2022年全国各省中考数学真题分类解析尺规作图
第7讲 尺规作图-广东省深圳市2022年中考数学(北师大版)考点题型专项复习训练
《深圳中考专项复习》第7讲之尺规作图【考点介绍】近几年的深圳中考卷中，都有一道中等偏下难度的尺规作图识别题，考查几何5个基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）的作图痕迹识别。
【最近五年中考实题详解】1.(2020∙深圳)如图，已知AB=AC，BC=6，山尺规作图痕迹可求出BD=( )A.2B.3C.4D.5【解析】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B。
AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、2.(2019∙深圳)如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以AB两点为圆心，大于12N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A. 8B. 10C. 11D. 13【解析】由作图痕迹可知DM为线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，则△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB=8，故选A。
3.(2018∙深圳)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图1，菱形ADFE为△ABC的亲密菱形。
如图书2，在△CFE中，CF=6，CE=12,∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12AD长为半径做弧，交EF于点B，AB//CD.(1)求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；(2)求四边形ACDB的面积.【解析】中等难度题型，以阅读理解题型考查菱形的证明与计算、尺规作图。
(1)证明：由尺规作图痕迹可得：AC=CD，AB=DB，BC是∠FCE的角平分线，则：∠ACB=∠DCB，又∵AB//CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，又∵AC=CD，AB=DB，∴AC=CD=DB=BA，∴四边形ACDB 是菱形.∵∠ACD与∠FCE重合，它的对角∠ABD的顶点在EF上，∴四边形ACDB为△CFE的亲密菱形.(2)解：设菱形ACDB的边长为x，∵AB//CE，∴FAFC =ABCE，即6−x6=x12,解得：4x=,过A点作AH⊥CD于点H，在直角△CAH中，∠FCE=45°，AH=AC∙sin45°=4×√22=2√2,∴菱形ACDB的面积为：4×2√2=8√2.4.(2017∙深圳)如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解析】由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．5.(2016∙深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=5,以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12E，则DE的长为____________.【解析】由作法可知BE为角平分线，所以，∠ABE＝∠CBE，又AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE＝AB＝3，AD＝BC＝5，所以，DE＝5－3＝2。
2022年中考数学真题-专题12 平行四边形与中位线(1)(全国通用解析版)
专题12 平行四边形与中位线一．选择题（2022·四川乐山）1. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（）A. 4B. 3C. 52D. 2【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2×12×AC×BF，∴4×6=2×12×8×BF，∴BF=3，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．（2022·浙江宁波）2. 如图，在Rt ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE AD=，2DF=，则BD的长为（）A.B. 3C.D. 4【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线可以求得AE 的长，再根据AE ＝AD ，可以得到AD 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD 的长．【详解】解：∵D 为斜边AC 的中点，F 为CE 中点，DF ＝2，∴AE ＝2DF ＝4，∵AE ＝AD ，∴AD ＝4，在Rt △ABC 中，D 为斜边AC 的中点，∴BD ＝12AC ＝AD ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD 的长．（2022·四川眉山） 3. 在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则DEF 的周长为（ ）A. 9B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长=2△DEF 的周长．【详解】∵D ，E ，F 分别为各边的中点，∴DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE =12BC =3，EF =12AB =2，DF =12AC =4，∴△DEF 的周长=3+2+4=9．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．（2022·浙江绍兴） 4. 如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME，MF，NF，EN，MN ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA =OC ，OB =OD∵BE =DF∴OE =OF∵点E，F 时BD 上的点，∴只要M，N 过点O ，那么四边形MENF 就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN =EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是矩形，∵点E 、F 是BD 上的动点，∴存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN ⊥EF ，MN 过点O ∵则四边形MENF 是菱形；∵点E 、F 是BD 上的动点，∴存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN =EF ，MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．（2022·浙江嘉兴）5. 如图，在ABC 中，8AB AC ==，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF AC ∥，GF AB ∥，则四边形AEFG 的周长是（ ）A. 32B. 24C. 16D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据EF AC ∥，GF AB ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，从而得到FG =AE ，AG =EF ，再由EF AC ∥，可得∠BFE =∠C ，从而得到∠B =∠BFE ，进而得到BE =EF ，再根据四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ），即可求解．【详解】解∶∵EF AC ∥，GF AB ∥，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴FG =AE ，AG =EF ，∵EF AC ∥，∴∠BFE =∠C ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠B =∠BFE ，∴BE =EF ，∴四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ）=2（AE +BE ）=2AB =2×8=16．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．（2022·四川达州）6. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A. B F ∠=∠B. DE EF =C. AC CF =D. AD CF =【答案】B【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到DE ∥AC 且DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】解：∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC 且DE =12AC ，A 、根据∠B =∠F 不能判定CF ∥AD ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B 、根据DE =EF 可以判定DF =AC ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C 、根据AC =CF 不能判定AC ∥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D 、根据AD =CF ，FD ∥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．（2022·浙江丽水）7. 如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若6AB =，8BC =，则四边形BDEF 的周长是（ ）A. 28B. 14C. 10D. 7【答案】B【解析】【分析】首先根据D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，可判定四边形BDEF 是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDEF 的周长． 【详解】解：D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点， EF ∴、ED 分别是ABC △的中位线，EF BC ∴∥，ED AB ∥且11==8=422EF BC ⨯，11==6=322ED AB ⨯， ∴四边形BDEF 是平行四边形，=4BD EF ∴=，3BF ED ==，∴四边形BDEF 的周长为：=3434=14BF BD ED EF ++++++，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF 是平行四边形是解决本题的关键．（2022·湖南怀化）8. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形【答案】A【解析】【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180°=900°，解得n =7，∴这个多边形的边数是7，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． （2022·四川南充） 9. 如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A. AE AF =B. EAF CBF ∠=∠C. F EAF ∠=∠D. C E ∠=∠【答案】C【解析】 【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：∵多边形ABCDE 是正五边形，∴该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =，∴5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ∵ABF 是正三角形， ∴60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，∴1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；∵AB AE =，AB AF FB ==，∴AE AF =，故A 选项正确；∵60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，∴F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．（2022·湖南湘潭）10. 在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（ ）A. 80︒B. 100︒C. 120︒D. 140︒【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD∴∠DCA ＝∠CAB ，∵BCD ∠=∠DCA +∠ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒∴BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．（2022·河北）11. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A 错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B 错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C 错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．（2022·湖南岳阳）12. 下列命题是真命题的是（ ）A. 对顶角相等B. 平行四边形的对角线互相垂直C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【解析】【分析】根据对顶角性质判断A ，根据平行四边形的性质判断B ，根据三角形的内心定义判断C ，根据全等三角形的判定定理判断D ．【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A 符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B 不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C 不符合题意；D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．（2022·河北）13. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A. 0αβ-=B. 0αβ-<C. 0αβ->D. 无法比较α与β的大小【答案】A【解析】 【分析】多边形的外角和为360︒，△ABC 与四边形BCDE 的外角和均为360︒，作出选择即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360︒，∴△ABC 与四边形BCDE 的外角和α与β均为360︒，∴0αβ-=，故选：A ．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360︒是解答本题的关键．（2022·河南）14. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】 【分析】由菱形的性质可得出BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，再根据中位线的性质可得26BC OE ==，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，∵OE =3，且点E 为CD 的中点，OE ∴是BCD △的中位线，∴BC =2OE =6．