高考数学(理)总复习讲义：抛物线
高考数学抛物线复习
抛物线复习【高考会这样考】1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合．2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题．3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．考点梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口 方向向右 向左 向上 向下【助学·微博】一个重要转化 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”． 六个常见结论直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图． ①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p .④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 考点自测1．(陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )． A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x2．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.743．(四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )．A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 54．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．5．(新乡模拟)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x26－y23＝1的右焦点重合，则p的值为________．考向一抛物线的定义及其应用【例1】►已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【训练1】设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．考向二抛物线的标准方程及几何性质【例2】►(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【训练2】(郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()．A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x考向三抛物线的焦点弦问题【例3】►已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【训练3】 若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．方法优化——有关抛物线焦点弦的解题技巧【真题探究】► (安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )．A.22B. 2C.322 D ．2 2【试一试】 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与该抛物线相交于A (x 1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是()．A．4 B．8 C．12 D．16A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )． A.34 B ．1C.54D.742．(东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为 ( )．A ．2B ．18C ．2或18D ．4或163．(全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝ ( )．A.45B.35C ．－35D ．－454．(山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )． A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y二、填空题(每小题5分，共10分)5．(郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．6．(陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．三、解答题(共25分)7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．8．(13分)(温州十校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( )．A ．9B ．6C ．4D ．32．(洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )．A. 3B. 5 C ．2 D.5－1二、填空题(每小题5分，共10分)3．(北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．4．(重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.三、解答题(共25分)5．(12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP→＝λAQ →. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．6．(13分)(新课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C 上一点，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第8章 平面解析几何 8.7 抛物线
8.7 抛物线[知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离(p2，0)|PF |＝x 0＋，也称为抛物线的焦半径．p2(2)y 2＝ax 的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(a 4，0)a 4(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝.p 24②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最x 1x 2短为2p .③＋为定值.1|AF |1|BF |2p ④弦长AB ＝(α为AB 的倾斜角)．2psin2α⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x ＝－.( )(a4，0)a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P 64A 组T 2)抛物线y ＝x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )1a A.或 B.(0，a 4)(0，－a 4)(0，－a 4)C. D.(0，a 4)(a 4，0)答案 C解析 把方程写成x 2＝ay ，若a >0，则p ＝，焦点为F ；a 2(0，a4)若a <0，则p ＝－，开口向下，焦点为F .故选C.a 2(0，a4)(2)(选修A1－1P 61例4)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.3．小题热身(1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－＝1的渐近线的距离是( )y 23A. B. 1232C ．1 D.3答案 B解析 由抛物线y 2＝4x ，有2p ＝4⇒p ＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，不妨取其中一条x －y ＝0，由点到33直线的距离公式，有d ＝＝.故选B.|3×1－0|(3)2＋(－1)232(2)(2018·正定一模)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则＝________.ba 答案 1＋2解析 |OD |＝，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ，Fa2(a2，－a )，(a2＋b ，b )又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，从而有Error!即Error!∴b 2＝a 2＋2ab ，∴2－2·－1＝0，又>1，(b a )b a ba ∴＝1.b a 2题型1 抛物线的定义及应用 (2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距典例离为10，则M 到y 轴的距离是________．抛物线定义法．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.[条件探究1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为2，AB 的方2程为y ＝2(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B2的横坐标为，纵坐标为－，S △AOB ＝×1×(2＋)＝.1221222322[条件探究2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求M 点坐标及此时的最小值．解 如图，点A 在抛物线y 2＝4x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |，其中|MH |为M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝4，当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立．此时M 1点的坐标为(1,2)．方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见典例．2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见条件探究2.3．看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．冲关针对训练(2017·湖北二模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )FA→ FB → FC → A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案 B解析 抛物线y 2＝4x 焦点坐标为F (1,0)，准线方程x ＝－1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)∵＋＋＝0，FA→ FB → FC → ∴点F 是△ABC 重心，则＝1，x 1＋x 2＋x 33∴x 1＋x 2＋x 3＝3.由抛物线的定义可知：|FA |＋|FB |＋|FC |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6，∴|FA |＋|FB |＋|FC |＝6，故选B.题型2 抛物线的标准方程及性质 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，典例1|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x本题采用待定系数法，列方程求解．答案 C解析 以MF 为直径的圆过点(0,2)，∴点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋＝5可得M，以MF 为直径的圆，其p2(5－p2， 2p (5－p2))圆心N 为，∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径，∴(52，122p (5－p2))圆与y 轴切于点(0,2)，从而2＝，即p 2－10p ＋16＝0，解122p (5－p2)得p ＝2或p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. (2016·天津高考)设抛物线Error!(t 为参数，p >0)的焦典例2点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF|，且△ACE 的面积为3(72p ，0)，则p 的值为________．2答案 6解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝p ，不妨设A 在第一象限，32则A (p ，p )．易证△EFC ∽△EAB ，所以＝＝＝2，所2|EF ||AE ||FC ||AB ||FC ||AF |以＝，所以S △ACE ＝S △AFC ＝×p ×p ＝p 2＝3，所以|AE ||AF |131313322222p ＝.6方法技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧1．关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．见典例1.2．技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．见典例2.冲关针对训练1.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝x3答案 C解析 设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线l 的斜率为，3故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故＝＝，即p ＝，从而抛物线的方程为y 2＝3x ，故选p|AA 1||CF ||AC |1232C.2．(2018·河南洛阳统考)已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析 将双曲线方程化为标准方程得－＝1，可得F 2(2a,0)，x 2a 2y 23a 2又易知其也是抛物线的焦点，联立Error!⇒x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由Error!⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.题型3 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线典例l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求；|OH ||ON |(2)除H 以外，直线MH 与C是否有其他公共点？说明理由．本题采用方程组法．解 (1)由已知得M (0，t )，P .(t 22p ，t )又N 为M 关于点P 的对称点，故N ，故ON 的方程为y ＝(t 2p ，t )x ，将其代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝，pt 2t 2p 因此H .所以N 为OH 的中点，即＝2.(2t 2p ，2t)|OH ||ON |(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝x ，p2t 即x ＝(y －t )．2t p 代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．角度2 与抛物线弦中点有关的问题 (2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点典例为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝y ，∴它的焦点F .1m (0，14m )(2)∵|RF |＝y R ＋，∴2＋＝3，得m ＝.14m 14m 14(3)存在，联立方程Error!消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－.12设A (x 1，mx )，B (x 2，mx )，212则Error!(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ，即P ，(x 1＋x 22，mx 21＋mx 22)(1m ，yP )∴Q .(1m ，1m )得＝，＝，QA → (x 1－1m ，mx 21－1m )QB → (x 2－1m ，mx 2－1m )若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则·＝0，QA→ QB → 即·＋＝0，(x 1－1m )(x 2－1m )(mx 21－1m )(mx 2－1m )结合(*)化简得－－＋4＝0，4m 26m即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－，12而2∈，－∉.(－12，＋∞)12(－12，＋∞)∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．方法技巧解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．见角度2典例．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．冲关针对训练已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋.p2因为|AF |＝3，即2＋＝3，解得p ＝2，p 2所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2.2由抛物线的对称性，不妨设A (2,2)．2由A (2,2)，F (1,0)可得直线AF 的方程为2y ＝2(x －1)．2由Error!得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝，从而B .12(12，－2)又G (－1,0)，所以k GA ＝＝，k GB ＝＝－，22－02－(－1)223－2－012－(－1)223所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．题型4 抛物线中的最值问题 (2017·成都四模)如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦典例1点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2＋y 2－4x －12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]利用抛物线定义，圆的半径及AB长表示出△FAB 的周长为x B ＋6，再确定x B 的范围即可．答案 B解析 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B .由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12)．故选B. 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的典例2最小值是________ .平移直线法．答案 43解析 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得Error!消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－，所以切线方程为4x ＋3y －＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到4343直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝＝.|8－43|543方法技巧与抛物线有关的最值问题，一般通过数形结合思想或函数方程思想来解决．注意“定义转化法”(典例1)，“平移直线法”(典例2)．