高一数学人教版A版必修二课件：3.3.1～3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离
《直线的交点坐标与距离公式》人教A版高中数学实用课件1
2
所以直线方程为y=-x，即x+y=0.
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
一组
两条直线l1，l2的公共点
一个
直线l1，l2的位置关系
_相__交__
无数组 无数个 _重__合__
_无__解__ 零个 _平__行__
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
【对点训练】 1.已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交，则它 们的交点是 ( )
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
2.A(a，2a)，B(1，2)两点间的距离为 5 ，则 a=________.
【解析】由 a122a225， 得a=0或a=2.
答案:0或2
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3
9
(2)因为l1∥l2且l1过点(3，-1)，
所以 3 m m 88 m n2 , 0,解 得 m n44,或 n m204.,
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人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
【解析】因为直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0三条
2016-2017学年高一数学人教A版必修2课件：3-3-1、2 两条直线的交点坐标 两点间的距离
唯
一
解
x＝x0， y＝y0，
则 两 直 线相__交__ ， 交 点 坐 标 为
__(_x_0，__y_0_)_．
第三页，编辑于星期五：十五点 四十九分。
直线 x＋2y－2＝0 与直线 2x＋y－3＝0 的交点坐标是( )
A．(4,1)
B．(1,4)
C.43，13
D.13，43
第四页，编辑于星期五：十五点 四十九分。
第八页，编辑于星期五：十五点 四十九分。
【自主解答】 法一 联立方程xx－＋yy＋－42＝＝00，， 解得yx＝＝3－，1， 即直线 l 过点(－1,3)． 因为直线 l 的斜率为32， 所以直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋1)，即 3x－2y＋9＝0.
第九页，编辑于星期五：十五点 四十九分。
【答案】 A
第三十页，编辑于星期五：十五点 四十九分。
3．已知两条直线 l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若 l1 与 l2 相交，则 实数 a 满足的条件是________．
【解析】 l1 与 l2 相交，则有a4≠36，∴a≠2. 【答案】 a≠2
第三十一页，编辑于星期五：十五点 四十九分。
法二 因为直线 x＋y－2＝0 不与 3x－2y＋4＝0 平行， 所以可设直线 l 的方程为 x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0， 因为直线 l 与直线 3x－2y＋4＝0 平行， 所以1＋3 λ＝λ－－21≠4－42λ，解得 λ＝15， 所以直线 l 的方程为65x－45y＋158＝0，即 3x－2y＋9＝0.
第十八页，编辑于星期五：十五点 四十九分。
坐标法的应用
[探究共研型]
2015-2016学年高一数学人教版必修2课件：3.3.1-2两条直线的交点坐标两点间的距离
3・3直线的交点坐标与距离公式3. 3. 1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记两条直线交点坐标求法及两点间的距离公式，初步掌握它们的应用.(BOB)俩点间的距离;L式形式）—f原点与任一点的距离〕瀛豪提示如杲您在观石木*件旳辻我中A0.^0.獭同幷宥幻灯片.可£to.【知识链接】1•直线方程的一般式Ax+By+C=0(A2+B2#0)2•解二元一次方程组的两种方法⑴代入消元法(2)加减消元法主题一:两条直线的交点坐标【自主认知】已知二元一次方程组思考下列问题(1)二元一次方程组的解法有哪些？提示:代入消元法，加减消元法.A J X+B J +C J =0, A2x + B2y + C2=0,(2)如何解这个方程组?请写出解的过程.提示:采用消元的方法来解方程组① x B?