北师大版高中数学必修四期末复习测试卷
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-二项分布、超几何分布与正态分布(含解析)
一、单项选择题1．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ＝0)＝49，则DY 等于()A.23B.43C.49D.892．(2023·福建名校联盟大联考)甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则甲以2∶1获胜的概率为()A.827B.427C.49D.293．(2023·枣庄模拟)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布N (72,82)，则数学成绩位于(80,88]的人数约为()参考数据：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.9974.A ．455B ．2718C ．6346D ．95454．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值Eξ为()A.45B.910C ．1D.655．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()A ．24B ．25C ．26D ．276．(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有()A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张二、多项选择题7．(2023·莆田模拟)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N (8，σ2)，且P (ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7,9)的个数记为X，则() A．P(7<ξ<9)＝0.8B．EX＝1.8C．Eξ>E(5X)D．P(X≥1)>0.98．(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，均值和方差分别为EX1，DX1；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，均值和方差分别为EX2，DX2，则()A．EX1＝EX2B．EX1>EX2C．DX1>DX2D．DX1<DX2三、填空题9．(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．10．(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的收益为正值的概率为________．11．(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品．若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品________次．12．(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值大于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值x i(i＝1,2,3，…，100)，经计算错误!i＝7200，错误!2i＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974.四、解答题13．某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从均值的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？14．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974.§10.6二项分布、超几何分布与正态分布1．D 2.A3.B4.D5.A6．B[设中奖的概率为p ,30天中奖的天数为X ，则X ～B (30，p )．若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率p ＝C 19C 210＝15，EX ＝30×15＝6，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率p ＝C 18C 12＋C 22C 210＝1745，EX ＝30×1745＝343，若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率p ＝C 17C 13＋C 23C 210＝815，EX ＝30×815＝16，若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率p ＝C 16C 14＋C 24C 210＝23，EX ＝30×23＝20，根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天．]7．BD[由正态分布的对称性可知P (ξ≤7)＝P (ξ≥9)＝0.2，故P (7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，故A 错误；X ～B (3,0.6)，故EX ＝3×0.6＝1.8，故B 正确；Eξ＝8，E (5X )＝5EX ＝5×1.8＝9，故Eξ<E (5X )，故C 错误；因为X ～B (3,0.6)，所以P (X ＝0)＝C 03(0.6)0×(0.4)3＝0.064，故P (X ≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，故D 正确．]8．AC[从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为410＝25，则X 1～故EX 1＝3×25＝65，DX 1＝3×25×35＝1825；从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X 2，则X 2的可能取值是0,1,2,3，则P (X 2＝0)＝C 04C 36C 310＝16，P (X 2＝1)＝C 14C 26C 310＝12P (X 2＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X 2＝3)＝C 34C 06C 310＝130，所以随机变量X 2的分布列为X 20123P1612310130EX 2＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65，DX 2×16＋×12＋×310＋×130＝1425.故EX 1＝EX 2，DX 1>DX 2.]9.4710.162711.110612．97.7%解析因为100个数据x 1，x 2，x 3，…，x 100的平均数x ＝1100错误!i ＝72，方差s 2＝1100错误!(x i －x )2＝1100(错误!2i －100x 2)＝1100×[100×(722＋36)－100×722]＝36，所以μ的估计值为μ＝72，σ的估计值为σ＝6.设该市高中生的身体素质指标值为X ，由P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.9544，得P (72－12<X ≤72＋12)＝P (60<X ≤84)≈0.9544，P (X >84)＝P (X >μ＋2σ)＝P (X <μ－2σ)＝1－P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)2≈1－0.95442，所以P (X >60)＝P (60<X ≤84)＋P (X >84)≈0.9544＋12×(1－0.9544)＝0.9772≈97.7%.13．解(1)选择方案一，若享受到7折优惠，则需要摸出2个红球和1个黑球，设顾客享受到7折优惠为事件A ，则P (A )＝C 22C 17C 310＝7120.(2)若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为5000,7000，9000，10000，P (X ＝5000)＝C 22C 11C 310＝1120，P (X ＝7000)＝7120，P (X ＝9000)＝C 11C 27C 310＝740，P (X ＝10000)＝1－1120－7120－740＝91120.故X 的分布列为X 50007000900010000P1120712074091120所以EX ＝5000×1120＋7000×7120＋9000×740＋10000×91120＝288253≈9608.3(元)．若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则Z ＝10000－2000Y ，由已知可得Y ～故EY ＝3×15＝35，所以EZ ＝E (10000－2000Y )＝10000－2000EY ＝8800(元)，因为EX >EZ ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．14．解(1)由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值μ＝35×0.006×10＋45×0.012×10＋55×0.018×10＋65×0.034×10＋75×0.016×10＋85×0.008×10＋95×0.006×10＝64，则所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布N (64，152)，因为μ＋σ＝79，所以P (X >79)≈1－0.68262＝0.1587，故参赛学生中成绩超过79分的学生人数为0.1587×10000＝1587.(2)由μ＝64，得P (X >64)＝12，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为12，所以随机变量ξ～所以P (ξ＝0)＝C 03＝18，P (ξ＝1)＝C 13×12×＝38，P (ξ＝2)＝C 23×12＝38，P (ξ＝3)＝C 33＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ0123P18383818所以期望为Eξ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝Eξ＝3×12＝。
高中数学 期末综合测试(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学试题
单元综合测试五(期末综合测试)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C.2 D ．2 【答案】B【解析】 本题考查复数的运算和复数的模． ∵z ＝1i －1＝－12－12i ，∴|z |＝(－12)2＋(－12)2＝22.故选B. 2．已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3 D. 3 【答案】A【解析】 ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2＋i)(2－i)＝4－(－1)＝5.3．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R )”，其反设正确的是( ) A ．a 、b 至少有一个不为0 B ．a 、b 至少有一个为0 C ．a 、b 全不为0 D ．a 、b 中只有一个为0 【答案】A【解析】 对“全为0”的否定是“不全为0”，故选A.4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca ＝1 D ．ax ＋by ＋zc ＝1 【答案】A【解析】 由类比推理可知，方程为x a ＋y b ＋zc＝1.5．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11 【答案】B【解析】 本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i ＝1，S ＝0；i ＝2，S ＝2×2＋1＝5；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S <9.6．对a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误 【答案】B【解析】 小前提错误，应满足x >0.7．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．7 【答案】C【解析】 本题考查程序框图中的循环结构．i ＝1，s ＝1→s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝2→s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝3→s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝4→输出s .8．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有1人击中目标的概率是( )A ．0.49B ．0.42C ．0.7D ．0.91 【答案】B【解析】 两人都击中概率P 1＝0.49，都击不中的概率P 2＝0.09，∴恰有一人击中的概率P ＝1－0.49－0.09＝0.42.9．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )1 3 5 7 17 15 13 11 9 19 21 23 25 27 29 31A ．1 915B ．1 917C ．1 919D ．1 921 【答案】B【解析】 如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，归纳可得第31行有61个奇数，且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．又因为前31行共有1＋3＋…＋61＝961个奇数，则第31行第1个数是第961个奇数即是1 921，则第3个数为1 917.10．已知x >0，y >0，2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2－2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 【答案】C【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时取等号．∴m 2－2m <8，即m 2－2m －8<0，解得－2<m <4. