2020版导与练一轮复习文科数学习题：第八篇 平面解析几何(必修2、选修1-1) 第4节 椭 圆 Word版含解析
2020版导与练一轮复习文科数学习题：第八篇平面解析几何(2、1-1)第5节双曲线版含解析
第5节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义和标准方程1,2,7,10双曲线的几何性质3,4,5,8,11双曲线的综合问题6,9,12,13根底稳固(时间:30分钟)是双曲线x2- =1的两个焦点,过F1作垂直于x轴的直线与双曲线1,F2相交,其中一个交点为P,那么|PF2|等于( A )(A)6 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意令|PF2| -|PF1| =2a,由双曲线方程可以求出|PF1| =4,a =1,所以|PF2| =4 +2 =6.应选A.2.(2021·黑龙江模拟)双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y =x,它的一个焦点坐标为(2,0),那么双曲线的方程为( C ) (A) - =1 (B) - =1(C)x2 - =1 (D) -y2 =1解析:双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y =x,可得=,它的一个焦点坐标为(2,0),可得c =2,即a2 +b2 =4,解得a =1,b =,所求双曲线方程为x2 - =1.应选C.3.(2021·辽宁辽南协作校一模)设F1和F2为双曲线 - =1(a>0,b>0)的两个焦点,假设F1,F2,(0,2b)是正三角形的三个顶点,那么双曲线的渐近线方程是( B )(A)y =±x (B)y =±x(C)y =±x (D)y =±x解析:因为|F1F2| =2c,点(0,2b)到F2的距离为,所以2c =,所以4c2 =4b2 +c2,即3c2 =4b2,所以3c2 =4(c2 -a2),得c =2a,所以b = = a.所以双曲线的渐近线方程为y =±x,即y =±x,选B.4.(2021·全国Ⅲ卷)双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为,那么点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )(A) (B)2 (C)(D)2解析:由题意,得e = =,c2 =a2 +b2,得a2 =b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y =0,点(4,0)到渐近线的距离为 =2.应选D.5.(2021·湖南娄底二模)给出关于双曲线的三个命题:①双曲线 - =1的渐近线方程是y =±x;②假设点(2,3)在焦距为4的双曲线 - =1上,那么此双曲线的离心率e =2;③假设点F,B分别是双曲线 - =1的一个焦点和虚轴的一个端点,那么线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:双曲线 - =1的渐近线方程是y =±x,故①错误;双曲线的焦点为( -2,0),(2,0),2a =| -| =2,a =1,从而离心率e = =2,所以②正确;F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±,±)均不满足渐近线方程,所以③正确.应选C.6.(2021·四川成都二诊)A,B是双曲线E的左、右焦点,点C在E上,∠ABC =,假设( +)· =0,那么E的离心率为( D )(A) -1 (B) +1(C)(D)解析:因为( +)· =0, 所以 =,又∠ABC =π,所以BC =2c,AC =2c,所以2 c -2c =2a,所以e = = =. 应选D.1:(x +3)2 +y2 =1和圆C2:(x -3)2 +y2 =9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,那么动圆圆心M的轨迹方程为.解析:如下图,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,MC2 -MC1 =BC2 -AC1 =2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于C1C2.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a =1,c =3,那么b2 =8.故点M的轨迹方程为x2 - =1(x≤ -1).答案:x2 - =1(x≤ -1)8.(2021·湖南两市九月调研)F为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,假设 =3,那么此双曲线的离心率为.解析:根据题意知F( -c,0),A(0,b).设B(x0,y0),由 =3得(x0,y0 -b) =3(c,b),那么4b =·3c.所以e = =.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2021·四川模拟)双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点到抛物线y2 =2px(p>0)的准线的距离为2,点(5,2)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,那么双曲线的标准方程为( B )(A) - =1 (B) - =1(C) - =1 (D) - =1解析:双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点为( -c,0),双曲线的左焦点到抛物线y2 =2px(p>0)的准线l:x = -的距离为2,可得c - =2,点(5,2)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,可得20 =10p,即p =2,c =3,双曲线的渐近线方程为y =±x,可得2 a =5b,且a2 +b2 =c2 =9,解得a =,b =2,那么双曲线的标准方程为 - =1.应选B.10.(2021·云南五市联考)设P为双曲线x2 - =1右支上一点,M,N分别是圆(x +4)2 +y2 =4和(x -4)2 +y2 =1上的点,设|PM| -|PN|的最|大值和最|小值分别为m,n,那么|m -n|等于( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:易知双曲线的两个焦点分别为F1( -4,0),F2(4,0),恰为两个圆的圆心,两个圆的半径分别为2,1,所以|PM|max =|PF1| +2,|PN|min =|PF2| -1,故|PM| -|PN|的最|大值为(|PF1| +2) -(|PF2| -1) =(|PF1| -|PF2|) +3 =5,同理|PM| -|PN|的最|小值为(|PF1| -2) -(|PF2| +1) =(|PF1| -|PF2|)-3 = -1,所以|m -n| =6,应选C.11.