•■② x B]得(AiBp-AzBJx 二B I C Q-B Q C I，当A1B2-A2B1XO时方程组有惟一解JA]X + B]y + C] =0,①A2x + B2y + C2 =0,②当A1B r A2B1=0z HB1C2-B2C1^0HtT3^KW；「「当A]B2・A2B I=O,且B1C2-B2G二0时方程组有无数多解.A J B?— A?BjC.A.-CA(3)在方程组中,每一个方程都可表示申—•县线,那么方程组的解说明什么？提示:芳*呈组的'解对应葩点即为两直线的交点i根据以上探究过程,试着完成下面表格: 1・几何元素及代数表示2两条直线的交点问题【合作探究】1•若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点？提示:不一定•两解. 条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟若方程组有无穷多组解，则两直线重合.2设2i：A[X+Biy+C尸0”2：A2X+B2y+C2=0,则片与乙相交的条件是什么？提示人与b相交的条件是或(A2,B2#0)A2 B2【过关小练】1 •直线x=1和y=2的交点坐标为()A.(1,2)B.(2,1)7C.(1,1)D.(2,2)［解析】选A.由题意知故两直线交点坐标为(1,2).X = 1,y = 2,2直线/1:x+y+2=0与/2：2x+2y+3=0的位置关系是【解析】由②■①x 2得J二0矛盾，故方程组无解，x + y + 2 = 0,① 2x + 2y + 3 = 0,②即（I：答案：］1/2主题二:两点间的距离公式【自主认知】1 •在直角坐标系中，已知两点Pi(x1,y1),P2(x2，y2)iiP1,P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为1\^%,0),1\/1幽2,0),叫(0,力),％(0$2),直线匕N苫P02相交于点Q,|P[Q|」QP2l分别是多少？提示:因为IP.QhlM.M^JQPX 叫％, ^LU|P1Q|=|x2-x1|)|QP2|=|y2-y1|.2•结合问题1,如何推导出公式『巴1=提示:在构造的M^P1QP2中利用勾股定理, 由此得到两点间的距离公式IP巴匕9J(x2—xj2+(y2—y$■根据以上探究过程，试着写出平面内两点间的距离公式：两点间的距离公式⑴条件:已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2). ⑵结论:|Pf2〔= .⑶特别地原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= ____________［合作探究】1 •公式中“与X2，y〔与丫2的顺序是否可以互换？提示:因为公式中含有的是(X2・X併与区・力)2的租故可以交换顺序・2当Pf 2垂直于坐标轴时，公式的形式是怎样的？提示:当卩巴垂直于y轴时，尸尸』屮广X』；当卩巴垂直于X轴时」Pf』3•式子的几何意义是什么？提示:式子表示平面上的点(x,y)到原点的距离.JxWJx? + y2 = J(x_O『+(y_0)~【拓展延伸】利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值域对平面上两点间距离公式的直接运用，要注意公式的形式，关于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题，如果直接代入两点间距离公式，由于有两个根式,所以求解非常烦琐, 故经常采用对称方法转化后，再由两点间距离求解.例如:求函数的值域.-x + l-Vx^+x + ly=解:原式可变形为V 2 4 \ 2 4J(x-i)2+ (0-^)2J(x4)2+ (0-^)2.1、—A/3即 y=PA ・PB,由于 |PA ・PB|vAB 二 所以 |y|<1,SP-1<y<1> 以函数 f它表示动点P （x,O ）到1 6W离之差即图序示:A （订）和B （-订）【过关小练】1 •已知A(2,-1),B(3,-1),则|AB|=()A 1B 2C 3 i解析】选A・|AB|=|3・2|=1・•2,A(a,2a),B(1,2)两点的距离为，则吐【解析】由得a=0或厉答案：0或2+ (2a-2)2 =怎【归纳总结】1 •对求两条直线交点坐标的两点说明(1)求解直线的交点坐标时，要注意无解和有无数多解的特殊情况,它们分别对应直线两种特殊的位置关系.(2)若探讨直线的位置关系，最后要把解的情况还原为几何问题,即直线的位置关系.2•方程组的解与两条直线的位置关系的联系(1 )方程组有惟一解，两直线相交.(2)方程组有无穷多解,两直线重合.(3)方程组无解,两直线平行.3 •对两点间距离公式的两点说明(1)求两点间的距离时，可直接把坐标代入相应公式,需注意公式中被开方数是横坐标差的平方与纵坐标差的平方和，切不可把横、纵坐标混用.