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R )．【答案】4－4i【解析】 i ＋2i 2＋3i 3＋4i 4＋5i 5＋6i 6＋7i 7＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝______.【答案】4【解析】 本题考查程序框图的循环结构． i ＝1，A ＝2，B ＝1； i ＝2，A ＝4，B ＝2； i ＝3，A ＝8，B ＝6； i ＝4，A ＝16，B ＝18； 此时A <B ，则输出i ＝4.13．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，若f (1)＝2＋3，则f (2 009)＝________.【答案】2＋ 3【解析】 ∵f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，∴f (x －2)＝1＋f (x －4)1－f (x －4).代入得f (x )＝1＋1＋f (x －4)1－f (x －4)1－1＋f (x －4)1－f (x －4)＝2－2f (x －4)＝－1f (x －4).∴f (x )＝f (x －8)，即f (x )的周期为8. ∴f (2 009)＝f (251×8＋1)＝f (1)＝2＋ 3.14．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为________．【答案】59【解析】 设数1,3,6,10,15,21，…各项为a 1，a 2，a 3，…， 则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，即数列{a n ＋1－a n }构成首项为2，公差为1的等差数列． 利用累加法得a 28＝a 1＋(2＋3＋…＋28)， a 30＝a 1＋(2＋3＋…＋28＋29＋30)， ∴a 30－a 28＝29＋30＝59.15．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中，如图，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．实数m 为何值时，复数z ＝m 2(1m ＋5＋i)＋(8m ＋15)i ＋m －6m ＋5.(1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； (4)对应点在第二象限？【解析】 z ＝m 2＋m －6m ＋5＋(m 2＋8m ＋15)i ，(1)z 为实数⇔m 2＋8m ＋15＝0且m ＋5≠0， 解得m ＝－3.(2)z 为虚数⇔m 2＋8m ＋15≠0且m ＋5≠0， 解得m ≠－3且m ≠－5. (3)z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5＝0m 2＋8m ＋15≠0，解得m ＝2.(4)z 对应的点在第二象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5<0m 2＋8m ＋15>0，解得m <－5或－3<m <2.17．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论．【解析】 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.18．已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；(2)求证满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．【证明】(1)∵f′(x)＝－3x2－1＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，∴y＝f(x)是定义域上的减函数．(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1，x2∈R，f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R上单调递减，∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．19．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：根据此流程图可回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？【解析】 (1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．20．已知数学、英语的成绩分别有1,2,3,4,5五个档次，某班共有60人，在每个档次的人数如下表：(1)求m ＝4，n ＝3(2)求在m ≥3的条件下，n ＝3的概率；(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值． 【解析】 本题为条件概率和相互独立事件的概率． (1)m ＝4，n ＝3时，共7人，故概率为P ＝760.(2)m ≥3时，总人数为35.当m ≥3，n ＝3时，总人数为8，故概率为P ＝835.(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的， 则P (m ＝2)·P (n ＝4)＝P (m ＝2，n ＝4)． ∴1＋b ＋6＋0＋a 60×3＋0＋1＋b ＋060＝b 60.故总人数为60，知a ＋b ＝13. ∴13×(4＋b )＝b .∴a ＝11，b ＝2.21．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解析】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结构共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)2 60×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。
(北师大版)苏州市高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(答案解析)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]4．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定5．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心6．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）A ．27B ．30C ．72D ．3027．已知(,)P x y 是椭圆3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P 到340x y --=的距离的最大值为（ ） A ．426+ B ．23+C ．426- D ．23-8．已知直线3:2x tl y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+9．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14C ．2D ．2210．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离11．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线12．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ） A ．5B ．52C ．7D ．72二、填空题13．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.14．直线被圆所截得的弦长为 ．15．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1{x y αα=+=（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________． 17．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.18．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．19．曲线,1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0ρρθ-=的直角坐标方程分别为_____，_____，两条曲线的交点个数为_____个.20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭时，求α． 22．已知直线l 的方程为4y x =+，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线l 与圆C 的交点的极坐标；（2）若P 为圆C 上的动点，求P 到直线l 的距离d 的最大值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN 的面积．24．在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为:cos 2sin 5l ρθρθ+=，曲线22:143x y C +=（1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上求一点P ，使它到直线l 的距离最小，并求出最小值. 25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹； （2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．A解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】 因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2116402t t a -++=， 设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，则()122t t +=，()122164t t a =+， 因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2410164a =+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.3．A解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,55E c ⎛-- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.4．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.6．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴BC ==B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．7．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.9．D【解析】分析：先由椭圆221441x nyn +=+得到这个椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），再由三角函数知识求x+y 的最大值，从而求出极限的值．详解：把椭圆221441x ny n +=+得，椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）， ∴， ∴（x+y ）max∴nlim →∞M n=n lim故选D ．点睛：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．10．B解析：B 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==<，即直线与圆相交.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.11．D解析：D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．12．D解析：D 【分析】利用直线参数方程参数的几何意义求解即可. 【详解】曲线1C 的直角坐标方程为2225x y +=，2C的参数方程为4232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设这两条曲线的交点为,A B ，其对应的参数为,A B t t将4232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2225x y +=中，整理得20t += 0A t ∴=，B t =-则A B t AB t =-=故选：D 【点睛】本题主要考查了直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意得曲线的普通方程为直线的直角坐标方程为所以圆心到直线的距离为所以直线与曲线交于考点：直线与圆的位置的弦长的计算解析：65【解析】试题分析：由题意得，曲线1C 的普通方程为221x y +=，直线l 的直角坐标方程为4340x y --=，所以圆心到直线的距离为224454(3)d ==+-，所以直线l 与曲线1C 交于224621()55AB =-=． 考点：直线与圆的位置的弦长的计算．14．【解析】试题分析：由题意得直线与圆的普通方程分别为与则弦心距则弦长为考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化直线与圆的位置关系的判定与应用其中解析：．【解析】试题分析：由题意，得直线与圆的普通方程分别为与，则弦心距，则弦长为．考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系的判定与应用，其中把曲线的参数方程化为普通方程和牢记直线与圆的弦长公式是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及推理、运算能力，属于基础题，本题的解答中，先把直线与圆的参数化为普通方程与，利用直线与圆的弦长公式，即可求解．15．