(2021·湖北省重点高中联考)双曲线C∶ - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,假设|PF1| -|PF2| =2a, =,且△OMF2为等腰直角三角形,那么双曲线C的离心率为( B )(A) (B) +1(C) (D)解析:双曲线中,|PF1| -|PF2| =2a,所以P点在双曲线右支上,=,那么M为PF2的中点,所以在△OMF2中,|OM|>|MF2|,所以∠MF2O =90°,又△OMF2为等腰直角三角形,所以|PF2| =|F1F2| =2c,|PF1| =2c,所以2 c -2c =2a,所以e = +1.应选B.12.(2021·天津卷)双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,那么双曲线的方程为( C )(A) - =1 (B) - =1(C) - =1 (D) - =1解析:如图,不妨设A在B的上方,那么A(c,),B(c, -).其中的一条渐近线为bx -ay =0,那么d1 +d2 == =2b =6,所以b =3.又由e = =2,知a2 +b2 =4a2,所以a =.所以双曲线的方程为 - =1.应选C.13.(2021·沈阳质量监测)P是双曲线 -y2 =1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,那么·是.解析:设P(x0,y0),因为该双曲线的渐近线分别是 -y =0, +y =0,所以可取|PA| =,|PB| =,又cos∠APB = -cos∠AOB = -cos = -,所以· =||·||·cos∠APB=·( -)=×( -)= -.答案: -。
2020版导与练一轮复习文科数学习题：第八篇 平面解析几何 第1节 直线与方程 含解析 (36)
第二课时参数方程【选题明细表】1.(2018·河南濮阳市一模)在直角坐标系xOy中,圆的参数方程为θ为参数),直线C1为参数).(1)若直线C1与圆O相交于A,B,求弦长|AB|;(2)以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos θθ,圆O和圆C2的交点为P,Q,求弦PQ所在直线的直角坐标方程.解:(1)由直线C1为参数)消去参数t,可得x-y+1=0,即直线C1的普通方程为x-y+1=0.θ为参数),根据sin2θ+cos2θ=1消去参数θ,可得x2+y2=2,那么圆心到直线的距离故得弦长.(2)圆C2的极坐标方程为ρ=2cos θθ,利用ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsin θ=y,可得圆C2的普通方程为x2+y2因为圆O为:x2+y2=2.所以弦PQ所在直线的直角坐标方程为即2.(2018·福建南平市一模)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ曲线Cθ为参数).(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)曲线C交x轴于A,B两点,且点A的横坐标小于点B的横坐标,P为直线l上的动点,求△PAB周长的最小值.解:(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos(θ所以由直线l的极坐标方程,得ρcos θcos ρsin θ即ρcos θ-ρsin θ=1,所以直线l的直角坐标方程为x-y=1,即x-y-1=0.因为曲线Cθ为参数),所以由曲线C的参数方程得C的普通方程为(x-5)2+y2=1.(2)由(1)知曲线C表示圆心(5,0),半径r=1的圆.令y=0,得x=4或x=6,所以A点坐标为(4,0),B点坐标为(6,0).作A关于直线l的对称点A1得A1(1,3),由题设知当P为A1B与l的交点时,△PAB的周长最小,所以△PAB周长的最小值为|AP|+|PB|+|AB|=|A13.(2018·安徽宿州市一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1为参数,t∈R),曲线C2θ为参数,θ∈[0,2π)).(1)以O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,求曲线C2的极坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2相交于点A,B,求|AB|.解:(1)x2-4x+y2=0,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得ρ=4cos θ,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.(2)法一由消去参数后得到其普通方程为x+y-3=0.曲线C2是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线C1的距离为所以弦长×法二把C1代入x2-4x+y2=0得8t2-12t+1=0,则有t1+t21t2则|t1-t2根据直线方程的参数几何意义知|AB|=21-t24.(2017·杭州调研)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρθ(1)求直线l被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.解:(1)直线l为参数),消去t,可得3x+4y+1=0,由于ρθ(θθ),即有ρ2=ρcos θ-ρsin θ,则有x2+y2-x+y=0,其圆心为半径为圆心到直线的距离故弦长为=2.(2)可得曲线C的参数方程为α为参数),则设αsin α),则αα=sin (α由于α∈R,则x+y的最大值为1.。
2020高考文科数学一轮复习题平面解析几何(必修2、选修1-1)第2节【圆与方程】
2020 高考文科数学一轮复习题平面分析几何（必修2、选修 1-1）第 2 节【圆与方程】【选题明细表】知识点、方法题号圆的方程1,3,6,9点与圆的地点关系2,7与圆相关的最值 ( 取值 ) 问题4,11,12,14与圆相关的轨迹问题5,8圆的综合问题10,13基础稳固 ( 时间 :30 分钟 )1.(2018 ·全国名校第四次大联考) 若方程 4x2 +4y2-8x+4y-3=0 表示圆 , 则其圆心为 ( D)(A)(-1,-) (B)(1,)(C)(-1,) (D)(1,-)分析 : 圆的一般方程为x2+y2-2x+y- =0,据此可得 , 其圆心坐标为 (- ,- ), 即 (1,- ).应选 D.2.(2018 ·七台河市高三期末 ) 已知圆 C:x 2+y2-2x-4y=0, 则以下点在圆 C内的是 ( D )(A)(4,1) (B)(5,0) (C)(3,4) (D)(2,3)分析 : 圆 C化为标准方程为 (x-1) 2+(y-2) 2=5,将选项一一代入 , 可得 (2,3) 在圆 C内,应选 D.3.(20182 2圆心坐标为 (5,0), 则它的半径为 ( D ) ·青岛二模 ) 已知圆的方程 x +y +2ax+9=0,(A)3 (B) (C)5 (D)4可得 a=-5, 故它的半径为= =4, 应选 D.4.(2018 ·兰州市一模 ) 已知圆 C:(x-2+(y-1)2若圆 C 上存在点 P, ) =1 和两点 A(-t,0), B(t,0)(t>0),使得∠ APB=90°, 则 t 的取值范围是 ( D )(A)(0,2] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[1,3]分析 : 圆 C:(x-) 2+(y-1) 2=1 的圆心 C( ,1), 半径为 1, 因为圆心 C到 O(0,0) 的距离为 2,因此圆 C 上的点到点 O的距离的最大值为3, 最小值为 1, 再由∠ APB= 90°, 以 AB为直径的圆和圆C 有交点 , 可得 PO= AB=t, 故有 1≤ t ≤ 3, 应选 D.5.