中考数学第22题解析+(1)

（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是_________；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.
第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，
可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,
CD= ,∴BD=2,BP= ,∴AM= PP/= (PB-BP/)=
第二种情况如图②，可得AM PP/= (PB+BP/)=
22.（10分）（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=0.×60°=30°，
又∵BD=4，∴BE= ∴BF1= ，BF2=BF1+F1F2=
故BF的长为 或 ．
22.（10分）（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若 ，求 的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_______________，CG和EH的数量关系是_________________， 的值是．
∴BD=AC=4 ；
如图5，当△EDC在BC下方，且A、D、E
三点共线时，△ADC是直角三角形，
由勾股定理得，AD=8, ∴AE=6,
根据 ,得BD=
22.（10分）（2014河南）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB的度数为；（2）线段AD、BE之间的数量关系是。
中考数学第22题解析
22.（10分）（2016河南）（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b。
填空：当点A位于时线段AC的长取得最大值，且最大值为
（用含a，b的式子表示）
（2）应用
点A为线段B除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE.
22. （1）①60；②AD=BE. ……………………………………………………………2分
（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. ………………………………………………4分
（注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若 （m＞0），则 的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.
若 （a＞0，b＞0），则 的值是（用含a、b的代数式表示）．
22．（1）AB=3EH；CG=2EH； ． （3分）
∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE
∴△ACD≌△BCE. ………………………………………………………………6分
∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．…………………………………7分
（3）AM的最大值为3+ ，点P的坐标为（2- ， ）……10分
【提示】如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN= ，∴AM=NB=AB+AN=3+ ;
过点P作PE⊥x轴于点E，PE=AE= ,又A（2，0）∴P（2- ， ）
(3)解决问题
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.
解：（1）① …………………………………………1分
② …………………………………………………2分
提示：①当α=00时，在Rt△ABC中，BC=2AB=8,∴AB=4；AC= =4
又点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB,
又∵∠ACH+∠ACE=180º,∴∠ACH=∠DCG．
又∵∠CHA=∠CGD=90º,AC=CD,
∴△AHC≌△DGC．
∴AH=DG．又∵CE=CB,∴S1=S2．
又∵CE=CB,∴S1=S2．
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△ DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。
（3）解决 问题
如图3，在正方形ABCD中，CD= 。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.……3分
∵AB=BC·tan30°=
若使 为菱形，则需
即当 时，四边形AEFD为菱形.…………………………………5分
（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t， .………7分
∴ 仍然成立。…………………………………………………………4分
又∵∠ACE=∠BCD=α；∴△ACE∽△BCD，∴ ………………………6分
在Rt△ABC中，AC= =4 ，
∴ = = 。
∴ 的大小不变。………………………8分
（3）4 或 ………………………10分
提示：如图4，当△EDC在BC上方，
且A、D、E三点共线时，四边形ABCD是矩形，
（2） ． …………………………（4分）
作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∵AB=CD，∴CD=mEH． …………………...（5分）
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．
（3）ab．…………………………………………………..（10分）
【提示】过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.
若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，
请直接写出相应的BF的长.
【解析】
试题分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60º,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30º角所对的直角边等于斜边的一半求出AC= AB,然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;
（2）①DC=BE,理由如下
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=600,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ……………5分
∴△CAD≌△EAB（SAS）,∴DC=BE ………………………………6分
②BE长的最大值是4. …………………………………………………8分
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE………………………………………………………8分
(3) 或 …………………………………………………………10分
【提示】PD =1，∠BPD=900,
∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．
∴ =
②当α=1800时，∴CE∥AB,
∴AE=4 +2 =6
∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12
∴ =
（2）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣分）…………………………3分
在图1中，∵点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB,
∴ ,∠EDC=∠B=900;
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由
②直接写出线段BE长的最大值.
（3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=900.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标。
解：（1）CB的延长线上，a+b；………………………………………2分
22.（2011河南）（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
此时S△DCF=S△BDE，过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=0.5×60°=30°
，∴∠CDF1=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
由①可知△ADC是等边三角形，DE∥AC，
∴DN=CF,DN=EM．
∴CF=EM．图2
∵∠ACB=90º,∠B=30º，
∴AB=2AC．
又∵AD=AC,
∴BD=AC．
∵S1= CF·BD,S2= AC·EM，图3
∴S1=S2．
证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.
∵∠DCE=∠ACB=90º∴∠DCG+∠ACE=180º．
22.（10分）（2015河南））如图1，在பைடு நூலகம்t△ABC中，∠B=900，BC=2AB=8,点D,E分别是边BC，AC的中点，连DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
①当α=00时， =；②当α=1800时， =.
（2）拓展探究
试判断：当00≤α≤3600时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.
又∵AE=t，∴AE=DF.……………2分
（2）能.理由如下：
(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用"角角边"证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;
试题解析：
（1）①线段DE与AC的位置关系是平行．②S1与S2的数量关系是相等．
证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°.
即 ………………………………………………………9分
③∠EFD=90°时，此种情况不存在.
综上所述，当 或4时，△DEF为直角三角形.……………………10分