【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为曲线C 的普通方程为圆心（10）半径则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为考点：参数方程与极坐标 解析：52【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为()4,4，曲线C 的普通方程为22(1)2x y -+=，圆心（1,02M 到曲线C 上的点的距离的最小值为52 考点：参数方程与极坐标16．【解析】直线的普通方程为曲线的普通方程∴ 14【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=∴AB ==17．【分析】先计算出交点的坐标设出点的参数形式利用向量的数量积运算将其表示为关于的函数再求函数的最大值即可【详解】因为曲线与直线交于点故令又因为解得故可得则点的坐标为设点则其中又因为故则故故答案为：【点【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可. 【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,1,222OP OQ cos sin cos sin θθθθ⎛⋅=⋅=+ ⎝⎭()2θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()maxOP OQ ⋅=.故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.18．【分析】将参数方程变形为两式平方再相减可得出曲线的普通方程【详解】将参数方程变形为两等式平方得上述两个等式相减得因此所求普通方程为故答案为：【点睛】本题考查参数方程化为普通方程在消参中常用平方消元法解析：22221x y a b-=【分析】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【详解】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得2222222211241124x t a t y t b t ⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22221x y a b-=，故答案为：22221x y a b-=.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】利用平方法把参数方程化为普通方程利用互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和即可得到两圆是相交的位置关系【详解】由题设知：把参数方程化为平方相 解析：()2211x y +-=()2211x y -+=【分析】利用平方法把参数方程化为普通方程，利用互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和，即可得到两圆是相交的位置关系． 【详解】由题设知：把参数方程cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩化为cos 1sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加消去参数化为普通方程得22x (y 1)1+-=，极坐标方程两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==把极坐标方程化为直角方程得 2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=；011112=-<<+=，故两圆相交，故有2个公共点．故答案为2222(1)1,(1)1,2y y x x +-=-+=．【点睛】本题考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为普通方程的方法，以及圆与圆的位置关系．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.20．【分析】设根据题意换元后利用配方法即可得出结论【详解】由椭圆可知由椭圆的对称性可设根据题意令当时有最小值此时故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程考查距离公式考查配方法的运用属于中档题解析：43p【分析】设(2cos ,sin ),0A αααπ≤≤，根据题意222(2cos )sin AM p αα=-+，换元后利用配方法，即可得出结论. 【详解】由椭圆2214x y +=，可知2,1a b ==，由椭圆的对称性，可设(2cos ,sin ),0A αααπ≤≤，根据题意222(2cos )sin AM p αα=-+， 令cos ,11,t t α=-222223413133p p y t pt p t ⎛⎫=-++=-+-⎪⎝⎭2201,033p p <<<< 当23p t =时，y 有最小值213p -，此时2cos 3pα=， 42cos 3p a α∴==， 故答案为：43p 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程，考查距离公式，考查配方法的运用，属于中档题.三、解答题21．（1）221124x y +=（2）56πα=【分析】（1）消去参数β，即可得曲线的普通方程；（2）利用点差法求出直线的斜率k 的值，从而求得直线的倾斜角. 【详解】（1）由2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩得cos sin 2y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β得221124x y +=，所以曲线C 的普通方程为221124x y +=；（2）直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标为． 设直线l 与曲线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则122x x +=1212y y+=，2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， 由-②①得222221210124x x y y --+=，所以()211221123y y x x x x y y -+=-==-+，即tan 3l k α=-=，又∵[0,)απ∈，∴直线l 的倾斜角为56π． 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、点差法的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22．(1)对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,2π⎛⎫⎪⎝⎭(2) 2+【分析】（I ）由圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用222x y y tan x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可得极坐标．（II ）圆心（0，2）到直线l 的距离为d 1，可得P 到直线l 的距离d 的最大值为d 1+r ． 【详解】解：（I ）直线l :4y x =+,圆C :()2224x y +-=联立方程组()22424y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得22x y =-⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩对应的极坐标分别为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （II ）设()2cos ,22sin P θθ+,则14d πθ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,d取得最大值2 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．（1）()3θρπ=∈R2【分析】（1）由122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，再利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得极坐标方程.然后利用直线的极坐标方程求点23P π⎫⎪⎪⎝⎭到直线l 的距离. （2）由曲线C 的极坐标方程和直线的极坐标方程联立得到220ρρ--=，再将韦达定理代入12||MN ρρ=-，求得||MN ，再由1||2PMN S MN d =⨯△求解.【详解】（1）由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，则sin cos ρθθ=，∴tan θ=3πθ∴=，所以直线l 的极坐标方程为()3θρπ=∈R ．所以点23P π⎫⎪⎪⎝⎭到直线l的距离为2sin 33d ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭（2）由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得220ρρ--=， 所以121ρρ+=，122ρρ=-， 所以12||3MN ρρ=-==，所以PMN的面积为11||322PMN S MN d =⨯=⨯=△.【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化，点到直线的距离以及三角形的面积，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24．（1）:250l x y +-= 2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）3(1,)2P，min d =【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，由公式22cos sin 1αα+=可得曲线C 的参数方程．（2）利用曲线C 参数方程设P 点坐标，求出点到直线的距离，结合三角函数的性质得最大值． 【详解】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得l 的直角坐标方程为25x y +=，即250x y +-=，由22cos sin 1αα+=得曲线22:143x y C+=的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）设(2cos )P αα，则P 到直线l的距离为d==，所以sin()16πα+=时，min 5d =． sin()16πα+=，2,62k k Z ππαπ+=+∈，所以sin 2α=，1cos 2α=，所以3(1,)2P ．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，正弦函数的性质，属于中档题． 25．（1）l ：sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=，C ：22231x y ；（2）(]2,6.【分析】（1）根据消元法消去参数t ，得到直线l 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程；（2）直线l 参数方程与曲线C 的直角方程联立，结合直线参数方程的几何意义和根与系数关系，将22PA PB +表示为关于α的函数，通过确定α的取值范围，即可求解. 【详解】 （1）因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以曲线C 的直角坐标方程2246120x y x y +--+=， 即22231x y .（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，22cos α1sin α11t t ，整理得关于t 的方程()22sin cos 10t t αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解， 设为1t ，2t ，则()122sin cos t t αα+=+，121t t =. 并且()24sin cos 48sin cos 0αααα∆=+-=>， 注意到0απ≤<，解得02πα<<，故可知10t >，20t >，因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有()222221212122PA PB t t t t t t +=+=+-()24sin cos 24sin 22ααα=+-=+，因为02πα<<，所以(]sin 20,1α∈，(]4sin 222,6α+∈.因此22PA PB +的取值范围是(]2,6. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，应用直线参数方程的几何意义是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.26．（1）26cos 2sin 40ρρθρθ--+=，表示圆心为()3,1，半径为2的圆；（2）25+ 【分析】（1）根据参数得到直角坐标系方程()()22314x y -+-=，再转化为极坐标方程得到答案. （2）直线方程为21y x -=，计算圆心到直线的距离加上半径得到答案. 【详解】 （1）32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，即()()22314x y -+-=，化简得到：226240x y x y +--+=.即26cos 2sin 40ρρθρθ--+=，表示圆心为()3,1，半径为2的圆.（2）1sin 2cos θθρ-=，即21y x -=，圆心到直线的距离为d ==.故曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2d r +=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.。
高中数学北师大版必修三、必修二---1、必修二---2期末综合检测试题
高二期末复习（二）一、选择题1.在复平面内，复数i2iz =-对应的点所在的象限是（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 （ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知命题:p x ∀∈R ，03>x ，则 （A )Ａ．:p x ⌝∃∈R ，03≤x Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，03≤x Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，03<xD ．:p x ⌝∀∈R ，03<x4．函数()sin x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为 (B )(A) 0 (B)4π(C) 1 (D)32 5.. 执行右面的程序框图，如果输入的N 是5，那么输出的S 是 （ B ）A.-385B. B. -399C. -45.D. -556．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是 ( B )（ ） A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰C ．12()S y y dy =-⎰D ．1()S y y dy =-⎰7.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ D ） x 6 3 5 2 y4.22.8m2.6A.4B.3.15C.4.5D.38．在A B C ∆中，有如下命题，其中正确的是 （ C ）①AB AC BC -= ；②0=++A C C B B A ；③若()()0A B A C A B A C +⋅-= ，则A B C ∆为等腰三角形；④若0A B B C ⋅>，则A B C ∆为锐角三角形。
北师大版高中数学高一必修4课时跟踪检测(一)周期现象
课时跟踪检测（一） 周期现象层级一 学业水平达标1．下列现象是周期现象的是( )①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．③④解析：选A 日出日落是周期现象；潮汐是周期现象；海啸、地震均没有规律，不是周期现象．故选A.2. 如图所示的是一个单摆，让摆球从A 点开始摆，最后又回到A 点，单摆所 经历的时间是一个周期T ，则摆球在O →B →O →A →O 的运动过程中，经 历的时间是( ) A ．2T B ．T C.3T 4D.T 2解析：选B 整个运动恰好是一个周期，所以运动的时间是T . 3．2016年，小明17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是( )A ．26B ．32C ．36D ．41解析：选D 由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D. 4．下列变量y 关于变量x 的散点图中，可能是周期现象的是( )解析：选D A 、B 、C 中，变量x 每隔任何一段间隔，变量y 都不是重复变化的，所以A 、B 、C 均不是周期现象；D 中变量x 每隔一段间隔，变量y 重复变化，所以是周期现象．5．0.428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是()A．5 B．4C．8 D．7解析：选D由题意知数字重复出现的周期为6，而545＝6×90＋5，故小数点后第545位上的数字是7.6．有以下现象：①候鸟的迁徙；②每年6月7号、8号高考；③某交通路口每次绿灯通过的车辆数．其中是周期现象的有________．解析：显然①②是周期现象．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但是每次绿灯通过的车辆数不一定相同，故③不是周期现象．答案：①②7．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析：小球的排列每隔7个呈周期变化，30＝4×7＋2，故第30个小球是红色．答案：红8．现在是二月份，100个月后的那个月是________月份．解析：一年有12个月，月份是12个月循环一次，100＝12×8＋4，故100个月后是六月份．答案：六9. 如图是一单摆，摆球从点B到点O，再到点C用时1.6 s(不计阻力)．若从摆球在点B处开始计时，经过1 min后，请估计摆球相对于点O的位置．解：由题意知，该摆球摆动一个来回需用时3.2 s，因为1 min＝60 s＝(18×3.2＋2.4)s，而2.4－1.6＝0.8 s，所以1 min后摆球在点O处．10．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解：共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．层级二应试能力达标1．按照规定，奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是()A．2012B．2016C．2019 D．2020解析：选C 2 019＝2 008＋4×2＋3.显然，2019不是4的倍数，故选C.2．探索图所呈现的规律，判断2 014至2 016箭头的方向是()解析：选C观察图可知每增加4个数字就重复相同的位置，则2 014至2 016箭头的方向与2至4箭头的方向是相同的．3．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数值重复出现一次所需的时间T及在t＝25 s时钟摆的高度为()A．2 s,10 mm B．1 s,20 mmC．1 s,10 mm D．2 s,20 mm解析：选D结合周期现象的定义我们由图可知该函数值重复出现一次所需的时间T ＝2 s，故t＝25 s＝12×2 s＋1 s时钟摆的高度与t＝1 s时的高度相同，为20 mm. 4．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 017次互换座位后，小兔的位置对应的是()开始第1次第2次第3次①猴②兔③猫④鼠①猫②鼠③猴④兔①鼠②猫③兔④猴①兔②猴③鼠④猫A．编号①B．编号②C．编号③D．编号④解析：选D由已知和题图得，小兔自第1次交换位置后座位的编号依次为④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环．因为2 017÷4的余数为1，所以第2 017次交换位置后，小兔的位置和第1次交换的位置相同，即编号为④.5．如图，从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球．已知第1,2个是黑球，第3个是白球，……，以此类推，第2 016个球是________(填白球或黑球)．解析：球的摆放呈周期性，第3,6,9，…个球都是白球，其余的都是黑球．因为2 016＝672×3，所以第2 016个球是白球．答案：白球6．已知函数f(x)的图像是以10为周期重复出现的，若f(1)＝2 016，则f(41)＝________.解析：由题意，知f(x)的周期为10，所以f(41)＝f(4×10＋1)＝f(1)＝ 2 016.答案：2 0167．太空中某变星的亮度随着时间的变化而变化，下表是某研究人员在某月(28天)中观察该变星所得到的部分数据：时间2日4日6日8日10日12日14日亮度等级 4.2 4.5 3.6 3.9 4.2 4.5 3.6时间16日18日20日22日24日26日28日亮度等级 3.9 4.2 4.5 3.6 3.9 4.2 4.5试判断该变星的亮度变化是否是周期现象，并推断下个月(每月按30天计)第12日该变星的亮度等级是多少．解：画出散点图，如图，从图中可以看出该变星的亮度等级每8天重复出现，是周期现象．事实上，无论从哪日算起，每8天，该变星都会出现相同的亮度等级，所以下个月第12日该变星的亮度等级是4.2.8. 如图所示，游乐场里的摩天轮顺时针匀速旋转，旋转一周需要20分钟．(1)若某游客从摩天轮的最低点上去，25分钟后，他是在摩天轮的左侧还是右侧？(2)假设摩天轮有12个座舱，每个座舱最多乘坐4人，摩天轮转一周换一批人，若不计换人的时间，试估算2小时内最多有多少人乘坐．解：(1)旋转一周需要20分钟，由于摩天轮是匀速旋转的，从最低点开始经过10分钟才可到达最高点，则该游客25分钟后在摩天轮的左侧．(2)每20分钟转一圈，则2小时内共转6圈，每转一圈最多可乘坐的人数为48，故2小时内最多可以乘坐6×48＝288(人)．。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)
一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符； 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符； 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】 （1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =， 则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+， 即当1n k =+时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题 解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立． 【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)
一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．已知函数22(1),10()1,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 3．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．35．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π26．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-27．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 8．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．509．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．210．已知42cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．曲线2y x x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.14．()222sin 4x x dx -+-=⎰______.15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.16．曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．17．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 18．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________．19．()402sin cos 2x a x dx π-=⎰，则实数a =____________. 20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数1()ln ()f x x b x b R x=--∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）设2()g x x =，求证()()2ln 2g x f x >-． 22．计算曲线223y x x =-+与直线3yx所围图形的面积．23．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为3（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积.24．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间； （2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.25．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD 上，且3BOG π∠=，设BOC θ∠=．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()f θ，求()f θ的表达式； （2）怎样设计才能符合园林局的要求？26．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．B解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()0022321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰，⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，4π∴=⎰，()()121114313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰.故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.3．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.5．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义6．C解析：C【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C7．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线8．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．9．C解析：C 【解析】f ′(x )=6x 2−18x +12，令f ′(x )=0得x 2−3x +2=0，解得x =1，或x =2. ∴当x <1或x >2时,f ′(x )>0，当1<x <2时,f ′(x )<0，∴f (x )在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5−a ， 当x =2时,f (x )取得极小值f (2)=4−a ，∵f (x )只有两个零点，∴5−a =0或4−a =0，即a =5或a =4. 本题选择C 选项.10．B解析：B 【解析】由题意得4402cos2d sin 2|sin 12t x x x πππ====⎰．所以输入的1,2a b ==． 执行如图所示的程序，可得：①3,5,5,2a b S n ====，不满足条件，继续运行； ②8,13,18,3a b S n ====，不满足条件，继续运行；③21,33,51,4a b S n ====，满足条件，停止运行，输出4．选B ．11．C解析：C 【解析】W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x ＝(x 3－x 2＋5x )105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．选C.12．D解析：D 【解析】∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，∴若2(22)(2)tt x dx x x -=-⎰=t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.二、填空题13．【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线和的图像并找出两曲线图像围成的区域然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案【详解】如图所示曲线和所围成的封闭图形的面积为：故答案为【点睛】本题考查几何中面积解析：13【解析】 【分析】本题首先可以绘出曲线2y x x 和2y x x 的图像，并找出两曲线图像围成的区域，然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。
