2018届河南省林州一中高三12月调研考试数学(理)试卷

林州一中2015级高三12月调研考试数学（理）试题一、单选题（每题5分，共60分）1．已知集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 82．“2)4k k Z παπ=-∈（”是“cos α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知点()4,3p m --在角α的终边上，且3sin 5α=，则πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. B. C. D. 4．已知函数⎩⎨⎧<+≥=4)2(42)(x x f x x f x ，则)3log 1(2+f 的值为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．365．已知曲线31433y x =+，则曲线在点P (2,4)的切线方程为( ) A. 4x －y －4＝0B. x －y ＋2＝0C. 2x －y ＝0D. 4x ＋y －8＝06．R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当01x ≤≤时， ()2f x x =，则()5log y f x x =-的零点个数为（ ）A. 4B. 8C. 5D. 107．为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位 8．已知数列的前项和为，若，且，则（ ）A.B.C.D.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.10．已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部（不含边界）．若AP xAB yAD =+ ,则实数对（x ，y ）可以是（ ）A. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,44⎛⎫-⎪⎝⎭C. 31,55⎛⎫⎪⎝⎭D. 35,77⎛⎫⎪⎝⎭11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作准线的垂线，垂足分别为，两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）A. B.C.D.12．已知函数12ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P .函数22y x =--的图象上存在点Q ，且,P Q 关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A. 23,e ⎡⎤⎣⎦B. )2,e ⎡+∞⎣ C. 2214,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ D. 13,4e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，共20分）13．圆：222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是 14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时， ()21log f x x =-，则不等式()0f x <的解集是 ．15．已知正数满足的最小值是 ．16．三棱锥P ABC -的三条棱PA ， PB ， PC 两两互相垂直，且PA ， PB ， PC 的长分别为2，P ABC -的外接球的体积为 ．三、解答题（共70分）17．（10分）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且22cossin212B CA ++=. （1）求A ；（2）设2a =， ABC ∆的面积为2，求b c +的值.18.（12分）已知正项数列{}n a 满足：231=a ， 1323n n na a a +=+ （1）求通项n a ；（2）若数列{}n b 满足⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅n n n a b 2113，求数列{}n b 的前n 和.19．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.（1）求证：平面平面； （2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．（12分）设函数()()()ln 10,0f x a x b x x ab =+->≠．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若2b a =-，求函数()f x 的最值．21．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上的点到两个焦点的距离之和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点。