⑵两点间的距离公式除求距离外，还可以求参数的值，求解时直接利用题设建立参数的方程，然后求解得参数值便可.类型一:求两条直线的交点坐标【典例1 ］判断下列各组直线的位置关系•如果相交，求出交点的坐标:(1)Z1:5x+4y-2=0,/2:2x+y+2=0.(2)/［ :2x-6y+3=0,/2:y=(3)/1:2x-6y=0,/2:y=［解题指南］解两直线方程组成的方程组，根据解的情况判断.1 1_X + _・3 21 1-x + -・3 210 5x + 4y-2 = 0 所以人与$相交,且交点坐标如2x + y + 2 = 0,倚 半） 3，3 ②X 6整理得2X-6浮三6y + 3 = 0,®因此z ①和②可攻化网同一亍方程,即①和②表示同一条直线,人与重合. [y 〒 +护【解析】⑴解方程组 X=T 14 y =—・ 3⑵解方程组2x-6y = 0,①< 1 1②x6 ■①得3二0,矛声二_x + _，② 方程组无解,所以希直礙公粪点右⑶解方程组 II/2.【规律总结】求两直线的交点坐标的方法及注意事项(1)方法:联立这两条直线的方程组成方程组，这个方程组的解对应的实数对即为两条直线的交点坐标.⑵注意第项:解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.【巩固训练】已知直线片:Ax+3y+C=0』2：2x・3y+4=0,若人厶的交点在y轴上，求C的值. 【解析】由因为直线/山的交点在y轴上，所以x==0,即c=4・_（4 + C）]Ax + 3y + C = 0,得 - A +2' [2x-3y + 4 = 09 I 2 4 + C 4y -------------- F—9[3 A + 2 3-（4 + C）【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中，若三条直线2x+y-5=03x-y-1=0 和ax+y・3=0相交于一点，则实数a的值为 ________________________ .［解析］解方程组将x=2"二1 代入ax+y・3 二0,得2a + l・3 二0,解得a 二：L. ~2x + y-5 = 0 ]x = 2, x-y-l = 0 寸[y = 1.答案：1类型二:过两直线交占的直线系方程【典例2】⑴经过皆B(1,0)和两直线/1:x+2y-2=0,Z2:3x-2y+2=0交点的直线方程为⑵无论实数a取何值力程(a・1)x・y+2a・1=0表示的直线恒过定点，试求该定点.【解题指南】⑴设所求直线方程为x+2y・2+入(3x・2y+2)二0,再将x二1"二0代入求出入即得所求直线方程.(2)将直线方程改写为1+a (x+2)二0.解方程组得直线所过定点.x + 2 = 0,【解析】⑴设所求直线方程为x+2y-2+入(3x-2y+2)二0. 因为点P(1,O)在直线上所以1・2+入(3+2)二0,所以入二.所以所求方*呈为x+2y・2+ (3x-2y+2)=0z 即x+y-l=0z 答案:x+y・l二0(2)由(a-l)x-y+2a-l=0z得-x-y-l+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x・y -1=0与直线x+2二0的交点. 解方程组所以方程(a・l)x-y+2a・l二0表示的直线恒过定点(21).x = _2, y = l・【延伸探究】1・(变换条件)若把本例⑴中条件“经过点P(1,o)”换为“经过点P(1,1)M其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】设所求直线方程为x+2y-2+入(3x・2y+2)二0, 因为点P(S)在直线上所以l+2xl・2+入(3xl・2xl+2)二0,所以入二-. 所以所求直线方程为x+2y・2- (3x-2y+2)二0,即y二1.2(变换条件)若一条直线经过本例(1)中两直线的交点，且与直线3x+y+1=0平行，则此直线的方程是什么？提示:由两直线联立方程组得解得x=0"二l z所以交点为(0Q又直线3x+y+l二0平行于所求直线，故可设直线方程为3x+y+m二0,把(0,1)代入得m二-1.故所求直线方程为3 x+y -1二0. x + 2y - 2 = 0,3x-2y + 2 = 0,［规律总结］1・解含着参数的直线恒过定点的问题的两种方法：(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题冃中含参数直线所过的定点，从而问题得解.⑵方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y4-C1+A(A2X4-B2y4-C2)=05 其中入是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得•若整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0,y0).人“ +殆+匚=0, A2x + B2y + C2 =02过两直线交点的直线系方程若直线A：A〔x+Biy+C讦0与直线Z2:A2x+B2y+C2=0相交于M(x°,yo),则方程A1x+B1y4-C1+A(A2x+B2y+C2)=0(AGR)表示过人与空交点的直线系方程(但不包括直线9,其中入为待定系数.【拓展延伸】常见的直线系⑴与直线L:Ax+By+C=O平行的直线系方程为:Ax+By+m=O(其中n#C,m为待定系数). ⑵与直线L:Ax+By+C=O垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=O(m为待定紊数).⑶过定点P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x o)+B(y-y o)=O.【补偿训练】1 •对任意实数m,直线(m-1)x+2my+6=0必经过的定点是()A.(1,0)B.(0,-3)C.(6,・3)D.2 •设直线A：x・3y+4=0和/2：2x+y+5=0的交点为P,求过点P和原点的直线方程.【解题指南】1•整理为A]X+Biy+C]+入Qx+Bzy+C/n的形式，解方程组得定点坐标. 2 •利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可.【解析】1 •选C.直线方程)x+2my+6=0可化为:・x+6+in(2y+x)=0・因此，该直线恒过直线・x+6=0与x+2y=0的交点由2 •方法一:求得交点又0(0,0),写出方程为3x+19y=0.方法二:过两直线人:x・3y+4=0及/2：2x+y+5=0的交点的直线系方傕嗣 =0, 写为x-3y+4+A(2x+y+5)=0(^mSM^/2)把0(0,0)代入过瞧的事n 二「. 、.，得好，故所求直线方程为:x・3妊+2y = 0(2x+y+5)=0,即3x+19羽0二岁?)7 "1x = 6, y = —线系方程x・3y+4+入(2x+y+5)二Q类型三:两点间距离公式的应用【典例3】(1)(2015-牡丹江高一检测)设A(1,2)在x轴上求一点B,使得|AB|=5,则B点的坐标是()A.(2,0)或(0,0)B.⑴,0)C.(1+ ,0)D.(1+ ,0咸⑴,0)(2) (2015-兰州高一检测)AABC三个顶点的坐标分别为A(-4,-4), B(2,2),C(4,£,求三角形AB边上中线的长度.V21721【解题指南】⑴设出点B的坐标利用两点间距离公式求出点B的坐标;(2)先利用中点坐标公式求AB的中点坐标，再利用两点间距离公式即可求出.【解析】⑴选D.设B(x,O),则二5,解得x二土+1,故B点的坐标是(1+ ,0)或(1- ,0).⑵AB的中点D的坐标为D(W 所以|CD| =故AB边上中线长为・J(x —l『+(O—2)~A/21A/21』-1一4)+[-1 -(一2)F = A/26.【规律总结】1 •两点间距离的求法⑴当直线和坐标轴垂直时，可以用两点间距离公式的特殊形式，如A(xy),B(x,y2),则|AB|=|y r y2|.(2)两点间距离公式对任意两点都成立，解题过程中注意恰当设点，确定两点坐标即可代入公式求距离.2利用两点间距离求参数的方法已知距离求参数是最常见的距离公式的应用，一般是通过距离公式列出方程，解方程求参数.【巩固训练】已知AABC三个顶点的坐标分别为A(・3,1),B(3,・3), C(1,7),试判断AABC的形状.【解析】方法一：因为|AB|二所以|AB| 二|AC|,且|AB|2+|AC|2 二|BC|2.所以A ABC是等腰直角三角形.AC| = ^(l + 3)2+(7-l)2=區BC| = J(l —3『+(7 + 3『=7104,。
人教A版高中数学必修2《3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标》公开课课件_22
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
例1：
l1 : 3x 4 y 2 0 l2 : 2x y 2 0
画图
两点确定一条直线
练习：
（ 1）
l1 : x y 0
k1 k2
l2 : 3x 3 y 10 0
Ax By C 0
直线上的点
y
l
2x y 3 0
(1)点（ 1， 5）在直线上吗？ (2)点（2， 7）在直线上吗？ (3)点（3， 8）在直线上吗？
P(x,y) x
直线的方程就是直线上每一点坐标满足 的一个关系式
两条直线的交点
l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