(北师大版)高中数学必修第一册 第五章综合测试试卷02及答案
第五章综合测试一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A .()21--，B .()10-，C .102æöç÷èø，D .112æöç÷èø，2.已知函数()220301x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪+⎩，≤＞，若函数()y f x m =-有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A .()13-，B .(]13-，C .()1-+∞，D .[)1-+∞，3.“函数()y f x =在区间()a b ，上有零点”是“()()0f a f b g ＜”的（ ）条件.A .充分不必要B .必要不充分C .充分必要D .非充分非必要4.函数()2=ln f x x x-的零点所在的大致区间是（ ）A .()12，B .()23，C .11e æöç÷èø，和()34，D .()e +∞，5.已知()lg 0=0x x x f x a b x -⎧⎨+⎩，＞，≤且()03f =，()14f -=，则()()3f f -=（）A .1-B .lg3-C .0D .16.设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在[]13x ∈，上的近似解的过程中取区间中点02x =，那么方程有根区间为（）A .[]12，B .[]23，C .[]12，或[]23，都可以D .不能确定7.函数()324x f x x =+-的零点所在区间为（）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，8.已知函数()2010.x x f x ax x ⎧=⎨-⎩，≥，，＜若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .(]1-∞-，C .[)20-，D .[)10-，9.函数()312xf x x æö=-ç÷èø的零点所在区间为（ ）A .()10-，B .102æöç÷èø，C .112æöç÷èøD .()12，10.已知函数()())100x f x x -=≤＞，若存在0x ∈R 使得()()0011f x m x --≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）A .()0+∞，B .[)()100-+∞ ，，C .()[)11-∞-+∞ ，，D .(]()10-∞-+∞ ，，二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.若函数()23x f x x -=-+的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k =________.12.函数()23f x x x =-的零点是________.13.已知函数()1010x f x x x⎧⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是________.14.一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________.15.函数()1lg xf x x e =-的零点个数为________.16.定义在区间[]03π，上的函数cos 2y x =的图象与sin x 的图象的交点个数是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知幂函数()()m f x x m =∈Q 的图象经过124M æöç÷èø，.（1）求12f æöç÷èø的值；（2）若方程()120f x b b x æö+-=∈ç÷èøR 有两个相同的实数根，求实数b 的值.18.已知函数()321f x x bx cx =+++的单调递增区间是(]82--，与[)2+∞，，单调递减区间是[]22-，.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()f x 的图象与直线y m =恰有三个公共点，求m 的取值范围.19.已知函数()()1f x x x a x =--∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 的单调增区间（写出结论即可）；（2）在（1）的条件下，当2x ＞时，()22f x kx k --≥恒成立，求实数k 的取值范围.（3）当()03a ∈，，求函数()y f x =在[]12x ∈，上的最小值()h a .20.已知函数()()242f x mx x m =--∈R .（1）若()f x 在区间[]12，上是单调减函数，求m 的取值范围；（2）若方程()0f x =在区间[]21--，上有解，求m 的取值范围；21.已知函数()f x 与()12g x x x=++的图象关于点()12A ，对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()=F x f x c -有两个不同零点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()()2ah x f x x =+-在()24，上是单调减函数，求实数a 的取值范围.22.共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数()h x ，其中()214000400280000400x x x x h x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪∈⎩N N，＜≤，，，＞，，x 是新样式单车的月产量单位：件，=利润总收益-总成本.（1）试将自行车厂的利润y 元表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？第五章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：()03f =-，112211431022f e e æö=+⨯-=-ç÷èø＞，()1002f f æöç÷èø∴＜，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为102æöç÷èø，，故选C.2.【答案】A【解析】解：依题意，函数()f x 的图象与直线y m =有两个交点，而当0x ＞时，()()31333311x f x x x +-==-++＜，作出图象如下图所示，由图象可知，()13m ∈-，.故选：A.3.【答案】D【解析】解：由“函数()y f x =在区间()a b ，上有零点”不能推出“()()0f a f b g ＜”，如()21f x x =-在()22-，上有零点，但()()220f f -g ＞，故成分性不成立.由“()()0f a f b g ＜”不能推出“函数()y f x =在区间()a b ，上有零点”，如()1f x x=满足()()110f f -g ＜，但()1f x x=在()11-，上没有零点，故必要性不成立.故选：D.4.【答案】B【解析】解：对于函数()2ln f x x x=-在()0+∞，上是连续函数，由于()222ln 2ln 2lne ln 02f e=-=-=＜，()2323ln 3ln 3ln 03f e =-=-=，故()()230f f ＜，根据零点存在定理可知，函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是()23，.5.【答案】D【解析】解：根据题意，()lg 00x x x f x a b x -⎧=⎨+⎩，＞，≤且()03f =，()14f -=，则01134a b b a b -⎧+=+=⎪⎨+=⎪⎩，解可得122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则()3132102f -æö-=+=ç÷èø，则()()3lg101f f -==；故选：D.6.【答案】A【解析】解：由题意得，()338x f x x =+-，则()11331820f =+⨯-=-＜，()333338280f =+⨯-=＞，且()22332870f =+⨯-=＞，所以()()120f f ＜，即方程()0f x =有根的区间为[]12，.故选：A.7.【答案】C 8.【答案】A【解析】解：由题意，存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，可得0a ＜.转化为函数2y x =与函数1y ax =--有交点.210x ax ++=∴有解，240a ∆=-∴≥，解得2a -≤，故选：A.9.【答案】C【解析】解：∵函数()312xf x x æö=-ç÷èø()11111022f æö=-=ç÷èø∴＞，1321111402228f æöæöæö=-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø＜，则函数()312xf x x æö=-ç÷èø的零点所在的区间为112æöç÷èø，.故选C.10.【答案】D【解析】解：函数()())100x f x x -=≤＞的图象如图，直线()011y m x =--过定点()11P -，，m 为其斜率，0m ＞满足题意，当0m ＜时，直线过原点时与函数1x y e -=-相切，x y e -'=-，0x =时，切线的斜率为1-；1m =-∴，1m -∴≤也满足题意.故选：D.二、11.【答案】3【解析】解：根据题意，函数()23x f x x -=-+，分析可得()f x 为减函数，且()31323308f -=-+=，而()4154243016f -=-+=-＜，则()()340f f ＜，则函数()f x 的零点在()34，上，则3k =.12.【答案】0，3【解析】解：由()230f x x x =-=，得0x =或3x =.故答案为0，3.13.【答案】(][)812-+∞ ，，【解析】解：方程()x f x m +=有解，即方程()f x m x =-有解，在同一坐标系中画出()1010x f x x x⎧⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，和y m x =-的图象，根据图象，当0x ≤时，两函数图像有交点，1m ≤，当0x ＞时，两函数图像有交点，12m x x=+≥，当且仅当1x =时，等号成立，综上，1m ≤，或2m ≥，故答案为(][)812-+∞ ，，.14.【答案】2k ＜且1k ≠【解析】解：由题意一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则()21044410k b ac k -≠⎧⎪⎨∆=-=+-⎪⎩＞解得2k ＜且1k ≠，故答案为2k ＜且1k ≠.15.【答案】2【解析】解：令()0f x =，则1lg x x e =，()1x xh x e e-==，()lg f x x =，如上图所示，所以两函数有两个交点，即函数()f x 有两个零点.故答案为：2.16.【答案】5解：依题意，令cos 2sin x x =，即212sin sin x x -=，22sin sin 10x x +-=，解得sin 1x =-或1sin 2x =，因为[]03x π∈，，所以32x π=，6π，56π，136π，176π，共5个.所以交点个数有5个.故答案为：5.三、17.【答案】解：（1）∵幂函数()f x 经过点124M æöç÷èø，，∴有()124f =，即124m =，2m =-∴，()2f x x -=∴，211422f -æöæö==ç÷ç÷èøèø∴，故12f æöç÷èø的值为4；（2）由（1）知()2f x x -=，∴由120f x b x æö+-=ç÷èø，可得220x x b +-=，220x x b +-=∵有两个相同的实数根，0∆=∴，即440b +=，1b =-∴.18.【答案】解：（1）()232f x x bx c '=++，依题意有()()2020f f '⎧-=⎪⎨'=⎪⎩即12401240b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得0b =，12c =-.∴函数()f x 的解析式为()3121f x x x =-+.（2）由条件可知，函数()f x 有极大值()217f -=，极小值()215f =-，()f x 大致图象如图，因为()f x 的图象与直线y m =恰有三个公共点，所以1517m -＜＜.19.【答案】解：（1）当2a =时，()()()22212122121212x x x x x f x x x x x x x x ⎧--=--⎪=--=⎨---=-+-⎪⎩，≥，＜，对应的图象如图，则函数的单调递增区间为(]8,1-，[)2+∞，.（2）在（1）的条件下()21f x x x =--，当2x ＞时，()()21f x x x =--，若()22f x kx k --≥恒成立，即[]2122x x kx k ----≥恒成立，即()2212x x k x -+-≥，即2212x x k x -+-≤恒成立，设2t x =-，则0t ＞，则2x t =+，则()()22222212121122t t x x t t t x t t t +-++-+++===++-，0t ∵＞，122224t t +++=+=∴≥，当且仅当1t t =，即1t =时，取等号.4k ∴≤，即实数k 的取值范围是(]84-，.