∴菱形ABCD 的周长为:4BC =4×6=24．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD =6． （2022·山东泰安）15. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF 是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】 【分析】通过判定ABE ∆为等边三角形求得60=︒∠BAE ，利用等腰三角形的性质求得30EAC ∠=︒，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【详解】解：点E 为BC 的中点，22BC BE CE ∴==，又2BC AB =，AB BE ∴=，60ABC ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，60BAE BEA ∴∠=∠=︒，30EAC ECA ∴∠=∠=︒，90BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒，即AB AC ⊥，故①正确；在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，AO CO =，CAD ACB ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，CAD ACB OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOF COE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又AB AC ⊥，点E 为BC 的中点，AE CE ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形，故③正确；AC EF ∴⊥，在Rt COE ∆中，30ACE ∠=︒，111244OE CE BC AD ∴===，故②正确； 在平行四边形ABCD 中，OA OC =， 又点E 为BC 的中点，ΔΔΔ1124BOE BOC ABC S S S ∴==，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个，故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．（2022·山东滨州）16. 下列命题，其中是真命题的是（ ）A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A 错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B 错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C 错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题（2022·江苏扬州）17. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________．【答案】6【解析】 【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：∵已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ， ∴12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ∵第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，∴AM DM =，AN ND =，∴MN AD ⊥，∴MN BC ．∵AM DM =，∴MN 是ADC 的中位线， ∴12MP DB '=，12MN DC =． ∵12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=， ∴()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．（2022·江苏连云港）18. 如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF =；分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点G ；作射线BG 交DC 于点H ．若1AD =，则BH 的长为_________．【解析】【分析】如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分∵ABC ，即可证明∵CBH =∵CHB ，得到1CH BC ==+，从而求出HM ，CM 的长，进而求出BM 的长，即可利用勾股定理求出BH 的长．【详解】解：如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分∵ABC ，∴∵ABH =∵CBH ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵1BC AD AB CD ==+∥，，∴∵CHB =∵ABH ，∵C =180°-∵ABC =30°，∵∵CBH =∵CHB ，∴1CH BC ==，∴12HM CH ==，∴32CM +==，∴12BM BC CM =-=，∴BH ==．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH 的长是解题的关键．（2022·四川南充）19. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得,AC BC 两边中点的距离DE 为10m （如图），则A ，B 两点的距离是_______________m ．【答案】20【解析】【分析】根据题意得出DE 为∆ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：∵点D 、E 为AC ，BC 的中点，∴DE 为∆ABC 的中位线，∵DE =10，∴AB =2DE =20，故答案为：20．【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．（2022·湖南株洲）20. 如图所示，已知60MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则AEO ∠=_________度．【答案】48【解析】【分析】EAO ∠是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角EAO ∠，再利用OAE △的内角和180°，即可算出【详解】∵四边形ABCDE 是正五边形，EAO ∠是一个外角 ∴360725EAO ︒∠==︒ 在OAE △中：180180726048AEO EAO MON ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360° （2022·四川遂宁）21. 如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．【答案】4【解析】【分析】连接BE ，根据正六边形的特点可得//BE AF ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接BE ，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上 正六边形每个内角为360180=1202︒-︒，BE 为对称轴 180ABE BAF ∴∠+∠=︒//AF BE ∴则60ABE HAF ∠=∠=︒=FEB ∠则30AFH ∠=︒，正方形BMGH 的边长为66BH ∴=∵ 12AH AF = ∵AH x =∵∵26x x +=∵∵2x =24BA x ∴==故答案为：4【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．（2022·浙江舟山）22. 正八边形的一个内角的度数是____度．【答案】135【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为：1080°÷8=135°，故答案为135.（2022·江西）23. 正五边形的外角和等于_______◦∵【答案】360【解析】【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.视频（2020·湖南湘西）24. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为___________．【答案】6【解析】【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，∴内角和是720度，÷+=，72018026∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．（2022·湖南常德）25. 剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【解析】【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n ，()()()52180318042180521803603609n ∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯， 解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．（2022·浙江台州）26. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．【答案】10【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出AB ，根据直角三角形的性质解答．【详解】解：∵E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴AB ＝2EF ＝20，∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴1102CD AB ==， 故答案为：10．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．（2022·湖北荆州）27. 如图，点E ，F 分别在□ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，BC 于G ，H ．添加一个条件使△AEG ≌△CFH ，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】AE CF =（答案不唯一）【解析】【分析】由平行四边形的性质可得：,A C ∠=∠ 证明,E F ∠=∠ 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 【详解】解： ABCD ，,,AB CD A C ∥ ,F E所以补充：,AE CF =∴ △AEG ≌△CFH ，故答案为：AE CF =（答案不唯一）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA 证明三角形全等”是解本题的关键．（2022·江苏苏州）28. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【答案】10【解析】【分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，AO OC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAO OCE ∴∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AO CO = ，AOF COE ∴≌，AF EC ∴=，AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形， MN 垂直平分AC ，EA EC ∴=，∴四边形AECF 是菱形，AB AC ⊥，MN AC ⊥，EF AB ∴∥，1BE OC EC AO∴==， E ∴为BC 的中点，Rt ABC △中， 3AB =，4AC =，5BC ∴=，1522AE BC ==， ∴四边形AEC F 的周长为410AE =．故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （2022·湖南邵阳）29. 如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．【答案】110º【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC 的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE =180º，代入求解即可．【详解】解：∵ABC 是等腰三角形，∠A =120º，∴∠ABC =∠C =(180º-∵A )÷2=30º，∵四边形ODEF 是平行四边形，∴OF ∥DE ，∴∠2+∠ABE =180º，即∠2+30º+40º=180º，∴∠2=110º．故答案为：110º．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．（2022·甘肃武威）30. 如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【解析】【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是∠A =90°，理由如下：∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠A =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．（2022·山东滨州）31. 如图，在矩形ABCD 中，5,10AB AD ==．若点E 是边AD 上的一个动点，过点E 作EF AC ⊥且分别交对角线AC ，直线BC 于点O 、F ，则在点E 移动的过程中，AF FE EC ++的最小值为________．【解析】【分析】过点D 作BM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，当N 、E 、C 三点共线时，AF FE EC CN AN ++≥+，分别求出CN 、AN 的长度即可．【详解】过点D 作DM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ， ∴四边形ANEF 是平行四边形，∴,AN EF AF NE ==，∴当N 、E 、C 三点共线时，AF CE +最小，四边形ABCD 是矩形，5,10AB AD ==，10,5,,90AD BC AB CD AD BC ABC ∴====∠=︒∥，AC ∴==∴四边形EFMD 是平行四边形，DM EF ∴=，DM EF AN ∴==，EF AC ⊥，,DM AC AN AC ∴⊥⊥，90CAN ∴∠=︒，90MDC ACD ACD ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠，MDC ACB ∴∠=∠，tan tan MDC ACB ∴∠=∠，即MC AB CD BC=，52MC ∴=， 在Rt CDM中，由勾股定理得DM AN ===， 在Rt ACN中，由勾股定理得252CN ==， AF FE EC CN AN ++≥+，∴AF FE EC ++≥， AF FE EC ∴++故答案为：252+． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（2022·浙江嘉兴）32. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【答案】赞成小洁的说法，补充,OA OC =证明见解析【解析】【分析】先由OB ＝OD ，,OA OC =证明四边形ABCD 是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．