冲关针对训练(2017·浙江模拟)已知F 为抛物线4y 2＝x 的焦点，点A ，B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若·＝15(O 为原点)，则△OA→ OB → ABO 与△AFO 的面积之和的最小值为( )A. B.1852C.D.54652答案 D解析 设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，Error!可得4y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有y 1·y 2＝－，m4∵·＝15，OA→ OB → ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝15，从而16(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－15＝0.∴y 1y 2＝－1或y 1y 2＝.1516∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1·y 2＝－1，故m ＝4.不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ，(116，0)∴S △ABO ＋S △AFO ＝×4×(y 1－y 2)＋×y 1＝y 1＋≥2121211665322y 1＝，65y 132×2y 1652当且仅当y 1＝，即y 1＝时，取“＝”号，65322y 186565∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是，652故选D.1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝4，|DE |＝2，则C 25的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,2)，则x 1＝＝，2(22)22p 4p 由题意可知|OA |＝|OD |，得2＋8＝2＋5，解得p ＝4.故选B.(4p )(p 2)2．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.B.|BF |－1|AF |－1|BF |2－1|AF |2－1C.D.|BF |＋1|AF |＋1|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知＝＝＝＝，故S △BCFS △ACF 12·|CB |·|CF |·sin ∠BCF 12·|CA |·|CF |·sin ∠BCF|CB ||CA ||BN ||AM ||BF |－1|AF |－1选A.3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝|FO |＝1.12又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.4．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M .根据题意可知圆心M 在抛物线上，又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋＝6，即x M ＝6－，p2p2又由题意可知x M ＝，∴＝6－，解得p ＝8.p 4p 4p 2∴抛物线方程为y 2＝16x.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为4，则抛物线C 的方程为( )5A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2y D ．x 2＝y答案 C解析 由Error!得Error!或Error!即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，＝4，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为(4p )2＋(8p )25x 2＝2y .故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A. B ．6 303C ．12 D ．73答案 C解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，所以AB 所在的直(34，0)线方程为y ＝，将y ＝代入y 2＝3x ，消去y 整理得33(x －34)33(x －34)x 2－x ＋＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得212916x 1＋x 2＝，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝＋＝12.故选21221232C.3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知Error!即Error!∴A ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴＝2p ×，即(p 2，4p )16p 2p 2p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，＝λ(λ>0)，则λ的值为( )BC → FB→ A. B. 3432C. D ．33答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±4，点A (4,4)，22则直线AB 的方程为y ＝2(x －2)，2令x ＝－2，得C (－2，－8)，2联立方程组Error!解得B (1，－2)，2所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2C. D.52522答案 D解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝＝.故选D.|－1＋0－4|25227．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝x 2(p >0)的焦点12p 与双曲线C 2：－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，x 23若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A. B. 31638C. D.233433答案 D解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲(0，p2)线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝x 0＝⇒x 0＝p .因为y 0＝p41p 3333x ，所以y 0＝.又M 点在直线y ＝－(x －2)上，即有＝－12p 20p 6p 4p 6p 4⇒p ＝，故选D.(33p －2)4338．(2018·河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：－y ＝0上x 22的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若·＜0，则x 0的取值范围是( )MF→ MN → A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)C ．(0,1) D ．(－1,1)答案 A解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F，根据题意可知，N (x 0,0)，(0，12)x 0≠0，＝，＝(0，－y 0)，所以·＝－y 0MF → (－x 0，12－y 0)MN → MF → MN → ＜0，即0＜y 0＜，因为点M 在抛物线上，所以有(12－y 0)120＜＜，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.x 202129．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量在x 轴正方向上PQ → 的投影为( )A ．2－B ．2－1555C ．1－ D.－1212121答案 A解析 因为6＝＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为p2y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝＝＝(x －6)2＋y 2(x －6)2＋4x ，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为(x －4)2＋20－1＝2－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM205的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝，故当|PQ |取得15最小值时，向量在x 轴正方向上的投影为PQ→ (2－1)·cos ∠PMO ＝2－.故选A.55510．(2018·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，y 23若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝x答案 A解析 由双曲线方程x 2－＝1知其渐近线方程为y ＝±x ，∴y 233过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±，不妨取3k AB ＝，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足3为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017·河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y ＋y 2的值为________．21答案 10解析 由抛物线的定义可知，9＋＝5，解得p ＝2，∴抛p2(1＋p2)物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y ＋y 2＝22＋6＝10.2112．(2017·湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则的值|CD ||AB |为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由Error!得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝，y 1y 2＝1，解得y 1＝，y 2＝4，则＝17414|CD ||AB |＝＝16.|FD |－1|AF |－1(y 2＋1)－1(y 1＋1)－113．(2017·河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：＋＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P 分别为曲y 24x 2b 2(32，1)线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析 将P 代入＋＝1，可得(32，1)y 24x 2b 2＋＝1，∴b ，c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线1494b 23C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中学调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为，则p ＝________.58答案 1解析 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为，准线为(p2，0)x ＝－，不妨设点A 在x 轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线p2AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ，又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝，35∴tan ∠HAB ＝，则可得直线AB 的方程为y ＝.4343(x －p2)由Error!得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝p ＋p ＝p ，178258易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |·sin ∠A ′AB ＝×＝p .p 24525∴S △AOB ＝×p ×p ＝＝，12258255p 2858∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由Error!得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝＝m 2.y 21y 264由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝·|FM |·|y 1－y 2|＝3＝24.12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2516．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p ＝2.p2(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由Error!消去x ，得y 2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以，B .(1t 2，－2t )又直线AB 的斜率为，故直线FN 的斜率为－.2t t 2－1t 2－12t 从而得直线FN ：y ＝－(x －1)，t 2－12t 直线BN ：y ＝－.2t 所以N .(t 2＋3t 2－1，－2t )设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得＝，于是m ＝(t ≠0，t ≠±1)．2t t 2－m 2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－12t 2t 2－1所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．17．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的(0，12)垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝.12所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(14，0)14(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋(k ≠0)，l 与抛物12线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.1－kk 214k 2因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝x ，点B 的坐标为.y 2x 2(x 1，y 2x 1x 2)因为y 1＋－2x 1＝y 2x 1x 2y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝(kx 1＋12)x 2＋(kx 2＋12)x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝＝0，(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2所以y 1＋＝2x 1，y 2x 1x 2故A 为线段BM 的中点．18．(2018·湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若·PQ → ＝0，求||最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程；RS → AB → (3)是否存在一定点T ，使得＝λ－？若存在，求出P 的AF → TB → FT → 坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.由韦达定理Error!∴x A ＝＝＝1＋，y A ＝k (x A －1)＝.x 1＋x 22k 2＋2k 22k 22k∴A ，∵·＝0，(1＋2k 2，2k )PQ → RS → ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的k 换成－，1k 得B (1＋2k 2，－2k )，∴||＝AB → (1＋2k 2－(1＋2k 2))2＋(2k ＋2k )2＝ ≥4(当且仅当k ＝±1 时取“＝”)，4k 4＋4k 4＋4k 2＋4k 2所以，||最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，AB → 即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵＝λ－⇒＋＝λ⇒＝λ，AF → TB → FT → AF → FT → TB → AT → TB → 即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得＝λ－，AF → TB → FT → 即探求直线AB 是否过定点．由(2)知，直线AB 的方程为y ＋2k ＝(x －2k 2－1)，－2k －2k 2k 2＋1－(2k 2＋1)整理得(1－k 2)y ＝k (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)，使得＝λ－.AF → TB → FT →。
高考数学复习考点知识讲解与专题练习61---抛物线
