．任取m=4，这时值为13
2．（1）解：∵1,1,1abc， ∴245bac． ∴152x．
∴原方程的解是1x=152，2x=152．
（2）21xx．
（3）2x与1x或21x与x等．
3．A；
4．C；
5．略；
6．解：设x秒后，PCQ的面积等于4502m，有450325021xx，
0150252xx
，10,1521xx，当15xs时，
40451533BCxCQ，即15xs不合题意，舍去．所以10秒后，PCQ
的
面积等于4502m．
7．能，2小时．