隐函数的导数和微分
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
d y ψ ′( t ) = d x ϕ ′( t )
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 ⋅ = 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
1 1 2 1 dx + dx − dx − dx dy = x +1 3( x − 1) x+4 y 1 1 2 =[ + − − 1]dx x + 1 3( x − 1) x + 4
8
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
例 设 y = x sin x ( x > 0), 求y′. 等式两边取对数, 解 等式两边取对数 得 ln y = sin x ⋅ ln x 再将上式两边求微分, 再将上式两边求微分 得 d(u⋅ v) = vdu + udv
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
y − 1 = 1 ⋅ ( x − 1)
x− y =0
5
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
1 d2 y 例 设 x − y + sin y = 0, 求 2 . 2 dx
将方程两边求微分, 解 将方程两边求微分 得 1 d( x − y + sin y ) = d( 0) = 0, 2 1 dx − dy + cos ydy = 0, 2 2 dy = dx , 2 − cos y dy 2 复合函数求导法则, 用复合函数求导法则 , = 解得 注意变量 变量y是 的函数 的函数. d x 2 − cos y 注意变量 是x的函数
隐函数求导方法
隐函数求导方法
隐函数求导方法是一种用于求解非显式函数的导数的技巧。
与显式函数不同，隐函数没有直接的形式来表示其自变量和因变量之间的关系。
因此，为了求解其导数，我们需要使用一种特殊的方法。
隐函数求导的基本思路是通过对该隐函数进行微分，然后利用链式法则来进行推导。
下面是具体的步骤：
1. 首先，将隐函数表示为一个等式，例如：
F(x, y) = 0
2. 对上述等式两边关于x进行求导，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
3. 根据求导法则，我们知道∂F/∂x 表示 F 关于x的偏导数，而∂F/∂y 表示 F 关于y的偏导数。
4. 我们希望求得 dy/dx，可以通过移项得到：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
通过上述步骤，我们可以得到隐函数的导数。
需要注意的是，这种方法只适用于能够将隐函数表示为一个等式的情况，并且可以通过求导来解出 dy/dx。
在一些复杂的情况下，可能需要更多的推导和技巧来求解。
隐函数求微分
隐函数求微分隐函数求微分是微积分中的一个重要概念，涉及到解析几何和微分方程的内容。
在实际应用中，隐函数求微分经常被用来求解各种物理问题和工程问题。
本文将详细介绍隐函数求微分的概念、方法和应用。
在解析几何中，有些函数关系不能用显式函数的形式表示，只能用隐式函数的形式来表示。
比如，欧式空间中的一个曲面，只能用方程 F(x, y, z) = 0 来表示，无法用显式函数的形式表示。
此时，如果需要求出该曲面上某一点的切线、法线或曲率等性质，就需要用到隐函数求微分的技巧。
具体来说，隐函数求微分的目的就是在隐式函数 F(x, y) = 0 中，根据某一点 (x0, y0) 处的切线方程，求出该点处的导数 dy/dx。
这里的隐式函数 F(x, y) = 0 满足一定的条件，即在 (x0, y0) 处可导，且 F(x0, y0) = 0。
这样，我们就可以在不显式求出y(x) 的情况下，求出曲线上任意一点的切线方程和导数。
隐函数求微分的基本方法是通过对隐式函数两边求偏导，利用链式法则求出 dy/dx 的表达式。
具体步骤如下：1、对隐式函数 F(x, y) = 0 两边同时求导，得到dF/dx + dF/dy * dy/dx = 02、根据转置矩阵的性质，将上式化为这就是隐函数求微分的基本公式。
根据这个公式，我们可以在不显式求出 y(x) 的情况下，求出曲线上任意一点处的导数。
需要注意的是，隐函数求微分的基本公式只适用于具有单一解析式的隐式函数。
对于具有多个解析式的隐函数，其求导过程比较复杂，需要使用更加高级的数学工具和方法。
隐函数求微分在实际应用中有着广泛的应用，例如：1、求解物理问题中的轨迹、速度、加速度等性质。
例如，一个质点沿着曲面运动，需要求出其速度和加速度。
此时，可以把曲面的方程看作隐式函数，并通过求导得到速度和加速度的公式。
2、求解工程问题中的设计参数和优化问题。
例如，在设计机械零件时，需要考虑其材料力学性能，根据其受力情况和材料性能，可以建立相应的隐式函数模型，并通过求导求出设计参数的表达式，从而实现优化设计。
隐函数的全微分
隐函数的全微分隐函数的全微分是求解具有隐函数形式的函数的微分。
简单来说，就是将隐函数的微分表示为自变量与因变量的微分之间的关系。
假设有一个隐函数的方程为：F(x, y) = 0其中，x是自变量，y是因变量。
对于给定的x值，我们希望求解相应的y值。
假设此时y是关于x的函数，即y = f(x)。
