2014冀教版八年级数学上册 12.4 分式方程专题训练
冀教版八年级上册数学第十二章 分式和分式方程含答案
冀教版八年级上册数学第十二章分式和分式方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、方程+2=的解为（）A.x1=4，x2=1 B.x1= ，x2= C.x=4 D.x1=4，x2=-12、下列运算中正确的是（）A. B. C. D.3、若关于x的方程﹣=0无解，则m的值是（）A.3B.2C.1D.﹣14、一专业户计划在一定时间内种植蔬菜60亩，在实际播种时，每天比原计划多种了3亩，故提前1天完成，那么求实际播种时间为 x 天的方程是（）A. B. C. D.5、分式方程的解是（）A. B. C. D.6、把，，通分的过程中，不正确的是（）A.最简公分母是（x-2）（x+3） 2B.C. D.7、下列各选项中的式子，是分式的为（）A. B. C. D.8、要使分式有意义，则x 的取值应满足( )A. x =2B. x ＜2C. x ＞2D. x ≠29、若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（）A.扩大为原来的2倍B.不变C.缩小为原来的2倍D.缩小为原来的4倍10、分式有意义，则x的取值范围是（）A.x≠2B.x≠﹣2C.x=2D.x=﹣211、如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C.全体实数 D.12、计算的结果是（）A. B. C.y D.x13、若分式的值为0，则x的值是（）A.3B.C.3或D.014、要使式子有意义，则m的取值范围是（）A. m＞﹣1B. m≥﹣1C. m＞﹣1且m≠1D. m≥﹣1且m≠115、分式方程的解是（）A.x=﹣2B.x=1C.x=2D.x=3二、填空题(共10题，共计30分)16、小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打个字，小丽打个字的时间与小明打个字的时间相同.如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是________．17、若分式的值为0，则x的值是________.18、分式除以分式,把除式的________颠倒位置后再与被除式________,即:÷= ·________.19、当x=________ 时，分式的值等于0．20、当x=________时，分式的值为零。
八年级数学上册第12章分式和分式方程微卷专训2六种常见的高频考点汇总试题冀教版
专训2 六种常见的高频考点汇总名师点金：本章主要学习了分式定义，分式的运算，分式方程的解法及应用，其常见高频考点有：分式的概念及分式有、无意义的条件，分式的基本性质，分式的有关运算，整数指数幂，可化为一元一次方程的分式方程及其应用，数学思想方法的应用等．分式的概念及分式有、无意义的条件1．在式子2x ，13(x ＋y)，x π－3，5a －x ，x ＋3（x ＋1）（x －2）中，分式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．若分式2x －5有意义，则x 的取值范围是( )A ．x≠5B ．x≠－5C ．x ＞5D ．x ＞－53．若分式x 2－13x －3的值为0，则( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝±1D ．x ＝04．如果一个分式含有两个字母a ，b ，但不论a ，b 为何值，分式始终有意义，这样的分式可以是________(只填一个符合条件的分式即可)．5．若当x ＝1时，分式x ＋a x －b 的值为0；当x ＝3时，分式x ＋ax －b 无意义，则a ＋b 的值等于________．分式的基本性质6．若将分式2aa ＋b中，a ，b 的值同时扩大到原来的5倍，则此分式的值( )A ．是原来的10倍B ．是原来的5倍C ．是原来的15D ．不变7．约分：(1)a 2－4a 2－4a ＋4； (2)x －1x 2－2x ＋1.8．通分：(1)8－3m 2n ，35mn 2； (2)a －1a 2＋2a ＋1，4a 2－1.分式的有关运算9．下列运算中，正确的个数是( ) ①m 4n 3·n 4m 2＝m n ； ②x －y x ＋y ÷(y－x)·1x －y ＝－1x 2－y2； ③m a －n b ＝m －n a －b ； ④a －2a 2－4＋1a ＋2＝2a －2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．计算a ＋1a 2－2a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a －1的结果是( )A .1a －1 B .1a ＋1 C .1a 2－1 D .1a 2＋111．【中考·临沂】计算：a a ＋2－4a ＋2a ＝__________．12．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m ＋1(m ＋1)＝________． 13．计算下列各题． (1)4a a －1＋1＋a 1－a －1－a 1＋a ；(2)m m ＋3－69－m 2÷2m －3.14．先化简x 2＋2x x －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，然后请自选一个你喜欢的x 的值代入求值．整数指数幂15．下列计算正确的是( )A ．x 2·x －3＝2xB ．x 2÷x 6＝1x4C ．(－x －3)2＝x 6D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝1916．