北师版九年级下册数学二次函数与一元二次方程第2课时教案

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北师大版数学九年级下册《1 二次函数》教案2

北师大版数学九年级下册《1 二次函数》教案2一. 教材分析北师大版数学九年级下册《1 二次函数》是学生在学习了初中阶段函数、方程等基础知识后，进一步探究函数图象与性质的重要内容。

二次函数是实际问题中常见的函数之一，其图象和性质在高中阶段的学习中将起到重要作用。

此章节通过对二次函数的定义、图象、性质的学习，使学生能运用二次函数解决一些简单的实际问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习本章节前，已经掌握了函数、方程等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

但对于二次函数的图象和性质，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式；2.能够绘制二次函数的图象，理解二次函数图象的性质；3.能够运用二次函数解决一些简单的实际问题；4.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般形式；2.二次函数图象的性质；3.二次函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.教学PPT；2.相关练习题；3.教学素材（如实际问题案例等）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考这些问题与二次函数的关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义和一般形式，通过PPT展示二次函数的图象，让学生直观地感受二次函数的性质。

3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用所学知识计算和分析，巩固对二次函数的理解。

4.巩固（5分钟）学生分组讨论，总结二次函数的性质，并通过小组汇报的形式，分享各自的学习心得。

5.拓展（5分钟）利用教学素材，让学生尝试解决一些实际问题，提高学生的数学应用能力。

数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计

北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。

本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。

该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。

二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。

对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。

从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。

因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。

二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。

学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。

学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。

该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。

2.4 二次函数的应用第2课时(教案)-北师大版数九年级下册

第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。

北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1

北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了函数和方程的基础知识上进行教学的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实际问题培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数和方程的基础知识也有了一定的了解。

但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例讲解和练习，帮助他们理解和掌握。

三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.学会运用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.如何运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法进行教学。

通过实例讲解，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。

同时，通过小组合作解决问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.相关案例和练习题。

3.投影仪和白板。

七. 教学过程导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：“某商品打8折后的售价为120元，求原价。

”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。

呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数和一元二次方程的定义，讲解二次函数与一元二次方程之间的关系。

以商品打折问题为例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。

操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识进行解决。

教师巡回指导，帮助学生解决问题。

巩固（10分钟）教师选取几个学生解决的实际问题，进行讲解和分析，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解。

九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)新版北师大版

四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解最大面积或最小成本的问题？”（如篮球投篮的角度问题）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与一元二次方程的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系：强调二次函数y=ax²+bx+c的图像与一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间的关系，通过图像理解方程的解。
-二次函数图像的绘制：掌握二次函数标准形式图像的绘制方法，理解开口方向、顶点、对称轴等关键特征。
-二次函数最值的求解：理解二次函数的顶点公式，能够求解二次函数的最大值和最小值问题。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次函数与一元二次方程的关系，以及它们在实际问题中的应用。通过这节课的教学，我发现有几个地方值得深思。
首先，学生们在理解二次函数与一元二次方程之间的联系时，普遍感到有些吃力。尽管我通过图像和实际案例进行了讲解，但部分学生仍然难以把握这种抽象关系。在今后的教学中，我需要寻找更多形象直观的教学方法，如使用动态图像或实物模型，帮助学生更好地理解这一难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数图像与方程解的关系，以及求解二次函数最值的方法。对于难点部分，我会通过图形示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如最优化问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如绘制不同参数下的二次函数图像，观察顶点和开口的变化。

数学北师大版九年级下册第二章二次函数图像和性质教案

2.2二次函数的图像和性质（第二课时）教学目标知识与技能1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像||，并研究它们的性质.2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程||，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.2、通过比较2ax y =||， c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较||，培养学生的比较、鉴别能力.情感、态度与价值观让学生积极投身于数学学习活动中||，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论||，不仅使他们记忆犹新||，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动||，不仅能使学生学到知识||，还能使他们互相增进友谊.教学重点、难点教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象||，理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描||。

教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点||。

关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法：根据设问层层深入逐个破解||，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习||，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响教学准备:教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程||，引导讨论||，出示答案）．学生准备：课前预习||，两张坐标纸画图工具．教学过程(一)创设问题情景||，引入新课知识回顾：1．二次函数2x y =的图象是____||，它的开口向_____||，顶点坐标是_____；对称轴是______||，在对称轴的左侧||，y 随x 的增大而______||，在对称轴的右侧||，y 随x 的增大而______||，函数2ax y =与x ＝______时||，取最______值||，其最______值是______||。

北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教案1

北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》是本节课的主要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。