(2018 ·淄博调研 ) 点 P(4,-2) 与圆 x2+y 2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( A )(A)(x-2) 2+(y+1) 2=1 (B)(x-2) 2+(y+1) 2=4(C)(x+4) 2+(y-2) 2=4 (D)(x+2) 2+(y-1) 2=1分析 : 设圆上任一点为Q(x0,y 0),PQ 的中点为 M(x,y),则解得因为点 Q在圆 x2+y2=4 上 ,因此+ =4,即 (2x-4) 2+(2y+2) 2=4,化简得 (x-2) 2+(y+1) 2=1. 应选 A.6.(2018·天津卷) 在平面直角坐标系中, 经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.2 2分析 : 法一设圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0.因此解得因此圆的方程为x 2+y2-2x=0.法二画出表示图如下图, 则△ OAB为等腰直角三角形, 故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,因此所求圆的方程为 (x-1) 2 +y2=1, 即 x2+y 2-2x=0.答案 :x 2+y2-2x=07. 已知圆 C 的圆心在x 轴上 , 而且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,) 在圆 C 内, 则 m 的取值范围为.分析 : 设圆心为 C(a,0),由|CA|=|CB|,得 (a+1) 2+12=(a-1) 2+32, 解得 a=2.半径 r=|CA|==.故圆 C的方程为 (x-2) 2+y2=10.由题意知 (m-2) 2+() 2<10,解得 0<m<4.答案 :(0,4)8. 已知点 P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点 . 则 M的轨迹方程为.分析 : 圆 C的方程可化为x2+(y-4) 2=16,因此圆心为C(0,4),半径为4,设 M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y),由题设知·=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即 (x-1) 2+(y-3) 2=2.因为点 P 在圆 C内部 , 因此 M的轨迹方程是 (x-1) 2+(y-3) 2=2.答案 :(x-1)2+(y-3) 2=2能力提高 ( 时间 :15 分钟 )9.(2018 ·吴忠模拟 ) 与直线 x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( C(A)(x+1) 2+(y+1) 2=2 (B)(x+1) 2+(y+1) 2=4(C)(x-1) 2+(y+1) 2=2 (D)(x-1) 2+(y+1) 2=4分析 : 由题意圆 x 2+y 2+2x-2y=0 的圆心为 (-1,1), 半径为,因此过圆心 (-1,1) 与直线 x-y-4=0 垂直的直线方程为x+y=0,所求的圆的圆心在此直线上, 清除 A,B,因为圆心 (-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3 , 则所求的圆的半径为,应选 C.10.若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0) 一直均分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长 , 则 + 的最小值为 ( D )(A)1(B)5(C)4(D)3+2分析 : 由题意知圆心C(2,1) 在直线 ax+2by-2=0 上,因此 2a+2b-2=0, 整理得 a+b=1,因此+ =( + )(a+b)=3++≥ 3+2=3+2,当且仅当= , 即 b=2-,a=-1 时, 等号建立 .因此+ 的最小值为3+2 . 应选 D.11. 过圆 x2+y2=1 上一点作圆的切线与x 轴 ,y 轴的正半轴交于A,B 两点 , 则 |AB| 的最小值为 ( C)(A)( B)( C)2(D)3分析 : 设圆上的点为 (x 0,y 0), 此中 x0>0,y 0>0, 则切线方程为x0x+y 0y=1. 分别令 x=0,y=0 得 A(,0),B(0,), 则 |AB|==≥=2. 当且仅当 x0=y 0时 , 等号建立 .12. 已知圆 C:(x-3) 2 +(y-4) 2=1, 设点 P 是圆 C上的动点 . 记 d=|PB| 2+|PA| 2, 此中 A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为.分析 : 设 P(x 0,y 0),d=|PB|2+|PA| 2=+(y 0+1) 2+ +(y 0-1) 2=2( + )+ 2.+为圆上任一点到原点距离的平方 , 因此 ( + ) max=(5+1) 2=36, 因此 d max=2×36+2=74.答案 :7413. 已知以点 P 为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直均分线交圆P于点 C和 D, 且|CD|=4.(1)求直线 CD的方程 ;(2)求圆 P的方程 .解 :(1) 直线 AB的斜率 k=1,AB 的中点坐标为 (1,2).因此直线 CD的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0.(2) 设圆心 P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径 |CD|=4,因此 |PA|=2.因此 (a+1) 2+b2=40. ②由①②解得或因此圆心 P(-3,6)或P(5,-2),因此圆 P 的方程为 (x+3) 2+(y-6) 2=40 或 (x-5) 2+(y+2) 2=40.14.已知 M(m,n)为圆 C:x 2+y2 -4x-14y+45=0 上随意一点 .(1) 求 m+2n的最大值 ;(2) 求的最大值和最小值.解 :(1) 因为 x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2, 设 m+2n=t, 将 m+2n=t 当作直线方程 , 因为该直线与圆有公共点,因此圆心到直线的距离d=≤2,解上式得 16-2≤t≤16+2,因此所求的最大值为16+2.(2) 记点 Q(-2,3),因为表示直线MQ的斜率k,因此直线 MQ的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0.由直线 MQ与圆 C有公共点 ,得≤ 2 .可得 2-≤ k≤ 2+, 因此的最大值为2+, 最小值为 2-.。
2020版导与练一轮复习文科数学习题：第八篇 平面解析几何(必修2、选修1-1) 第1节 直线与方程
