高一数学课后习题与答案

高一数学课后习题与答案

复习参考题

A 组

1．用列举法表示下列集合：

（1）A ={x |x 2=9}；

（2）B ={x ∈N |1≤x ≤2}；

（3）C ={x |x 2-3x +2=0}.

1．解：（1）方程x =9的解为x 1=-3, x 2=3，即集合A ={-3,3}；

（2）1≤x ≤2，且x ∈N ，则x =1, 2，即集合B ={1, 2}；

（3）方程x -3x +2=0的解为x 1=1, x 2=2，即集合C ={1,2}．

2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？

（1）{P |PA =PB }(A , B 是两个定点) ；

（2）{P |PO =3cm }(O 是定点) .

2．解：（1）由PA =PB ，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线；

（2）{P |PO =3cm }表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．

3. 设平面内有?ABC ，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合 22

{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是什么.

3．解：集合{P |PA =PB }表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{P |PA =PC }表示的点组成线段AC 的垂直平分线，

得{P |PA =PB } {P |PA =PC }的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即?ABC 的外心．

24. 已知集合A ={x |x =1}，B ={x |ax =1}. 若B ?A ，求实数a 的值. 4．解：显然集合A ={-1,1}，对于集合B ={x |ax =1}，

当a =0时，集合B =?，满足B ?A ，即a =0；

当a ≠0时，集合B ={，而B ?A ，则1

a 11=-1，或=1， a a

得a =-1，或a =1，

综上得：实数a 的值为-1,0，或1．

5. 已知集合A ={(x , y ) |2x -y =0}，B ={(x , y ) |3x +y =0}，C ={(x , y ) |2x -y =3}，求A B ，A C ，(A B ) (B C ) .

??2x -y =0?5．解：集合A B =?(x , y ) |??={(0,0)}，即A B ={(0,0)}；3x +y =0???

集合A C =?(x , y ) |??

??2x -y =0??=?，即A C =?；?2x -y =3?

??3x +y =0?39 集合B C =?(x , y ) |?={(, -)}；?2x -y =355???

则(A B ) (B C ) ={(0,0),(, -)}.

6. 求下列函数的定义域：

（1

）y 3595；

. |x |-5

?x -2≥0，即x ≥2，

?x +5≥0（2

）y =6．解：（1）要使原式有意义，则?

得函数的定义域为[2,+∞) ；

（2）要使原式有意义，则??x -4≥0，即x ≥4，且x ≠5，

?|x |-5≠0

得函数的定义域为[4,5) (5,+∞) ．

7. 已知函数f (x ) =1-x ，求： 1+x

（1）f (a ) +1(a ≠-1) ；（2）f (a +1)(a ≠-2) .

1-x ， 1+x

1-a 1-a 2+1= 所以f (a ) =，得f (a ) +1=， 1+a 1+a 1+a

2 即f (a ) +1=； 1+a 7．解：（1）因为f (x ) =

1-x ， 1+x

1-(a +1) a =- 所以f (a +1) =， 1+a +1a +2

a 即f (a +1) =-． a +2 （2）因为f (x ) =

1+x 2

8. 设f (x ) =，求证： 21-x

（1）f (-x ) =f (x ) ；（2）f () =-f (x ) . 1

x

1+x 2

8．证明：（1）因为f (x ) =， 1-x 2

1+(-x ) 21+x 2

所以f (-x ) ===f (x ) ， 1-(-x ) 21-x 2

即f (-x ) =f (x ) ；

1+x 2

（2）因为f (x ) =， 21-x

11+() 2211+x = 所以f () ==-f (x ) ， 21x 1-() 2x -1

x

1 即f () =-f (x ) . x

9. 已知函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.

9．解：该二次函数的对称轴为x =k ， 8

函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,20]上具有单调性，k k ≥20，或≤5，得k ≥160，或k ≤40， 88

即实数k 的取值范围为k ≥160，或k ≤40．则

10．已知函数y =x ，

（1）它是奇函数还是偶函数？

（2）它的图象具有怎样的对称性？

（3）它在(0,+∞) 上是增函数还是减函数？

（4）它在(-∞,0) 上是增函数还是减函数？

-2

10．解：（1）令f (x ) =x -2，而f (-x ) =(-x ) -2=x -2=f (x ) ，即函数y =x -2是偶函数；

（2）函数y =x -2的图象关于y 轴对称；

（3）函数y =x -2在(0,+∞) 上是减函数；

（4）函数y =x -2在(-∞,0) 上是增函数．

B 组

1. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，

同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛. 问同时参加田径和球

类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，

则15+8+14-3-3-x =28，得x =3，

只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9（人），

即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．

2. 已知非空集合A ={x ∈R |x 2=a }，试求实数a 的取值范围.

2．解：因为集合A ≠?，且x ≥0，所以a ≥0． 2

B . 3. 设全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，e1,3}，A (eU (A B ) ={U B ) ={2,4}，

求集合

3．解：由e1,3}，得A B ={2,4,5,6,7,8,9}， U (A B ) ={

B ，集合A B 里除去A (eU B ) ，得集合

所以集合B ={5,6,7,8,9}.

4. 已知函数f (x ) =??x (x +4), x ≥0. 求f (1)，f (-3) ，f (a +1) 的值.

?x (x -4), x

4．解：当x ≥0时，f (x ) =x (x +4) ，得f (1)=1?(1+4) =5；

当x

f (a +1) =?

5. 证明：

（1）若f (x ) =ax +b ，则f (?(a +1)(a +5), a ≥-1．?(a +1)(a -3), a

x 1+x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤. 22

x +x 2x +x a ) =a 12+b =(x 1+x 2) +b ， 5．证明：（1）因为f (x ) =ax +b ，得f (1

222

f (x 1) +f (x 2) ax 1+b +ax 2+b a ==(x 1+x 2) +b ， 222

x +x 2f (x 1) +f (x 2) ) = 所以f (1； 22（2）若g (x ) =x 2+ax +b ，则g (

（2）因为g (x ) =x 2+ax +b ， x 1+x 2x +x 1) =(x 12+x 22+2x 1x 2) +a (12) +b ， 242

g (x 1) +g (x 2) 1=[(x 12+ax 1+b ) +(x 22+ax 2+b )] 22

x +x 2122) +b ， =(x 1+x 2) +a (1

22

12121222因为(x 1+x 2+2x 1x 2) -(x 1+x 2) =-(x 1-x 2) ≤0， 424

121222即(x 1+x 2+2x 1x 2) ≤(x 1+x 2) ， 42

x +x 2g (x 1) +g (x 2) ) ≤所以g (1. 22得g (

6. （1）已知奇函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数，试问：它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数？

（2）已知偶函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数，试问：它在[-b , -a ]上是增函数还是减函数？

6．解：（1）函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数，证明如下：

设-b

因为函数f (x ) 在[a , b ]上是减函数，则f (-x 2) >f (-x 1) ，

又因为函数f (x ) 是奇函数，则-f (x 2) >-f (x 1) ，即f (x 1) >f (x 2) ，

所以函数f (x ) 在[-b , -a ]上也是减函数；

（2）函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数，证明如下：

设-b

因为函数g (x ) 在[a , b ]上是增函数，则g (-x 2)

又因为函数g (x ) 是偶函数，则g (x 2) g (x 2) ，

所以函数g (x ) 在[-b , -a ]上是减函数．

7. 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的

部分

不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额. 此项税款按下表分段累计计算：

某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少

7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则

?0,0≤x ≤2000?(x -2000) ?5%,2000

由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得2500

25+(x -2500) ?10%=26.78，得x =2517.8，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．