教材通过引入二次函数的图像，让学生理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。

教材从实际问题出发，引导学生用数学的眼光去发现问题、解决问题，培养学生的数学素养。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，对于如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困难进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。

2.能够运用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的数学素养，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。

2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决问题。

同时，运用小组合作学习的方式，让学生在讨论中理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识。

2.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：某商品打8折后仍然比原价高200元，求商品的原价。

引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的性质。

同时，引导学生思考一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识去解决问题。

教师巡回指导，帮助学生解决讨论中遇到的问题。

北师大版数学九年级下册5 二次函数与一元二次方程教案与反思

5 二次函数与一元二次方程投我以桃，报之以李。

《诗经·大雅·抑》翰辰学校李道友组长第1课时二次函数与一元二次方程的关系教学目标一、基本目标1．掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系．2．理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数的关系．3．能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题．二、重难点目标【教学重点】把握二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．【教学难点】理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝h(h是实数)交点的横坐标，以及二次函数与一元二次方程的关系在实际问题中的应用．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P51～P52的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．2．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？(1)方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1；(2)方程x2－6x＋9＝0的根是x1＝x2＝3；(3)方程x2－x＋1＝0的根是无实数根．3．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是没有交点．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】求二次函数y＝－14(x－2)2＋1与x轴的交点坐标．【互动探索】(引发学生思考)求二次函数与x轴的交点坐标，只需令y＝0，求出x的值即可．【解答】令y＝－14(x－2)2＋1＝0，解得x1＝0，x2＝4.∴二次函数y＝－14(x－2)2＋1与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)．【互动总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根即为二次函数＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，根据图象可得方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3 ，x2＝1.2．若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，求c 的取值范围．解：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，∴方程x2－2x＋c＝0的判别式Δ＜0，即b2－4ac＝4－4c＜0，解得c＞1.3．若二次函数y＝ax2＋bxc(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过点(1，－1)，∴当y＝－1，即ax2＋bx＋c＝－1时，x1＝x2＝1，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根为x1＝x2＝1.活动3 拓展延伸(学生学)【例2】已知二次函数y ＝x 2－(a －1)x ＋a －2，其中a 是常数．(1)求证：不论a 为何值，该二次函数的图与x 轴一定有公共点；(2)当a ＝4时，该二次函数的图象顶点为A ，与x 轴交于B 、D 两点，与y 轴交于点C ，求四边形ABCD 的面积．【互动探索】要证明二次函数的图象与x 轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断．求四边形ABCD 的面积，需要确定四边形的底和高．【解答】(1)证明：造方程x 2－(a －1)x ＋a －2＝0.∵Δ＝[－(a －1)]2－4(a －2)＝(a －3)2≥0， ∴方程x 2－(a －1)x ＋a －2＝0有实数根，∴不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点． (2)由题可知，当a ＝4时，y ＝x 2－3x ＋2. ∵y ＝x 2－3x ＋2＝x －322－14，∴A 3，－14.当y ＝0，即x 2－3x ＋2＝0时，解得x 1＝1，x 2＝2. ∴B (1，0)、D (2，0)．当x ＝0时，y ＝2，∴C(0，2)，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝18＋1＝98.【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：方程ax2＋bx＋c＝0的根．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根教学目标一、基本目标理解和掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的基本思路和方法．二、重难点目标【教学重点】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．【教学难点】用图象法求解一元二次方程的近似根．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P53～P54的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用图象法估计一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)根的近似值的一般步骤：(1)将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；(3)根据抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标确定方程的根的大致范围；(4)列表格，在第(3)步中确定的两个数之间取值，进行估算，通常只精确到十分位即可；(5)确定近似值时，取y的绝对值最小时，对应x的值为根．2．教材P54【做一做】的答案：(1)根据图象，利用计算器估算：因此，，x2＝2.7.(2)在图2－18上画出直线y＝3，二次函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3的交点的横坐标即为方程x2＋2x－10＝3的根．3．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：) A．1 B．1.1C．1.2 D．1.34．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a＞0)的部分图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是－1＜x2＜0.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例题】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．【互动探索】(引发学生思考)根据图象法估计一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)根的近似值的一般步骤解决问题．【解答】如图是函数y＝x2＋2x－10的图象，由图象可知方程有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间．(1)先求－5和－4之间的根，利用计算器进行探索：x －4.1－4.2－4.3－4.4y －1.39－0.76－0.11.56因此，x(2)另一个根可以类似地求出：因此，x＝【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；(3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：( C ) A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.62．下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝310(a≠0)的一个解x的取值范围是6.2＜x＜6.3.x6.16.26.36.4y＝ax2＋bx＋c－0.3－0.1.2.43.如图是二次函数y＝ax2＋bx－c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝c的两个根可能是x1＝0.8，x2＝3.2.(精确到0.1)4．由下表的对应值知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的一个根的十分位上的数字是1.x1.11.21.31.4ax2＋bx＋c－0.590.84 2.293.76环节3(学生总结，老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；(3)列表，在(2)中的两数之间取值，进行估计．在列表求近似根时，近似根就出现在对应y值正负交换的区间，也就是对x取一系列值，看y对应于哪两个值由负变成正，或由正变成负，此时x的两个对应值之间必有一个近似根．练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。