（3）()2211x ax x a f x x ax x a⎧--⎪=⎨-+-⎪⎩，≥，＜，①当01a ＜≤时，1x a ≥≥，此时()21f x x ax =--的对称轴为1122a x =≤＜，则()f x 在[]12，上递增，则最小值()()111h a f a a ==--=-.②当12a ＜≤时，x a =时取得最小值()()1h a f a ==-，③当23a ＜＜时，2x a ≤＜，此时()21f x x ax =-+-，对称轴为3122a x æö=∈ç÷èø，，()12f a =-，()225f a =-，()25230a a a ---=-∵＜，252a a --∴＜，即此时函数的最小值()()225h a f a ==-.综上()11122523a a h a a a a -⎧⎪=-⎨⎪-⎩，0＜≤，＜≤，＜＜.20.【答案】解：（1）当0m =时，()42f x x =--，满足在区间[]12，上是单调递减函数，符合；当0m ＞时，要使()f x 在区间[]12，上是单调减函数，则需22m≥，即01m ＜≤；当0m ＜时，要使()f x 在区间[]12，上是单调减函数，则需21m ，即0m ＜，综上，1m ≤；（2）由()0f x =，即2420mx x --=在区间[]21--，上有解，则242x m x +=在区间[]21--，上有解，令1t x =，设()224u t t t =+，则题意即为方程()m u t =在112t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，上有解，由于()()2232421222u t t t t ⎡⎤=+=+-∈--⎢⎥⎣⎦，，所以322m --≤≤21.【答案】解：（1）设()g x 上任意一点()m n ，，它关于点A 对称的点为()00x y ，，00.24m x n y +=⎧⎨+=⎩，则02m x =-，04n y =-，又因为12n m m=++，所以00014222y x x -=-++-，所以00012y x x =+-，所以()f x 的函数解析式为()12f x x x =+-.（2）若函数()()F x f x c =-有两个不同零点，则()y f x =与y c =有两个交点，()()()222143122x x f x x x --+'=+=--，令()0f x '=得11x =，23x =所以()f x 在()1-∞，，()3+∞，上，()0f x '＞，()f x 单调递增，()f x 在()12，，()23，上，()f x '＜0，()f x 单调递减，()10f =，()34f =，所以()()04c ∈-∞+∞ ，，.（3）()()112222a a a h x f x x x x x x x +=+=++=+----，因为函数()h x 在()24，上单调递减，所以任意()24x ∈，，()0h x '≤，即任意()24x ∈，，()()21102a x -++-≤，即任意()24x ∈，，()221x a --≤，令()()221p x x =--，()24x ∈，，所以()()13p x ∈-，，所以3a ≥.所以实数a 的取值范围[)3+∞，.22.【答案】解：（1）依题设，总成本为20000100x +，则21300200000400260000100400.x x x x y x x x ⎧-+-∈⎪=⎨⎪-∈⎩N N ，＜≤且，，＞且（2）当0400x ≤≤时，()21300250002y x =--+，则当300x =时，max 25000y =；当400x ＞时，60000100y x =-是减函数，则6000010040020000y -⨯=＜，所以当月产量为300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元.。
(北师大版)济南市高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．20212．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ） A ．3B ．6C ．9D ．273．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A1 BC1D5．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e e +的最大值为（ ） A．3BC．D．6．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．07．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．408．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( ) A．B ．4C ．12D ．69．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．4710．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C ．33D ．311．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=（ ）A ．14B ．13C ．12D ．3412．设a 、b 、c 、x 、y 、z 是正数，且22210a b c ＋＋＝，22240x y z ＋＋＝，20ax by cz ＋＋＝，则＝( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．用数学归纳法证明关于n 的不等式1111312224n n n +++>++ (n ∈N +)，由n=k 递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________. 14．函数2223y x x =--_______.15．若231x y z +=，则222x y z ++的最小值为__________ 16．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______．17．设向量(,)a b α=，(,)c d β=，其中a ，b ，c ，d R ∈，由不等式||||||⋅≤αβαβ恒成立，可以证明柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ≥+++（当且仅当k αβ=，即ad bc =时等号成立）．已知x ，y R +∈3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围为________________． 18．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________．19．已知正实数,,a b c ，且1a b c ++=，则()222149a b c +++的最小值为______． 20．若,,,(0,)a b c d ∈+∞，2222,a b c d a b c dx ++=++=，则x 的取值范围为_____．三、解答题21．已知函数()3f x k x =--，k ∈R ，且()30f x +≥的解集为[]1,1-. （1）求k 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且111123ka kb kc++=，求证：239a b c ++≥. 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++． （1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+． 23．已知函数()46f x x x =-+-． （1）求不等式()6f x ≥的解集； （2）设()f x 的最小值为m ，且()114,,0m a b c a b c++=>，证明：8a b c ++≥． 24．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 25．已知()3f x x x =+-. （1）求不等式()5xf x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22a b c M ++=（a ，b ，c ∈R ），求证：2221a b c ++≥.26．已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b cb c a++=，求证：3a b c ++≤．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-，取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()122224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．2．A解析：A 【分析】利用条件构造柯西不等式22222221(3)()[1()1]492z x y z x y ++++≤++，即可求出结论.【详解】根据柯西不等式可得：222222219(23)()[1()1]994244x y x y z z ++≤+=⨯+++=33x y z ∴++≤，当且仅当43x y z ==，即414,,339x y z ===时，等号成立. 故选:A. 【点睛】本题考查应用柯西不等式求最值，属于基础题.3．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解． 【详解】由柯西不等式得，对任意实数11221212,,,,0x y x y x x y y +-≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ， 其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0， 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点． 对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数． 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放22x y +的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++()()222222112ac x y x y ≤++=++取等号条件：ay cx =； 令22OB x y d =+=，则212d d ≤+，得21d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.5．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】 如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11(11)([()(]e e e e ⨯+≤++, 即12132422e e +≤⨯=当且仅当12113e =即122e =,26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.6．B解析：B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．7．B解析：B 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.8．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x ≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．C解析：C 【解析】 由于()()()()()()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦324，所以()()()22251336x y z ++-++≥，当且仅当513122x y z +-+==-，即331x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时取等号．故选C ． 10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．C解析：C 【解析】 由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立，2222221040a b c x y z ++=++=，,20ax by cz ++=∴等号成立 111222a b c x y z ∴== 12a b c x y z ++∴=++ 故答案选C12．C解析：C 【解析】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋, 当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立∵22210a b c ＋＋＝，22240x y z ＋＋＝，20ax by cz ＋＋＝∴()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋中等号成立，∴一定有：111222a b cx y z ==，∴12a b c x y z === 则12a b c x y z ++=++ 故选C二、填空题13．增加【分析】先写出当n=k 时左边的代数式再写出当n=k+1时左边的代数式相减即可得出结果注意分母及项数的变化【详解】假设n=k 时不等式成立即+…+则当n=k+1时不等式左边=+…+=+…+=+…+=解析：增加112122k k -++ 【分析】先写出当n=k 时左边的代数式，再写出当n=k+1时左边的代数式，相减即可得出结果，注意分母及项数的变化 【详解】假设n=k 时，不等式成立，即1112k k ++++…+113224k >， 则当n=k+1时，不等式左边=11(1)1(1)2k k ++++++…+1112212(1)k k k ++++=1123k k ++++…+11122122k k k ++++ =1112k k ++++…+1111221221⎛⎫++- ⎪+++⎝⎭k k k k=1112k k++++…+11122122k k k+-++.故答案为：增加11 2122 k k-++【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，解题的关键是随着项的变化代数式的变化，属于中档题. 14．【分析】拆解函数利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】∵当且仅当即时等号成立∴函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用属于基础题【分析】拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值．