下列说法正确的是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与22互为相反数 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与－22互为相反数 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与2－2互为相反数D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－220的值为1 17．计算(π－3)0＋(－2)－3＝________．18．“年”是时间单位，但“光年”虽有个“年”字却不是时间单位，而是天文学上一种计量天体时空距离的单位.1光年表示光在真空中一年时间所走过的距离．光速约为3.0×105千米/秒，那么一光年约为________千米(结果保留一位小数)．可化为一元一次方程的分式方程及其应用19．分式方程x x －1＝23x －3的解是( )A ．x ＝－16 B ．x ＝23 C ．x ＝13 D ．x ＝5620．若关于x 的方程x ＋2x －1＝1＋ax －2的解为x ＝3，则a 等于( )A ．1B .32C ．0D ．－1221．【中考·菏泽】解分式方程：2x 2－4＋xx －2＝1.22．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色的完成了任务，这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：(第22题)通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．数学思想方法的应用a ．数形结合思想23．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，4x －45x ＋1，且点A 到原点的距离是点B 到原点距离的2倍，求x 的值．【导学号：42282014】(第23题)b ．整体思想24．已知1x ＋1＝5，试求x2x ＋1－x ＋2的值．c ．消元思想25．已知2m －3n ＝0，求m m ＋n ＋m m －n －n2m 2－n 2的值．答案1．B 2.A 3.A 4.ba 2＋1(答案不唯一) 5.2 6.D 7．解：(1)原式＝（a ＋2）（a －2）（a －2）2＝a ＋2a －2. (2)原式＝x －1（x －1）2＝1x －1. 8．解：(1)最简公分母是15m 2n 2. ∴8－3m 2n ＝－40n 15m 2n 2，35mn 2＝9m15m 2n2. (2)最简公分母是(a ＋1)2(a －1)． ∴a －1a 2＋2a ＋1＝（a －1）2（a ＋1）2（a －1）， 4a 2－1＝4（a ＋1）（a ＋1）2（a －1）. 9．B 点拨：①m 4n 3·n 4m 2＝m 2n ，①错；②x －y x ＋y ÷(y－x)·1x －y ＝x －y x ＋y ×1y －x ×1x －y ＝1（x ＋y ）（y －x ）＝－1x 2－y2，②正确； ③m a －n b ＝mb ab －na ab ＝mb －na ab ，③错；④a －2a 2－4＋1a ＋2＝a －2（a ＋2）（a －2）＋1a ＋2＝2a ＋2，④错，故只有1个正确选B .10．A 11.a －2a12.m 13．解：(1)原式＝4a （a ＋1）（a －1）－（a ＋1）2（a －1）（a ＋1）－（a －1）（1－a ）（a ＋1）（a －1）＝4a －（a ＋1）2＋（a －1）2a 2－1 ＝0.(2)原式＝m m ＋3－6（3－m ）（3＋m ）·m －32＝m m ＋3＋3m ＋3＝1.14．解：原式＝x （x ＋2）x －1·x －1x＝x ＋2.由题知x 不能取0，1，x 不妨取5，当x ＝5时，原式＝x ＋2＝7(x 可取除0，1外的任意值)．15．B 点拨：因为x 2·x －3＝x －1＝1x ，x 2÷x 6＝x －4＝1x 4，(－x －3)2＝x －6，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝9，所以A ，C ，D 选项错误，选B .16．B 点拨：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝114＝4，－22＝－4，2－2＝122＝14. 所以A ，C ，D 选项错误，选B . 17.78 18.9.5×1012 19．B 20.B21．解：方程两边同时乘x 2－4，得2＋x(x ＋2)＝x 2－4，解得x ＝－3. 经检验，x ＝－3是原方程的解．22．解：设原来每天加固x 米，根据题意得600x ＋4 800－6002x ＝9，解得x ＝300.检验：当x ＝300时，2x≠0(或分母不等于0)，∴x＝300是原方程的解．故该地驻军原来每天加固300米．点拨：解决与对话有关的实际问题，应根据对话的内容确定相等关系，根据相等关系列出方程．23．解：由题意得4x －45x ＋1×2＝4.去分母，整理得2x －2＝5x ＋1解得x ＝－1.经检验，x＝－1是原方程的根．所以x 的值是－1.点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件建立方程求出x 的值．24．解：原式＝x 2x ＋1－（x －2）（x ＋1）x ＋1＝x 2－x 2＋x ＋2x ＋1＝x ＋2x ＋1∵1x ＋1＝5，∴x＋1＝15. ∴原式＝x ＋1＋1x ＋1＝15＋115＝6.点拨：本题化简后代入求值时，不直接代入x 的值，而是代入x ＋1的值给计算带来简便，体现了整体思想的应用．25．解：原式＝m （m －n ）（m ＋n ）（m －n ）＋m （m ＋n ）（m ＋n ）（m －n ）－n2m 2－n 2＝m 2＋m 2－n 2m 2－n 2＝m 2m 2－n 2＋1.①∵2m－3n ＝0，∴n＝23m.将n ＝23m 代入①式得，原式＝m2m 2－49m2＋1＝95＋1＝145. 点拨：通过解方程，将n 用m 表示出来，再代入原式，消去n ，从而简便求值，体现了消元思想．。
八年级数学上第12章分式和分式方程提分专项分式方程的解法课冀教
You made my day!