高考数学复习考点知识讲解与专题练习抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论与微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A.2B.3C.4D.8解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为()±2p ，0， 所以p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8. 答案 D5.(2020·山东名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B.1 C.54 D.74解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C. 答案 C6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1]. 答案[－1，1]考点一抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】(1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x(2)(多选题)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为()A.2B.3C.－ 2D.－ 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析(1)由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).＝2，设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.(2)如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为3；当点B在第一象限时，同理可知直线l 的斜率为－ 3.(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案(1)D(2)BD(3)y2＝4x规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练1】(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4B.x＝－3C.x＝－2D.x＝－1(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.解析 (1)直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4，0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4，0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM |＝|PF |，又知|PK |＝2|PF |，∴在直角三角形PKM 中，sin ∠PKM ＝|PM ||PK |＝|PF ||PK |＝22，∴∠PKM ＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM |＝|MK |＝4，又知点P 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，∴⎩⎨⎧py 0＝8，y 0＋p2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，y 0＝2. 答案 (1)A (2)2考点二 与抛物线有关的最值问题多维探究角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|PA |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|PA |－|PF |的最小值为________，最大值为________.解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF |＝|PH |，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PH |，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.答案(1)3(2)－2 2规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.角度2到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P 到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.答案 5规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解. 角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34B.32C.1 D.2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 答案 D规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解. 角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 由题意知F (1，0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值.依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案 2规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】(一题多解)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.解析 法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43. 答案 43规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到 A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1，0).根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.答案 (1)A (2)17－1考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解 设直线l 的方程为：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13. 所以A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，故|AB |＝4133.规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0).∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2).∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2).数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5 D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ， 设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( ) A.5 B.6 C.163D.203[一般解法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 答案 CA 级 基础巩固一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C.14 D.18解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D2.(2019·福州调研)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B. 答案 B3.(2020·烟台调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x解析 因为AB ⊥x 轴，且AB 过焦点F ，所以线段AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D. 答案 D4.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.答案 C5.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355 B.2 C.115 D.3解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案 B二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝ －2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.(2020·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|的值为________. 解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案 38.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.解析 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以b a＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，由于p >0，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .答案 x 2＝16y 三、解答题9.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.10.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值. 解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p 4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.所以A (1，－22)，B (4，42).则OC→＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.B 级 能力提升11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A.1∶2B.1∶3C.1∶ 2D.1∶ 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，∵直线l 过点F 和点M (2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1）得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A.答案 A12.(2020·长沙调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解析 由题意知p 2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.答案 B13.(2020·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.解析 由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN →得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，∴x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.答案 7414.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1).设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.C 级 创新猜想15.(多选题)如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则下列结论正确的有( )A.若AB 的斜率为1，则|AB |＝8B.|AB |min ＝4C.若AB 的斜率为1，则x M ＝2D.x A ·x B ＝－4解析 由题意得，焦点F (0，1)，对于A ，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立， 得⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0， 所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则A 正确；对于B ，|AB |min ＝2p ＝4，则B 正确；对于C ，当AB 的斜率为1时，因为y ′＝x 2，则x M 2＝1，∴x M ＝2，则C 正确；设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，则D 正确；答案 ABCD16.(多填题)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，则抛物线C 的方程是________；若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M (1，±22)，则|FN |＝2(1＋2)＝6. 答案 y 2＝8x 6。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第九章 第七节 抛物线 Word版含答案
第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)) |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点共同点(1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都[熟记常用结论]设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B.y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C 点P 到F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与它到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B.y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .4．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的y ＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y 2＝－4x ，当焦点在y 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的x ＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y5．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516. 答案：1516考点一 抛物线的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．[解析] (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1， 则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4. [答案] (1)B (2)4 [变式发散]1．(变条件)若将本例(2)中“B (3,2)”改为B (3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 解析：由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.答案：2 52．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.答案： 5[解题技法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.[过关训练]1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．答案：(2,2)2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝________.解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝ 2.答案： 2考点二抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关][典例精析](1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0设点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5，得 ⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .[答案] (1)B (2)C[解题技法]1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[过关训练]1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选B 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由抛物线定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝6，|AC |＝6＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以6＋3a ＝12，从而得a ＝2，|FC |＝3a ＝6，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝3，因此抛物线方程为y 2＝6x .2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．解析：△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22p ，则点M ⎝⎛⎭⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎨⎧m 22p ＋p2＝4，⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y考点三 直线与抛物线的位置关系[师生共研过关][典例精析]设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m ＞0，得m ＞－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ). 由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.[解题技法]1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[过关训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：22．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.。
2015年高考数学一轮总复习精品课件：第八章+解析几何 8.7 抛物线(共23张PPT)
的轨迹是否为抛物线;
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时,
注意利用两者之间的转化在解题中的应用.
提醒:注意一定要验证定点是否在定直线上.
考点二
考点三
第十二页，编辑于星期五：十一点 十一分。
探究突破
举一反三 1 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一
动点.若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线
是(D)
A.线段
C.双曲线的一部分
B.圆
D.抛物线的一部分
解析:连接 PC1,即为 P 到直线 C1D1 的距离.根据题意,在平面 BB1C1C 内点 P
到定点 C1 的距离等于到定直线 BC 的距离,符合抛物线定义,轨迹两个端点分别
巩固提升
1
3
2
1.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d,且点 P 在 y
轴上的射影是 M,点 A
7
A.2
7
,4
2
B.4
,则|PA|+|PM|的最小值是(C)
9
C.2
解析:设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,则 F
1
1
D.5
1
,0
2
.又点 A
7
,4
2
在抛物线的外侧,
2
(B)
1
2
A.
B.
3
2
C.1
D. 3
解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,即
抛物线高考专题复习
课 时 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
变式3 已知AB是抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点弦， 且A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 点F 为抛物线的焦点. 求证：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线L相切.
高 考 体 验 · 明 考 情
e＝1 |PF|＝ p －x0＋ 2
p y＝－ 2
p y＝ 2
高 考 体 验 · 明 考 情
焦半 p |PF|＝x0＋ 2 径
|PF|＝ p y0＋ 2
|PF|＝ p －y0＋ 2
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自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”： 一个动点M， 一个定点F， 一条定直线（准线）， 一个定值1（离心率）。 抛物线的定义表明了抛物线上的点到焦点的距离与 到准线的距离的等价性，二者可以相互转化，这一转化 在解题过程中具有重要作用.