【详解】解：赞成小洁的说法，补充.OA OC =证明：∵OB ＝OD ，,OA OC =∴ 四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键．（2022·浙江温州）33. 如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是,AC AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当5AD =，5tan 2EDC ∠=时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】【分析】（1）根据E ，F 分别是AC ，AB 的中点，得出EF BC ∥，根据平行线的性质，得出FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，结合O 是DF 的中点，利用“AAS ”得出EFO GDO △≌△，得出EF GD =，即可证明DEFG 是平行四边形；（2）根据AD BC ⊥，E 是AC 中点，得出12DE AC EC ==，即可得出5tan tan 2C EDC =∠=，即52AD DC =，根据5AD =，得出CD =2，根据勾股定理得出AC 的长，即可得出DE ，根据平行四边形的性，得出2FG DE ==． 【小问1详解】解：（1）∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF BC ∥，∴FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，∵O 是DF 的中点，∴FO DO =，∴()EFO GDO AAS ≌，∴EF GD =，∴四边形DEFG 是平行四边形．【小问2详解】∵AD BC ⊥，E 是AC 中点， ∴12DE AC EC ==， ∴EDC C ∠=∠， ∴5tan tan 2C EDC =∠=， ∴52AD DC =， ∵5AD =，∴2CD =，∴1122DE AC ====． ∵四边形DEFG 为平行四边形，∴FG DE == 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明EFO GDO △≌△，是解题的关键．（2022·云南）34. 如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．【答案】（1）见解析；（2）18．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得ABE △≌DFE △，即可得到AB =DF ，从而证明四边形ABDF 是平行四边形，再根据∠BDF =90°即可证明四边形ABDF 是矩形；（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB =DF =3，AF =4，由平行四边形性质求得CF =6，最后利用梯形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，即AB ∥CF ，∴∠BAE =∠FDE ，∵E 为线段AD 的中点，∴AE =DE ，又∵∠AEB =∠DEF ，∴ABE △≌DFE △（ASA ），∴AB =DF ，又∵AB ∥DF ，∴四边形ABDF 是平行四边形，∵∠BDF =90°，∴四边形ABDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）知，四边形ABDF 是矩形，∴AB =DF =3，∠AFD =90°，∴在Rt ADF 中，4AF ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD =3，∴CF =CD +DF =3+3=6， ∴()()113641822S AB CF AF =+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．（2022·四川凉山）35. 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADBF 是菱形；（2）若AB ＝8，菱形ADBF 的面积为40，求AC 的长．【答案】（1）见解析 （2）10【解析】【分析】（1）证△AEF ≌△DEC （AAS ），得△AEF ≌△DEC （AAS ），再证四边形ADBF 是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD =BD =12BC ，即可由菱形判定定理得出结论；（2）连接DF 交AB 于O ，由菱形面积公式S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，求得OD 长，再由菱形性质得OA =OB ，证得OD 是三角形的中位线，由中位线性质求解可．【小问1详解】证明：∵E 是AD 的中点，∴AE =DE∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，在△AEF 和△DEB 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF =CD ，∵D 是BC 的中点，∴CD =BD ，∴AF =BD ，∴四边形ADBF 是平行四边形，∵∠BAC =90°，∵D 是BC 的中点，∴AD =BD =12BC ，∴四边形ADBF 是菱形；【小问2详解】解：连接DF 交AB 于O ，如图由（1）知：四边形ADBF是菱形，∴AB⊥DF，OA=12AB=12×8=4，S菱形ADBF=12AB DF⋅=40，∴182DF⨯=40，∴DF=10，∴OD=5，∵四边形ADBF是菱形，∴O是AB的中点,∵D是BC的中点，∴OD是△BAC的中位线，∴AC=2OD=2×5=10．答：AC的长为10．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（2022·四川自贡）36. 如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得。
2022年全国各省中考数学真题分类解析多边形的内(外)角和
（2022•临沂中考）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（）A．900°B．720°C．540°D．360°【解析】选C．（5﹣2）×180°＝540°.（2022•武威中考）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．2√2mm C．2√3mm D．4mm【解析】选D．连接AD，CF，AD、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm.（2022•南充中考）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E【解析】选C．在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°，∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，∴D不符合题意；∵以AB为边向内作正△ABF，（2022•河北中考）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小【解析】选A．∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．（2022•遂宁中考）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 4 ．【解析】设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∴∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4.答案：4【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，=108°，∴∠EAB=(5−2)×180°5∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，答案：48。
河南数学中考题型汇总尺规作图题型练习含答案
河南数学中考题型汇总尺规作图题型练习含答案1.[2022商丘二模]按照下列要求在如图所示的图形中完成作图,并解答问题.(1)作出∠AOB的平分线OM(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)作不与直线OB相交的直线PN,交射线OM于点N(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(3)判断线段OP与线段PN的数量关系,并说明理由.2.[2022江苏无锡中考改编]如图,△ABC为锐角三角形.(1)请在图(1)中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点D,使∠DAC=∠ACB,且CD⊥AD;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若∠B=60°,AB=2,BC=3,求四边形ABCD的面积.(如需画草图,请使用图(2))图(1)图(2)(x>0)的图象交于点3.[2022青海西宁中考改编]如图,正比例函数y=4x与反比例函数y=kxA(a,4),点B在反比例函数图象上,连接AB.(1)求反比例函数的表达式.(2)已知BC⊥x轴于点C,四边形ABCD是平行四边形.①请用无刻度的直尺和圆规作出点C及四边形ABCD;②若点C的坐标为(2,0),求点D的坐标.4.[2022山东烟台]如图,☉O是△ABC的外接圆,∠ABC=45°.(1)请用尺规作出☉O的切线AD(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,若AB与切线AD所夹的锐角为75°,☉O的半径为2,求BC的长.5.如图,已知△ABC.(1)请用无刻度的直尺和圆规在边BC,CA,AB上分别确定点D,E,F,使四边形BDEF是菱形,并画出菱形BDEF(要求:不写作法,保留作图痕迹).(2)若AB=10,BC=15,求(1)中所作菱形BDEF的边长.6.如图,BC是☉O的直径,CE是☉O的弦,EG切☉O于点E,交射线CB于点G.点A在直线CE上,且∠ABG=2∠ACG.(1)用尺规作出线段AB(要求:不写作法,保留作图痕迹).(2)线段AB与GE相交于点F,GF=4√2,GB=6.①求☉O的半径.②连接CF,CF平分∠ACG吗?为什么?7.[2022江苏扬州]【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积?【初步尝试】如图(1),已知扇形OAB,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线,使扇形的面积被这条直线平分;【问题联想】如图(2),已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP;【问题再解】如图(3),已知扇形OAB,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧,使扇形的面积被这条圆弧平分.(友情提醒:以上作图均不写作法,但需保留作图痕迹)图(1) 图(2) 图(3)8.如图(1)所示的拱桥为中承式钢筋砼(tónɡ)拱桥.桥的上部结构为2个钢筋混凝土半月形拱肋,如图(2)是该桥拱肋的简化示意图,其中拱宽(弦AB)约100米.(1)在图(2)中,请你用尺规作图的方法首先找出弧AB所在圆的圆心O,然后确定弧AB的中点C、弦AB的中点D.(不要求写作法,但要保留作图痕迹)(2)在图(2)中,连接OA,OB,若∠AOB=80°,求该桥拱肋高CD约为多少米.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19)图(1)图(2)9.[2022福建]如图,BD是矩形ABCD的对角线.(1)求作☉A,使得☉A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)在(1)的条件下,设BD与☉A相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF与☉A相切于点G,求tan∠ADB的值.10.[原创新题]李老师在课堂上出示了这样一道问题:如图(1),△ABC内接于☉O,分别过点B,A 作BE⊥AC于点E,AF⊥BC于点F,过点O作OM⊥BC于点M,设AF,BE交于点H,求证:AH=2OM.勤奋小组作辅助线的方法如下:连接CO并延长交☉O于点N,连接AN,BN,OB.图(1)图(2)(1)请借助勤奋小组所作辅助线证明AH=2OM.(2)解决问题:如图(2),在△ABC中,∠BAC=60°,CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,AE,CD交于点F.①请用无刻度的直尺和圆规作出△ABC的外接圆☉O.②若BC=6,则AF的长为.11.[原创新题]如图,在△ABC中,AC=BC,以AB为直径作☉O,分别交AC,BC于点D,E,连接AE.(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):①作∠BAE的平分线交☉O于点G;②过点G作☉O的切线交AB的延长线于点H.(2)求证:CD=CE.(3)若AB=10,BH=1,求AD的长.答案解析：1.(1)如图所示,射线OM即为所求.(2)如图所示,直线PN即为所求.(3)OP=PN.理由:∵PN∥OB,∴∠PNO=∠BON.又∵∠PON=∠BON,∴∠PON=∠PNO,∴OP=PN.2.(1)如图(1),点D即为所求.图(1)(2)如图(2),过点A 作AE ⊥BC 于点E.图(2)∵∠B=60°,AB=2, ∴BE=12AB=1,AE=√3, ∴CE=BC-BE=2.易知四边形AECD 是矩形,∴AD=CE=2,∴四边形ABCD 的面积为12(AD+BC )·AE=12×(2+3)×√3=5√32. 3.(1)将A (a ,4)代入y=4x ,得4=4a ,解得a=1,∴A (1,4).∵点A 在反比例函数y=k x (x>0)的图象上, ∴k=4×1=4,∴反比例函数的表达式为y=4x. (2)①如图所示,点C 和四边形ABCD 即为所求.②对于y=4x ,当x=2时,y=2, ∴B (2,2),∴BC=2.∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AD=BC=2, ∴D 的坐标为(1,2).4.(1)如图(1)所示,AD 即为所求.图(1)图(2)(2)如图(2),连接AE ,BE ,则∠CAE=90°,∠CBE=90°.∵∠AOC=2∠ABC=90°,OC=OA , ∴∠EOA=90°,∠OCA=45°. 又∠CAE=90°,∴∠OEA=45°. ∵AD 是☉O 的切线,∴∠OAD=90°, ∴∠EOA+∠OAD=180°,∴OE ∥AD ,∴∠EAD=∠OEA=45°.∵∠BAD=75°,∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=30°, ∴∠BCE=∠BAE=30°.在Rt △BCE 中,cos ∠BCE=BC CE =BC 4=√32, ∴BC=2√3.5.(1)如图所示,菱形BDEF 即为所求.(2)∵四边形BDEF 是菱形,∴BF=EF ,EF ∥BD ,∴△AFE ∽△ABC ,∴AF AB =FEBC .设FE=x ,则AF=10-x ,∴10−x 10=x 15,解得x=6, ∴(1)中所作菱形BDEF 的边长为6.6.(1)答案不唯一,如图(1),图(2)或图(3)所示.图(1)图(2)图(3)(2)①如图(4),连接OE.图(4)∵∠ABG=2∠ACG ,∠EOG=2∠ACG ,∴∠ABG=∠EOG ,∴AB ∥OE.∵GE 是☉O 的切线,∴OE ⊥GE ,∴BF ⊥GE. 在Rt △GBF 中,GF=4√2,GB=6,∴BF=√GB 2-GF 2=2.由AB ∥OE ,易得△GBF ∽△GOE ,∴GB GO =BF OE .设☉O 的半径为r ,则66+r =2r ,∴r=3.②不平分. 理由:方法一:如图(5),连接OE ,假设∠1=∠2.图(5)由①得AB ∥OE ,∴AE EC =BO OC ,GF FE =GBBO, ∴AE=EC ,4√2FE =63,∴EF=2√2. ∵AB=BC=6,∴AF=4.