阻尼振动的探究

阻尼振动的探究

摘要：

以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例，探究了阻尼振动。同时，以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减时的特点。

关键词：

阻尼振动阻尼系数衰减

Research on damped vibration

Huangyihang

Abstract:

This article researches into damped vibration by the example of spring oscillator’s damped vibration and the example of RLC’s damped vibration. At the same time, this article researches the points of damped vibration’s attenuation by the two examples.

Keyword:

damped vibration damping coefficient attenuation

简谐运动又叫做无阻尼自由振动。但实际上，任何的振动系统都是会受到阻力作用的，这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。在阻尼系统中，振动系统要不断地克服阻力做功，

所以它的能量将不断地减少。一定时间后回到平衡位置。弹簧振子在有阻力情况下的振动就是阻尼振动。

分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。取弹簧处于自然长度时的平衡位置为坐标原点。忽略空气等阻力，则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。即

F=−kx

由牛顿第二定律，可得

m ⅆ2x

=−kx→

ⅆ2x

+

k

x=0

此微分方程的通解为

x=A cos k2

2

t+φ

给定初始值，弹簧在t=0时，x=x0，dx

d t

=0,则此微分方程的解为

x=x0cos⁡(k2

2

t)

弹簧振子在初始时刻，被拉离坐标原点x0距离，即弹簧被拉长x0(x0>0)。而后，弹簧由于弹簧拉力作用而返回原点，很容易就可以想到弹簧将作往复运动。如方程所描述弹簧作简谐振动。如果考虑弹簧振子运动时的阻力，情况将如何呢？

由实验，可知运动物体的速度不太大时，介质对物体的阻力与速度成正比。又阻力总与速度方向相反，所以阻力与速度有如下关系：

f r=−γv=−γ

ⅆx

γ为正比例常数。则此时，上面所列弹簧振子的运动方程应为：

m ⅆ2x

2

=−kx−γ

ⅆx

考虑此方程，令ω02=k

m 2β=γ

m

。可知ωo即为弹簧振子在无阻力振动时的角频率，称β为

阻尼系数，如此可得：

ⅆx2

2+2β

ⅆx

+ω02x=0

此微分方程通解为：

x t=Ae −β+ β2−w02 t

+Be −β− β

2−ω02 t

A,B由弹簧振子的初始值，即t=0时的x，dx

d t

值决定。由上通解无法直观看出弹簧振子的实际运动景象如何。下面以β与ωo的大小关系分为三种情况考虑。

β<ωo时，可将通解化为如下形式：

x(t)=A0e−βt cos⁡(ωt+φ0)

其中ω= ω02−β2

而A0,φ0由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像，大致如下

β=ω0时，微分方程的解为

x(t)=A1+A2t e−βt

而A1A2值由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像大致如下：

β>ωo时，微分方程的解为

x t=(Ae β2−w02 t

+Be − β

2−ω02 t

)e−βt

β为阻尼系数，当β<ωo，即阻尼系数较小时，这种阻尼作用称为欠阻尼。欠阻尼下，弹簧作振幅逐渐减小的振荡性周期运动。β≥ωo时，弹簧振子将不做周期运动，而是作幅度逐渐衰减的运动，一定时间后，弹簧振子回到平衡位置。β=ωo，称为临界阻尼。β>ωo称为过阻尼。由欠阻尼和过阻尼的图像比较，同时观察过阻尼情况下的弹簧振子运动方程可知。临界阻尼时衰减最快，阻尼系数越大时，衰减越慢。下面考虑另一阻尼振动例子。

LC振荡电路中，加入电阻，即LCR电路的振荡是阻尼振荡电路。因此LCR电路的振荡也是一个阻尼振动的例子。分析此电路，电路中电流为：

i=−c ⅆu c ⅆt

则电阻上电压为：

u R=−cR

ⅆu C 电感上电压为：

u L=−Lc ⅆu

c 2ⅆt2

由KVL得：

ⅆ2u c ⅆt2+

R

L

ⅆu c

ⅆt

+

1

Lc

u c=0

令2β=R

L ω02=1

LC

，可得到：

ⅆ2u c

2

+2β

ⅆu c

+ω02u c=0

观察可知此式子与有阻力的弹簧振子的振动方程，具有完全一样的形式。故可知其中电容上的电压也有欠阻尼振动，过阻尼振动与临界阻尼振动。考虑一实际例子。电路中参数如下：

电容上初始电压为10V，电路中电流初始为0，电阻与电感上都无初始电压值。电阻分别取600欧姆，2000欧姆，4000欧姆，8000欧姆。电容为1μF，电感为1H。计算可得1

LC

为1000000。

因此，当电阻为600欧姆时，为欠阻尼；2000欧姆时为临界阻尼；4000及8000时为过阻尼。四种电阻情况，亦即四种阻尼系数情况下，RLC电路中电容上电压的变化有四个不同的函数。在一个图中做出四种情况下电压随时间的变化图像如下：