(2)x（x1＋1）＋（x＋1）1（x＋2）＋（x＋2）1（x＋3）＝x＋1 3；
解：原方程变形为1x－x＋1 1＋x＋1 1－x＋1 2＋x＋1 2－x＋1 3＝x＋1 3. 整理，得1x－x＋2 3＝0， 去分母，得 x＋3－2x＝0，解得 x＝3. 经检验，x＝3 是原分式方程的解．
(3)x－1 4－x－1 5＝x－1 7－x－1 8. 解：两边通分，得（（xx－－54））－（（x－x－5）4）＝（（x－x－8）7）－（（x－x－8）7）， 即x2－－9x1＋20＝x2－1－5x1＋56 去分母，得 6x＝36，解得 x＝6. 经检验，x＝6 是原方式方程的解．
解：方程去分母并整理得(k＋2)x＝－3.
分以下两种情况：
①当增根为x＝1时，则k＋2＝－3，∴k＝－5；
②当增根为x＝－2时，则－2(k＋2)＝－3，∴k＝－
1 2
.
综上所述，k的值为－5或－
1 2
.
5．【易错：考虑问题不全面而漏解】已知关于 x 的分式方程xx－－43 －m－4＝3－m x无解，求 m 的值．
提分专项 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/项(三) 分式方程的解法
12.4分式方程(拓展)-冀教版八年级数学上册课件(共17张PPT)
即 4 1 1 a
例1.
已知关于x的分式方程
ax 1 2 x 1 1 x
1
. 这是一个分式方程， 不要忘了检验哦.
（4）当a为何值时，方程的根为4.
解：方程两边同乘(x-1)得 ax+1+2=x-1
解得，x 4 1 a
4 4 1 a
例1.
已知关于x的分式方程
ax 1 2 x 1 1 x
1
.
（5）当a为何值时，方程的根为非负数.
解：方程两边同乘(x-1)得 ax+1+2=x-1
解得，x 4 1 a
∵x≥0
这样做对吗？ 漏了什么条件？
4 0 1 a
不对，漏了隐含条件“方程有解”
知识点：方程有解
例1.
已Hale Waihona Puke 关于x的分式方程ax 1 2 x 1 1 x
1
.
且x≥0.
（5）当a为何值时，方程的根为非负数.
(2) x 1 2 1 x 1 x 1
(3) 1 2 2x x 3
解：去分母，得 2x-6=5(x-3) 解得，x=3 检验：当x=3时， x-3=0 有增根 ∴x=3是原方程的増根
解：去分母，得 x+1+2=x-1 3=-1 整式方程无解 ∴整式方程无解 ∴
解：去分母，得 x+3=4x 解得，x=1 整式方程有根 检验：当x=1时，分母≠0 2x(x+3)≠0 ∴
解：方程两边同乘(x-1)得 ax+1+2=x-1
解得，x 4 1 a
4 1 1 a a 1 0
4 0 1 a
知识点：方程有解
例1.
已知关于x的分式方程
【精品课件】数学冀教版八年级上册第12章分式和分式方程12.4分式方程
知1－导
知识点
1
分式方程
1.上述问题中有哪些等量关系？ 2.根据你所发现的等量关系，设未知数并列出方程. 问题中的等量关系为： (1)小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红 上学路上的时间；
(2)公共汽车的速度=9×小红步行的速度.
知1－导
如果设小红步行的速度为x km/h，那么公共汽车 的速度为9x km/h，根据等量关系(1)，可得到方程
38 2 2 1. 9x x
如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽 车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程
38 2 2 9 . 1 x x
知1－导
讨论： 上面得到的方程与我们已学过的方程有什么 不同？这两个方程有哪些共同特点？
38 2 2 38 2 2 9 和 1 结论： 像 1 x x 9x x
1 A. ＋x＝1 x 1 4 C. x 1 x
x 4x B. ＝15 3 5
x2 1 D. ＝2 x 1
（来自《典中点》）
知1－练
x 1 5x 6 1 x 5, x, 9 0, 2 在方程 x 1 7 2 3x 5 x x 7 中，分式方程有( B ) π A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
判断一个方程是不是分式方程的方法：根据分 式方程定义中的条件，判断方程的分母中是否含有 未知数，如果含有未知数，那么这个方程是分式方 程，否则不是分式方程． 警示：识别分式方程时，不能对方程进行约分、
通分变形，更不能用等式的性质变形．
（来自《点拨》）
知1－练
1
预习完分式方程的概念，小丽举出了以下方程， 你认为不是分式方程的是( B )
冀教版八年级数学上册第十二章分式与分式方程练习题(附答案)
冀教版八年级数学上册第十二章分式与分式方程练习题（附答案）1．已知＝3，求的值．2．（1）计算：（﹣2）3÷（）﹣1+（）﹣2﹣|﹣2|+（2022﹣π）0；（2）解分式方程：＝1．3．（1）化简：；（2）下面是小明计算分式的过程，请认真阅读，完成下列任务：解：原式＝……第一步＝……第二步＝x﹣x……第三步＝0．……第四步任务一：①第一步变形采用的方法是；②第步开始出现错误；任务二：③请直接写出正确的结果，该结果是．4．先化简，再求值：，其中x＝1．5．“芒果正宗，源自田东”．田东的桂七芒果，皮薄肉细，多汁香甜、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，果之上品”．现某芒果园有甲、乙两支专业采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤芒果，甲队采摘28800公斤芒果所用的天数与乙队采摘19200公斤芒果所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘芒果多少公斤？6．（1）计算：；（2）解分式方程：．7．阅读以下材料，并解答下列问题：下列一组方程：①x+＝3，②x+＝5，③x+＝7，…，小贤通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解答过程如下：由①x+＝1+2得x＝1或x＝2；由②x+＝2+3得x＝2或x＝3；由③x+＝3+4得x＝3或x＝4．（1）若n为正整数，请直接写出第n个方程及其方程的解．（2）若n为正整数，关于x的方程x+＝2n﹣2的一个解是x＝7，求n的值．8．嵊州榨面是嵊州美食的一张名片，某面馆推出两款经典美食榨面，一款是色香味俱全的“炒榨面”，另一款是清香四溢的“汤水榨面”．已知2份“炒榨面”和1份“汤水榨面”需46元；1份“炒榨面”和2份“汤水榨面”需38元．（1）求“炒榨面”、“汤水榨面”的单价．（2）鸭蛋是两款美食必不可少的配料，该面馆老板发现本月的每千克鸭蛋价格比上个月涨了25%，同样花160元买到的鸭蛋数量比上个月少了2千克，求本月鸭蛋的价格．9．先化简，再求值：，其中x＝2．10．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．11．（1）解分式方程：＝+1；（2）先化简（﹣）÷，然后从2，0，﹣1三个数中选一个合适的数代入化简后的结果中进行求值．12．某工厂计划招聘甲、乙两种工人生产同一种零件，每小时甲种工人比乙种工人多生产10个零件，甲种工人生产150个这种零件所用时间与乙种工人生产120个这种零件所用时间相等．（1）甲、乙两种工人每小时各生产多少个这种零件？（2）若该工厂计划招聘90名工人，且甲种工人人数不超过乙种工人人数的2倍，如何招聘才能在10小时内生产最多的这种零件？最多能生产多少个这种零件？13．某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；（2）若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？14．已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1解为整数时，求b的值．15．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m 的值．16．为响应阳光体育运动的号召，某中学从体育用品商店购买一批足球和篮球，购买足球花费了2500元，购买篮球花费了2000元，且购买足球数量是购买篮球数量的2倍，已知购买一个篮球比购买一个足球多花30元．（1）求购买一个足球和篮球各需要花费多少元？（2）该中学决定再次购进足球和篮球共50个，且此次购买足球和篮球的总费用不超过3100元，则该中学此次最多可购买多少个篮球？17．2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3600元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10件．（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价是多少元；（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为80元，求该商店两次购进的“冰墩墩”玩具全部售完的总利润是多少元？18．为了满足市民的物质需求，某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：甲乙进价（元/袋）m m﹣2售价（元/袋）2013已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于5200元，问至少购进甲种袋装食品多少袋？19．京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的20倍，若用一台机器人分拣8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少用小时．（1）求一台机器人一小时可分拣多少件货物？（2）受“双十一”影响，石家庄某京东仓库11月11日当天收到快递72万件，为了在8小时之内分拣完所有快递货物，公司调配了20台机器人和20名分拣工人，工作3小时之后，又调配了15台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．20．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？。
八年级数学上册 第12章 分式和分式方程 微卷专训 巧用分式方程的解求字母的值试题 (新版)冀教版
专训 巧用分式方程的解求字母的值 名师点金：巧用分式方程的解求字母的值主要体现在以下几方面：(1)利用方程解的定义求字母的值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；(2)利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或值．利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝mx －3＋2有解，求m 的取值范围．利用分式方程有增根求字母的值3．若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则m ＝________. 4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．利用分式方程无解求字母的值5．【中考·东营】若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________．6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x 无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x ＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值；(2)若方程有增根，求a 的值；(3)若方程无解，求a 的值．答案1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3. 经检验，x ＝3是32x ＝1x －1的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝m x， 得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫672－2×67＝－4849. 2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.∵分式方程有解，∴x＝4－m 不能为增根．又∵原方程若有增根，则增根为x ＝3，∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解． 3．－14．解：原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3，解得x ＝9－m. 因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．当x ＝3时，3＝9－m ，解得m ＝6；当x ＝－3时，－3＝9－m ，解得m ＝12.综上所述，当原方程的增根是x ＝3时，m ＝6；当原方程的增根是x ＝－3时，m ＝12. 点拨：一般令最简公分母等于零，可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程所化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无解，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3的解．综上所述，m ＝－3或1.7．解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a＝3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．。
冀教版八年级上册数学第12章 分式和分式方程 分式方程(2)
16．已知方程y2－y 9＋3－1 y＝y＋3 3的解为 k，求关于 x 的方程 解x：＋2方3＝程xy＋23－yk9－＋13的－1解y＝．y＋3 3的两边同时乘 y2－9， 得 y－(y＋3)＝3(y－3)． 解这个一元一次方程，得 y＝2. 经检验，y＝2 是原分式方程的解． 所以 k＝2.