∵BF ⊥GE ,∴AE=√AF 2+FE 2=2√6,∴EC=2√6,∴EF EC =EC EG =√33. 又∠CEF=∠GEC ,∴△CEF ∽△GEC ,∴∠1=∠G.∵∠1=∠2,∴∠2=∠G ,∴FG=FC. 又∵GB=BC ,∴BF ⊥GC. 又∵BF ⊥GE ,∴这与“过直线FB 外一点G 有且只有一条直线与直线FB 垂直”矛盾, ∴∠1=∠2的假设不成立,即CF 不平分∠ACG.方法二:如图(6),连接OE ,过点F 分别作FM ⊥CG ,FN ⊥AC ,垂足分别是点M ,N.图(6)在Rt △GBF 中,GB=6,FB=2,GF=4√2,由等积法得FM=43√2. 在Rt △AEF 中,同“方法一”可求AF=4,EF=2√2,AE=2√6,由等积法得FN=43√3, ∴FM ≠FN ,∴CF 不平分∠ACG.7.【初步尝试】 如图(1),直线OP 即为所求.图(1)【问题联想】 如图(2),△MNP 即为所求.图(2)【问题再解】 如图(3),CD⏜即为所求. 图(3)(作法不唯一,正确即可) 8.(1)如图所示.(2)如图,由题可知OC 垂直平分AB ,∴AD=12AB=50米. 在△OAB 中,∵∠AOB=80°,OA=OB ,∴∠OAD=50°.在Rt △OAD 中,∵tan ∠OAD=OD AD ,cos ∠OAD=ADOA, ∴OD=AD ·tan ∠OAD=AD ·tan 50°≈50×1.19=59.5(米),OA=AD cos ∠OAD =AD cos50°≈50÷0.64≈78.13(米),∴CD=OC-OD=78.13-59.5≈18.6(米). 答:该桥拱肋高CD 约为18.6米. 9.(1)如图(1),☉A 即为所求作.图(1)(2)设∠ADB=α,☉A的半径为r.如图(2),∵BD与☉A相切于点E,CF与☉A相切于点G,图(2)∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF= 90°.∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,∴四边形AEFG是矩形.又AE=AG=r,∴四边形AEFG是正方形,∴EF=AE=r.在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°, ∴∠BAE=∠ADB=α.,∴BE=r tan α.在Rt△ABE中,tan∠BAE=BEAE∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF.又∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF,∴DF=BE=r tan α,∴DE=DF+EF=r tan α+r.在Rt△ADE中,tan∠ADE=AE,即DE·tan α=AE,DE∴(r tan α+r)tan α=r,即tan2α+tan α-1=0.∵tan α>0,∴tan α=√5-1,2.即tan∠ADB的值为√5-1210.(1)证明:∵OB=OC,OM⊥BC,∴点M是BC的中点.又∵点O是CN的中点,∴BN=2OM.∵CN是☉O的直径,∴∠NBC=∠NAC=90°.又∵AF⊥BC,BE⊥AC,∴AF∥BN,AN∥BE,∴四边形ANBH是平行四边形,∴AH=BN=2OM.(2)①如图所示.②2√3解法提示:如图,连接OB ,OC ,则OB=OC. 同(1)可知AF=2OH.∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∴∠COH=60°. ∵BC=6,∴CH=3,∴OH=√3,∴AF=2OH=2√3.11.(1)如图所示.(2)证明:如图,连接DE.∵AC=BC ,∴∠BAC=∠ABC.又∵∠ADE+∠ABC=180°,∠BED+∠BAC=180°, ∴∠ADE=∠BED ,∴∠CDE=∠CED ,∴CD=CE.(3)∵AG 平分∠BAE ,∴∠GOH=2∠BAG=∠EAB.∵GH 是☉O 的切线,AB 是☉O 的直径, ∴∠OGH=∠AEB=90°,∴△OGH ∽△AEB , ∴AE OG =AB OH ,即AE 5=105+1=53,∴AE=253. 在Rt △AEB 中,根据勾股定理,得BE=√AB 2-AE 2=5√113.∵CD=CE ,AC=BC ,∴AD=BE=5√113.。
2023年中考数学解答题专项复习：尺规作图(附答案解析)
2023年中考数学解答题专项复习：尺规作图1．（2021•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠O及其一边上的两点A，B．
．
求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且点C在∠O内部，∠BAC＝∠O
2．（2021•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
．
（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB
3．（2021•襄阳）如图，BD为▱ABCD的对角线．
（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
为菱形．
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF
4．（2021•陕西）如图，已知△ABC，AB＞AC．请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
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2022年全国各省中考数学真题分类解析反比例函数
（2022•怀化中考）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y =a−1x（a ＞1）的图象于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】选D ．设点B 的坐标为（a ，a−1a），∵S △BCD ＝5，且a ＞1，∴12×a ×a−1a =5，解得：a ＝11， 经检验，a ＝11是原分式方程的解.（2022•扬州中考）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁（2022•德阳中考）一次函数y＝ax+1与反比例函数y=−ax在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解析】选B．分两种情况：（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y=−ax图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=−ax图象在第一、三象限，故B选项正确．1501（2022•宿迁中考）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1 B．√2 C．2√2 D．4【解析】选C．∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，2a ），∴OA=√a2+4a2，∵(a−2a )2≥0，即：a2+4a2−4≥0，∴a2+4a2≥4，∴当a2=4a2时，OA有最小值，解得a1=√2，a2=−√2（舍去），∴A点坐标为（√2，√2），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB=√2OA＝2√2．（2022•十堰中考）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）和y =k2x（k 2＞0）的图象上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【解析】选B ．连接AC 交BD 于E ，延长BD 交x 轴于F ，连接OD 、OB ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝BE ＝CE ＝DE ， 设AE ＝BE ＝CE ＝DE ＝m ，D （3，a ），∵BD ∥y 轴，∴B （3，a +2m ），A （3+m ，a +m ）， ∵A ，B 都在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，∴k 1＝3（a +2m ）＝（3+m ）（a +m ）， ∵m ≠0，∴m ＝3﹣a ，∴B （3，6﹣a ）， ∵B （3，6﹣a ）在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，D （3，a ）在y =k 2x（k 2＞0）的图象上，∴k 1＝3（6﹣a ）＝18﹣3a ，k 2＝3a ， ∴k 1+k 2＝18﹣3a +3a ＝18.（2022•娄底中考）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有（ ）①点P 、Q 在反比例函数y =mx 的图象上； ②△AOB 为等腰直角三角形； ③0°＜∠POQ ＜90°；④∠POQ 的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【解析】选D ．∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），则m •1＝1•m ＝m ， ∴点P 、Q 在反比例函数y =m x 的图象上，故①正确；设直线PQ 为y ＝kx +b ，则{mk +b =1k +b =m ，解得{k =−1b =m +1，∴直线PQ 为y ＝﹣x +m +1，当y ＝0时，x ＝m +1；当x ＝0时，y ＝m +1，∴A （m +1，0），B （0，m +1），∴OA ＝OB ， ∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，故②正确；∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），∴P 、Q 都在第一象限，∴0°＜∠POQ ＜90°，故③正确； ∵直线OP 为y =1m x ，直线OQ 为y ＝mx ，∴当0＜m ＜1时，∠POQ 的值随m 的增大而减小，当m ＞1时，∠POQ 的值随m 的增大而增大，故④错误.（2022•邵阳中考）如图是反比例函数y =1x的图象，点A （x ，y ）是反比例函数图象上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．2D ．32【解析】选B ．∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，（2022•贺州中考）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y=bx的图象为（）A．B．C．D．【解析】选A．根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＞0、b＞0．所以﹣k＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质．（2022•龙东中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y =3x的图象上，顶点A 在反比例函数y =k x的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 【解析】选D ．设B （a ，3a ），∵四边形OBAD 是平行四边形，∴AB ∥DO ，∴A （ak3，3a），∴AB ＝a −ak3，∵平行四边形OBAD 的面积是5，∴3a（a −ak3）＝5，解得k ＝﹣2.（2022•内江中考）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y =8x和y =k x的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【解析】选D ．设点P （a ，b ），Q （a ，ka ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ =−ka ，∴PQ ＝PM +MQ ＝b −ka．（2022•桂林中考）如图，点A 在反比例函数y =kx的图象上，且点A 的横坐标为a （a ＜0），AB ⊥y 轴于点B ，若△AOB 的面积是3，则k 的值是 ﹣6 ．【解析】设点A 的坐标为（a ，ka），∵△AOB 的面积是3，∴−a⋅ka2=3，解得k ＝﹣6，答案：﹣6．（2022•玉林中考）如图，点A 在双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）上，点B 在直线l ：y ＝mx ﹣2b （m ＞0，b ＞0）上，A 与B 关于x 轴对称，直线l 与y 轴交于点C ，当四边形AOCB 是菱形时，有以下结论： ①A （b ，√3b ）；②当b ＝2时，k ＝4√3 ；③m =√33；④S 四边形AOCB ＝2b 2； 则所有正确结论的序号是 ①②③ ．【解析】如图，①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，∴C（0，﹣2b），∴OC＝2b，∵四边形AOCB是菱形，∴AB＝OC＝OA＝2b，∵A与B关于x轴对称，∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，∴OD=√(2b)2−b2=√3b，∴A（√3b，b）；故①正确；②当b＝2时，点A的坐标为（2√3，2），∴k＝2√3×2＝4√3，故②正确；③∵A（√3b，b），A与B关于x轴对称，∴B（√3b，﹣b），∵点B在直线y＝mx﹣2b上，∴√3bm﹣2b＝﹣b，∴m=√33，故③正确；④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•√3b＝2√3b2，故④不正确；所以本题结论正确的有：①②③.答案：①②③．（2022·安徽中考）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y=1x 的图象经过点C，y=kx（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．【解析】由题知，反比例函数y=1x的图象经过点C，设C点坐标为（a，1a），作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，1a），∵y=kx（k≠0）的图象经过点B，∴k＝3a•1a=3，答案：3．（2022•江西中考）已知点A在反比例函数y=12（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三x角形，且腰长为5，则AB的长为5或2√5或√10．【解析】当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，12）（a＞0），B（5，0），a∵OA＝5，)2=5，∴√a2+(12a解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=√(3−5)2+42=2√5或AB=√(4−5)2+32=√10；综上所述，AB的长为5或2√5或√10．答案：5或2√5或√10．（2022•绍兴中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=k（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．x【解析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG =12DQ ＝2，EG =12EQ =32，∴四边形HFGO 的面积为2（a +32）， ∴k ＝4a ＝2（a +32），解得：a =32，∴k ＝6． 答案：6．（2022•舟山中考）如图，在直角坐标系中，△ABC 的顶点C 与原点O 重合，点A 在反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象上，点B 的坐标为（4，3），AB 与y 轴平行，若AB ＝BC ，则k ＝ 32 ．【解析】∵点B 的坐标为（4，3），C （0，0），∴BC =√42+32=5，∴AB ＝BC ＝5， ∵AB 与y 轴平行，∴A （4，8），把A （4，8）代入y =kx 得：8=k4，解得k ＝32. 