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自 主 落 实 · 固 基 础
变式1
已知AB是抛物线y 2 px( p 0)的焦点弦，
2
且A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 点F 为抛物线的焦点. 1 1 求证： 为定值. AF BF
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备战高考数学复习考点知识与题型讲解68---抛物线
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第68讲 抛物线考向预测核心素养抛物线的方程、几何性质及抛物线的综合问题是高考热点，综合问题难度较大.直观想象、数学抽象、数学运算一、知识梳理 1．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹．(2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴 x 轴y 轴顶点 (0，0)离心率e ＝1常用结论1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4.(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)．通径(过焦点垂直于对称轴的弦)长：2p.(3)焦半径：|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，1|AF|＋1|BF|＝2p.(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P133练习T3(2)改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．答案：(3，±6)2．(人A选择性必修第一册P136练习T4改编)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．解析：设点A的横坐标是x1，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1.因为AF所在直线过点F，所以直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．() (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．() (3)若一抛物线过点P (－4，3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．() (4)抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√ 二、易错纠偏1．(多选)(忽视焦点的位置致误)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－92xB.y 2＝92xC ．x 2＝43yD.x 2＝－43y解析：选AC.设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 2．(忽视抛物线的开口方向致误)若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．解析：把抛物线方程y ＝ax 2化为标准形式得x 2＝1a y ，所以－14a ＝2，解得a ＝－18.答案：－183．(忽视方程多解致误)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________．解析：设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.答案：2考点一 抛物线的定义和标准方程(自主练透)复习指导：1.了解抛物线的定义、标准方程、掌握各种形式下抛物线的图形． 2．理解参数p 的几何意义．1．(2021·新高考卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝() A ．1 B.2 C.2 2D.4解析：选B.抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．故选B.2．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x3．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2，1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：线段OA 的垂直平分线方程是y ＝－2x ＋52，且交x 轴于点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，该点为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，故该抛物线的准线方程为x ＝－54.答案：x ＝－54抛物线的定义及标准方程应用关键点(1)由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．考点二 抛物线的几何性质(多维探究)复习指导：理解应用抛物线的简单几何性质． 角度1 焦半径和焦点弦(1)(2022·河北衡水三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且||＋||＋||＝10，则x 1＋x 2＝()A ．6 B.5 C.4D.3(2)(链接常用结论1(2))设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为()A.334B.938C.6332D.94【解析】 (1)根据抛物线的定义，知||，||，||分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由||＋||＋||＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.(2)由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0， 则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S△OAB＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.方法二：联立直线方程与抛物线方程得x2－212x＋916＝0，故x A＋x B＝212.根据抛物线的定义有|AB|＝x A＋x B＋p＝212＋32＝12，同时原点到直线AB的距离为d＝|－3|42＋（－43）2＝38，因此S△OAB＝12|AB|·d＝94.【答案】(1)A(2)D角度2 与抛物线有关的最值设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】 41．若本例条件不变，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为焦点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案：22．若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部，F(1，0)．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝（3－1）2＋（4－0）2＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.抛物线的性质及应用要点(1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．|跟踪训练|1．已知点Q(22，0)及抛物线y＝x24上的动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是()A．2 B.3 C.4 D.2 2 解析：选A.因为抛物线的方程为x 2＝4y ， 所以焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1， 所以抛物线上的动点P (x ，y )到准线的距离为y －(－1)＝y ＋1，由抛物线的定义可得|PF |＝y ＋1，又因为Q (22，0)，所以y ＋|PQ |＝y ＋1＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝（22－0）2＋（0－1）2－1＝3－1＝2， 当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号．2．(2022·沈阳质量检测)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，因为点A 在抛物线y 2＝3x 上，所以14a 2＝3×32a ，所以a ＝6 3.答案：6 3考点三 直线与抛物线(综合研析)复习指导：了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．(2021·高考全国卷乙)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2.(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足＝9，求直线OQ 斜率的最大值． 【解】 (1)由抛物线的定义可知，焦点F 到准线的距离为p ，故p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知F (1，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，＝(1－x 2，－y 2)， 因为＝9，所以⎩⎨⎧x 2－x 1＝9（1－x 2），y 2－y 1＝－9y 2，可得⎩⎨⎧x 1＝10x 2－9，y 1＝10y 2，又点P 在抛物线C 上，所以y 21＝4x 1，即(10y 2)2＝4(10x 2－9)，化简得y 22＝25x 2－925，则点Q 的轨迹方程为y 2＝25x －925.设直线OQ 的方程为y ＝kx ，易知当直线OQ 与曲线y 2＝25x －925相切时，斜率可以取最大，联立y ＝kx 与y 2＝25x －925并化简，得k 2x 2－25x ＋925＝0，令Δ＝(－25)2－4k 2·925＝0，解得k ＝±13，所以直线OQ 斜率的最大值为13.解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．|跟踪训练|1．直线y＝x＋b交抛物线y＝12x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为()A．－1 B.0C.1D.2解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝12x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.2．(多选)(2022·广东省广雅中学月考)已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有() A．△PMF周长的最小值为2 5B．若＝λ，则||PQ最小值为4C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2D．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π4解析：选BD.因为F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，F(1，0)，|MF|＝（2－1）2＋（2－0）2＝5，准线l：x＝－1，对于A，过P作PN⊥l，垂足为N，则|PF|＋|PM|＝|PN|＋|PM|≥|MN|＝2＋1＝3，所以△PMF周长的最小值为3＋5，故A不正确；对于B ，若＝λ，则弦PQ 过F ，过P 作l 的垂线，垂足为P ′，过Q 作l 的垂线，垂足为Q ′，设PQ 的中点为G ，过G 作GG ′⊥l ，垂足为G ′，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝|PP ′|＋|QQ ′|＝2|GG ′|≥2×2＝4，即||PQ 最小值为4，故B 正确；对于C ，若直线PQ 过点F ，设直线PQ ：x ＝my ＋1， 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，所以k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝4y 1·4y 2＝16－4＝－4，故C 不正确；对于D ，因为OF 为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为12，因为△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆的半径为1＋12＝32，所以该圆面积为π(32)2＝94π，故D 正确．3．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ，若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：不妨设点A 在第一象限．由题意得图，其中AB 垂直于抛物线的准线l .则|FC |＝3p ，所以|AF|＝|AB|＝|CF| 2＝32p，则A(p，2p)．易证△EFC∽△EAB，所以|EF||EA|＝|CF||AB|＝|CF||AF|＝2，所以|EA||AF|＝13，所以S△ACE＝13S△AFC＝13×12×3p×2p＝22p2＝32，所以p＝ 6.答案： 6[A 基础达标]1．(2022·荆州市检测)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A．圆 B.椭圆C.直线D.抛物线解析：选D.如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．2．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为()A．2 B.3C. 3D. 2解析：选B.因为抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3．(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝()A ．5 B.6 C.8D.10解析：选C.抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线l 与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋2＝8.4．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2 B.4 C.6 D.8解析：选B.如图，不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1，22)，则x 1＝（22）22p ＝4p，由题意知|OA |＝|OD |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.5．(2020·高考全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(1，0)D.(2，0)解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得·＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.6．已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________．解析：因为半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， 所以圆心到准线的距离等于3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x7．(2021·新高考卷Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．解析：通解(解直角三角形法)：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32. 光速解(应用射影定理法)：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p 2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32. 答案：x ＝－328．(2022·山东模拟)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝________，1|AF |＋1|BF |＝________．解析：由题意知p2＝1，从而p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .当直线AB 的斜率不存在时，将x ＝1代入抛物线方程， 解得|AF |＝|BF |＝2，从而1|AF |＋1|BF |＝1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)， 联立⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，从而1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.综上，1|AF |＋1|BF |＝1.答案：219．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝35， 所以5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x . 10.如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.由|AF |＝3，得2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．[B 综合应用]11．(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是()A.72B.3C.52D.2解析：选C.如图，抛物线的准线方程为x ＝－12，过点Q 作QQ ′垂直准线于点Q ′，|MQ |－|QF |＝|MQ |－|QQ ′|，显然当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时|MQ |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＝52.12．(多选)(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线的准线上，线段PF 与抛物线交于点M ，则下列判断正确的是()A ．△OMF 不可能是等边三角形B ．△OMF 可能是等腰直角三角形 C.|PF ||PM |＝1＋2|PF |D.|PF ||MF |－|PF |＝1 解析：选AC.若△OMF 是等边三角形，则边长为1，且点M 的横坐标为12，纵坐标为±2，此时|OM |＝14＋2＝32≠1，所以△OMF 不可能是等边三角形，故A 正确；若△OMF 是等腰直角三角形，则只可能是∠OMF ＝90°，|OM |＝|FM |＝32，所以|OM |2＋|FM |2≠|OF |2，故B 不正确；过点M 作准线的垂线交准线于点N ，则|MF |＝|MN |，|PF ||PM |＝|PM |＋|MF ||PM |＝1＋|MF ||PM |＝1＋|MN ||PM |＝1＋2|PF |，故C 正确，D 不正确． 13．(多选)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直于l 且交l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF ＝60°，则()A ．∠FQP ＝60° B.|QM |＝1 C ．|FP |＝4 D.|FR |＝2解析：选ACD.如图，连接FQ ，FM ，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥FQ ，又PQ ∥x 轴，∠NRF ＝60°，所以∠FQP ＝60°，由抛物线的定义知，|PQ |＝|PF |，所以△FQP 为等边三角形，则FM ⊥PQ ，|QM |＝2，等边三角形FQP 的边长为4，|FP |＝|PQ |＝4，|FN |＝12|PF |＝2，则△FRN 为等边三角形，所以|FR |＝2.故选ACD.14．(2022·江苏省如皋市高三调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，以AF 为直径的圆过点()0，2，则直线AB 的斜率为________．