北师大版九年级下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：抛物线形状的物体运动轨迹问题，通过建立二次函数模型，利用顶点式确定物体的最高点或最低点。
2.教学难点
-理解二次函数图像与一元二次方程根的对应关系：对于初学者来说，图像与方程之间的抽象关系较难理解。
-突破方法：通过图形演示和实际操作，如绘制函数图像，让学生观察和总结图像与方程根的关系。
-二次函数顶点式的推导和运用：顶点式的推导涉及代数变换，学生可能会在此过程中感到困惑。
5.激发数学探究精神：引导学生主动探究二次函数与一元二次方程的内在联系，培养学生勇于探索、积极创新的数学精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数与一元二次方程之间的关系：重点讲解二次函数图像上点的坐标特征与一元二次方程根之间的联系，强调图像的几何意义。
-举例：通过具体函数y = ax^2 + bx + c的图像，说明当y = 0时，方程ax^2 + bx + c = 0的解即为图像与x轴交点的横坐标。
-掌握二次函数顶点式的形式及其推导过程：让学生掌握二次函数y = a(x - h)^2 + k的顶点坐标(h, k)和开口方向与系数a的关系。
-举例：通过变换一般式y = ax^2 + bx + c到顶点式，展示顶点的求解方法，并解释顶点在图像上的位置和意义。

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课题：二次函数与一元二次方程(二)
【学习目标】
1．学会利用二次函数图象估计一元二次方程的根．
2．经历先根据图象确定一元二次方程根的范围，再利用计算器探索一元二次方程的近似根的过程．体会数学的严谨性．
【学习重点】
利用二次函数图象估计一元二次方程的根．【学习难点】
理解求ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根即求函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝0交点的横坐标．
情景导入生成问题
旧知回顾： 1．填表．
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的关系：
b 2－4a
c 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c
ax 2＋bx ＋c ＝0 Δ>0 有两个交点有两个不等实根 Δ＝0 有唯一交点有两个相等实根
Δ<0
无交点
无实根
2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点是(－1，0)(3，0)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3．
自学互研生成能力
知识模块利用二次函数图象求一元二次方程的近似根阅读教材
P 53～P 54，回答下列问题：
利用二次函数的图象估算一元二次方程根的一般步骤是什么？答：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤是： (1)画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象；
(2)确定抛物线与x 轴交点个数，看交点在哪两个数之间；
(3)列表，在两个数之间取值估计，用计算器估算近似根，近似根在对应y 值为0或正、负交换的地方．范例1：如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个解只可能是下面的是( D )
A ．2.18
B ．2.68
C ．－0.51
D ．2.45
(范例1题图)
(仿例2题图)
仿例1：根据下列表格中的对应值：
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y ＝ax 2＋bx ＋c
－0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个根x 的范围是( C ) A ．3<x<3.23 B ．3.23<x<3.24 C ．3.24<x<3.25 D ．3.25<x<3.26
仿例2：如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x 1＝1.6，x 2等于( C )
A ．－1.6
B ．3.2
C ．4.4
D ．以上都不对范例2：观察下表：
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y ＝x
2－2x －2 －1.79 －1.56
－1.31
－1.04
－0.75
－0.44
－0.11
0.24
0.61
则一元二次方程x 2－2x －2＝0在精确到0.1时的一个近似根是2.7，利用抛物线的对称性，可推知该方程
的另一个近似根是－0.7．
仿例：利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2－2x －1＝0的近似根．(精确到0.1)
解：方程x 2－2x －1＝0的根是函数y ＝x 2－2x －1与x 轴交点的横坐标，当x ＝－0.4时，y ＝－0.04；当x ＝－0.5时，y ＝0.25；因此，x ＝－0.4(或x ＝－0.5)是方程的一个近似根，同理，x ＝2.4(或x ＝2.5)是方程的另一个近似根．
交流展示生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
检测反馈达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。