答案：32．（2022•株洲中考）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数y =kx的图象经过点C ，则k 的值为 3 ．【解析】设BC 交x 轴于E ，如图：∵x 轴为矩形ABCD 的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6， ∴四边形DOEC 是矩形，且矩形DOEC 面积是3， 设C （m ，n ），则OE ＝m ，CE ＝n ， ∵矩形DOEC 面积是3， ∴mn ＝3，∵C 在反比例函数y =kx的图象上，∴n =km，即k ＝mn ，（2022•凉山州中考）如图，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB 的面积为3，则k＝6．【解析】由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，∴12OB•AB＝3，即OB•AB＝6，∴k＝6，答案：6（2022•湖州中考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是y=−3x．【解析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO=AOOB=3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，（2022•宁波中考）如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点B ，D都在函数y =6√2x（x ＞0）的图象上，BE ⊥x 轴于点E ．若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为9√2时，EFOE的值为12，点F 的坐标为 （3√32，0） ．【解析】如图，作DG ⊥x 轴于G ，连接OD ，设BC 和OD 交于I ， 设点B （b ，6√2b ），D （a ，6√2a），【解析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°，设OC＝b，则BC=√3b，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，√3b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣2b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣2b）＝2b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN=12AN=b﹣5，AD=√32AN=√3b﹣5√3，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣b，∴A（15﹣b，√3b﹣5√3），∵A、B两点都在反比例函数数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣b）（√3b﹣5√3）＝b•√3b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•√3b＝9√3.答案：9√3．（2022•广元中考）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y=kx的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是﹣4 ．【解析】过B作BD⊥OA于D，∵点B 在反比例函数y =kx 的图象上，∴设B （﹣m ，n ），点B 在第二象限内，∵△OAB 的面积为6，∴OA =12n，∴A （−12n，0），∵点C 是AB 的中点，∴C （−mn+122n，n2），∵点C 在反比例函数y =kx 的图象上，∴−mn+122n•n 2=−mn ，∴﹣mn ＝﹣4，∴k ＝﹣4.答案：﹣4．（2022•山西中考）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p （Pa ）是它的受力面积S （m 2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S ＝0.25m 2时，该物体承受的压强p 的值为 400 Pa ．【解析】设p =kS ，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k ＝100，∴p =100S，当S ＝0.25m 2时，物体所受的压强p =1000.25=400（Pa ）. 答案：400（2022•随州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx 的图象在第一象限交于点C ，若AB ＝BC ，则k 的值为 2 ．【解析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（2022•乐山中考）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k＝ 3 ．【解析】设BC与x轴交于点E，连接DE、OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE=3 2，∴k＝3，答案：3．（2022•毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数y =kx （x ＞0，k ＞0）的图象经过点C ，E ．若点A （3，0），则k 的值是 4 ．【解析】设C （m ，km ），∵四边形ABCD 是正方形，∴点E 为AC 的中点，∴E （m+32，k 2m），∵点E 在反比例函数y =kx上，∴m+32×k 2m=k ，∴m ＝1，作CH ⊥y 轴于H ，∴CH ＝1，∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠OBA ＝∠HCB ， ∵∠AOB ＝∠BHC ，∴△AOB ≌△BHC （AAS ）， ∴BH ＝OA ＝3，OB ＝CH ＝1，∴C （1，4），∴k ＝4，（2022•黔东南州中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2√2，则k＝−32．【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，∴CE＝BE，∴AE=12BC=√2，∴A（0，√2），C（−√2，2√2），∵D是AC的中点，∴D（−√22，3√22），∴k=−√22×3√22=−32．答案：−3 2．（2022•齐齐哈尔中考）如图，点A是反比例函数y=kx（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝﹣4．【解析】连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，（2022•鄂州中考）如图，已知直线y＝2x与双曲线y=kx（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA=√5，则k的值为2．【解析】设A（x，y），∵点A在直线y＝2x上，且OA=√5，∴A点坐标为（1，2），∵点A在双曲线y=kx（x＞0）上，∴2＝k，答案：2．（2022•威海中考）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为24．【解析】作CE⊥OB于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠OBA+∠CBE＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠CEB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OA＝BE，OB＝CE，∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．∴OA＝2，OB＝4，∴BE＝2，CE＝4，∴C（4，6），∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，∴k＝4×6＝24，答案：24．（2022•梧州中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y2=mx的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B的部分满足y1＜y2，∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．答案：﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，∴1×6＝3b，∴b＝2，∴B（3，2），设直线AB的解析式为y＝mx+n，{m+n=63m+n=2，解得：{m=−2n=8，∴y＝﹣2x+8，令y＝0，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∵AB=√(1−3)2+(6−2)2=2√5，BC=√(3−4)2+(2−0)2=√5，AD•BC＝AB•DO，∴AD•√5=2√5•DO，∴AD＝2DO，∴S1＝2S2，∴S1﹣S2＝S2，∵S1+S2＝S△AOC，∴S1﹣S2＝S2=13S△AOC=13×12×4×6＝4．答案：4．（2022•内江中考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y=2x的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是23＜m＜2．【解析】过点P作P A∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，∵P （2，3），反比例函数y =2x ， ∴A （23，3），B （2，1）．∵一次函数y 的值随x 值的增大而增大， ∴点Q （m ，n ）在A ，B 之间， ∴23＜m ＜2．答案：23＜m ＜2．（2022•武威中考）如图，B ，C 是反比例函数y =kx （k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA ＝AD ，CD ＝3．（1）求此反比例函数的表达式； （2）求△BCE 的面积．【解析】（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，∴x ＝1， 即直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A 的坐标为（1，0）， ∴OA ＝1＝AD ，又∵CD ＝3，∴点C 的坐标为（2，3）， 而点C （2，3）在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝2×3＝6，∴反比例函数的图象为y =6x ； （2）方程组{y =x −1y =6x的正数解为{x =3y =2，∴点B 的坐标为（3，2）， 当x ＝2时，y ＝2﹣1＝1，∴点E 的坐标为（2，1），即DE ＝1， ∴EC ＝3﹣1＝2，∴S △BCE =12×2×（3﹣2）＝1.（2022•连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于P 、Q 两点．点P （﹣4，3），点Q 的纵坐标为﹣2． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△POQ 的面积．【解析】（1）将点P （﹣4，3）代入反比例函数y =kx 中，解得：k ＝﹣4×3＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为：y =−12x ；当y ＝﹣2时，﹣2=−12x ，∴x ＝6，∴Q （6，﹣2），将点P （﹣4，3）和Q （6，﹣2）代入y ＝ax +b 中得：{−4a +b =36a +b =−2，解得：{a =−12b =1，∴一次函数的表达式为：y =−12x +1；（2）如图，y =−12x +1，当x ＝0时，y ＝1，∴OM ＝1，∴S △POQ ＝S △POM +S △OMQ =12×1×4+12×1×6＝2+3＝5．（2022•江西中考 ）如图，点A （m ，4）在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，点B 在y 轴上，OB ＝2，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且OD ＝1． （1）点B 的坐标为 （0，2） ，点D 的坐标为 （1，0） ，点C 的坐标为 （m +1，6） （用含m 的式子表示）；（2）求k 的值和直线AC 的表达式．【解析】（1）由题意得：B （0，2），D （1，0），由平移可知：线段AB 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，（2022•遂宁中考）已知一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2．（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；（2）求出点C 的坐标，并根据图象写出当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围； （3）若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．【解析】（1）∵B 点的横坐标为﹣2且在反比例函数y 2=6x 的图象上，∴y 2=6−2=−3， ∴点B 的坐标为（﹣2，﹣3），∵点B （﹣2，﹣3）在一次函数y 1＝ax ﹣1的图象上， ∴﹣3＝a ×（﹣2）﹣1，解得a ＝1， ∴一次函数的解析式为y ＝x ﹣1，∵y ＝x ﹣1，∴x ＝0时，y ＝﹣1；x ＝1时，y ＝0； ∴图象过点（0，﹣1），（1，0）， 函数图象如右图所示；（2）{y =x −1y =6x，解得{x =3y =2或{x =−2y =−3，∵一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2， ∴点C 的坐标为（3，2），由图象可得，当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜3； （3）∵点B （﹣2，﹣3）与点D 关于原点成中心对称，∴点D （2，3），作DE ⊥x 轴交AC 于点E ， 将x ＝2代入y ＝x ﹣1，得y ＝1， ∴S △ACD ＝S △ADE +S △DEC =(3−1)×(2−1)2+(3−1)×(3−2)2=2，即△ACD 的面积是2．（2022•自贡中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =nx 的图象相交于A （﹣1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B 作直线l ∥y 轴，过点A 作AD ⊥l 于点D ，点C 是直线l 上一动点，若DC ＝2DA ，求点C 的坐标．【解析】（1）∵A （﹣1，2）在反比例函数y =nx 的图象上，∴n ＝2×（﹣1）＝﹣2， ∴其函数解析式为y =−2x ；∵B （m ，﹣1）在反比例函数的图象上， ∴﹣m ＝﹣2，∴m ＝2，∴B （2，﹣1）．∵A （﹣1，2），B （2，﹣1）两点在一次函数y ＝kx +b 的图象上， ∴{−k +b =22k +b =−1，解得{k =−1b =1， ∴一次函数的解析式为：y ＝﹣x +1； （2）∵直线l ∥y 轴，AD ⊥l ， ∴AD ＝3，D （2，2）， ∵DC ＝2DA ，∴DC ＝6，∵点C 是直线l 上一动点，∴C （2，8）或（2，﹣4）.【解析】（1）∵点C（2，2）在反比例函数y=kx （k≠0，x＞0）的图象上，∴2=k2，解得k＝4，∵BD＝1．∴点D的纵坐标为1，∵点D在反比例函数y=4x （k≠0，x＞0）的图象上，∴1=4x，解得x＝4，即点D的坐标为（4，1）；（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．（2022•温州中考）已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．【解析】（1）把点（3，﹣2）代入y=kx （k≠0），得﹣2=k3，解得：k＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y=−6x，补充其函数图像如下：（2）当y＝5时，−6x =5，解得：x=−65，∴当y≤5，且y≠0时，x≤−65或x＞0.（2）根据函数图象，直接写出不等式kx +b ＞4x 的解集；（3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求△ABC 的面积．【解析】（1）∵反比例函数y =4x 的图象过点A （1，m ），B （n ，﹣2），∴4m =1，n =4−2， 解得m ＝4，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2）， ∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过A 点和B 点， ∴{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2， ∴一次函数的表达式为y ＝2x +2， 描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx +b ＞4x 的解集为：﹣2＜x ＜0或x ＞1； （3）由题意作图如下：由图知△ABC 中BC 边上的高为6，BC ＝4，∴S △ABC =12×4×6=12．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx +b ＜4x 的解集；（3）一次函数y ＝kx +b 的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求△OAC 的面积． 【解析】（1）∵（m ，4），（﹣2，n ）在反比例函数y =4x 的图象上， ∴4m ＝﹣2n ＝4，解得m ＝1，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2），把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y ＝kx +b 中得{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2，∴一次函数解析式为y ＝2x +2．画出函数y ＝2x +2图象如图；（2）由图象可得当0＜x ＜1或x ＜﹣2时，直线y ＝﹣2x +6在反比例函数y =4x 图象下方， ∴kx +b ＜4x 的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．（3）把y ＝0代入y ＝2x +2得0＝2x +2，解得x ＝﹣1，∴点C 坐标为（﹣1，0），∴S △AOC =12×1×4=2．（2022•株洲中考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y 1=2x（x ＜0）、y 2=kx （x ＞0，k＞0）的图象上，点C 在第二象限内，AC ⊥x 轴于点P ，BC ⊥y 轴于点Q ，连接AB 、PQ ，已知点A 的纵坐标为﹣2．（1）求点A 的横坐标；（2）记四边形APQB 的面积为S ，若点B 的横坐标为2，试用含k 的代数式表示S ．【解析】（1）∵点A 在函数y 1=2x（x ＜0）的图象上，点A 的纵坐标为﹣2，（2022•泰安中考）如图，点A 在第一象限，AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA ＝2√5，tan A =12，反比例函数y =kx 的图象经过OA 的中点B ，与AC 交于点D ． （1）求k 值；（2）求△OBD 的面积．【解析】（1）∵∠ACO ＝90°，tan A =12， ∴AC ＝2OC ， ∵OA ＝2√5，由勾股定理得：（2√5）2＝OC 2+（2OC ）2， ∴OC ＝2，AC ＝4，∴A （2，4）， ∵B 是OA 的中点，∴B （1，2）， ∴k ＝1×2＝2； （2）当x ＝2时，y ＝1， ∴D （2，1），∴AD ＝4﹣1＝3， ∵S △OBD ＝S △OAD ﹣S △ABD =12×3×2−12×3×1＝1.5象限内的反比例函数图象上一点，Q 是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．【解析】（1）∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象过点A ， ∴4＝﹣2a +6， ∴a ＝1， ∴点A （1，4），∵反比例函数y =kx的图象过点A （1，4）， ∴k ＝1×4＝4；∴反比例函数的解析式为：y =4x， 联立方程组可得：{y =4x y =−2x +6，解得：{x 1=1y 1=4，{x2=2y 2=2， ∴点B （2，2）；（2）如图，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，过点C 作CF ⊥y 轴于F ，∴AE ∥CF ， ∴△AEH ∽△CFH ， ∴AE CF =AH CH =EH FH，当AH CH=12时，则CF ＝2AE ＝2，∴点C （﹣2，﹣2）， ∴BC =√(2+2)2+(2+2)2=4√2，当AH CH=2时，则CF =12AE =12，∴点C （−12，﹣8），∴BC =√(2+12)2+(2+8)2=5√172， 综上所述：BC 的长为4√2或5√172；（3）如图，当∠AQP ＝∠ABP ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于F ，设BP 与y 轴的交点为N ，连接BQ ，AP 交于点H ，∵直线y ＝﹣2x +6与y 轴交于点E ，∴点E （0，6）， ∵点B （2，2），∴BF ＝OF ＝2，∴EF ＝4， ∵∠ABP ＝90°，∴∠ABF +∠FBN ＝90°＝∠ABF +∠BEF ， ∴∠BEF ＝∠FBN ， 又∵∠EFB ＝∠ABN ＝90°， ∴△EBF ∽△BNF ， ∴BF EF=FN BF，∴FN =2×24=1，∴点N （0，1）， ∴直线BN 的解析式为：y =12x +1，联立方程组得：{y =4x y =12x +1，解得：{x 1=−4y 1=−1，{x2=2y2=2， ∴点P （﹣4，﹣1），∴直线AP 的解析式为：y ＝x +3， ∵AP 垂直平分BQ ，∴设BQ 的解析式为y ＝﹣x +4，∴x +3＝﹣x +4，∴x =12，∴点H （12，72），∵点H 是BQ 的中点，点B （2，2）， ∴点Q （﹣1，5）．的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵一次函数y ＝x +1经过点A （m ，2）， ∴m +1＝2，∴m ＝1，∴A （1，2），∵反比例函数y =k x经过点（1，2），∴k ＝2， ∴反比例函数的解析式为y =2x；（2）由题意，得{y =x +1y =2x，解得{x =−2y =−1或{x =1y =2， ∴B （﹣2，﹣1），∵C （0，1），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×1×2+12×1×1＝1.5；（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．（2022•德阳中考）如图，一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，且点A 的横坐标为﹣2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B 的坐标是（﹣3，0），若点P 在y 轴上，且△AOP 的面积与△AOB 的面积相等，求点P 的坐标．【解析】解（1）∵一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，点A 的横坐标为﹣2，当x ＝﹣2时，y =−32×（﹣2）+1＝4，∴A （﹣2，4），∴4=k−2，∴k ＝﹣8，（2022•泸州中考）如图，直线y =−32x +b 与反比例函数y =12x的图象相交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为6．（1）求b 的值；（2）若点C 是x 轴上一点，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标．【解析】（1）∵点A 在反比例函数y =12x上，且A 的纵坐标为6， ∴点A （2，6），∵直线y =−32x +b 经过点A ，∴6=−32×2+b ，∴b ＝9；（2）如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，设点C （a ，0），∵直线AB 与x 轴的交点为D ， ∴点D （6，0），由题意可得：{y =−32x +9y =12x ， ∴{x 1=2y1=6，{x2=4y 2=3， ∴点B （4，3），∵S △ACB ＝S △ACD ﹣S △BCD ，2022•南充中考）如图，直线AB 与双曲线交于A （1，6），B （m ，﹣2）两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C ，连接AC ．（1）求直线AB 与双曲线的解析式． （2）求△ABC 的面积．【解析】（1）设双曲线的解析式为y =k x，∵点A （1，6）在该双曲线上，∴6=k 1，解得k ＝6， ∴y =6x，∵B （m ，﹣2）在双曲线y =6x上， ∴﹣2=6m，解得m ＝﹣3， 设直线AB 的函数解析式为y ＝ax +b ，{a +b =6−3a +b =−2，解得{a =2b =4，即直线AB 的解析式为y ＝2x +4；（2）作BG ∥x 轴，FG ∥y 轴，FG 和BG 交于点G ，作BE ∥y 轴，F A ∥x 轴，BE 和F A 交于点E ，如右图所示， 直线BO 的解析式为y ＝ax ，∵点B （﹣3，﹣2），∴﹣2＝﹣3a ，解得a =23， ∴直线BO 的解析式为y =23x ， {y =23xy =6x，解得{x =3y =2或{x =−3y =−2， ∴点C 的坐标为（3，2），∵点A （1，6），B （﹣3，﹣2），C （3，2）， ∴EB ＝8，BG ＝6，CG ＝4，CF ＝4，AF ＝2，AE ＝4，∴S △ABC ＝S 矩形EBGF ﹣S △AEB ﹣S △BGC ﹣S △AFC ＝8×6−4×82−6×42−4×22＝48﹣16﹣12﹣4＝16．（2022•杭州中考）设函数y 1=k 1x，函数y 2＝k 2x +b （k 1，k 2，b 是常数，k 1≠0，k 2≠0）． （1）若函数y 1和函数y 2的图象交于点A （1，m ），点B （3，1）， ①求函数y 1，y 2的表达式；②当2＜x ＜3时，比较y 1与y 2的大小（直接写出结果）．（2）若点C （2，n ）在函数y 1的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数y 1的图象上，求n 的值． 【解析】（1）把点B （3，1）代入y 1=k 1x ，3=k11，解得：k 1＝3， ∴函数y 1的表达式为y 1=3x，把点A （1，m ）代入y 1=3x ，解得m ＝3，把点A （1，3），点B （3，1）代入y 2＝k 2x +b ，{3=k 2+b 1=3k 2+b ，解得{k 2=−1b =4，∴函数y 2的表达式为y 2＝﹣x +4； （2）如图，当2＜x ＜3时，y 1＜y 2；（3）由平移，可得点D 坐标为（﹣2，n ﹣2）， ∴﹣2（n ﹣2）＝2n ，解得：n ＝1， ∴n 的值为1【解析】（1）把A （a ，2）的坐标代入y =23x ，即2=−23a ，解得a ＝﹣3，∴A （﹣3，2），又∵点A （﹣3，2）是反比例函数y =kx的图象上，∴k ＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y =−6x；（2）∵点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3， ∴﹣3＜m ＜0或0＜m ＜3， 当m ＝﹣3时，n =−6−3=2，当m ＝3时，n =−63=2， 由图象可知，若点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3，n 的取值范围为n ＞2或n ＜﹣2（2022•黄冈中考）如图，已知一次函数y 1＝kx +b 的图象与函数y 2=mx（x ＞0）的图象交于A （6，−12），B （12，n ）两点，与y 轴交于点C ．将直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE ，DE 与y 轴交于点F ．（1）求y 1与y 2的解析式；（2）观察图象，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；（3）连接AD ，CD ，若△ACD 的面积为6，则t 的值为 2 ．【解析】（1）将点A （6，−12）代入y 2=mx 中，∴m ＝﹣3，∴y 2=−3x，∵B （12，n ）在y 2=−3x中，可得n ＝﹣6，∴B （12，﹣6）， 将点A 、B 代入y 1＝kx +b ，∴{12k +b =−66k +b =−12，解得{k =1b =−132，∴y 1＝x −132； （2）∵一次函数与反比例函数交点为A （6，−12），B （12，﹣6），∴12＜x ＜6时，y 1＜y 2；（3）在y 1＝x −132中，令x ＝0，则y =−132，∴C （0，−132），∵直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度，∴直线DE 的解析式为y ＝x −132+t ，∴F 点坐标为（0，−132+t ），过点F 作GF ⊥AB 交于点G ，连接AF ，直线AB 与x 轴交点为（132，0），与y 轴交点C （0，−132），∴∠OCA ＝45°，∴FG ＝CG ，∵FC ＝t ，∴FG =√22t ， ∵A （6，−12），C （0，−132），∴AC ＝6√2， ∵AB ∥DF ，∴S △ACD ＝S △ACF ，∴12×6√2×√22t ＝6，∴t ＝2. 答案：2．（2022•宜宾中考）如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点C 、D ．若tan ∠BAO ＝2，BC ＝3AC ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△OCD 的面积．【解析】（1）在Rt △AOB 中，tan ∠BAO =OBOA =2， ∵A （4，0），∴OA ＝4，OB ＝8，∴B （0，8），∵A ，B 两点在直线y ＝ax +b 上，∴{b =84a +b =0，∴{a =−2b =8，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +8， 过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵BC ＝3AC ，∴AB ＝4AC ，∴CE ∥OB ，∴CEOB =ACAB =14，∴CE ＝2，∴C （3，2），∴k ＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y =6x；（2）由{y =−2x +8y =6x，解得{x =1y =6或{x =2y =3，∴D （1，6），过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∴S △OCD ＝S △AOB ﹣S △BOD ﹣S △COA =12•OA •OB −12•OB •DF −12•OA •CE =12×4×8−12×8×1−12×4×2＝8（2022•广元中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图象与函数y =kx （x ＞0）的图象相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，△OAC 与△OAB 的面积比为2：3．（1）求k 和b 的值；（2）若将△OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到△OA ′C ′，判断点A ′是否在函数y =kx （x ＞0）的图象上，并说明理由．