【2014海淀二模】北京市海淀区2014届高三下学期期末练习 理科数学

北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）

数 学 （理科） 2014.5

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.sin(150)-的值为

A ．12

-

B ．1

2 C

． D

2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a

≥成立”，则p ⌝为 A. 0a ∃≤，有e 1a

≤成立 B. 0a ∃≤，有e 1a

≥成立 C. 0a ∃>，有e 1a

<成立 D. 0a ∃>，有e 1a

≤成立 3. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应

为

A.-2

B.16

C.-2或8

D. -2或16

4. 在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心到极轴的距离为 A ．1

C.

D. 2

5.已知(,)P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≤⎩

表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则

OA OP ⋅的最大值 A.2 B.3 C.5 D.6

6.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径为30m ，AM =2BP =m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ，则()h t = A.ππ30sin(

)30122t -+ B.ππ

30sin()3062t -+ C.ππ30sin()326

2

t -+ D.ππ30sin()6

2

t -

7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是

A. (2,4)

B. (,2)-∞

C. (2,)+∞

D.(4,)+∞

1

D

8.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与

1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有

A.0条

B.1条

C.2条

D.无数条

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 满足不等式20x x -<的x 的取值范围是________.

10.已知双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为________.

11.已知5(1)ax +的展开式中3

x 的系数是10，则实数a 的值是

12.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.

13. 已知12,l l 是曲线1

:C y x

=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的

距离的最大值为_____.

14.已知集合{1,2,3,

,100}M =，A 是集合M 的非空子集，把集

合A 中的各元素之和记作()S A .

①满足()8S A =的集合A 的个数为_____；②()S A 的所有不同取值的个数为_____.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）在锐角ABC ∆

中，a A =

且b =. （Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）若3a c =，求c 的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，

AB AC ⊥，1AC AB AA ==，,E F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F //平面AEG . （Ⅰ）求

1

CG CC 的值；

（Ⅱ）求证：1EG A C ⊥；

（Ⅲ）求二面角1A AG E --的余弦值.

主视图

俯视图

1

17.（本小题满分13分）

某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：

现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A ，B 两车出车相互独立. (Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；

(Ⅱ)设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望E (X ).

18.（本小题满分13分）已知函数()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈.

（Ⅰ）当π

2a =

时，求函数()f x 值域； （Ⅱ）当π

2

a >时，求函数()f x 的单调区间.

19.（本小题满分14分）已知椭圆G

，其短轴两端点为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；

（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断

以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.

20.（本小题满分13分）

对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为

1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记

为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：1(1,3,3)(3,2,2)f =，2(1,3,3)(1,3,3)f =. （Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值； （Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,

n =时，恒有n d d =，求d 的所有可能取值；

（Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =.