2014北京市海淀区高考数学(理)二模试题(附答案)

数学（理科）参考答案 2014.5

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.A

2.C

3.D

4.A.

5.D

6.B

7.C

8.D

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.01x <<{或(0,1)}

12.2

13.14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分}

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15.解：

（Ⅰ）由正弦定理可得

sin sin a b

A B

=

----------------------------2分

因为,a A b =

所以sin sin b A B a =

==

---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B = ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =

所以2222193c c c =+-，即23c =-------------------------------11分

解得c =-------------------------------12分

经检验，由222cos 02b c a A bc +-==可得90A >，不符合题意，

所以c =.--------------------13分 16.解：

（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG 又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11

ACC A 平面AEG AG =，

所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形

1

所以G 为1CC 中点，所以

11

2

CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，

所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，

如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得

11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分

因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------7分

1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=.--------------------------------8分

所以1EG CA ⊥，

所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则

0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨

⋅=⎪⎩n n 即0,

20.x y x z +=⎧⎨+=⎩

--------------------------10分 令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n .--------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分

所以cos ,||||⋅<>=

=⋅n m n m n m --------------------------------13分 由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --

的余弦值为.--------------------------------14分 16.解：

（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==

设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，-------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分 所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+

0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯--------------------------4分 0.5=

所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}

（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分

112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=

2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯= 112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=----------------------------10分

所以X 的的分布列为

-------------11分

()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分 18.解： （Ⅰ）当π

2

a =

时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈

π

'()()cos 2

f x x x =- --------------------------------1分

由'()0f x =得π

2

x = --------------------------------------2分

(),'()f x f x 的情况如下

--------------------------------------------------4分 因为(0)1f =，(π)1f =-，

所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-， ①当

π

π2

a <<时，(),'()f x f x 的情况如下