【解析】（1）∵函数y ＝x +b 的图像与函数y =kx （x ＞0）的图像相交于点B （1，6），∴6＝1+b ，6=k1，∴b ＝5，k ＝6；（2）点A ′不在函数y =kx（x ＞0）的图像上，理由如下：过点C 作CM ⊥x 轴于M ，过点B 作BN ⊥x 轴于N ，过A ′作A ′G ⊥x 轴于G ， ∵点B （1，6），∴ON ＝1，BN ＝6， ∵△OAC 与△OAB 的面积比为2：3， ∴S △OACS△OAB=12OA⋅CM 12OA⋅BN =23，∴CM BN =23，∴CM =23BN ＝4，即点C 的纵坐标为4，把y ＝4代入y ＝x +5得：x ＝﹣1，∴C （﹣1，4）， ∴OC ′＝OC =√OM 2+CM 2=√12+42=√17， ∵y ＝x +5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴OA ＝5， 由旋转的性质得：△OAC ≌△OA ′C ′，∴12OA •CM =12OC •A ′G ，∴A ′G =OA⋅CM OC=5×4√17=20√1717在Rt △A ′OG 中，OG =√OA 2−A ′G 2=√52−(20√1717)2=5√1717， ∴点A ′的坐标为（5√1717，20√1717）， ∵5√1717×20√1717≠6，∴点A ′不在函数y =k x（x ＞0）的图像上．（2022•岳阳中考）如图，反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）请结合函数图象，直接写出不等式k x ＜mx 的解集．【解析】（1）把点A （﹣1，2）代入y =kx（k ≠0）得：2=k −1，∴k ＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y =−2x；（2）∵反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，∴B （1，﹣2），∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴C （1，2），∴CD ＝2，∴S △ABC =12×2×(2+2)=4；（3）根据图象得：不等式kx＜mx 的解集为x ＜﹣1或0＜x ＜1.【解析】（1）设反比例函数y 2=k x ，把A （2，2）代入，得：2=k 2， 解得：k ＝4， ∴y 2=4x，由{y =xy =4x ，解得：{x 1=2y 1=2，{x 2=−2y 2=−2，∴B （﹣2，﹣2），由图象可知：当y 1＜y 2时，x ＜﹣2或0＜x ＜2；注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B 的坐标． （2）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ， ∵A （2，2）， ∴AE ＝OE ＝2，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴∠AOE ＝45°，OA =√2AE ＝2√2， ∵四边形ACBD 是菱形， ∴AB ⊥CD ，OC ＝OD ，∴∠DOF ＝90°﹣∠AOE ＝45°， ∵∠DFO ＝90°，∴△DOF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝OF ，∵菱形ACBD 的周长为4√10， ∴AD =√10，在Rt △AOD 中，OD =√AD 2−OA 2=√(√10)2−(2√2)2=√2， ∴DF ＝OF ＝1， ∴D （1，﹣1），由菱形的对称性可得：C （﹣1，1）， 设直线AD 的解析式为y ＝mx +n ， 则{m +n =−12m +n =2，解得：{m =3n =−4， ∴AD 所在直线的解析式为y ＝3x ﹣4；同理可得BC 所在直线的解析式为y ＝3x +4，AC 所在直线的解析式为y =13x +43，BD 所在直线的解析式为y =13x −43．（2022•苏州中考）如图，一次函数y ＝kx +2（k ≠0）的图象与反比例函数y =m x（m ≠0，x ＞0）的图象交于点A （2，n ），与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C （﹣4，0）．（1）求k 与m 的值；（2）P （a ，0）为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为72时，求a 的值．【解析】（1）把C （﹣4，0）代入y ＝kx +2，得k =12，∴y =12x +2，把A （2，n ）代入y =12x +2，得n ＝3，∴A （2，3），把A （2，3）代入y =m x ，得m ＝6，∴k =12，m ＝6；（2）当x ＝0时，y ＝2，∴B （0，2），∵P （a ，0）为x 轴上的动点，∴PC ＝|a +4|，∴S △CBP =12•PC •OB =12×|a +4×2＝|a +4|，S △CAP =12PC •y A =12×|a +4|×3，∵S △CAP ＝S △ABP +S △CBP ，∴32|a +4|=72+|a +4|，（2022•乐山中考）如图，已知直线l ：y ＝x +4与反比例函数y =k x（x ＜0）的图象交于点A （﹣1，n ），直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【解析】∵点A （﹣1，n ）在直线l ：y ＝x +4上，∴n ＝﹣1+4＝3，∴A （﹣1，3），∵点A 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y =3x ；（2）易知直线l ：y ＝x +4与x 、y 轴的交点分别为B （﹣4，0），C （0，4），∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称，∴直线l ′与x 轴的交点为E （2，0），设l ′：y ＝kx +b ，则{3=−k +b 0=2k +b， 解得：{k =−1b =2， ∴l ′：y ＝﹣x +2，∴l ′与y 轴的交点为D （0，2），∴S 阴影部分＝S △BOC ﹣S △ACD =12×4×4−12×2×1＝7．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【解析】（1）把A （3，1）代入y =m x 得：1=m3，∴m ＝3，∴反比例函数关系式为y =3x ；把B （﹣1，n ）代入y =3x 得： n =3−1=−3，∴B （﹣1，﹣3），将A （3，1），B （﹣1，﹣3）代入y ＝kx +b 得：{3k +b =1−k +b =−3，解得{k =1b =−2， ∴一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；答：反比例函数关系式为y =3x ，一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；（2）在y ＝x ﹣2中，令x ＝0得y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），设M （m ，3m ），N （n ，n ﹣2），而O （0，0）， ①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，∴{0+0=m +n −2+0=3m +n −2， 解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；②以CM 、ON 为对角线，同理可得：{0+m =n +0−2+3m =n −2+0，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；③以CN 、OM 为对角线，同理可得：（2022•眉山中考）已知直线y＝x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M（2，a）．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．【解析】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），∴a＝2，∴将M（2，2）代入y=kx中，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y=4 x；（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（1，m）在y=4x的图象上，∴m＝4，∴A（1，4），由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；（3）【解析】：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（n，﹣1）在y=4x的图象上，（2022•台州中考）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y ＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【解析】（1）由题意设：y=k x，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y=12 x；（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【解析】（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y=8 x；（2）如图，直线m即为所求．（3）∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．【解析】（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；答案：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②假设x 1=−12，则y 1＝1，∵x 1+x 2＝0，∴x 2=12，∴y 2＝﹣8，∴y 1+y 2＝0不一定成立，答案：不一定；（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，则{−k +b =44k +b =−1，解得{k =−1b =3，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3， 当n ＝3时，直线l 的解析式为y ＝﹣x +3﹣3＝﹣x ，设直线AB 与y 轴交于C ，则S △P AB ＝S △AOB ，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×OC ×1+12×OC ×4=12×3×5=152，∴△P AB 的面积为152； ②设直线l 与y 轴交于D ，∵l ∥AB ，∴S △P AB ＝S △ABD ，由题意知，CD ＝n ，∴S △ABD ＝S △ACD +S △BCD .=12CD ×5 =52n ．∴△P AB 的面积为5n 2．（1）求m 的值和点D 的坐标；（2）求DF 所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF 的另一交点为点G ，求S △EFG ．【解析】（1）过A 点作AH ⊥BO 于H ，∵△ABO 是等腰直角三角形，A （m ，2），∴OH ＝AH ＝2，∴m ＝2，由平移可得D 点纵坐标和A 点纵坐标相同，设D （n ，2），∵D 在y =8x图像上，∴n ＝4，∴D （4，2）．（2）过D 作DM ⊥EF 于M ，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DFM ＝45°，∴DM ＝MF ＝2，由D （4，2）得F （6，0），设直线DF 的表达式为：y ＝kx +b ，将F （6，0）和D （4，2）代入得：{2=4k +b 0=6k +b ，解得：{k =−1b =6，∴直线DF 的表达式为y ＝﹣x +6． （3）延长FD 交y =8x 图像于点G ，{y =−x +6y =8x ，解得：{x 1=4y 1=2，{x 2=2y 2=4，∴G （2，4）， 由（1）得EF ＝BO ＝2HO ＝4，∴S △EFG =12EF •G y =12×4×4＝8．。
2022年浙江省中考数学复习课件：第22课 尺 规 作 图
2.(2021·宜昌)如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝50°. (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 DF 是线段 AB 的________，射线 AE 是∠DAC 的________； (2)在(1)所作的图中，求∠DAE 的度数．
【解析】(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 DF 是线段 AB 的垂直平分 线，射线 AE 是∠DAC 的角平分线． 答案：垂直平分线 角平分线 (2)∵DF 垂直平分线段 AB， ∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝40°， ∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝50°， ∵AE 平分∠CAD，∴∠DAE＝12 ∠CAD＝25°.
【解析】(1)如图 1 中，△ADC 即为所求． (2)如图 2 中，直线 l 即为所求．
7．(2021·长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第 35－36 页告诉我们作一个三 角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC. 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC. 作法：如图．
(1)画 B′C′＝BC； (2)分别以点 B′，C′为圆心，线段 AB，AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A′； (3)连结线段 A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
B′C′＝BC 【解析】(1)由作图可知，在△A′B′C′和△ABC 中， A′B′＝AB ，∴△A′B′C′≌△
A′C′＝AC
ABC(SSS). 答案：△ABC(SSS) (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 SSS. 答案：④
是(D )
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
跟踪训练 1.(2021·眉山)如图，△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于12 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 点 N，作直线 MN，交 AD 于点 E，求 DE 的长．
2024年中考数学微专题复习+尺规作图+课件
+ +
= ， = +
10.［原创新题］如图，一次函数 y = 3x 与反比例函数
y=
k
x
x > 0 的图象交于点 A 1, a ，点 B 在 x 轴正半轴
上．
（1）求反比例函数的表达式.
[答案] 将 , 代入 = ，得 = ， ∴ , . 将 , 代入 =
[答案] ∵ 四边形 是菱形， ∴ = , // ,
∴△ ∼△ , ∴
=
.
设 = ,则 = − ,
∴
−
=
，解得
= ,
∴ 中所作菱形 的边长为6.
5.[2023洛阳二模] 如图,在 △ ABC 中,
∴ = , ∴ ∠ = ∠ , ∴ ∠ = ∠ , ∴ // , ∴ △ =
△ = .
8.［原创新题］如图，点 A ， B 在反比例函数
y=
k
x
x > 0 的图象上， AC ⊥ x 轴于点 C ， BD ⊥ x
轴于点 D .已知 OC =
=
.
4.如图，已知 △ ABC .
（1）请用无刻度的直尺和圆规在边 BC , CA , AB 上
分别确定点 D , E , F ，使四边形 BDEF 是菱形，并画
出菱形 BDEF （要求：不写作法，保留作图痕迹）.
[答案] 如图所示，菱形 即为所求．
（2）若 AB = 10 , BC = 15 ,求（1）中所作菱形 BDEF 的边长.