两条直线的交点
几何元素及关系 代数表示
点A
直线l
A(a, b) l : Ax By C 0
A的坐标满足方程 l : Aa Bb C 0 A的坐标是方程组的解
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
两条直线交点坐标
直线的方程
斜率和一点坐标
点斜式 斜截式
两点式
y y0 k ( x x0 )
斜率k和截距b
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
点斜式 两个截距 截距式
y y0 k ( x x0 )
x y 1 a b
化成一般式
解：解方程组
l1和l2相交
得
5 x 3 y 5 3
高中数学【人教A版必修】二：3.3.1 两直线的交点坐标 课件
有方程组
唯一解
A1 A2
B1 B2
l1 l2相交
A1xB1yC1 0, A2xB2yC2 0
无穷多解
A1 A2
B1 B2
C1 C2
l1 l2重合
无解
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 二：3 .3.1 两 直 线的 交点坐 标 课 件 【精 品】
判定下列各对直线的位置关系，若相交，
则求交点.
(1) l1 :7x+2y-1=0, l2 : 14x+4y-2=0.
(2) l1 :2x+y-7=0, l2 :4x+2y-6=0.
(3) l1:3x+5y-1=0, l 2:4x+3y-5=0.
答案：(1)重合，(2)平行，
(3)相交，交点坐标为(2，－1).
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 二：3 .3.1 两 直 线的 交点坐 标 课 件 【精 品】
作业 必做： P109 1、5 选做2
课后思考：
当变化时， 3x方 4y程 2(2xy2)0
表示什么图形 何？ 特图 点形 ？有
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 二：3 .3.1 两 直 线的 交点坐 标 课 件 【精 品】
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 二：3 .3.1 两 直 线的 交点坐 标 课 件 【精 品】
(2)解方程组
3xy40, 6x2y10,
(1) (2)
①×2-②得9=0,矛盾,
方程组无解,所以两直线无公共点, l1 // l2
(3)解方程组 3x4y50,
(1)
6x8y100, (2)
①×2得6x+8y-10=0.因此, ①和②可以化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线, l1 与 l2 重合.
2021版高中数学人教A版必修2课件：3.3.1 两条直线的交点坐标
【变式训练2】 求经过直线l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交点且平 行于直线2x+y-3=0的直线方程.
所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1). 又因为直线2x+y-3=0与所求直线平行, 所以所求直线的斜率为-2. 所以所求直线的方程为y=-2x+1,即2x+y-1=0.
-16-
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3 直线的交点坐标与距离公式
-1-
3.3.1 两条直线的交点坐标
-2-
3.3.1 两条直线的交点坐标
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.了解两条直线的交点坐标是它们的方程组成的方程组的解. 2.会用方程组解的个数判断两条直线的位置关系.
-3-
3.3.1 两条直线的交点坐标
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知识梳理
重难聚焦
(1)l1:2x+3y-7=0,l2:5x-y-9=0; (2)l1:2x-3y+5=0,l2:4x-6y+10=0; (3)l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0.
-11-
3.3.1 两条直线的交点坐标
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题型一 题型二
知识梳理
重难聚焦
典例透析
①×2,得4x-6y+10=0, 因此①和②可以化成同一方程, 即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.