14．(2018·黑龙江齐齐哈尔)若关于 x 的方程x－1 4＋x＋m4＝xm2－＋136 无解，则 m 的值为_－__1__或__5__或__－__13_．
【点拨】去分母，得 x＋4＋m(x－4)＝m＋3，可得(m＋1)x＝5m－1. 当 m＋1＝0 且 5m－1≠0 时，一元一次方程无解，此时 m＝－1； 当 m＋1≠0 时，x＝5mm＋－11＝±4，解得 m＝5 或 m＝－13. 综上所述，m 的值为－1 或 5 或－13.
13．(2019·四川巴中)若关于 x 的分式方程x－x 2＋22－mx＝2m 有增
1
根，则 m 的值为________． 【点拨】方程两边都乘 x－2，得 x－2m＝2m(x－2)，
整理得 x－2mx＋2m＝0.
∵原方程有增根，∴x－2＝0，解得 x＝2.
将 x＝2 代入 x－2mx＋2m＝0，得 2－4m＋2m＝0，解得 m＝1.
冀教版八年级上
第十二章 分式和分式方程
第4节 分式方程
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1 未知数；方程；分母 2C
3D (1)最简公分母；整式 (2)整
4 式 (3)验根 5C
6C
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7A
最简公分母；最简公分母 8
9B
冀教版初中数学八年级上册《12.4 分式方程》同步练习卷
冀教新版八年级上学期《12.4 分式方程》同步练习卷一．选择题（共26小题）1．下列方程中是分式方程（）A．B．C．D．2．下列方程是分式方程的是（）A．（a，b为常数）B．x＝c（c为常数）C．x＝5（b为常数）D．3．下列方程不是分式方程的是（）A．B．C．D．4．在下列各式①x2﹣x+；②﹣3＝a+4；③+5x＝6；④+＝1中，是分式方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列方程中，是分式方程的为（）A．B．C．D．6．下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．B．C．D．7．x＝2是分式方程的解，则a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．38．关于x的方程＝2+无解，则k的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．29．关于x的方程＝+1无解，则m的值是（）A．0B．0或1C．1D．210．若分式方程＝+1无解，则m的值为（）A．1B．1或﹣2C．0或3D．311．已知x＝2是分式方程﹣＝2的解，那么实数k的值为（）A．2B．1C．0D．﹣112．若x＝4是分式方程＝的根，则a的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣413．关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜1且a≠﹣2D．a＞1且a≠2 14．分式方程﹣＝1的解为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣C．x＝1D．x＝315．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞﹣1 且k≠1D．k＞1 且k≠216．若关于x的分式方程＝﹣2的根是正数，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣4，且m≠0B．m＜10，且m≠﹣2C．m＜0，且m≠﹣4D．m＜6，且m≠217．方程＝的解为（）A．x＝7B．x＝﹣7C．x＝5D．x＝﹣5 18．方程＝的解为（）A．x＝1B．x＝2C．x＝﹣2D．x＝﹣119．方程﹣＝0的解为（）A．﹣1B．0C．1D．无解20．解分式方程＝﹣1时，去分母，得（）A．1＝1﹣x﹣（x﹣2）B．1＝x﹣1﹣（2﹣x）C．1＝x﹣1﹣（x﹣2）D．﹣1＝x﹣1﹣（x﹣2）21．解分式方程﹣3＝时，去分母可得（）A．1﹣3（x﹣2）＝4B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4D．1﹣3（2﹣x）＝422．分式方程＝0的解是（）A．3B．﹣3C．±3D．923．方程＝1的解为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．124．用换元法解方程+＝时，如果设＝y，则原方程可化为（）A．y+＝B．2y2﹣5y+2＝0C．6y2+5y+2＝0D．3y+＝25．若分式方程﹣1＝有增根，则它的增根为（）A．0或3B．1C．1或﹣2D．326．关于x的方程﹣＝2有增根，则m的值是（）A．﹣5B．5C．﹣7D．2二．填空题（共2小题）27．解方程时，如果设y＝x2+x，那么原方程可化为．28．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2＝0，那么x+的值是．三．解答题（共14小题）29．用换元法解方程：（）2﹣+6＝030．关于x的方程﹣＝有增根，求m的值．31．m为何值时，关于x的方程+＝会产生增根？32．若关于x的方程+＝有增根，求增根和m的值．33．解方程：．34．解方程：﹣＝035．解分式方程：（1）﹣＝1；（2）﹣＝．36．解答下列各题．（1）解方程＝1﹣；（2）化简：（1+）÷．37．解方程：（1）＝1﹣．（2）﹣＝38．（1）计算：（1﹣）÷；（2）解方程：＝1﹣．39．解下列分式方程：（1）＝；（2）＝﹣3．40．解方程﹣1＝．41．解下列分式方程（1）＝1（2）＝42．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围．冀教新版八年级上学期《12.4 分式方程》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．下列方程中是分式方程（）A．B．C．D．【分析】直接利用分式方程以及一元一次方程的定义分析得出答案．【解答】解：A、﹣3x＝1是一元一次方程，故此选项错误；B、2x﹣＝1，是一元一次方程，故此选项错误；C、﹣2x＝0是一元一次方程，故此选项错误；D、﹣2＝0，是分式方程，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了分式方程以及一元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．下列方程是分式方程的是（）A．（a，b为常数）B．x＝c（c为常数）C．x＝5（b为常数）D．【分析】利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可．【解答】解：A、＝2﹣（a，b为常数），是整式方程，不合题意；B、x＝c（c为常数），是分式方程，符合题意；C、x＝5（b为常数），是整式方程，不合题意；D、＝3，是整式方程，不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握定义是解题关键．3．下列方程不是分式方程的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．【解答】解：A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程；D项不含未知数，不是分式方程，故选：D．