第1节直线与方程【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·北京模拟)已知直线l经过两点P(1,2),Q(4,3),那么直线l 的斜率为( C )(A)-3 (B)-(C) (D)3解析:直线l的斜率k==,故选C.2.直线3x+y-1=0的倾斜角是( C )(A)(B)(C) (D)解析:直线3x+y-1=0的斜率k=-,所以tan α=-.又0≤α<π,所以倾斜角为.故选C.3.(2018·西城区模拟)点(1,-1)到直线x+y-1=0的距离是( B )(A) (B) (C)(D)解析:点(1,-1)到直线x+y-1=0的距离d==.故选B.4.(2017·遂宁期末)直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是( D )(A)平行(B)重合(C)相交但不垂直(D)垂直解析:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,所以k1k2=-1.所以l1⊥l2.故选D.5.(2018·四川宜宾一诊)过点P(2,3),且在坐标轴上截距相等的直线的方程是( B )(A)x+y-5=0(B)3x-2y=0或x+y-5=0(C)x-y+1=0(D)2x-3y=0或x-y+1=0解析:当直线过原点时,方程为3x-2y=0,当直线不过原点时,两截距相等,设直线方程为+=1,所以+=1,即a=5,所以x+y-5=0,所以所求直线的方程为x+y-5=0或3x-2y=0,故选B.6.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( C )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:显然直线ax+by=ab在x轴上的截距为b,在y轴上的截距为a.因为ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),所以a+b=ab,即+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.7.(2018·绍兴二模)设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,则实数a的值为,若l1∥l2,则实数a的值为.解析:直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,则2(a+1)+3(a+2)=0,解得a=-,若l1∥l2,则(a+1)(a+2)=2×3,解得a=-4或a=1,当a=1时,两直线重合,舍去,故a=-4.答案:--48.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l 的方程为.解析:设所求直线l的方程为+=1.因为k=,即=-,所以a=-6b.又三角形面积S=3=|a|·|b|,所以|ab|=6.则当b=1时,a=-6;当b=-1时,a=6.所以所求直线方程为+=1或+=1.即x-6y+6=0或x-6y-6=0.答案:x-6y+6=0或x-6y-6=09.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于.解析:以AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(0,4), 得△ABC的重心D(,),设AP=x,P(x,0),x∈(0,4),由光的反射定理, 知点P关于直线BC,AC的对称点P1(4,4-x),P2(-x,0),与△ABC的重心D(,)共线,所以=,求得x=,AP=.答案:能力提升(时间:15分钟)10.已知点M是直线x+y=2上的一个动点,且点P(,-1),则|PM|的最小值为( B )(A)(B)1 (C)2 (D)3解析:|PM|的最小值即点P(,-1)到直线x+y=2的距离,又=1.故|PM|的最小值为1.故选B.11.(2018·南昌检测)直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是( A )(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0解析:在所求直线上任取一点P(x,y),则点P关于x轴的对称点P′(x,-y)在已知的直线3x-4y+5=0上,所以3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0,故选A.12.过两直线7x+5y-24=0与x-y=0的交点,且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为.解析:设所求的直线方程为7x+5y-24+λ(x-y)=0,即(7+λ)x+(5-λ) y-24=0.所以=,解得λ=11.故所求直线方程为3x-y-4=0.答案:3x-y-4=013.定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l 的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= .解析:因为曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为-=2-=,则曲线C1与直线l不能相交,即x2+a>x,所以x2+a-x>0.设C1:y=x2+a上一点(x0,y0),则点(x0,y0)到直线l的距离d===≥=,所以a=.答案:14.过点P(1,2)作直线l,与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.解:设直线l的方程为y-2=k(x-1),令y=0,得x=,令x=0,得y=2-k.所以A,B两点坐标分别为A(,0),B(0,2-k). 因为A,B是l与x轴,y轴正半轴的交点,所以所以k<0.S△AOB=·|OA|·|OB|=··(2-k)=(4--k).由->0,-k>0,得S△AOB≥(4+2)=4.当且仅当k=-2时取“=”.所以S△AOB最小值为4,此时直线l的方程为2x+y-4=0.。
2020版导与练一轮复习文科数学课件：第八篇 平面解析几何(必修2、选修1-1) 第7节 圆锥曲线的综合问题
(C)x+2y-8=0 (D)2x-y-2=0
解析:设弦的端点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 则 x1+x2=8,y1+y2=4,
代入椭圆方程可得 x12 + y12 =1①, x22 + y22 =1②,
36 9
36 9
①-②得 x12 x22 + y12 y22 =0,
y
2
4x,
2,
得
k 4
y2-y+2=0,
若 k=0,直线与抛物线有一个交点,则 y=2,
若 k≠0,则Δ=1-2k=0,所以 k= 1 ,综上可知 k中)椭圆 x2 + y 2 =1 的一条弦被 A(4,2)平分,那么这条弦所在 36 9
的直线方程为( C )
f
x,
y
0,
0,
消去
y,整理得
Ax2+Bx+C=0.
(1)若A=0且B≠0,则直线l和圆锥曲线M只有一个公共点.
①当曲线为双曲线时,直线l与双曲线的 渐近线 平行;
②当曲线为抛物线时,直线l与抛物线的 对称轴 平行.
(2)若A≠0,则Δ =B2-4AC. ①当Δ >0时,直线和圆锥曲线M有 两个不同的 公共点; ②当Δ =0时,直线和圆锥曲线M相切,只有 一个 公共点; ③当Δ <0时,直线和圆锥曲线M 没有 公共点.
第7节 圆锥曲线的综合问题
[考纲展示] 1.了解圆锥曲线的简单应用.
2.理解数形结合的思想.