解析：由抛物线C ：y 2＝4x 可得焦点为F ()1，0，设A ()x 1，y 1， 由抛物线的定义可得||AF ＝x 1＋p2＝x 1＋1，AF 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12，y 12， 所以AF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122， 因为以AF 为直径的圆过点()0，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫0－x 1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122，可得y 1＝4，所以x 1＝4， 所以点A ()4，4，所以直线AB 的斜率为4－04－1＝43.答案：43[C 素养提升]15．(2022·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．解析：由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由＝λ＋μ得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)．所以x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74. 答案：7416．(2021·高考全国卷甲)抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ .已知点M (2，0)，且⊙M 与l 相切．(1)求C ，⊙M 的方程；(2)设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．解：(1)由题意，直线x ＝1与C 交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，设C 的焦点为F ，P 在第一象限，则根据抛物线的对称性，∠POF ＝∠QOF ＝45°， 所以P (1，1)，Q (1，－1)．设C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则1＝2p ，p ＝12，所以C 的方程为y 2＝x .由题意，圆心M (2，0)到l 的距离即⊙M 的半径，且距离为1，所以⊙M 的方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)，当A 1，A 2，A 3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切，此时直线A 2A 3与⊙M 相切．当x 1≠x 2≠x 3时，直线A 1A 2：x －(y 1＋y 2)y ＋y 1y 2＝0， 则|2＋y 1y 2|（y 1＋y 2）2＋1＝1，即(y 21－1)y 22＋2y 1y 2＋3－y 21＝0， 同理可得(y 21－1)y 23＋2y 1y 3＋3－y 21＝0，所以y 2，y 3是方程(y 21－1)y 2＋2y 1y ＋3－y 21＝0的两个根，则y 2＋y 3＝－2y 1y 21－1，y 2y 3＝3－y 21y 21－1.直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，设M到直线A2A3的距离为d(d>0)，则d2＝（2＋y2y3）2＝＝1，1＋（y2＋y3）2即d＝1，所以直线A2A3与⊙M相切．综上可得，直线A2A3与⊙M相切．21 / 21。
抛物线-高考数学知识点总结-高考数学真题复习
§9.7 抛物线2014高考会这样考 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．复习备考要这样做 1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点F (p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)离心率e＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[难点正本 疑点清源]1． 抛物线的定义抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．2． 抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，等于焦点到抛物p2线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3． 求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．1． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .2． 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p 的值为________．x 26y 22答案 4解析 因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，x 26y 22则p ＝4.3．(2012·重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.2512答案 56解析 由于y 2＝2x 的焦点坐标为，设AB 所在直线的方程为y ＝k ，A (x 1，y 1)，(12，0)(x －12)B (x 2，y 2)，x 1<x 2，将y ＝k代入y 2＝2x ，得k 22＝2x ，(x －12)(x －12)∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋＝0.∴x 1x 2＝.k 2414而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝，2512∴x 1＋x 2＝.∴x 1＝，x 2＝.13121334∴|AF |＝x 1＋＝＋＝.p 21312564．(2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 B ．2C ．4D ．2235答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋＝2＋＝3，p2p2∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y ＝4×2＝8，20∴|OM |＝＝＝2.4＋y 204＋835． 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.B ．[－2,2][－12，12]C ．[－1,1]D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思维启迪：由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA |＋|PF |的问题可转化为求|PA |＋d 的问题．解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±.6∵>2，∴A 在抛物线内部，如图．6设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l12时，|PA |＋d 最小，最小值为，即|PA |＋|PF |的最小值为，此时P 点纵坐标为2，代入7272y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．探究提高 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A. B ．1C.D.345474答案 C解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋＝3，12∴x A ＋x B ＝.52∴线段AB 的中点到y 轴的距离为＝.xA ＋xB254题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．5思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．解 由题意，抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧，则|MA |＝|AN |，而|AN |＝.5∵|ON |＝3，∴|OA |＝＝2，∴N (，±2)．32－(5)25∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±，52故抛物线的方程为x 2＝y 或x 2＝－y .5252抛物线x 2＝y 的焦点坐标为，准线方程为y ＝－.52(0，58)58抛物线x 2＝－y 的焦点坐标为，准线方程为y ＝.52(0，－58)58探究提高 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－x ，1k 由Error!得x ＝0或x ＝.2pk 2∴A 点坐标为，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，(2p k 2，2p k )由|OA |＝1，|OB |＝8，可得Error!②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝＝.16k 2(k 2＋1)45又p >0，则p ＝，故所求抛物线方程为y 2＝x .255455题型三 直线与抛物线的位置关系例3 (2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于2A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→ 思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝2(x －)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所2p2以x 1＋x 2＝.5p4由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1，4λ－2)，22又y ＝8x 3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，232即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.探究提高 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：·是一个定值．OA→ OB → (1)解 ∵F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝·2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝8.236－4(2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由Error!得y 2－4ky －4＝0.∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)．OA → OB→ ∵·＝x 1x 2＋y 1y 2OA→ OB → ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴·是一个定值．OA→ OB → 直线与抛物线的位置关系问题典例：(14分)(2011·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求·的最小值．AD→ EB → 审题视角 (1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l 1的斜率为k ，依题设条件可求出·关于k 的解析式，利用基本不等式求最值．AD→ EB → 规范解答解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有－|x |＝1.(x －1)2＋y 2化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．[6分](2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.[8分]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋，x 1x 2＝1.4k 2因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－.1k 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.[10分]故·＝(＋)·(＋)AD→ EB → AF → FD → EF → FB → ＝·＋·＋·＋·AF→ EF → AF → FB → FD → EF → FD → FB → ＝||·||＋||·||AF → FB → FD→ EF → ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1(2＋4k 2)＝8＋4≥8＋4×2＝16.[12分](k 2＋1k 2)k 2·1k 2当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，·取最小值16.[14分]1k 2AD→ EB → 答题模板第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)第三步：建立关于所求问题的目标函数；第四步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况．温馨提醒 解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点：(1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法；(2)不要忽略对Δ>0的限制或验证；(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；(4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解．方法与技巧1． 认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2． 抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝；p 24(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝；2psin2θ(3)若F 为抛物线焦点，则有＋＝.1|AF |1|BF |2p 失误与防范1． 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2． 注意应用抛物线的定义解决问题．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标y 25x 24准方程可能是 ( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y答案 D解析 由题意得c ＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的5＋4标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18 B ．24C ．36D ．48答案 C解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛p2物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝×6×12＝36.123． 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－，那么|PF |等于 ( )3A ．4 B ．8C ．8D ．1633答案 B解析 设P ，则A (－2，y )，(y 28，y )由k AF ＝－，即＝－，3y －0－2－23得y ＝4，3|PF |＝|PA |＝＋2＝8.y 284． 从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为 ( )A ．5B ．10C ．20D.15答案 B解析 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝×5×4＝10，选B.12二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是_______．答案 x 2＝12y解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y .6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.答案 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.7． 设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为______．答案 5解析 ∵抛物线的顶点为O (0,0)，p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于|PB |＋|PF |.如图，|PB |＋|PF |≥|BF |，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值，此时|BF |＝＝.(－1－1)2＋(1－0)25三、解答题(共22分)8．(10分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋p .12设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋＋x 2＋，p2p2即x 1＋＋x 2＋＝8.①p 2p2又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由Error!消去y 得x 2－3px ＋＝0.p 24∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .综上，抛物线的方程为y 2＝±4x .9．(12分)已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且⊥，动点P 满足AE→ AF → ∥，∥(其中O 为坐标原点)．EP→ OA → FO → OP → (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若·<0，求直AM→ AN → 线l 的斜率的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )．∵·＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0，AE→ AF → ∴y E ·y F ＝－4，①又＝(x ＋1，y －y E )，＝(1，－y F )，且∥，∥，∴y －y E ＝0且x (－y F )EP → FO → EP→ OA → FO → OP → －y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－，代入①得y 2＝4x (x ≠0)，yx∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在)，联立y 2＝4x 消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝，y 1·y 2＝，4k 8k ·＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)AM→ AN → ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝－＋1＋y 1y 2y 21·y 216y 21＋y 24＝2－＋y 1y 2＋1(y 1y 24)(y 1＋y 2)2432＝＋1<0，∴－12<k <0，12k 则实数k 的取值范围为(－12,0)．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为 ( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)答案 C解析 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由Error!消去y得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是＝3，纵坐标是62y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C.2． 