我们可以对该方程两边同时求导，得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0这就是隐函数的微分方程，其中∂F/∂x表示F对x的偏导数，∂F/∂y 表示F对y的偏导数，dy/dx表示y关于x的导数。
现在，我们可以对该方程进行一些重写和推导，以简化它的形式。
首先，我们将dy/dx的项移到等号的另一边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)这样，我们就得到了隐函数关于x的导数的表达式。
接下来，我们可以将上式两边同时乘以dx，得到：dy = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y) * dx这是一个全微分的表达式，表示隐函数的微分。
在这个表达式中，右边是一个关于x和y的函数，左边是y的微分。
这意味着我们可以通过给定x值，通过“微小”的dx变化得到相应的“微小”的dy变化。
换句话说，我们可以通过微分的方法求解隐函数的导数。
这个全微分的表达式可以进一步简化。
我们定义一个新的符号，即dy和dx的比值，即：ν = dy/dx这个符号表示y关于x的导数。
将这个符号代入到全微分的表达式中，我们可以得到：dy = ν * dx这个表达式表示了y的微分与x的微分之间的关系。
如果我们已经找到了y关于x的导数ν的表达式，我们就可以通过给定x的值和dx的值，求解相应的dy的值。
而这个过程可以通过微分的方法来进行。
总结一下，隐函数的全微分是通过对隐函数的微分方程进行求解，得到了表示隐函数微分的表达式。
这个表达式可以用于求解隐函数关于自变量的导数。
它对于求解一些复杂的隐函数问题，特别是在物理和工程领域中的应用具有重要意义。
隐函数求微分的基本步骤
隐函数求微分的基本步骤隐函数求微分是微积分中的重要概念，它用于求解含有隐含变量的方程的微分。
在实际应用中，很多问题需要通过隐函数求微分来求解，因此掌握隐函数求微分的基本步骤对于学习和理解微积分是非常重要的。
隐函数求微分的基本步骤如下：步骤一：确定隐函数我们需要确定方程中的隐函数。
隐函数是指方程中的某个变量不能直接表示出来，需要通过其他变量来间接表示的函数。
例如，对于方程2x + 3y = 5，我们需要确定其中的隐函数y=f(x)。
在这个例子中，y就是隐函数。
步骤二：对方程两边同时求导接下来，我们对方程的两边同时求导。
这是因为方程的两边都是关于自变量x的函数，所以我们可以对它们分别求导。
以方程 2x + 3y = 5 为例，我们对两边同时求导，得到 2 + 3y' = 0。
其中，y'表示y关于x的导数。
步骤三：解出导数在求导的过程中，我们需要将方程中的隐函数y表示为x的函数。
通过求导，我们可以得到y关于x的导数。
在本例中，我们可以解出导数 y' = -2/3。
步骤四：化简表达式接下来，我们需要将导数的表达式进行化简，使其更加简洁。
这可以帮助我们更好地理解和应用求导的结果。
在本例中，导数y' = -2/3 已经是一个化简的表达式，不需要进一步化简。
步骤五：判断导数的意义我们需要判断导数的意义。
导数表示了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
在本例中，导数 y' = -2/3 表示了函数y=f(x)在任意一点的斜率为-2/3。
这意味着函数的曲线向下倾斜，并且斜率的绝对值为2/3。
通过以上的基本步骤，我们可以求解含有隐含变量的方程的微分。
这种方法在实际应用中非常常见，可以用于求解各种复杂的问题。
掌握隐函数求微分的基本步骤对于学习和理解微积分的概念和应用非常重要。
希望本文对您有所帮助。
第四节 隐函数与参数方程
dy 例1 求 e + xy − e = 0 所确定隐函数 y的导数 dx 解 方程两边分别对 求导数 得 方程两边分别对x求导数 求导数, 注意y是 的函数 注意 是x的函数
y
ey
dy dy + y+x =0 dx dx
dy y ∴ =− dx x + ey
( x + e y ≠ 0)
例2 求由方程 e x + 2 y = xy + 1确定的隐函数的导数 及 y ′ ( 0 , 0 ) . 解 方程两边对 x 求导数： e x + 2 y (1 + 2 y ′ ) = y + xy ′ 求导数：
dy 3 | x=2 = − dx 4
得所求切线的斜率为 k = 于是, 于是 所求切线方程为 y −
3 3 3 = − ( x − 2) 2 4
即
3x + 4 y − 8 3 = 0
1 d2y 例6 求由 x − y + sin y = 0所确定隐函数 y 的二阶导数 2 2 dx
dy 1 dy 解 所给方程两边对 求导，得 1 − + cos y ⋅ = 0. 所给方程两边对x求导 求导， dx 2 dx
xx
解 原式两边取对数：ln y = x x ln x 原式两边取对数： 上式两边再取对数： 上式两边再取对数： ln ln y = x ln x + ln ln x
1 1 1 1 y′ = ln x + 1 + ⋅ 对上式两边求导数： 对上式两边求导数： ln y y ln x x
y′ = x
y′ = x
dy v2 所以，在抛射体刚射出时， 所以，在抛射体刚射出时， tanα |t =0 = = ; dx t =0 v1
高职高等数学 第二章 导数与微分第三节 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则