（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与圆251:22=+y x O 相切，证明：MON ∠为定值22．（12分）（本小題满分12分）已知数列{}()N n a n ∈满足11=a ，且对任意非负整数()n m n m ≥,均有：()n m n m n m a a n m a a 22211+=--++-+．（1）求20,a a ；（2）求证：数列{}()*1N m a a m m ∈-+是等差数列，并求()*N n a n ∈的通项；（3）令()*13N n n a c n n ∈-+=，求证：1134nk kc =<∑林州一中2015级高三12月调研考试数学（理）答案1．C 【解析】 由题意得 ,因此集合的个数是个,选C. 2．A 【解析】“()24k k Z παπ=-∈”能推出“cos α=”，反过来，“cos α=”不能推出“()24k k Z παπ=-∈”，因为()24k k Z παπ=+∈，所以是充分不必要条件，故选A.3．A【解析】由题意可得4,3,x ym r =-=-=，可得3sin ,05y y r α===>，解得1m =-或1（舍去），可得44,3,5,cos 5x x y r r α=-====-，可得4134cos cos cos sin 333525210sun πππααα+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A . 4．C ． 【解析】 试题分析：∵21232<<，∴23log 12<<，33log 122<+<，523log 142<++<）（，∴24322)3log 3()2)3log 1(()3log 1(33log 32222=⋅==+=++=++f f f ．5．A 【解析】由题意可得： 2'y x = ，则： 22'|24x y === ，据此可得切线方程为： ()442y x -=- ， 整理成一般式为： 440x y --= . 本题选择A 选项.6．C 【解析】由()f x 满足()()11f x f x -=+，可得： ()()2f x f x =+，周期T=2∵0≤x≤1时f （x ）=x 2，f （x ）是R 上的偶函数， ∴﹣1≤x≤1时，f （x ）=x 2， 令g （x ）=| 5log x |，画出函数f （x ）和g （x ）的图象， 如图示：由图象得：函数f （x ）和g （x ）的交点有5个， ∴函数y=f （x ）﹣|log 5x|的零点个数为5个，故选：C ．7．C 【解析】 试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 8．C 【解析】当时，得，即，由可知：，两式相减可得，即，故数列是从第二项起以2为公比的等比数列，则，故选C.9．A 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如右图所示的组合体，其体积，故选A.10．D 【解析】在三角形ABD 中，设点Q 在直线BD 上，AQ aAB bAD =+ ，则1a b +=而AP xAB yAD =+且点P 不在三角形OCD 边界上，则当1x y +≤ 时点P 必定不在三角形OCD 内，选项A,B,C 舍去，故选DMF =11．B 【解析】试题分析：如图，由抛物线定义可知13∠=∠，又∵轴，∴23∠=∠，从而46∠=∠，同理可证得1x ky =+，∴，所以以线段为直径的圆C 过点，又根据抛物线的性质可知直线AB 与圆C 相切，且切点为焦点,设的中点为()01,My -，设直线AB 的方程MF =022y k y k =-⇒=-，又以线段为直径的圆C 过点()1,0F，设()2,3N -，则AB 的中点为13,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ME FN ⊥，所以1ME FN k k ⋅=-，即，所以圆心()1,1M -，所以半径为1x ky =+，所以圆C 的方程为，故选B.12．A 【解析】由题知22ln 2a xx =-+有解，令()22ln 2f x x x =-+， ()22f x x x='-，故函数在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，在[]1,e 递增，所以()()1f a f e ≤≤，解得23,a e ⎡⎤∈⎣⎦.131 【解析】222210x y x y +--+=等价于22(1)(1)1x y -+-=，则圆心(1,1)到直线2x y -=的距离1d =>，故直线与圆外离，具体如右图所示：由图可得，圆222210xy x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值等于圆心(1,1)到直线2x y -=的距离加上半径1，故最大值是114．（﹣2，0）∪（2，+∞）【解析】20{ 1log 0x x >-< 或()()20{ 1log 0x x <---<，所以2x >或20x -<< ，即解集是（﹣2，0）∪（2，+∞） 15．【解析】因为，所以由题设只要求的最大值即可。

画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线经过点时，在上的截距最大，且，，应填答案。

16．323π【解析】三棱锥P ABC -的三条棱PA ， PB ， PC 两两互相垂直,将其补成长方体,棱长分别为2，R,则242R R ==⇒=,三棱锥P ABC -的外接球的体积为343233R ππ=,故填32.3π17．（1）30°；（2）【解析】【试题分析】（1）先运用余弦二倍角公式将22cossin212B CA ++=，化为()1cos sin21BC A +++=，即()cos sin20B C A ++=，也即cos 2sin cos 0A A A -+=，进而求出12sinA =，借助ABC ∆为锐角三角形求得=30A ︒；（2）依据题设1sin 22bc A =及余弦定理2222cos a b c bc A =+-建立方程组，即联立8bc =与2216b c +=，求出b c +===解：（1）因为22cos sin212B CA ++=， 所以()1cossin21B C A +++=，所以()cos sin20B C A ++=，所以cos 2sin cos 0A A A -+=又因为ABC ∆为锐角三角形，所以12sinA =，所以=30A ︒ （2）因为1sin 22S bc A ==，所以8bc = 又因为2222cos a b c bc A =+-，所以22124b c +-=+-2216b c +=，故b c +==18．（1）32n a n =；（2）21242n n n S n n -+=+-+ 【解析】试题分析： （1）将1323n n n a a a +=+变形可得11123n n a a +=+，根据等差数列的定义可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，根据等差数列的通项公式可得1na ，从而可求得n a 。