【详解】∵y==111++53x=时等号成立，∴函数y【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．15．【分析】本题可根据柯西不等式得出然后通过化简即可得出结果【详解】根据柯西不等式可得因为所以当且仅当时取等号故答案为:【点睛】本题考查柯西不等式柯西不等式公式考查计算能力是简单题解析：18【分析】本题可根据柯西不等式得出222222212323x y z x y z，然后通过化简即可得出结果.【详解】根据柯西不等式可得222222212323x y z x y z，因为21x y+=，所以22218x y z，当且仅当23y zx时取等号，故答案为:18. 【点睛】本题考查柯西不等式，柯西不等式公式()()()2222222123123112233aa ab b b a b a b a b ++++≥++，考查计算能力，是简单题.16．【分析】由二维柯西不等式即可得解【详解】解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x ＋4y)2当且仅当3y ＝4x 时等号成立∴25×10≥(3x ＋4y)2即∴(3x ＋4y)max ＝5故答案为：5【点睛】【分析】由二维柯西不等式即可得解. 【详解】解：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2，即34x y -≤+≤ ∴(3x ＋4y )max ＝.故答案为： 【点睛】本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题.17．【解析】因为所以所以因为恒成立所以故实数的取值范围为解析：)+∞【解析】因为()()()22222a bc d ac bd ++≥+，所以()()22213x y ≤++，所以≤x ，y R +∈恒成立，所以k >．故实数k 的取值范围为)+∞．18．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1 解析：1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u vu vxy ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴224u v ，由柯西不等式得：222211()()4u v u v++≥,当且仅当u=v=2，即2x =±，0y =或0x =，2y =±时，2211()()x y x y ++-的最小值是1,故填1.19．【解析】试题分析：因为所以得当且仅当即时有最小值考点：柯西不等式 解析：14449【解析】试题分析：因为1a b c R a b c +∈++=，，，，所以()()22221111114912344923a b c a b c ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+++++≥++⋅+⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，得()22214414949a b c +++≥．当且仅当，即23187,,494949a b c ===时，()222149a b c +++有最小值14449． 考点：柯西不等式．20．【分析】根据题意两边同除d 用换元法重新构造变量再利用柯西不等式以及放缩法即可求出取值范围【详解】∵abcd 都是正数a2+b2+c2＝d2∴；又∵a+b+c ＝dx ∴x ＝设＝m ＝n ＝p 且m ＞0n ＞0p ＞ 解析：(3【分析】根据题意，两边同除d ，用换元法重新构造变量，再利用柯西不等式以及放缩法即可求出取值范围． 【详解】∵a ，b ，c ，d 都是正数，a 2+b 2+c 2＝d 2，∴2221a b c d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 又∵a +b +c ＝dx ，∴x ＝a b c d d d++设a d＝m ，bd ＝n ，c d ＝p ，且m ＞0，n ＞0，p ＞0，则m 2+n 2+p 2＝1， x ＝m +n +p ；由柯西不等式得：3＝（12+12+12）•（m 2+n 2+p 2）≥（1•m +1•n +1•p ）2，∴m +n +p 2221m n p m n p ==⎧⎨++=⎩，即m ＝n ＝p ＝3时，取得最大值又∵m ＞0，n ＞0，p ＞0，∴（m +n +p ）2＝m 2+n 2+p 2+2mn +2mp +2np ＞m 2+n 2+p 2＝1， ∴m +n +p ＞1；综上，1＜m +n +p x 的取值范围是（1．故答案为（1． 【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了换元法以及不等式放缩法的应用问题，是综合性题目．三、解答题21．（1）1k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）将3x +带入()3f x k x =--，由()30f x +≥可得x k ≤，然后绝对值不等式的解集确定k 的值； （2）结合（1）可得111123a b c++=，然后利用柯西不等式进行证明即可. 【详解】解：（1）因为()3f x k x =--， 所以()30f x +≥等价于x k ≤，由x k ≤有解，得0k ≥，且x k ≤解集为[],k k -. 因为()30f x +≥的解集为[]1,1-. 因此1k =.（2）证明：将（1）中所得1k =带入可知知：111123a b c++=， 因为a ，b ，c 为正实数， 所以由柯西不等式得：()21112323923a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立.. 【点睛】本题的难点在于（2）的证明，证明时可利用柯西不等式，设1a ，2a ，3a ，，n a ，1b ，2b ，3b ，，n b 为实数，则有：()()()222222222123123112233n n n n aa a ab b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++，当且仅当()01,2,3,,i b i n ==或存在一个数k 使得()1,2,3,,i i a kb i n ==时，等号成立.22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证. 【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----， 解得2x 或02x <或23x -， 综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112ab c =-=+时，上式取得等号． 又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++， 即824a b c --+． 即得证. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）(][),28,-∞⋃+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）根据绝对值不等式求出m ，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】（1）由()6f x ≥，得4,1026x x ≤⎧⎨-≥⎩或46,26x <<⎧⎨≥⎩或6,2106,x x ≥⎧⎨-≥⎩解得2x ≤或8x ≥，故所求不等式的解集为(][),28,-∞⋃+∞．（2）证明：因为()()46462f x x x x x =-+-≥---=， 所以2m =．因为,,0a b c >，所以()()211141112822a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当114a b ca b c==，即22c a b ===时，等号成立， 故8a b c ++≥． 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属于基础题. 24．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14.【分析】（1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果. 【详解】 （1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当12x <-时，1351(2)2,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，15(2)22x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立，当2x >时，135(2)2,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M xx ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ （2）设集合M 中元素的最大值为2t =， 即111423a b c++=. 又因为2 212111119934993234334 a b c a b ca b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c++的最小值14，当且仅当34a=，38b=，14c=时取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.25．（1）()(),04,-∞+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分0x<，03x<≤，3x>三类解不等式，再求并集即可；（2）根据三角不等式得3M=，再利用三维形式的柯西不等式证明即可.【详解】∵f（x）＝|x|+|x﹣3|，∴当x＜0时，()5xf xx＞等价于|x|+|x﹣3|＞﹣5，该不等式恒成立；当0＜x≤3时，()5xf xx＞等价于3＞5，该不等式不成立；当x＞3时，()5xf xx＞等价于3235xx⎧⎨-⎩＞＞，解得x＞4，∴不等式()5|xf xx＞的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞）．（2）证明：∵f（x）＝|x|+|x﹣3|≥|x﹣（x﹣3）|＝3，当且仅当0≤x≤3时取等号，∴M＝3，a+2b+2c＝3，由柯西不等式，可得9＝（a+2b+2c）2≤（12+22+22）（a2+b2+c2）＝9（a2+b2+c2），当且仅当111366a b c===，，时等号成立，∴2221a b c++≥．【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，利用柯西不等式证明不等式，考查数学运算能力，是中档题.26．见解析【分析】利用柯西不等式证明出()()2222a b cb c a a b cb c a⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c++≤.【详解】由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()22a b c ≥=++， 所以3a b c ++≤．【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．43．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C．D4．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数5．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-26．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．17．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ） A ．240B ．240-C ．60-D ．608．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．929．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 10．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π12．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．424(16)x x dx --=⎰__________．14．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______ 15．定积分121(4sin )x x dx --=⎰________.16．201x dx -=⎰__________．17．函数()xf x e x =-在［-1，1］上的最小值__________．18．()12021x x dx +-=⎰________19．曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为_______________．20．若，则的值是__________．三、解答题21．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值. （1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.22．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >，设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性和极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学必修四期末复习测试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题 1.下列命题正确的是 A.第一象限角是锐角 B.钝角是第二象限角 C.终边相同的角一定相等 D.不相等的角，它们终边必不相同
2.函数12sin()24yx的周期，振幅，初相分别是
A.4，2，4 B. 4，2，4 C. 4，2，4 D. 2，2，4 3.如果1cos()2A，那么sin()2A A.12 B.12 C.12 D.12 4.函数2005sin(2004)2yx是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 5.给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.
