简单超静定梁的解法
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§6-6 简单超静定梁的解法
一、 基本概念
超静定梁
P
单凭静力平衡方程不能求出
A
B
全部支反力的梁 , 称为
超静定梁 “多余”约束
多于维持其静力平衡所 必需的约束
RA
P RC
RB
A
B
C
“多余”反力
与“多余”相应的支座反力
P
A
B
超静定次数
超静定梁的“多余”约束
RA
P RC
RB
的
A
B
C 数目就等于其超静定次数。
20KN m
MB
B
θ B'
30KN
C D
θ B"
由基本静定系的平 衡方程可求得其余 反力
RA 32.05KN RB 66.35KN RC 11.6KN
在基本静定系上绘 出剪力图（图C）和 弯矩图（图d）。
20KN m
MB
30K N
A
32.05
(c) +
1.603m
C D
B
18.40
+ -
B 4m
30KN
C D 3m 2m
20KN m
MB
பைடு நூலகம்
B
θ B'
30KN
C D
θ B"
将θ B' 和θB"
代入 θ B' θ B"
得补充方程
1280 4MB 24EI 3EI
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m 2m
42 5MB EI 3EI
解得
A
MB 31.80KN.m
负号表示 B 截面 弯矩与假设相反。
f Bq f BRB 0
mA
A
q （c）
A
将力与变形的关系代入 （d）
变形几何方程，得补充
方程。
A
B RB
B
f Bq
f BRB
B RB
f Bq f BRB 0
RA
q
由附录 1V 查得
f
Bq
ql4 8EI
f
B RB
RB l3 3EI
补充方程为
mA
A
q （c）
A
ql4 RB l3 0 8EI 3EI
47.95
-
11.64
(d)
+
31.80
+
25.68
23.28
弯曲超静定例题1
弯曲超静定例题2
拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 a, 试求钢杆 AD 内的拉
力 N。
l
D
2q
(a) q
C
A
B
a
2a
例题 6 -9图
解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞 看作多于约束。拉力N为多余反力。基本静定系如图 b 。 A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即
f A Δl
（d）
由该式解得
A
RB
3 ql 8
B RB
B
f Bq
f BRB
B RB
RA 按悬臂梁的静力平衡方
q
程求出该梁固定端的
mA
A
两个支反力（图6 -11b）
为
q
（c）
RA
5 8
ql
A
mA
1 8
ql2
（d）
A
B RB
B
f Bq
f BRB
B RB
方法二
(a)
q
取支座A处阻止梁转动的约
A
B
束为多余约束。
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m
2m
例题 6 -10 图
解：这是一次超 静定问题
取支座 B 截面上 的相对转动约束 为多余约束。 基本静定系为在 B 支座截面上安 置绞的静定梁，
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m 2m
20KN m
MB
A
B
θ B'
30KN
C D
θ B"
多余反力为分别 作用于简支梁 AB 和 BC 的 B 端处的一对弯矩 MB 。 变形相容条件 为，简支梁 AB 的 B 截面转角 和 BC 梁 B 截 面的转角相等。
(b)
D
N
RB
2q
q
A
Δl
fA
B
A1
N
RC
C
f Aq f AN Δ l
N 2q
A
q
C
在例题 6-6 中已
fA
B
求得
2q q
f
Aq
7qa4 12EI
f Aq
C B
根据习题 6-5的答
案推知
N
f
AN
Na3 EI
f AN
B
C
f Aq f AN Δ l
拉杆 AD 的伸长
f
Aq
7qa4 12EI
l
代以与其相应的多余反力
偶 mA 得基本静定系
mA
q
A
B
（图6 -12） l
变形相容条件为
θA0
请同学们自行完成 ！
图图6 6-1—2 11
例题 6-9 梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC
铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同
样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I,
二、求解超静定梁的步骤
(a)
q
以图 6 -11 a 所示抗弯刚度
B
为 EI 的一次超静定梁说明
A
l 超静定梁的解法。
解出多余约束，代之以 (b)
约束反力。得到原超静
RA
q
定梁的 基本静定系。
B
如图6 -11中，将B处的约束 mA A
RB
当作多余约束。解出后用反力
RB 代替。
图 6 -11
图（b）为 基本静定系。
超静定梁在多余约束处
(a)
q
的约束条件，就是原超
静定梁的变形相容条件。
A
B
图（b）中悬臂梁在 B点的
l
挠度等于零，就是超静定梁
(b) （a）的变形相容条件。
fB 0
RA
q
B
根据变形相容条件得
mA
A
RB
变形几何方程
图 6 -11
fB 0
RA
q
f B f Bq f BRB
变形几何方程为
Δ l Nl EA
(b)
D
N
A
Δl
A1
fA
N
RB 2q
B
f
AN
Na3 EI
RC
q
C
补充方程为
7qa4 Na3 Nl 12EI EI EA
由此解得
N
7qa4 12(I l
A Aa3)
例题 6 -10 求图 a 所示梁的支反力，并绘梁的剪力图 和弯矩图。已知 EI 5103 KN.m2
θ B'θ B"
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m 2m
20KN m
A B
θ B'
30KN
C D
θ B"
θ B'θ B"
由附录1V表中
A
查得
θ
B'
2043 24EI