知识链条完善 考点专项突破
知识链条完善
知识梳理
把散落的知识连起来
【数学】2020届高考数学一轮复习：第八章 平面解析几何
第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率＝tan_α.(2)P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)在直线l 上，且1≠2，则l 的斜率＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用范围斜截式 纵截距、斜率 y ＝＋b 与轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率y －y 0＝(－0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式A ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线 若点P 1，P 2的坐标分别为(1，y 1)，(2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝表示过点P 1(1，y 1)，且斜率为的直线方程 B ．直线y ＝＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb＝1D ．方程(2－1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(－1)表示过点P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)的直线解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：＋y ＋2＝0在轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：＋y ＋2＝0，令y ＝0，得＝－2，即直线l 1在轴上的截距为－2；令＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝－2，即－y －2＝0.答案：－2 －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于轴的直线；两点式方程不能表示垂直于，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．直线cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数， 故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为－5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为， 则所求直线方程为y －10＝(－5)， 即－y ＋10－5＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得＝34.故所求直线方程为3－4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为－5＝0或3－4y ＋25＝0. 答案：－5＝0或3－4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则PA ≤≤PB ，而PB ＞0，PA ＜0，故＜0时，倾斜角α为钝角，＝0时，α＝0，＞0时，α为锐角．又PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤≤1. 又当0≤≤1时，0≤α≤π4；当－1≤＜0时，3π4≤α＜π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b 的值． 解：∵AB ＝0－2a －2＝－2a －2，AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，的值由－∞趋近于0(≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A (1，y 1)，B (2，y 2)，一般根据斜率公式＝y 2－y 1x 2－x 1(1≠2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为A ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率＝－AB . 考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，∴直线方程为y ＝14，即－4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，解得a ＝5，∴直线方程为＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为－4y ＝0或＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(＋1)，即3＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(－3)． 即所求直线的方程为－y ＋1＝0或＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．(2)过点(2,1)且在轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(＋3)， 即3－y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为＋y －3＝0或＋2y －4＝0. 答案：(1)3－y ＋6＝0 (2)＋y －3＝0或＋2y －4＝0考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝(－2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)． ∵直线l 与轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得＜0. ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2)＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k＝－4，即＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(－2)，即＋2y－4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)(＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2＝3－2－1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2＝－1k ，即＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(－2)， 即＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)(＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4， 当且仅当－＝－1k ，即＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(－2)，即＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝2＋2＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2＋2，设P (0，y 0)， 则＝20＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤≤1，即0≤20＋2≤1，故－1≤0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：a －2y ＝2a －4，l 2：2＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12. [通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线＋my ＝0和过定点B 的动直线m －y －m ＋3＝0交于点P (，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线＋my ＝0与m －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：－y ＋1＋2＝0(∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求的取值范围；(3)若直线l 交轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝(＋2)＋1，故无论取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝＋2＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得≥0，故的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2)．又－1＋2kk＜0且1＋2＞0，∴＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2)＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4＝1k ，即＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为－2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可知斜率＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B.2．直线sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为1，2，3，则( ) A ．1＜2＜3 B ．3＜1＜2 C ．3＜2＜1 D ．1＜3＜2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜3＜2，因此1＜3＜2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝3－＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝32－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．＋y ＝0 B ．－y ＋2＝0 C ．＋y ＋2＝0D ．－y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为－y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线－2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3＋2B ．y ＝3－2C ．y ＝3＋12D ．y ＝－3＋2 解析：选A ∵直线－2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：a ＋y ＋b ＝0和直线l 2：b ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．4．若直线－2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数y ＝a 1－(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在m ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a 1－(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn ＞0)． ∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n 的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即＋13y ＋5＝0.答案：＋13y ＋5＝07．若直线a ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由a ＋y ＋3a －1＝0，可得a (＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2＋3y －6＝0上，设直线2＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2＋3y ＋12＝0.答案：2＋3y ＋12＝08．若圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0关于直线a －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________．解析：由圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0知其标准方程为(＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0关于直线a －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号． 故1a ＋3b 的最小值是163.答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝(＋3)＋4，它在轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3＋4，由已知，得(3＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得1＝－23或2＝－83.故直线l 的方程为2＋3y －6＝0或8＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16＋b ，它在轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为－6y ＋6＝0或－6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得OA ＝tan 45°＝1， OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝，l OB ：y ＝－33. 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以AB ＝AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(－1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)－2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e ＞0，所以e ＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e ＝1e x ，即＝0时取等号)，所以e ＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当＝0时取等号)．所以当＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(－0)，即＋4y －2＝0.该切线在轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号． 此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率存在且＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝(－3)(＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3)， S △ABO ＝12(2－3)⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9＝4－k，即＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为1，2，则有l 1∥l 2⇔1＝2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为1，2，则有l 1⊥l 2⇔1·2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 点P 0(0，y 0)到直线l ：A ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线A ＋By ＋C 1＝0与A ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线m ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线m ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(,1－)，∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(，y )，则y ＝1－，即动点P 的轨迹方程为＋y －1＝0.