（2）若a，b都是单位向量，则a＝b.
（3）向量AB与向量BA相等. （4）若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4）
6.如果点(sin2P，cos2)位于第三象限，那么角所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.在四边形ABCD中，如果0ABCD，ABDC，那么四边形ABCD的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 8.若是第一象限角，则sincos的值与1的大小关系是 A.sincos1 B.sincos1 C.sincos1 D.不能确定 9.在△ABC中，若sin2cossinCAB，则此三角形必是 A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 AF
BDC
EG
10.如图，在△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于 点G，则下列各等式中不正确的是
A.23BGBE B.2CGGF
C.12DGAG D.121332DAFCBC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.设扇形的周长为8cm，面积为24cm，则扇形的圆心角的弧度数是 .
12.已知tan2，3tan()5，则tan . 13.已知(3a，1)，(sinb，cos)，且a∥b，则4sin2cos5cos3sin＝ . 14.给出命题： （1）在平行四边形ABCD中，ABADAC.
（2）在△ABC中，若0ABAC，则△ABC是钝角三角形. （3）在空间四边形ABCD中，,EF分别是,BCDA的中点，则1()2FEABDC. 以上命题中，正确的命题序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分） 已知3sin25，53[,]42. （1）求cos2及cos的值；
（2）求满足条件10sin()sin()2cos10xx的锐角x. ItO
300
-300
16.（本小题满分13分） 已知函数()sin3cos22xxfx，xR.
（1）求函数()fx的最小正周期，并求函数()fx在[2,2]x上的单调递增区间； （2）函数()sin()fxxxR的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数()fx的图象.
17.（本小题满分13分） 已知电流I与时间t的关系式为sin()IAt.
（1）下图是sin()IAt(0,)2在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt的解析式； （2）如果t在任意一段1150秒的时间内，电流 sin()IAt都能取得最大值和最小值，1900 1180 那么的最小正整数值是多少？ 18.（本小题满分13分） 已知向量(3,4)OA，(6,3)OB，(5,3)OCmm.
（1）若点,,ABC能够成三角形，求实数m应满足的条件； （2）若△ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值.
19.（本小题满分13分） 设平面内的向量(1,7)OA，(5,1)OB，(2,1)OM，点P是直线OM上的一个
动点，且8PAPB，求OP的坐标及APB的余弦值.
20.（本小题满分13分） 已知向量33(cos,sin)22xxa，(cos,sin)22xxb，且[,]2x.
（1）求ab及ab； （2）求函数()fxabab的最大值，并求使函数取得最大值时x的值. 高中数学必修（4）试卷参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B A B A A A C 二、填空题 11. 2 12. -13 13. 57 14. （1）（2）（3） 三、解答题 15.解：（1）因为5342，所以5232. ………………………（2分）
因此24cos21sin25. ………………………………（4分）
由2cos22cos1，得10cos10. ……………………（8分） （2）因为10sin()sin()2cos10xx， 所以102cos(1sin)10x，所以1sin2x. ………………………（11分） 因为x为锐角，所以6x. ………………………………………………（13分） 16.解：sin3cos2sin()2223xxxy. （1）最小正周期2412T. ……………………………………………（3分）
令123zx，函数sinyz单调递增区间是[2,2]()22kkkZ. 由 1222232kxk， 得 544,33kxkkZ. ………………………………（5分） 取0k，得533x，而5[,]33[2,2]， 所以，函数sin3cos22xxy，[2,2]x得单调递增区间是5[,]33. …………………………………………………………………………（8分） （2）把函数sinyx图象向左平移3，得到函数sin()3yx的图象，…（10分） 再把函数sin()3yx的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数sin()23xy的图象， …………………………………（11分） 然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即可得到函数 2sin()23xy的图象. …………………………………………………（13分）
17.解：（1）由图可知300A，设11900t，21180t， ……………………（2分） 则周期211112()2()18090075Ttt， …………………………（4分） ∴2150T. ………………………………………………………（6分） 1900t时，0I，即1sin[150()]0900，sin()06. 而2， ∴6. 故所求的解析式为300sin(150)6It. ……………………………（8分） （2）依题意，周期1150T，即21150，(0)， …………………（10分） ∴300942，又*N，故最小正整数943. ……………（13分） 18.解：（1）已知向量(3,4)OA，(6,3)OB，(5,3)OCmm， 若点,,ABC能构成三角形，则这三点不共线，即AB与BC不共线. ……（4分） (3,1)AB，(2,1)ACmm， 故知3(1)2mm， ∴实数12m时，满足条件. …………………………………………………（8分） （若根据点,,ABC能构成三角形，必须任意两边长的和大于第三边的长，即由AB BCCA去解答，相应给分）
（2）若△ABC为直角三角形，且A为直角，则ABAC， …………（10分） ∴3(2)(1)0mm， 解得74m. …………………………………………………………………（13分） 19.解：设(,)OPxy. ∵点P在直线OM上， ∴OP与OM共线，而OM(2,1)，
∴20xy，即2xy，有(2,)OPyy. ………………………………（2分） ∵(12,7)PAOAOPyy，(52,1)PBOBOPyy，……（4分） ∴(12)(52)(7)(1)PAPByyyy， 即252012PAPByy. …………………………………………………（6分） 又8PAPB， ∴2520128yy， 所以2y，4x，此时(4,2)OP. ……………………………………（8分） (3,5),(1,1)PAPB. 于是34,2,8PAPBPAPB. …………………………………（10分）
∴8417cos17342PAPBAPBPAPB. ………………………（13分） 20.解：（1）33coscossinsincos22222xxxxabx， ……………………（3分） 2233(coscos)(sinsin)2222xxxxab ………………………（4分） 3322(coscossinsin)2222xxxx 22cos22cosxx …………………………………………（7分） ∵[,]2x， ∴cos0x.