MB 3EI
4
(1280 4MB ) 24EI 3EI
A
B
42 5M B
EI 3EI
20KN m
一、 基本概念
超静定梁
P
单凭静力平衡方程不能求出
A
B
全部支反力的梁 , 称为
超静定梁 “多余”约束
多于维持其静力平衡所 必需的约束
RA
P RC
RB
A
B
C
“多余”反力
与“多余”相应的支座反力
P
A
B
超静定次数
超静定梁的“多余”约束
RA
P RC
RB
的
A
B
C 数目就等于其超静定次数。
20KN m
MB
B
θ B'
30KN
C D
θ B"
由基本静定系的平 衡方程可求得其余 反力
RA 32.05KN RB 66.35KN RC 11.6KN
在基本静定系上绘 出剪力图（图C）和 弯矩图（图d）。
20KN m
MB
30K N
A
32.05
(c) +
1.603m
C D
B
18.40
+ -
B 4m
30KN
C D 3m 2m
20KN m
MB
பைடு நூலகம்
B
θ B'
30KN
C D
θ B"
将θ B' 和θB"
代入 θ B' θ B"
得补充方程
1280 4MB 24EI 3EI
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m 2m
42 5MB EI 3EI
解得
A
MB 31.80KN.m
负号表示 B 截面 弯矩与假设相反。
f Bq f BRB 0
mA
A
q （c）
A
将力与变形的关系代入 （d）
变形几何方程，得补充
方程。
A
B RB
B
f Bq
f BRB
B RB
f Bq f BRB 0
RA
q
由附录 1V 查得
f
Bq
ql4 8EI
f
B RB
RB l3 3EI
补充方程为
mA
A
q （c）
A
ql4 RB l3 0 8EI 3EI
47.95
-
11.64
(d)
+
31.80
+
25.68
23.28
弯曲超静定例题1
弯曲超静定例题2
拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 a, 试求钢杆 AD 内的拉
力 N。
l
D
2q
(a) q
C
A
B
a
2a
例题 6 -9图
解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞 看作多于约束。拉力N为多余反力。基本静定系如图 b 。 A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即
f A Δl
（d）
由该式解得
A
RB
3 ql 8
B RB
B
f Bq
f BRB
B RB
RA 按悬臂梁的静力平衡方
q
程求出该梁固定端的
mA
A
两个支反力（图6 -11b）
为
q
（c）
RA
5 8
ql
A
mA
1 8
ql2
（d）
A
B RB
B
f Bq
f BRB
B RB
方法二
(a)
q
取支座A处阻止梁转动的约
A
B
束为多余约束。
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m
2m
例题 6 -10 图
解：这是一次超 静定问题
取支座 B 截面上 的相对转动约束 为多余约束。 基本静定系为在 B 支座截面上安 置绞的静定梁，
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m 2m
20KN m
MB
A
B
θ B'
30KN
C D
θ B"
多余反力为分别 作用于简支梁 AB 和 BC 的 B 端处的一对弯矩 MB 。 变形相容条件 为，简支梁 AB 的 B 截面转角 和 BC 梁 B 截 面的转角相等。
(b)
D
N
RB
2q
q
A
Δl
fA
B
A1
N
RC
C
f Aq f AN Δ l
N 2q
A
q
C
在例题 6-6 中已
fA
B
求得
2q q
f
Aq
7qa4 12EI
f Aq
C B
根据习题 6-5的答
案推知
N
f
AN
Na3 EI
f AN
B
C
f Aq f AN Δ l
拉杆 AD 的伸长
f
Aq
7qa4 12EI
l
代以与其相应的多余反力
偶 mA 得基本静定系
mA
q
A
B
（图6 -12） l
变形相容条件为
θA0
请同学们自行完成 ！
图图6 6-1—2 11
例题 6-9 梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC
铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同
样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I,
二、求解超静定梁的步骤
(a)
q
以图 6 -11 a 所示抗弯刚度
B
为 EI 的一次超静定梁说明
A
l 超静定梁的解法。
解出多余约束，代之以 (b)
约束反力。得到原超静
RA
q
定梁的 基本静定系。
B
如图6 -11中，将B处的约束 mA A
RB
当作多余约束。解出后用反力
RB 代替。
图 6 -11
图（b）为 基本静定系。
超静定梁在多余约束处
(a)
q
的约束条件，就是原超
静定梁的变形相容条件。
A
B
图（b）中悬臂梁在 B点的
l
挠度等于零，就是超静定梁
(b) （a）的变形相容条件。
fB 0
RA
q
B
根据变形相容条件得
mA
A
RB
变形几何方程
图 6 -11
fB 0
RA
q
f B f Bq f BRB
变形几何方程为
Δ l Nl EA
(b)
D
N
A
Δl
A1
fA
N
RB 2q
B
f
AN
Na3 EI
RC
q
C
补充方程为
7qa4 Na3 Nl 12EI EI EA
由此解得
N
7qa4 12(I l
A Aa3)
例题 6 -10 求图 a 所示梁的支反力，并绘梁的剪力图 和弯矩图。已知 EI 5103 KN.m2
θ B'θ B"
20KN m
30KN
A
C
B
D
4m
3m 2m
20KN m
A B
θ B'
30KN
C D
θ B"
θ B'θ B"
由附录1V表中
A
查得
θ
B'
2043 24EI
MB 3EI
4
(1280 4MB ) 24EI 3EI
A
B
42 5M B
EI 3EI
20KN m