原点到直线＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值． 答案：＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：－y －1＝0与直线l 2：＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：－y －1＝0与直线l 2：＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线a ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线a ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4－1和＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为＝－4a 和y ＝a 4－34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2－4b ＋2和y ＝－a b －2＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线a ＋by －6＝0与直线2＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：m ＋8y ＋n ＝0和l 2：2＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：－y ＋6＝0，l 2：－y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝(＋1)，即－y ＋＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3－1|＝|－3－3|，∴＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(＋1)，即＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为＋3y －5＝0或＝－1.法二：当AB ∥l 时，有＝AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(＋1)，即＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为＝－1.故所求直线l 的方程为＋3y －5＝0或＝－1. 答案：＋3y －5＝0或＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2－3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为－y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：a ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三对称问题(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2＋y－8＝0和l2：－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为＋4y－4＝0.答案：＋4y－4＝02．已知直线l：2－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．解析：法一：在l：2－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2－3y－9＝0.法二：设P(，y)为l′上任意一点，则P(，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－)－3(－4－y)＋1＝0，即2－3y－9＝0.答案：2－3y－9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l：2－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．解：(1)设A ′(，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9－46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2－y ＋3＝0关于直线－y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．－2y ＋3＝0 B ．－2y －3＝0 C ．＋2y ＋1＝0D ．＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (，y )，则P 关于－y ＋2＝0的对称点为P ′(0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(0，y 0)在直线2－y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(＋2)＋3＝0， 即－2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (1，y 1)及N (，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(1，y 1)与P 2(2，y 2)关于直线l ：A ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(2，y 2)(其中B ≠0，1≠2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2的对称点为(，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(－3)，即3＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(＋4)，即－3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：－y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：－y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6－y －6＝0. 答案：6－y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2－y ＋2＝0上，点C 在轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2－y ＋2＝0的对称点为A 1(1，y 1)，点A 关于轴的对称点为A 2(2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2－y ＋2＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线a ＋3y ＋3＝0和直线＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线a ＋3y ＋3＝0和直线＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(－2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)． 3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6＋5y －1＝0B ．5＋6y ＋1＝0C ．5－6y －1＝0D ．6－5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(－1)，即6－5y －1＝0.4．已知点P (4，a )到直线4－3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3－2y －1＝0,6＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________． 解析：依题意知，63＝a－2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6＋ay ＋c ＝0可化为3－2y ＋c2＝0，又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：a ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：－ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线a ＋y －1＝0与过定点Q 的直线－ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上， ∵|P Q |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2－3在＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－32，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为＝2－3＝－1，所以切线的方程为＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3＋4y －12＝0与6＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2－3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (，y )＝0，P 1(1，y 1)和P 2(2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (，y )＝0，知方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(1，y 1)为直线l 上的点，则f (1，y 1)＝0，f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0化为f (，y )－f (2，y 2)＝0，显然P 2(2，y 2)满足方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0，所以f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：－y －1＝0和l 2：－1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2－y ＋3＝0. 答案：2－y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝(－3)， 即－y ＋4－3＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴＝2或＝－23.∴所求直线l 的方程为2－y －2＝0或2＋3y －18＝0. 答案：2－y －2＝0或2＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2－y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为－2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2－y －5＝0， 得20－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(－4)，即6－5y －9＝0.。
2020版导与练一轮复习文科数学习题：第八篇 平面解析几何 第1节 直线与方程 含解析 (29)
第6节空间直角坐标系【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),那么下列说法正确的是( D )(A)点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,-y,z)(B)点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,-y,-z)(C)点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,-y,z)(D)点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z)2.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为( A )(A)垂直于xOz平面的一条直线(B)平行于xOz平面的一条直线(C)垂直于y轴的一个平面(D)平行于y轴的一个平面解析:y变化时,点P的横坐标为1,竖坐标为2保持不变,点P在xOz平面上的射影为P′(1,0,2),所以P点的集合为直线PP′,它垂直于xOz 平面,故选A.3.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,-3,-4)两点的位置关系是( C )(A)关于x轴对称(B)关于yOz平面对称(C)关于坐标原点对称(D)以上都不对解析:因为P,Q的横坐标、纵坐标及竖坐标均互为相反数,所以P,Q两点关于坐标原点对称.4.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( C )(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)钝角三角形解析:由两点间距离公式可得|AB|=,|AC|=,|BC|=,从而|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以△ABC是直角三角形.5.若两点的坐标是A(3cos α,3sin α,1),B(2cos β,2sin β,1),则|AB|的取值范围是( B )(A)[0,5] (B)[1,5](C)(0,5) (D)[1,25]解析:因为|AB|===.所以≤|AB|≤,即1≤|AB|≤5.6.以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则棱CC1中点的坐标为( C )(A)(,1,1) (B)(1,,1)(C)(1,1,) (D)(,,1)解析:分别以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,依题意得,点C的坐标为(1,1,0),点C1的坐标为(1,1,1),所以CC1中点的坐标为(1,1,).7.已知三角形的三个顶点为A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则BC边上的中线长为.解析:设BC的中点为D,则D(,,),即D(4,1,-2),所以BC边上的中线|AD|==2.答案:28.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,BP=BD′,则P点的坐标为.解析:过P作PP′⊥xOy平面,则PP′=.过P′作P′M∥AB,P′N∥BC,则MP′=,NP′=.所以P点坐标为(,,).答案:(,,)能力提升(时间:15分钟)9.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为( D )(A)7 (B)-7 (C)-1 (D)1解析:点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(-4,-2,-3),关于y轴的对称点坐标是(4,-2,-3),从而知c+e=1.10.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是( A )(A) (B) (C) (D)解析:设该定点的坐标为(x,y,z),则有x2+y2=1,y2+z2=1,z2+x2=1,三式相加得2(x2+y2+z2)=3.所以该点到原点的距离为d===. 11.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为( D )(A)(,4,-1) (B)(2,3,1)(C)(-3,1,5) (D)(5,13,-3)解析:由题意知,点A(4,1,3),C(3,7,-5)的中点为M(,4,-1),设点D的坐标为(x,y,z),则解得故D的坐标为(5,13,-3).12.在空间直角坐标系中,正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A(3,-1,2),其中心为M(0,1,2),则该正方体的棱长为.解析:设棱长为a,因为A(3,-1,2),中心M(0,1,2),所以C1(-3,3,2). 所以|AC1|=2,所以棱长a==.答案:13.在空间直角坐标系Oxyz中,M与N关于xOy面对称,OM与平面xOy 所成的角是60°,若|MN|=4,则|OM|= .解析:由题意知MN⊥平面xOy,设垂足为H,则|MH|=|NH|=|MN|=2,又OM与平面xOy所成的角为60°,则|OM|sin 60°=|MH|.所以|OM|==.答案:。
2020版高三文科数学第一轮复习第八篇平面解析几何第八篇 第7节 第二课时
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第7节 圆锥曲线的综合问题
课时作业
S
△
OPQ
＝
1 2
d
·
|PQ|
＝
1 2
·
m 1＋k2
1＋k2
16（4k2＋1－m2） 1＋4k2
＝
2 （4k2＋19）k2（5k2－1）＝29 20＋k12－k14，
当k12＝12时，△OPQ 的面积取最大值 1，此时 k＝ 2，m＝322，
∴直线方程为 y＝ 2x＋322.