设F 为抛物线y 2＝4x的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则|FA→ FB → FC → |＋||＋||等于 ( )FA → FB → FC→ A ．9 B ．6C ．4D ．3答案 B解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)．由＋＋＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，FA→ FB → FC → 即x 1＋x 2＋x 3＝3，||＋||＋||＝x 1＋x 2＋x 3＋p ＝6.FA → FB → FC→ 323． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(2，－2)22C ．(2，±)D ．(2，±2)22答案 D解析 如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMF S △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3，∴|AF |＝|AM |＝3，设A ，(y 204，y 0)∴＋1＝3，解得y 0＝±2.y 2042∴＝2，∴点A 的坐标是(2，±2)．y 2042二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ，则|PA |＋|PM |的最小值是________．(72，4)答案 92解析 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ，又点A 在抛物线的外侧，抛物线(12，0)(72，4)的准线方程为x ＝－，则|PM |＝d －，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以1212|PA |＋|PM |≥.925． 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A (0,2)，连接FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p 的值为________．答案 2解析 由抛物线定义可知|BM |＝|BF |，又由平面几何知识得|BM |＝|BA |，所以点B 为AF的中点，又B 在抛物线上，所以12＝2p ×，即p 2＝2，又p >0，故p ＝.(p 4，1)p426． 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴FA→ 正向的夹角为60°，则||＝________.OA→ 答案 p212解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p .∴||＝ ＝p .OA → (p2＋p )2＋(3p )2212三、解答题7． (13分)已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足·＝0，＝AB → BP → BC→ ，CP → (1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足·＝97，其QM→ QN → 中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )；则＝(－8，b )，＝(x ，y －b )，AB → BP→ ＝(c ，－b )，＝(x －c ，y )．BC → CP→ ∴·＝－8x ＋b (y －b )＝0.①AB→ BP → 由＝，得Error!BC→ CP → ∴b ＝－y 代入①得y 2＝－4x .∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则＝(x 1＋1，y 1)，＝(x 2＋1，y 2)，QM → QN→ 由·＝97，QM→ QN → 得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97，∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝97.②将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0.∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点，∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2>0，即－<k <，2424由根与系数的关系得x 1＋x 2＝，x 1x 2＝64.16k 2－4k 2代入②式得：64(1＋k 2)＋(1－8k 2)＋1＋64k 2＝97.16k 2－4k 2整理得k 2＝，∴k ＝±.1412∵k ＝±∉，12(－24，24)∴这样的直线l 不存在．。
高考数学(理)一轮复习分层演练：8.7抛物线(含答案)
第7讲 抛物线[学生用书P174]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线y ＝－14x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，0)A [解析] 抛物线y ＝－14x 2的标准方程为x 2＝－4y ，开口向下，p ＝2，p2＝1，故焦点为(0，－1)．2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42xD [解析] 因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8yD [解析] 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .4.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________．[解析] 根据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .[答案] x 2＝4y5．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． [解析] 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .[答案] y 2＝4x抛物线的定义及其应用[学生用书P175][典例引领](1)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．52C ．3D ．2(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)因为FP →＝4FQ →， 所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ， 则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)C (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．[解] 由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2.[通关练习]1．设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B [解析] 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2 C.115D ．3B [解析] 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)[学生用书P176]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下两个命题角度： (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线性质的研究．[典例引领](1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝15x2(2)(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4，所以选B ．【答案】 (1)B (2)B(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．[题点通关]角度一 求抛物线的标准方程1．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．[解析] 设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py，消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，所以x A ＋x B ＝23p ＝3，所以p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .[答案] x 2＝3y角度二 抛物线性质的研究2．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22B ．24 C.12D ．14B [解析] 由题意知， 抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.直线与抛物线的位置关系[学生用书P176][典例引领](2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点， 故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ， ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[通关练习]1．(2017·重庆适应性测试(二))设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交抛物线于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M (11，0)，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．12C [解析] 由题意可得直线AB 的方程是y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，化简得3x 2－5px ＋34p 2＝0，则AB 中点坐标是⎝⎛⎭⎫5p 6，33p ，则33p 5p 6－11＝－33，解得p ＝6.2．过点(－2，1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则由k 的值组成的集合为________．[解析] 设l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋（2k ＋1）y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①当k ＝0时，y ＝1，此时x ＝14，l 与抛物线仅有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. ②当k ≠0时，由Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝0，得k ＝－1或k ＝12，所以k 的值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12[学生用书P177])——抛物线中最值问题的求法1．定义转换法(2017·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.所以|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋（7－1）2－1＝10－1＝9.【答案】 C与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．2．平移直线法抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 【解析】 法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8－435＝43. 法二：由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝⎛⎭⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.【答案】 43若抛物线上的任一点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面例2，我们给出第三种解决方法：法三：设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎫x －232＋203＝35⎝⎛⎭⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．【解析】 由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为A (3，0)， 则|PQ |≥|P A |－|AQ |＝|P A |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号， 所以当|P A |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|P A |＝（x 0－3）2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|P A |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.【答案】112－1解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．[学生用书P368(独立成册)]1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12C [解析] 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34.2．(2017·山西省高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△F AB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y A [解析] 由题意得，F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，B (－p ，－p 2)，所以S △F AB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A.3．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－3)C ．(0，3)D ．(0，6)C [解析] 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [解析] 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．(2017·辽宁抚顺部分重点高中一模)已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，以|F A |为半径的圆交准线于B ，C 两点，△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积是1283，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝14xC ．y 2＝16xD ．y 2＝18xC [解析]由题意，如图可得|DF ||BF |＝cos 30°及|DF |＝p ，可得|BF |＝2p 3， 从而|AF |＝2p 3， 由抛物线的定义知点A 到准线的距离也为2p 3， 又因为△ABC 的面积为1283，所以12×2p 3×2p 3＝1283，解得p ＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .6．(2017·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A 、B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝xA [解析] 由双曲线方程x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，所以过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |.所以p ＋1＝2，所以p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.7．(2017·合肥市第二次质量检测)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为________．[解析] 设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y Mx M －p 2＝±3p p ＝±3.[答案] ±38．已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○·M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．[解析] 将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. [答案] 12或49．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AFK 的面积是________．[解析] 因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，所以经过F 且斜率为3的直线方程为y ＝3(x －1)，得A 点的横坐标x A ＝3，由抛物线的定义知|AK |＝|AF |＝3＋1＝4，又AK ∥x 轴，所以∠F AK ＝60°，△AFK 的面积是12×4×4×32＝4 3.[答案] 4 310.(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py ，得p ＝1.所以x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，所以x 0＝ 6. 所以水面宽|CD |＝2 6 m. [答案] 2 611．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．[解] 设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1642－16＝35， 所以5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． [解] (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.13．(2017·湖南长郡中学月考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线l 的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( )A.33B ．1 C.233D ．2A [解析] 过A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，连接AF 、BF ，由抛物线的定义知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos 120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |.所以⎝⎛⎭⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，所以|MN ||AB |的最大值为33.14．已知抛物线x 2＝2y ，过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．[解析] 由x 2＝2y ，得y ＝12x 2，所以y ′＝x .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以抛物线在P ，Q两点处的切线的斜率分别为x 1，x 2，所以过点P 的抛物线的切线方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，又x 21＝2y 1，所以切线方程为y ＝x 1x －x 212，同理可得过点Q 的切线方程为y ＝x 2x －x 222，两切线方程联立解得⎩⎨⎧x A ＝x 1＋x 22，y A＝x 1x22.又抛物线焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，易知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝mx ＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋12，x 2＝2y ，得x 2－2mx －1＝0，所以x 1x 2＝－1，所以y A ＝－12. [答案] －1215．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得错误!消元得y 2－4my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.16．(2017·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .[解] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝xp，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎫pk ，－p2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝⎛⎭⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13， 即k ＝±3或k ＝±33.。
