近几年河南中考数学第22题

22.（10分）（2014河南）（1）问题发现

如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE 填空：（1）∠AEB 的度数为 ；（2）线段AD 、BE 之间的数量关系是 。 （2）拓展探究

如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900

, 点A 、D 、E 在同一直

线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE 。请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由。

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD 中，若点P 满足PD=1,

且∠BPD=900

，请直接写出点A 到BP 的距离。

22. （1）①60；②AD=BE. ……………………………………………………………2分

（2）∠AEB ＝900

；AE=2CM+BE. ………………………………………………4分 （注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）

理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900

, ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE －∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE

∴△ACD ≌△BCE. ………………………………………………………………6分

∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350

.

∴∠AEB=∠BEC －∠CED=1350－450=900

．…………………………………7分 在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高， ∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.

∴AE=DE+AD=2CM+BE ………………………………………………………8分

(3)

12或1

2

…………………………………………………………10分 【提示】PD =1，∠BPD=900

,

∴BP 是以点D 为圆心、以1为半径的OD 的切线，点P 为切点．

第一种情况：如图①，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P /

，

可证△APD ≌△AP /B,PD=P /

B=1,

CD=

,∴BD=2,BP=

,∴

AM=12PP /=12(PB-BP /

)=12

第二

种

情

况

如

图

②

，

可

得

AM

12PP /=12(PB+BP /

22.（10分）（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，

∠B=∠E=30°. （1）操作发现

如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_________；

②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_________________. （2）猜想论证

当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想.

（3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB

交BC

于点E （如图4）.

若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ， 请直接写出．．．．相应的BF 的长.

【解析】

试题分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD 是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60º,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30º角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;

(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用"角角边"证明△ACN 和△DCM 全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明; 试题解析：

（1）①线段DE 与AC 的位置关系是平行 ．②S 1与S 2的数量关系是相等．

证明：如图2，过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．

图4

A (D )

B (E ) C

图1

图2

由①可知△ADC是等边三角形，DE∥AC，

∴DN=CF,DN=EM．

∴CF=EM．

∵∠ACB=90º,∠B=30º，图2

∴AB=2AC．

又∵AD=AC,

∴BD=AC．

∵S1=CF·BD,S2=AC·EM，图3 ∴S1=S2．

证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.

∵∠DCE=∠ACB=90º∴∠DCG+∠ACE=180º．

又∵∠ACH+∠ACE=180º,∴∠ACH=∠DCG．

又∵∠CHA=∠CGD=90º,AC=CD,

∴△AHC≌△DGC．

∴AH=DG CE=CB,∴S1=S2．

又∵CE=CB,∴S1=S2．

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF=S△BDE，过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，

∴∠DBC=∠DCB=0.5×60°=30°

，∴∠CDF1=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），