【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．4．在下列各式①x2﹣x+；②﹣3＝a+4；③+5x＝6；④+＝1中，是分式方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．【解答】解：①x2﹣x+是代数式；②﹣3＝a+4是分式方程；③+5x＝6是一元一次方程；④+＝1是分式方程，故选：B．【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．5．下列方程中，是分式方程的为（）A．B．C．D．【分析】先将分式化为最简形式后，再根据分式方程的定义进行一一判断，并作出选择．【解答】解：A、，分母中含有未知数的字母，所以它是分式方程；故本选项正确；B、由得，＝2，是无理方程，不是分式方程；故本选项错误；C、，分母中不含有未知数的字母，所以它不是分式方程；故本选项错误；D、由原方程，得（x﹣1）＝2，分母中不含有未知数的字母，所以它不是分式方程；故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．6．下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．【解答】解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B、方程分母含字母a，但它不是表示未知数，也不是分式方程；C、方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程；D、方程分母中含未知数x，是分式方程．故选：D．【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．7．x＝2是分式方程的解，则a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．3【分析】将x＝2代入方程得到有关a的方程求得a的值即可．【解答】解：∵x＝2是分式方程的解，∴解得：a＝3，经检验x＝3是的根，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的解的知识，解题的关键是能正确的根据方程的解的定义代入并得到有关a的方程，难度不大．8．关于x的方程＝2+无解，则k的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．2【分析】根据分式方程无解的定义计算即可．【解答】解：去分母，得x﹣1＝2（x﹣3）+k，∵方程＝2+无解，∴x﹣3＝0，∴x＝3，∴k＝2，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分母为0时，方程无解是解题的关键．9．关于x的方程＝+1无解，则m的值是（）A．0B．0或1C．1D．2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：x2﹣2x+1＝mx﹣2m+x2﹣3x+2，整理得：（m﹣1）x＝2m﹣1，由分式方程无解，得到m﹣1＝0且2m﹣1≠0，即m＝1；当m≠1时，＝1或＝2，解得：m＝0．故选：B．【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程无解即为最简公分母为0．10．若分式方程＝+1无解，则m的值为（）A．1B．1或﹣2C．0或3D．3【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得：x（x+2）＝m+（x﹣1）（x+2），解得：x＝m﹣2，当（x﹣1）（x+2）＝0，即x＝1或x＝﹣2时分母为0，方程无解，x＝1时，m＝3；x＝﹣2时，m＝0；所以m＝0或3，故选：C．【点评】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后的整式方程本身无解；分式方程产生增根，是需要识记的内容．11．已知x＝2是分式方程﹣＝2的解，那么实数k的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1【分析】把x＝2代入方程，计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝2代入分式方程得：﹣＝2，即2k﹣k＝2，解得：k＝2，故选：A．【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．12．若x＝4是分式方程＝的根，则a的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4【分析】把x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，通过解新方程求得a的值．【解答】解：将x＝4代入分式方程可得：＝，化简得＝1，解得a＝6．故选：A．【点评】本题主要考查分式方程及其解法．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．13．关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜1且a≠﹣2D．a＞1且a≠2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【解答】解：分式方程去分母得：x+1＝2x+a，即x＝1﹣a，根据分式方程解为负数，得到1﹣a＜0，且1﹣a≠﹣1，解得：a＞1且a≠2．故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．14．分式方程﹣＝1的解为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣C．x＝1D．x＝3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：1+3x＝x﹣3，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．故选：A．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞﹣1 且k≠1D．k＞1 且k≠2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出k的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：k﹣1＝x﹣2，解得：x＝k+1，由分式方程的解为正数，得到k+1＞0，且k+1≠2，解得：k＞﹣1且k≠1，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．若关于x的分式方程＝﹣2的根是正数，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣4，且m≠0B．m＜10，且m≠﹣2C．m＜0，且m≠﹣4D．m＜6，且m≠2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正根确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：m＝2x﹣2﹣4x+8，解得：x＝，由分式方程的根是正数，得到＞0，且≠2，解得：m＜6且m≠2，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．