2025年中考数学考点分类专题归纳之尺规作图
2025年中考数学考点分类专题归纳尺规作图1、定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．2、基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．3、复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4、应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．1．（2024•鄂尔多斯）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE D．sin∠CBE2．（2024•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A．（1，2）B．（，2）C．（3，2）D．（2，2）3．（2024•郴州）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．4．（2024•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．5．（2024•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm6．（2024•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD＝30°B．S△BDC AB2C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D＝17．（2024•台州）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．8．（2024•巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（）A．CF＝FG B．AF＝AG C．AF＝CF D．AG＝FG9．（2024•昆明）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F （0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（）A．2 B．C．D．10．（2024•安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．11．（2024•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A．r B．（1）r C．（1）r D．r12．（2024•益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC＝_______．13．（2024•抚顺）如图，▱ABCD中，AB＝7，BC＝3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是____．14．（2024•葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON＝60°，EF＝1，则OA＝_______．15．（2024•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB＝2，∠ABP＝60°，则线段AF的长为_______．16．（2024•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是____．17．（2024•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是__．18．（2024•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝___cm．19．（2024•赤峰）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C＝∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．20．（2024•攀枝花）已知△ABC中，∠A＝90°．（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC＝2AD．21．（2024•牡丹江）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE＝90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．22．（2024•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．23．（2024•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝____，CB＝____，∴PQ∥l（__________）（填推理的依据）．24．（2024•孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是__________；（2）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．25．（2024•陇南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．26．（2024•青岛）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．27．（2024•广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个一边长为2，面积为6的等腰三角形．28．（2024•河南）如图，反比例函数y（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．29．（2024•湖北）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．30．（2024•宁波）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．31．（2024•济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10m，请你求出这个环形花坛的面积．32．（2024•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．。
2022年中考数学复习新题速递之尺规作图(含答案)
2022年中考数学复习新题速递之尺规作图一、选择题（共10小题）1．（2021秋•信都区期末）图1、图2是两个基本作图的痕迹，关于弧①、弧②、弧③所在圆的半径的长度，有以下的说法，其中正确的是A．弧①所在圆的半径长度有限制，弧②、弧③所在圆的半径长度无限制B．弧①、弧②、弧③所在圆的半径长度均无限制C．弧①、弧②所在圆的半径长度有限制，弧③所在圆的半径长度无限制D．弧①、弧②、弧③所在圆的半径长度均有限制2．（2021秋•西青区期末）如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，点是射线上任意一点．连接，，．有下列说法：①射线是的平分线；②是等腰三角形；③是等边三角形；④，两点关于所在直线对称；⑤线段所在直线是线段的垂直平分线；⑥图中有5对全等三角形．其中正确结论的个数是A．5B．4C．3D．23．（2021春•龙岗区校级月考）下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤作图语句：连接，并且平分．其中正确的有个．A．0B．1C．2D．34．（2021•平山县校级模拟）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹连接交于点，则点为A．的外心B．的内心C．的外心D．的内心5．（2021•六盘水模拟）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的周长是A．5B．6C．7D．86．（2021•河南模拟）如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．则的长为A．B．1C．D．7．（2021•阿荣旗一模）如图，在中，，，分别以顶点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，交边于点．若，，则的长为A．5B．6C．7D．88．（2020•双阳区一模）如图，在中，，以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点、点，作直线分别交、于点、．若，，则的长是A．B．3C．D．49．如图，以点为圆心作弧交，于点，，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，过点作射线；分别以，为圆心，以适当长为半径作弧，交于，两点，作直线交于点，交于点，连接．若，则的度数为A．B．C．D．10．如图，在中，，在平面内找一点，使得点到，两点距离相等，同时到，两直线距离相等，现已作出线段的垂直平分线，接下来，有如下步骤：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；②以点为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交，于点，；③作射线，与直线的交点即为所求作的点；④分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．选择正确的步骤并排序为A．①②③B．①④③C．②④③D．①②④二、填空题（共7小题）11．（2021秋•长清区期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长是．12．（2021春•武侯区校级月考）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作，若，则．13．（2021•荆州模拟）已知：直线与直线外一点，求作：经过点且与直线平行的直线．作法：①以点为圆心，大于点到直线的距离的长为半径画弧，分别交直线于，两点；②连接，，并延长到点；③作的平分线．直线即为所求（如图）．以上作平行线的作图步骤中，涉及的数学依据是：（只需写一条）14．已知：线段，．求作：平行四边形．以下是甲、乙两同学的作业．甲：①以点为圆心，长为半径作弧；②以点为圆心，长为半径作弧；③两弧在上方交于点，连接，．四边形即为所求平行四边形．（如图乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，．四边形即为所求平行四边形．（如图老师说甲、乙同学的作图都正确，甲的作法，他的作图依据是：；乙的作法，他的作图依据是：．15．如图，我们以前已经学过用直尺和三角尺画平行线，在这一过程中，的根据是．16．如图，在中，已知，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为．17．如图，过、、、、五个点中的任意三点画三角形．（1）以为一边可以画个三角形；（2）以为顶点可以画个三角形；（3）以为一边的直角三角形是．三、解答题（共8小题）18．（2021秋•枣阳市期末）如图，在中，，，垂直平分．（1）作的平分线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，求的度数．19．（2021秋•秦都区期末）如图，已知线段和，请用尺规按要求作图：延长线段到，使得．（不写作法，保留作图痕迹）20．（2021秋•樊城区期末）如图，中，．（1）求作一点，使是以为底的等腰三角形，且使点在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，若，求的度数．21．（2021秋•岑溪市期末）我国的网络已拉开序幕，某通讯工程队准备在一段笔直的高速公路上修建一个信号基站，以服务高速公路旁的、两个工业园区（如图所示），要求该基站到、两个工业园区的距离相等，请运用学过的数学知识，通过作图，确定该基站修建的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．22．（2021春•无锡月考）请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成画图．（1）如图1，在菱形中，，分别是，上的中点，以为边画一个矩形；（2）如图2，在网格中有一定角和一定点，请作一条线段，使点为中点，且点、分别在、上．23．（2021春•椒江区校级月考）如图，是边上一点．（1）请在图中画出，，垂足分别为，，过点作交于点，记为，为，请在图中标记；（2）根据（1）请证明：．24．（2021春•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．（1）请仅用无刻度直尺画出的角平分线射线；（2）求直线与轴的交点坐标；（3）在轴上找一点，使得最小，直接写出点的坐标．25．（2021•台州模拟）把两个完全相同的含的直角三角板和如图放置，使得，，，在同一直线上，与交于点，与交于点，与交于点．（1）证明：．（2）请用无刻度直尺作出边上的高．（保留作图痕迹）2022年中考数学复习新题速递之尺规作图（2022年3月）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（2021秋•信都区期末）图1、图2是两个基本作图的痕迹，关于弧①、弧②、弧③所在圆的半径的长度，有以下的说法，其中正确的是A．弧①所在圆的半径长度有限制，弧②、弧③所在圆的半径长度无限制B．弧①、弧②、弧③所在圆的半径长度均无限制C．弧①、弧②所在圆的半径长度有限制，弧③所在圆的半径长度无限制D．弧①、弧②、弧③所在圆的半径长度均有限制【答案】【考点】作图—基本作图【专题】作图题；几何直观【分析】利用基本作图（过一点作直线的垂线和作线段的垂直平分线）进行判断．【解答】解：图1中，过点作的垂线，以点为圆心，以点到另外一边某一点的距离为半径画弧得到弧①，接着分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧得到弧②；图2中，作的垂直平分线，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧得到弧③；所以弧①②③所在圆的半径长度均有限制．故选：．【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段和垂线段最短．2．（2021秋•西青区期末）如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，点是射线上任意一点．连接，，．有下列说法：①射线是的平分线；②是等腰三角形；③是等边三角形；④，两点关于所在直线对称；⑤线段所在直线是线段的垂直平分线；⑥图中有5对全等三角形．其中正确结论的个数是A．5B．4C．3D．2【答案】【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图；轴对称的性质；全等三角形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定与性质【专题】作图题；几何直观；推理能力【分析】利用基本作图得到平分，，则可对①②进行判断；证明得到，则可对②进行判断；由于，，则可判断垂直平分，于是可对④进行判断；由于点是射线上任意一点，则不一定等于，于是可对⑤进行判断；利用图中有3对全等三角形可对。
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（2022•舟山中考）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）
A．B．C．D．
【解析】选D．由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线.
（2022•威海中考）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）
A．B．C．D．
【解析】选C．选项A，连接P A，PB，QA，QB，
∵P A＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵QA＝QB，∴点Q在线段AB的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
选项B，连接P A，PB，QA，QB，
∵P A＝QA，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，
∵PB＝QB，∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意；
选项D，连接P A，PB，QA，QB，
∵P A＝QA，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，
∵PB＝QB，∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意．
（2022•天津中考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．
（Ⅰ）线段EF的长等于√10；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求【解析】）连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点⊙，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．
【解析】（Ⅰ）EF=√12+32=√10．
答案：√10；
（Ⅱ）如图，点M，N即为所求．
步骤：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点⊙，连接GO，延长GO 交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．
答案：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点⊙，连接GO，延长GO 交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，∠ABC为直角，
以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；
以点D为圆心，以BD长为半径画弧与DE
̂交于点F；
再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与DE
̂交于点G；
作射线BF，BG．
（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．
【解析】（1）如图，射线BG，BF即为所求．
（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．
理由：连接DF，EG，
则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，
即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，
∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．
【解析】（1）如图1中，射线BP即为所求；
（2）如图2中，直线l即为所求．
（2022•扬州中考）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【解析】【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；
【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；
̂即为所求．
【问题再解】如图3中，CD
【解析】（1）如图，
（2）AE ＝CF ，证明如下：
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，
∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO ＝CO ，
在△AOE 和△COF 中，{∠AEO =∠CFO
∠EAO =∠FCO AO =CO
，
∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴AE ＝CF.
（2022•陕西中考）如图，已知△ABC ，CA ＝CB ，∠ACD 是△ABC 的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP ∥AB ．（保留作图痕迹，不写作法）
【解析】如图，射线CP 即为所求．
（2022•无锡中考）如图，△ABC 为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC 右上方确定点D ，使∠DAC ＝∠ACB ，且CD ⊥AD ；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B ＝60°，AB ＝2，BC ＝3，则四边形ABCD 的面积为 5 ．
【解析】（1）如图1中，点D 即为所求；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，
∴BH＝AB•cos60°＝1，AH＝AB•sin60°=√3，∴CH＝BC﹣BH＝2，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AH⊥CB，CD⊥AD，
∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD＝CH＝2，
∴S四边形ABCD=1
2
×（2+3）×2＝5，
答案：5
（2022•仙桃中考）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；
（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．
【解析】（1）如图1中，直线m即为所求；
（2）如图2中，直线n即为所求；
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．
【解析】（1）如图，点O即为所求；
（2）由题意，△ABC的面积=1
2
×14×1.3＝9.1（cm2）．。