考点40 抛物线-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过
考点40 抛物线抛物线也是高考的重点、难点，常出现在高考的选择题或填空题中，多考查抛物线的几何性质，也常出现在高考中的解答题中，作为压轴题，多考查直线与抛物线的位置关系.(1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦半径公式0||2pPF x =+ 0||2pPF x =- 0||2pPF y =+ 0||2pPF y =- 3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.考向一 抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率).2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化．典例1 设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切，则动圆圆心D 的轨迹方程为 A ．24x y = B ．22x y = C ．24y x =D ．22y x =【答案】A【解析】由题意知，动圆圆心到定点(0,1)F 与到定直线1y =-的距离相等， 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，则方程为24x y =. 故选A.【名师点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题.由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案.典例2 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)A ．)B ．(0)C ．)D ．(0，)【答案】A【解析】抛物线y 2＝2px (p ＞0)，即2p=则抛物线的焦点坐标为0)．故选A ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题．抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到焦点的距离，进而列方程求解即可.1．已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离是它到y 轴的距离的2倍，则点P 到焦点的距离为_________．考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例3 若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4√3,则该抛物线的方程是x B．y2=√3xA．y2=3C．y2=2√3x D．y2x【答案】A【解析】根据对称性,可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是4√3,2=4√3,故AB=4,正三角形OAB的高为2√3,故可设点A的坐标为(2√3,2),代入抛物线方程得4=4√3p,解得p,故所求抛物线的方程为y2=x.典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．(1)过点(32)-，；(2)焦点在直线240x y --=上．【解析】(1)设所求抛物线的方程为22y px =-或20)2(x py p >=．∵过点(32)-，，∴3()42p =-⨯-或922p =⨯(2)令0x =得2y =-∴抛物线的焦点为(4)0，或(0)2-，．当焦点为(4)0，8p =，此时抛物线的方程为216y x =；当焦点为(0)2-，4p =，此时抛物线的方程为28x y =-. 故所求抛物线的方程为216y x =或28x y =-，对应的准线方程分别是4x =-，2y =.2．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线AB ，垂足为B且ABF 是边长为8的正三角形，则抛物线C 的方程为( ) A ．24x y = B ．26x y = C ．28x y =D ．210x y =考向三 抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5 已知等腰三角形OPM 中，OP ⊥MP ，O 为抛物线2y =2px (p >0)的顶点，点M 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，则点P 与抛物线的焦点F 之间的距离是A ．B ．52pC ．2pD p【答案】B【解析】由题意得222,P P P P P y x x px x p =∴=∴=因此点P 与抛物线的焦点F 之间的距离为522P p px +=，选B. 【名师点睛】(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．3．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆22:12O x y +=与C 的一个交点，且3MF =，则C 的标准方程是( ). A ．22y x = B ．23y x = C ．24y x =D ．26y x =考向四 焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键.典例6 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |=7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为F (1,0),准线方程为x =－1.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p ,即x 1+x 2+2=7,得x 1+x 2=5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52, 因此点M 到抛物线准线的距离为57122+=.典例7 已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值. 【解析】(1)直线AB 的方程是y =2√2(x-2p),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0, 所以x 1+x 2=54p . 由抛物线的定义,得|AB|=x 1+x 2+p =9, 所以p =4,从而抛物线的方程是y 2=8x . (2)因为p =4,所以4x 2-5px+p 2=0，可简化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3, 所以[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.4．过抛物线22y px =焦点F 的直线，与抛物线交于A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212y y x x = ( ) A ．-4 B ．4 C ．4pD ．-4p考向五 抛物线中的最值问题1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E (E 在抛物线内)的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.典例8 如图,已知点Q(2√2,0)及抛物线24xy 上的动点Ρ(x,y),则y+|ΡQ|的最小值是A．2 B．3C．4 D．2√2【答案】A【解析】如图,作ΡB⊥x轴于A点,并与准线相交于B点.抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线为y=−1,由抛物线的几何意义可得|ΡB|=|ΡF|,所以y+|ΡQ|= |ΡA|+|ΡQ|=| ΡB|+|ΡQ|−1=| ΡF|+|ΡQ|−1≥|FQ|−1=√1+8−1=2.故选A.典例9 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ.由抛物线的定义可知,|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即|AB|.∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2, y0),代入抛物线方程x2=8y得y0=1 2 .∴使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,1 2 ).5．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.1．抛物线214x y =的准线方程为( ) A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．103．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．84．过抛物线E ：y 2＝2x 焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 中点M 到y 轴距离为1，则|AB |＝( ) A ．2 B ．52C ．3D ．45．抛物线2(0)y mx m =≠的准线与直线1y =的距离为3，则此抛物线的方程为( ) A ．216x y =-B ．28x y =C ．216x y =或28x yD ．28x y =或216x y =-6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22154x y -=的右焦点重合，则下列各点中，在抛物线22y px =上的是( ) A ．(1,2) B ．(3,6)-C ．(2,2)-D ．7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和，则p =( ) A ．2 B ．2或4 C ．1或2D ．18．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( )A ．B ．C ．D ．9．如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：()220y px p =>上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，点F 是抛物线C 的焦点.若12+n x x x ++…=10，12+++n PF P F P F …=10+n ，则p 等于( ) A ．2 B ．32C ．52D ．410．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为( )A ．1 BC ．2D11．若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C 的方程是_________.12．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______.13．已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP = 14．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=，4PF =，则抛物线C 的方程为：______________.15．已知点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ．过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则三角形AFM 的面积S =__________． 16．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． (1)求圆心M 的轨迹E 的方程；(2)斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．17．已知抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，(1)求物线C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ､B 为抛物线C 上异于原点O 的不同两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若122k k =-，求证：直线AB 过定点.18．已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l . (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．92．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)3．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ． 经过点OB ． 经过点PC ． 平行于直线OPD ． 垂直于直线OP4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．85．【2018新课标I 理】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点(–2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．86．【2017新课标全国I 理科】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．107．【2017新课标全国II 理科】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．8．【2018新课标Ⅰ理】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．9．【2020年新高考全国ⅠC ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，32与x 轴的交点为P ．(1)若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； (2)若，求|AB |．11．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．12．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．3AP PB =(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．13．【2018新课标Ⅱ理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．1．【答案】2 【分析】设点P 的横坐标为()0m m >，利用抛物线的定义和条件建立方程求出m 即可. 【详解】设点P 的横坐标为()0m m >因为抛物线的方程为24y x =，所以其准线方程为1x =-所以根据抛物线的定义可得，点P 到焦点的距离为+1m ，所以+1=2m m ，解得1m = 所以点P 到焦点的距离为2. 故答案为：2. 2．【答案】C 【分析】依题意，画出草图，则8BF =，30DBF ∠=︒，即可求出p ，即可得解； 【详解】解：依题意，设准线l 与y 轴相交于点D ，则8BF =，60ABF ∠=︒，所以30DBF ∠=︒，所以4DF =，即4p =，所以抛物线方程为28x y =故选：C【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题. 3．【答案】C【分析】根据条件作出图示，分别表示出22,,MO MM M O ，利用勾股定理求解出抛物线方程中参数p 的值，由此确定出C 的方程. 【详解】设抛物线的方程为22y px =，连接MO ，过M 作1MM ⊥准线，交y 轴于2M ，因为32M p MF x ==+，所以232M pMM x ==-，所以2M M O y === 在2Rt OMM 中有：22222M O M M MO +=，所以2263122p p p ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24y x =，故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用，属于中档题.抛物线的焦半径公式如下：(p 为焦准距)(1)焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； (2)焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；(3)焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；(4)焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.4．【答案】A 【分析】设直线AB 的方程为2p my x =-，与抛物线方程联立，化为2220y pmy p --=，利用根与系数的关系即可得出 【详解】解：设直线AB 的方程为2pmy x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立222p my x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去x 化为2220y pmy p --=，所以21212,2y y p y y pm =-+=，所以2212121212()()()2224p p mp p x x my my m y y y y =++=+++22222244mp p p p m mp =-+⨯+=， 所以21221244y y p px x -==-， 故选：A 【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)2212124p x x y y p ==-；(2)弦长1222sin pAB x x p α=++=(α是直线AB 的倾斜角)； (3)112FA FB p+= 5．【答案】6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果 【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题.1．【答案】D 【分析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】 因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D 2．【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可． 【详解】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10， 可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 3．【答案】A 【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出． 