17．方程＝的解为（）A．x＝7B．x＝﹣7C．x＝5D．x＝﹣5【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+1＝2x﹣6，解得：x＝7，经检验x＝7是分式方程的解，故选：A．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18．方程＝的解为（）A．x＝1B．x＝2C．x＝﹣2D．x＝﹣1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5x＝2（3x﹣1），解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解，故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．19．方程﹣＝0的解为（）A．﹣1B．0C．1D．无解【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x+3﹣x﹣3＝0，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解，故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．解分式方程＝﹣1时，去分母，得（）A．1＝1﹣x﹣（x﹣2）B．1＝x﹣1﹣（2﹣x）C．1＝x﹣1﹣（x﹣2）D．﹣1＝x﹣1﹣（x﹣2）【分析】先找最简公分母，然后方程的两边都乘以最简公分母．【解答】解：方程可变形为：＝﹣1方程的两边都乘以（x﹣2），得1＝x﹣1﹣（x﹣2）故选：C．【点评】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是找到最简公分母．21．解分式方程﹣3＝时，去分母可得（）A．1﹣3（x﹣2）＝4B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4D．1﹣3（2﹣x）＝4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．【解答】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）＝﹣4，故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．分式方程＝0的解是（）A．3B．﹣3C．±3D．9【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，代入检验即可．【解答】解：两边都乘以x+3，得：x2﹣9＝0，解得：x＝3或x＝﹣3，检验：当x＝3时，x+3＝6≠0，当x＝﹣3时，x+3＝0，所以分式方程的解为x＝3，故选：A．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23．方程＝1的解为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+1＝1，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解，故选：C．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．用换元法解方程+＝时，如果设＝y，则原方程可化为（）A．y+＝B．2y2﹣5y+2＝0C．6y2+5y+2＝0D．3y+＝【分析】把用y替换，整理即可．【解答】解：设＝y，则原方程变形为：3y+＝，故选：D．【点评】本题考查的是换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程的一般步骤是解题的关键．25．若分式方程﹣1＝有增根，则它的增根为（）A．0或3B．1C．1或﹣2D．3【分析】找出分式方程的最简公分母，由分式方程有增根求出x的值即可．【解答】解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+2），去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m，整理得：x+2＝m，由分式方程有增根，得到（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1或x＝﹣2，若x＝1，代入得，m＝3，将m＝3代入可求得方程的增根为x＝1若x＝﹣2，代入得，m＝0，将m＝0代入可求得方程无解故原方程的增根只能为x＝1故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根及增根的确定办法，增根问题的一般求解步骤如下：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程求得相关字母的值．26．关于x的方程﹣＝2有增根，则m的值是（）A．﹣5B．5C．﹣7D．2【分析】根据分式的方程增根定义，得出增根，再代入化简后的整式方程进行计算即可．【解答】解：由题意得：3x﹣2﹣m＝2（x+1），方程的增根为x＝﹣1，把x＝﹣1代入得，﹣3﹣2﹣m＝0解得m＝﹣5，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键．二．填空题（共2小题）27．解方程时，如果设y＝x2+x，那么原方程可化为y2+y﹣2＝0．【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，关键是明确方程各部分与y的关系，用y代替，转化为整式方程即可．【解答】解：由y＝x2+x得y+1＝，去分母得y2+y﹣2＝0．【点评】本题考查换元法解分式方程，要注意题设中的所设分式形式，及其变形整理．28．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2＝0，那么x+的值是2．【分析】根据换元法，可得答案．【解答】解：设x+＝u，原方程等价于u2﹣u﹣2＝0，解得u＝2或u＝﹣1，x+＝2或x+＝﹣1（不符合题意，舍），故答案为：2．【点评】本题考查了解方程，利用换元法是解题关键．三．解答题（共14小题）29．用换元法解方程：（）2﹣+6＝0【分析】设＝y，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解得y1＝2，y2＝3，解分式方程即可得到原方程的解．【解答】解：，设＝y，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解得y1＝2，y2＝3，当y1＝2时，＝2，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解；当y2＝3时，＝3，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解；∴原方程的解为：，，，．【点评】本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．30．关于x的方程﹣＝有增根，求m的值．【分析】两边乘（x+2）（x﹣2）得到，x（x+2）﹣x﹣m＝2x（x﹣2）①，由题意方程有增根，可得x＝2或﹣2，把x＝2或﹣2代入①即可求出m．