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第7节 圆锥曲线的综合问题
课时作业
【反思归纳】 解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定 参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心 是建立两个参数之间的等量关系．
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第7节 圆锥曲线的综合问题
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第7节 圆锥曲线的综合问题
课时作业
y1＋2 y2＋12＝14(x21＋x22＋2)≥14(2|x1x2|＋2)＝1， 当且仅当 x1＝－x2＝1 时等号成立． 据此可得线段 AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为 1. 故选 B.
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第7节 圆锥曲线的综合问题
课时作业
利用判别式构造不等关系求范围 已知 A，B，C 是椭圆 M：ax22＋by22＝1(a>b>0)上的三点， 其中点 A 的坐标为(2 3，0)，BC 过椭圆的中心，且A→C·B→C＝0，|B→C |＝2|A→C|.
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第7节 圆锥曲线的综合问题
课时作业
建立目标函数求最值 已知椭圆x42＋y22＝1 上的两个动点 P，Q，设 P(x1，y1)， Q(x2，y2)且 x1＋x2＝2. (1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定的最小值及相应的 P 点坐标．
2020版导与练一轮复习文科数学课件：第八篇 平面解析几何(必修2、选修1-1) 第5节 双曲线 (数理化网)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为 x2-y2=λ (λ ≠0) ,离
心率e= 2 ,渐近线方程为 y=±x ,它们互相 垂直 .
4.双曲线 x2 - y 2 =λ (m>0,n>0,λ ≠0)的渐近线方程是 x ± y =0.
第5节 双曲线
[考纲展示]
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准 方程,知道其简单的几何性质.(范围、 对称性、顶点、离心率、渐近线)
2.了解双曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.
知识链条完善 考点专项突破
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.双曲线的定义
在平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值 等于定值2a(大于0且小于|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点的距离叫做 双曲线的 焦距 .
m2 n2
mn
⑤等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2 .
⑥若双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)与 x2 b2
-
y2 a2
=1(a>0,b>0)的离心率分别是
e1,e2,则
11.
答案:④⑤⑥
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 双曲线的定义及其应用
【例1】 (1)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|, 则cos∠F1PF2等于( )
(A) 1 4
(B) 3 5
(C) 3 4
(D) 4 5
解析:(1)由 x2-y2=2,知 a=b= 2 ,c=2.
2020版导与练一轮复习文科数学习题：第八篇 平面解析几何 第1节 直线与方程 含解析 (55)
第2节等差数列【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·广西三校联考)已知等差数列{a n}满足:a3=13,a13=33,则a7等于( C )(A)19 (B)20 (C)21 (D)22解析:设等差数列{a n}的公差为d,d==2,则a7=a3+4d=13+8=21,故选C.2.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d 等于( C )(A)1 (B)(C)2 (D)3解析:由等差数列的性质知得S3=3a2=12,即a2=4,所以d=a3-a2=6-4=2.3.(2018·洛阳模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2+a7+a12=24,则S13等于( C )(A)52 (B)78 (C)104 (D)208解析:依题意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104,选C.4.(2018·合肥市第二次教学质量检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( B )(A)174斤(B)184斤(C)191斤(D)201斤解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小所得的绵数.由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项和为996. 所以8a1+×17=996,得a1=65.所以a8=65+7×17=184.故选B.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-11,a5+a9=-2,则当S n取最小值时,n等于( C )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由得解得所以a n=-15+2n.由a n=-15+2n≤0,解得n≤.又n为正整数,所以当S n取最小值时,n=7.故选C.6.已知在等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( D )(A)S5>S6(B)S5<S6(C)S6=0 (D)S5=S6解析:因为d<0,|a3|=|a9|,所以a3>0,a9<0,且a3+a9=2a6=0.所以a6=0,a5>0,a7<0.所以S5=S6.故选D.7.(2017·江西南昌市二模)《九章算术》卷第六《均输》中,有问题“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容,各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀,即由下往上均匀变细.在这个问题中的中间两节容量和是( C )(A)1升(B)2升(C)2升(D)3升解析:由题设可知容量成等差数列,设其公差为d,且即解之得所以a5+a6=2a1+9d==2.故选C.8.正项数列{a n}满足a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7=.解析:由2=+(n∈N*,n≥2),可得数列{}是等差数列,公差d=-=3,首项=1,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以a n=,所以a7=.答案:9.已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=,S n= .解析:设公差为d,则由S2=a3,得2a1+d=a1+2d,所以d=a1=,故a2=a1+d=1,S n=na1+d=.答案:1能力提升(时间:15分钟)10.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使S n>0成立的最小正整数n为( C )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:在等差数列{a n}中,因为a4<0,a5>|a4|,所以a5>0,a5+a4>0,S7===7a4<0,S8===4(a4+a5) >0.所以使S n>0成立的最小正整数n为8,故选C.11.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=13,S m=0,S m+1=-15,其中m∈N*且m≥2.则数列{}的前n项和的最大值为( D )(A)(B)(C) (D)解析:因为S m-1=13,S m=0,S m+1=-15,所以a m=S m-S m-1=0-13=-13,a m+1=S m+1-S m=-15-0=-15,因为数列{a n}为等差数列,设其公差为d,所以d=a m+1-a m=-15-(-13)=-2,所以解得a1=13.