f (x)
dx
f (x) dx
d
f (x) f (x) ln f (x)
dx f (x) u(x)v(x)[v(x) ln u(x) v(x)u(x) ]
u(x)
例 5 求指数函数 y ax a 0,且a 1 的导数
解 把 y ax 改写成 x loga y ，两边对 x 求导得
沈F(x, y) 0 y f (x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例 1 求由方程 x2 y2 R2 所确定的隐函数的导数 dy
dx
解 将方程的两边同时对 x 求导，根据复合函数求导法则得
x2 y2 R2
由复合函数及反函数的求导法则得 dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t)
(t )
，即
dy dx
dt dx
dt
dt
x a cos t
例
7
求由参数方程
y
b
sin
t
确定的函数的导数
解
Q dx a sin t, dy b cos t
dt
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) xsin x (cos x ln x sin x )
x
x
一般地 f (x) u(x)v(x) (u(x) 0)
ln f (x) v(x) ln u(x)
又 d ln f (x)
隐式微分法求导
隐式微分法求导
隐式微分法求导是一种用于求解隐函数导数的方法。
隐函数是指其导数方程不显式给出的函数。
隐式微分法求导的关键在于将隐函数转化为显函数，然后应用导数的定义进行求导。
具体步骤如下：
确定隐函数：给定一个隐函数，例如y=f(x)。
构造显函数：通过观察或数学技巧，构造一个新的函数，使得该函数的导数等于原隐函数的导数。
这通常可以通过对隐函数进行求导，然后令导数等于0来找到一个新的函数。
例如，若隐函数y=f(x)，求导后得到y'=g(x)，那么可以构造一个新的函数y=h(x)使得y'=g(x)。
对显函数求导：对构造出的显函数y=h(x)应用导数的定义进行求导，得到y''=k(x)。
验证导数：检查求得的导数是否等于原隐函数的导数。
如果相等，那么说明求导过程是正确的。
需要注意的是，隐式微分法求导可能需要一定的数学技巧和观察能力，对于某些隐函数，可能需要尝试多种方法才能找到合适的显函数。
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隐函数的导数和微分
在微积分中，函数的导数和微分是两个重要的概念。
当函数关系以显式形式给出时，求导和微分是相对简单的。
然而，当函数关系以隐式形式给出时，我们就需要使用隐函数的导数和微分的概念。
一、隐函数的导数
考虑一个平面上的曲线，可以用方程 f(x, y) = 0 来表示，其中 y 是 x 的函数。
我们可以将这个方程看作是两个变量 x 和 y 的关系式。
若我们想要计算这个曲线上某点的斜率，也就是该点的切线斜率，我们可以使用隐函数的导数。
对于隐函数 f(x, y) = 0，我们可以对其两边同时求导数，得到：
∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy = 0
这里∂f/∂x 和∂f/∂y 分别表示函数 f 对 x 和 y 的偏导数。
根据隐函数的导数的定义，我们可以得到 y 关于 x 的导数为：
dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)
这就是隐函数的导数的计算公式。
例如，考虑方程 x^2 + y^2 - 1 = 0，这是一个单位圆的方程。
我们可以对其两边同时求导数，得到：
2x dx + 2y dy = 0
根据隐函数的导数的计算公式，我们可以得到 y 关于 x 的导数为：
dy/dx = - x / y
二、隐函数的微分
隐函数的微分是在求导的基础上推广得到的。
微分表示函数在某一
点的增量与自变量增量之间的关系。
对于隐函数 f(x, y) = 0，我们可以将其写为：
f(x, y) + dy = 0
当 x 发生微小的增量 dx 时，函数 f(x, y) 应该发生微小的变化 df，即：
f(x + dx, y + dy) = 0
我们可以将 f(x + dx, y + dy) 展开成泰勒级数，忽略高阶无穷小项，
得到：
f(x + dx, y + d y) ≈ f(x, y) + (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy
由于 f(x + dx, y + dy) = 0，我们可以将其代入上式，得到：
0 ≈ f(x, y) + (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy
化简后可得：
dy ≈ - (∂f/∂x) / (∂f/∂y) dx
这就是隐函数的微分的计算公式。
需要注意的是，隐函数的微分可以看作是隐函数的导数的一种推广，通过微分可以近似地计算函数关系中的微小变化。
综上所述，隐函数的导数和微分是用来处理函数隐式形式的重要工具。
通过隐函数的导数，我们可以计算曲线上某点的切线斜率，而通过隐函数的微分，我们可以近似地计算函数关系中的微小变化。
在实际问题中，这两个概念有着广泛的应用，帮助我们更好地理解和分析隐含的函数关系。
以上就是关于隐函数的导数和微分的详细介绍。
希望本文对您理解和应用隐函数的导数和微分有所帮助。