【详解】由抛物线2:C y x =可得11,224p p ==， 准线方程14x =-，0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051442p x x x =+=+， 解得01x =． 故选：A ．4．【答案】C 【分析】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出3||2MM '=，即得解.【详解】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有|AA′|＝|AF |，|BB′|＝|BF |，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|， ∵M 到y 轴距离为1， ∴3||2MM '=， ∴|AB |＝|AF |+|BF |＝2|MM′|＝3． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．【答案】D 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，求出准线方程14y m =-，根据题意可得124m -=-或144m-=，解方程即可. 【详解】将2(0)y mx m =≠化为21x y m=， 其准线方程为14y m=-.由题意知124m -=-或144m-=，解得18m =或116m =-.则所求抛物线的标准方程为28x y =或216x y =-. 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、由抛物线的定义求标准方程，属于基础题. 6．【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，根据焦点坐标求出抛物线的方程，逐项验证点的坐标是否满足抛物线的范围即可. 【详解】因为双曲线22154x y -=的右焦点为(3,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(3,0)，因此362pp =⇒=，则抛物线方程为212y x =， 当3x =时，2366y y =⇒=±，所以点(3,6)-在该抛物线上. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的焦点、根据焦点求抛物线的方程，属于基础题. 7．【答案】B 【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y p x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B. 8．【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为28x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±则11S 422PFQ FQ m ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型. 9．【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得n 个等式，相加后，利用已知条件可得结果. 【详解】抛物线C ：()220y px p =>的准线为2px =-， 根据抛物线的定义可知，11||2p PF x =+，22||2p PF x =+，，||2n n p PF x =+， 所以1212||||||222n n p p pPF PF PF x x x +++=++++++，所以12102n npn x x x +=++++，所以10102npn +=+，所以2p =.故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题. 10．【答案】B 【分析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB数值，代入22||||AB MN 化简即得答案．【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n+，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即AB MN≥AB MNB ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题． 11．【答案】28x y = 【分析】根据抛物线的定义，可得结果. 【详解】 根据抛物线定义，8622p=-=，解得4p =， 故抛物线C 的方程是28x y =. 故答案为：28x y = 【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题. 12．【答案】6 【分析】根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得p ，即可求抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】因为抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即142p+=， 所以6p，即该抛物线的焦点到准线的距离为6.故答案为：6 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13【分析】 设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，根据条件结合距离公式求出21m =，即可求得||OP . 【详解】 由已知可得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，|||AP PF =，222AP PF ∴=则22222211()2()2222m m m m ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，解得21m =，∴OP ===.. 14．【答案】24x y = 【分析】如图作PE l ⊥，60PFE ∠=，由抛物线定义知PFE △是等边三角形，再过焦点F 作FM PE ⊥，知M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p =，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线C ：()220x py p =>，焦点(0,)2p F ，准线:2p l y =-如图，PE l ⊥，60PFE ∠=，4PF =，由抛物线定义知4PF PE ==，故PFE △是等边三角形， 过焦点F 作FM PE ⊥，交PE 于M ，则M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p = 故答案为：24x y =【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知PF PE =，再利用60PFE ∠=知PFE △是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题.15 【分析】由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式求出点B 的坐标，代入抛物线方程求出p 的值，根据2AFM BMF S S ∆∆=即可算出结果．【详解】 解：如图所示：，由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)， 又AM MF ⊥，∴由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，(4pB ∴，1)，把点(4p B ，1)代入抛物线方程：22(0)y px p =>得，124p p =⨯，解得p =，4B ∴，1)，1221()2424AFM BFM S S ∆∆∴==⨯⨯⨯+=，． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质得，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式表示出点B 的坐标，考查了直角三角形的性质，是中档题． 16．【答案】(1)28y x =；(2)100x y +-=. 【分析】(1)由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.(2)求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】(1)设动点(,)M x y |2|x =+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；(2)由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.17．【答案】(1)2y x =；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，由12p =求解.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ，由122k k =-，易得1212y y =-，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，利用韦达定理由1212m y y k ==-求解即可.注意直线AB 的斜率不存在的情况. 【详解】(1)因为抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，所以12p =，解得12p =， 所以抛物线C 的方程为2y x =.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ， 所以121222112211,y y k k y y y y ====， 由题意有121212k k y y ==-，得1212y y =-， ①当直线AB 的斜率不存在时，此时12y y =-，直线AB 的方程为12x =， ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为20ky y m -+=，可得1212m y y k ==-，得2k m =-， 直线AB 的方程为2y mx m =-+，可化为122y m x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 由①②知直线AB 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 18．【答案】(1)24y x =；(2)9【分析】(1)设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；(2)不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h的方程为)1y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积.【详解】(1)根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.(2)由(1)可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F的直线h的方程为)1y x =-，由)24 1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入)1y x =-，得1y =2y =，所以(3,A，1,3B ⎛ ⎝⎭， 所以142p AD x +==，2423p BE x +==，12DE y y =-= 因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()129AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.1．【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2．【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 3．【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 4．【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，。
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版权所有：中国好课堂www.zghkt.cn 第七节抛物线 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶ 其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形 顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F p2，0 F －p2，0 F 0，p2 F 0，－p2
离心率 e＝1 准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2
若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点
共同点 (1)原点都在抛物线上； (2)焦点都在坐标轴上； (3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都
等于一次项系数的绝对值的14，即2p4＝p2 版权所有：中国好课堂www.zghkt.cn
不同点 (1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2； (2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.
[熟记常用结论] 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)； (3)1|FA|＋1|FB|＝2p； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 版权所有：中国好课堂www.zghkt.cn
[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题 1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A.18，0 B.12，0 C.0，18 D.0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x2＝12y，所以焦点坐标是0，18. 2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为( ) A．y2＝8x B.y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 解析：选C 点P到F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与它到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y. 3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线方程是( ) A．y2＝－8x B.y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x. 4．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y2＝－4x， 当焦点在y轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x2＝－8y. 答案：y2＝－4x或x2＝－8y 5．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________． 版权所有：中国好课堂www.zghkt.cn
解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离， 又准线方程为y＝－116，
设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516. 答案：1516
考点一 抛物线的定义及应用[师生共研过关] [典例精析]
(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( )
A.12 B．1
C.32 D．2 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． [解析] (1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
又点P到焦点F的距离为2， ∴由定义知点P到准线的距离为2. ∴xP＋1＝2，∴xP＝1. 代入抛物线方程得|yP|＝2，
∴△OFP的面积为S＝12·|OF|·|yP|＝12×1×2＝1. (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为4. [答案] (1)B (2)4
[变式发散] 1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 解析：由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25， 即|PB|＋|PF|的最小值为25. 版权所有：中国好课堂www.zghkt.cn
答案：25 2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________． 解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝5. 答案：5 [解题技法]
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径． [提醒] 注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.
[过关训练] 1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________． 解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)． 答案：(2,2)
2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝________. 解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝2. 答案：2 考点二 抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关] [典例精析] (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) (2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的 版权所有：中国好课堂www.zghkt.cn
圆过点A(0,2)，则C的方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x [解析] (1)抛物线y2
＝2px(p＞0)的准线为x＝－p2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p
＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． (2)由已知得抛物线的焦点Fp2，0设点M(x0，y0)，则AF―→＝p2，－2，AM―→＝y202p，y0－2.由已知得，AF―→·AM―→＝0，即y20－8y0＋16＝0， 因而y0＝4，M8p，4.
由|MF|＝5，得 8p－p22＋16＝5.又p＞0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x. [答案] (1)B (2)C [解题技法] 1．求抛物线标准方程的方法 (1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论． 2．抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． [过关训练]
1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为( ) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x 解析：选B 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所
以p＝|FG|＝12|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.