目标导航
题型一 题型二
知识梳理
重难聚焦
典例透析
所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1). 设平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+c=0(c≠-3), 把(0,1)代入所求的直线方程,得c=-1. 故所求的直线方程为2x+y-1=0.
3.3.1_两条直线的交点坐标&3.3.2_两点间的距离
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (1 1) 2 (0 2) 2 2 2
例5; 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
∴l1与l2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为 y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
思考与探究： 当 变化时，方程
3x 4 y 2 (2 x y 2) 0
表示何图形，图形有何特点？ 解：先以特殊值引路：
=0时，方程为3x+4y-2=0 =1时，方程为5x+5y=0
则A(0，0)。设B(ａ，0)， D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
y D C
A
B
x
因为
AB a CD , AD BC b 2 c 2
2 2 2 2 2
AC (a b) c , BD (a b) 2 c 2
2 2 2 2
所以
AB CD AD BC 2(a 2 b 2 c 2 )
2 2 2 2
AC BD 2(a 2 b 2 c 2 )
2 2
所以
AB CD AD BC AC BD
2 2 2 2
2
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
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第三章 § 3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
学习目标
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；
3.掌握两点间距离公式并会应用.
问题导学题型探究达标检测
问题导学 新知探究 点点落实
知识点一 直线的交点与直线的方程组解的关系
思考1 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？
答案 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
思考2 已知两条直线l
与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
1
答案 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.
思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案 (1)若方程组无解，则l
1∥l
2
；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合.
1.两直线的交点
几何元素及关系代数表示
点A A(a，b)
直线l1l1：A1x＋B1y＋C1＝0点A在直线l1上
2.两直线的位置关系
方程组的解一组无数组
知识点二 两点间的距离
已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
思考1 当x
1≠x
2
，y1＝y2时，|P1P2|＝？
答案 |P
1
P2|＝|x2－x1|.
思考2 当x
1
＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？
答案 |P
1
P2|＝|y2－y1|.
思考3 当x
1≠x
2
，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由.
答案 如图，
在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
题型探究 重点难点 个个击破类型一 两条直线的交点问题
0例1 (1)直线l
：2x－6y＝0与直线l2：交点的个数为___.
1
②×6－①，得3＝0矛盾，
故方程组无解，
∴两直线无交点.
(2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则
±6
k＝________.
解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，
解得k＝±6.
(3)直线l过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，
2x－y＝0
则直线l的方程为_______________.
∴两直线交点为(－1，－2)，
跟踪训练1 (1)直线l
1
：2x－6y＋3＝0与l2：的位置关系是______.
②×6，整理得2x－6y＋3＝0，
所以①、②可以化成同一方程，
即①和②表示同一条直线，
∴l
1与l2重合.
重合
(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0的交点，且与x＋3y－1＝0平行的直线l的方程.
设所求的直线方程为x＋3y＋c＝0，
即5x＋15y＋24＝0.
类型二 两点间的距离公式及其应用
例2 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积.∴△ABC的面积为26.
跟踪训练2 已知点A(－1,2)，B(2， )，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
∵|PA|＝|PB|，
得x＝1，∴P(1,0)，
类型三 运用坐标法解决平面几何问题
例3 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
证明 设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，
如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0).
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
故|AC|＝|BD|.
类型四 直线恒过定点问题
例4 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是____________.
跟踪训练4 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y －(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.
达标检测 4
123
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点
B
是( )
2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0
A
的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0
D.2x－y＋8＝0
解析 首先解得交点坐标为(1,6)，
再根据垂直关系得斜率为－2，
可得方程y－6＝－2(x－1)，
即2x＋y－8＝0.
D 3.已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则的值为( )解析 由两点间的距离公式，
4.当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这
(－1，－2)
个定点的坐标为__________.
解析 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，
则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即 (－1，－2).
规律与方法
1.方程组有惟一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.。