所以a n=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n,当a n≥0时,n≤7.5,当a n+1≤0时,n≥6.5,所以数列{}的前6项为正数,因为==(-),所以数列{}的前n项和的最大值为×(-+-+-+…+1-)=×(1-)=.故选D.12.已知在等差数列{a n}中,S n=33,S2n=44,则这个数列的前3n项和S3n 为.解析:由等差数列前n项和的性质可知S n,S2n-S n,S3n-S2n也成等差数列. 所以2(S2n-S n)=S n+(S3n-S2n)即S3n=3S2n-3S n=33.答案:3313.已知数列{a n}满足a1=1,a n=(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足关系式b n=(n∈N*).(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:因为b n=,且a n=,所以b n+1===,所以b n+1-b n=-=2.又因为b1==1,所以数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)解:由(1)知数列{b n}的通项公式为b n=1+(n-1)×2=2n-1,又b n=,所以a n==.所以数列{a n}的通项公式为a n=.14.已知数列{a n}满足,a n+1+a n=4n-3(n∈N*).(1)若数列{a n}是等差数列,求a1的值;(2)当a1=2时,求数列{a n}的前2n项和S2n.解:(1)因为数列{a n}是等差数列,所以a n=a1+(n-1)d,a n+1=a1+nd.由a n+1+a n=4n-3,得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3,所以2dn+(2a1-d)=4n-3,即2d=4,2a1-d=-3,解得d=2,a1=-.(2)由题意知,S2n=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=1+9+…+(8n-7)=4n2-3n.。
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第4节椭圆
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.的左焦点为F1(-4,0),则m等于( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)9
解析⇒m=3,
故选B.
2.(2018·宝鸡三模)已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是( C )
解析:因为F1(-1,0),F2(1,0),
所以|F1F2|=2,
因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,
所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,
即|PF1|+|PF2|=4,
所以点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,
因为2a=4,a=2,c=1,所以b2=3.
故选C.
3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为( C )
2=1 (B)x2=1
=1
解析:依题意,
a2=20,b2=5,选C.
4.(2018·广西柳州市一模)已知点P是以F1,F2
=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于( A )
解析:因为点P是以F1,F2上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由椭圆定义知x+2x=2a,
所以
所以|PF2,
则|PF1
由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,
所以解得
所以选A.
5.的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( B )
解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.
联立椭圆方程解得交点为
所以S△OAB|OF|·|y A-y B|
1
故选B.
6.若椭圆的方程且此椭圆的焦距为4,则实数a= .
解析:由题可知c=2. ①
当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4. ②
当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,
解得a=8.
故实数a=4或8.
答案:4或8
7.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点
P12则椭圆的方程为.
解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
因为椭圆经过点P1,P2,所以点P1,P2的坐标适合椭圆方程.
得
所以所求椭圆方程为
答案
8.(2018·安徽模拟)已知F1,F2是长轴长为4的椭圆
的左右焦点,P是椭圆上一点,则△PF1F2面积的最大值为.
解析:F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点,a=2,b2+c2=4,P是椭圆上一点,△PF1F2面积最大时,P在椭圆的短轴的
端点,此时三角形的面积最大,S=bc当且仅当,三角形的面积最大.
答案:2
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·河南一模)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( A )
解析:设点A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A′(m,n),则
得所以A′(-3,2).
连接A′B,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=2
所以2a≥.
所以椭圆C故选A.
10.(2018·临沂三模)直线x+4y+m=02=1于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m等于( A )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
解析:由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减,
·
结合直线的斜率为中点横坐标为1,
所以AB
将点代入直线x+4y+m=0得m=-2.故选A.
11.(2018·珠海一模)过点M(1,1)作斜率为l与椭圆C:
相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=2,y1+y2=2,k AB=-
①
②
①-②整理,
所以离心率
答案
12.(2018·天津卷)的右顶点为A,上顶点为B.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k 的值.
解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
又
从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2) ,
由题意知,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,
可得|PM|=2|PQ|,
从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直线AB的方程为2x+3y=6,
消去y,可得x2
消去y,可得x1
由x2=5x1,=5(3k+2),
两边平方,整理得18k2+25k+8=0,
解得
当,x2=-9<0,不合题意,舍去;
当,x2=12,x1符合题意.
所以k的值为
13.(2018·和平区校级一模)已知椭圆的右焦点为
且经过点点M是y轴上的一点,过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若且直线l与圆O:x2+y2N,求|MN|的长.
解:(1)由题意知
即(a2-4)(4a2-3)=0,
因为a2=3+b2>3,
解得a2=4,b2=1,
故椭圆C2=1.
(2)显然直线l的斜率存在,设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l与圆O:x2+y2相切,
即m22+1), ①
(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
由韦达定理,得x1+x2
x1x2
=2,有x1=-2x2,
解得x12
所以
化简得2-1, ②把②代入①可得48k4+16k2-7=0,
解得k22
在Rt△OMN中,可得
故|MN|。