高中数学竞赛知识点整理

不等式块

1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）

jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）

1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）

其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或

n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.

2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：

设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是

n n n n

n a a a G n

a a a A 2121=+++=和

此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到

n

n a a a n

H 11121+++=

，

和平方平均（在统计学及误差分析中用到）

n

a a a Q n

n 22221+++=

这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○

* 3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则

).)(()(2

22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++

等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.

切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，

则

.21212211n

b b b n a a a n b a b a b a n

n n n +++⋅+++≥+++

例题讲解

1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++

2．0,,>c b a ，求证：.)

(3

c b a c

b a ab

c c b a ++≥

3．：.222,,,3

33222222ab

c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤

++∈+

求证

4．设*

21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，

求证：.32131211223221n

a a a a n n ++++≤+

+++ .

5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++

6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8

14

4

≥

+b a

7．利用排序不等式证明n n A G ≤

8．证明：对于任意正整数R ，有.)1

11()11(1+++<+n n n n

9．n 为正整数，证明：.)1(1

31211]1)1[(11

1----<++++<-+n n

n n n n

n n

例题答案：

1. 证明：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++

)

()()()

2()2()2(2

2

2

222222≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a

.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴

评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++2

2

2

时，可将2

2

b a +

)(ca bc ab ++-配方为])()()[(2

1

222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+

ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获

证.

2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.

不等式关于c b a ,,对称，不妨+

∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且

c

b b a ,， c

a

都大于等于1.

.

1)()()()

(3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

23

23

23

≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==---------------++c a c b b a b c a c c b a b c a b a b a c c a b c b a c b a c

b a c

a c

b b a c

c

b

b

a

a

c

b

a

abc c b a

评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题.