【解答】解：两边乘（x+2）（x﹣2）得到，x（x+2）﹣x﹣m＝2x（x﹣2）①∵方程有增根，∴x＝2或﹣2，x＝2时，8﹣2﹣m＝0，m＝6，x＝﹣2时，2﹣m＝16，m＝﹣14，经检验，m＝6或﹣14均符合题意，∴m的值为6或﹣14．【点评】本题考查分式方程的增根，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．31．m为何值时，关于x的方程+＝会产生增根？【分析】先去分母得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），整理得（m﹣1）x+10＝0，由于关于x的方程+＝会产生增根，则（x+2）（x﹣2）＝0，解得x＝﹣2 或x＝2，然后把x＝﹣2 和x＝2分别代入（m﹣1）x+10＝0即可得到m的值．【解答】解：原方程化为+＝，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），整理得（m﹣1）x+10＝0，∵关于x的方程+＝会产生增根，∴（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2 或x＝2，∴当x＝﹣2时，（m﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m＝6，当x＝2时，（m﹣1）×2+10＝0，解得m＝﹣4，∴m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根．【点评】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根．32．若关于x的方程+＝有增根，求增根和m的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：﹣3（x+1）＝m，由分式方程有增根，得到x2﹣1＝0，即x＝1或x＝﹣1，把x＝1代入整式方程得：m＝﹣6；把x＝﹣1代入整式方程得：m＝0（舍去），则增根为x＝1，m＝﹣6．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．33．解方程：．【分析】方程两边同乘以（x+2）（x﹣1），得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可．【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣1），得，3x2﹣x（x+2）＝x2+x﹣2，整理得，x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，∴x＝1不是原方程的根，当x＝2时，（x+2）（x﹣1）≠0，∴x＝2是原方程的根，∴原方程的根是x＝2．【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．34．解方程：﹣＝0【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1后即可得到方程的解．【解答】解：去分母得：6x﹣（x+5）＝0，去括号得：6x﹣x﹣5＝0，合并同类项移项得：5x＝5，系数化为1得：x＝1，检验：把x＝1代入x（x﹣1）＝0，所以原方程无解．【点评】考查了分式方程的解法，解答完毕后必须要检验，难度不大．35．解分式方程：（1）﹣＝1；（2）﹣＝．【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；（2）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以（x+3）（x﹣3）得：（x﹣2）（x﹣3）﹣3（x+3）＝（x+3）（x﹣3），解得：x＝，检验：当x＝时，（x+3）（x﹣3）≠0，所以x＝是原方程的解，即原方程的解为：x＝；（2）原方程化为：﹣＝，方程两边都乘以x（x﹣2）得：（2x+2）（x﹣2）﹣x（x+2）＝x2﹣2，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，x（x﹣2）≠0，所以x＝﹣是原方程的解，即原方程的解为：x＝﹣．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．36．解答下列各题．（1）解方程＝1﹣；（2）化简：（1+）÷．【分析】（1）根据解分式方程的步骤和方法解方程即可；（2）根据分式的混合运算的法则计算即可．【解答】解：（1）方程两边都乘（x﹣2）得，2x＝x﹣2+1，解这个一元一次方程得，x＝﹣1经检验可知，x＝﹣1是原方程的解所以原方程的解为x＝﹣1；（2）（1+）÷＝（）×（＝×＝a﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键．37．解方程：（1）＝1﹣．（2）﹣＝【分析】（1）（2）用解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解分式方程．【解答】解：（1）＝1﹣方程两边同乘2（x+1），得3＝2x+2﹣2，解得，x＝，当x＝时，2（x+1）≠0，所以原方程的解为x＝；（2）﹣＝方程两边同乘（x+3）（x﹣3），得x﹣3+2x+6＝12，解得，x＝3，当x＝3时，（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3不是原方程的解，所以原方程无解．【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．38．（1）计算：（1﹣）÷；（2）解方程：＝1﹣．【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝•＝；（2）方程两边同乘以（x﹣2），得2x＝x﹣2+1，解得：x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．39．解下列分式方程：（1）＝；（2）＝﹣3．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：100x+700＝30x，移项合并得：70x＝﹣700，解得：x＝﹣10，经检验x＝﹣10是分式方程的解；（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．40．解方程﹣1＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，去括号得，x2﹣2x﹣x2+4＝x+2，移项、合并同类项得，﹣3x＝﹣2，解得x＝，经检验x＝是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．41．解下列分式方程（1）＝1（2）＝【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：4﹣1＝x﹣1，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解；（2）去分母得：4+x2+5x+6＝x2﹣3x+2，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．42．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围．【分析】先求得方程的解，再把x＞0转化成关于m的不等式，求得m的取值范围，注意x≠3．【解答】解：方程两边同乘以x﹣3，得：x+m﹣3m＝3（x﹣3），解得：，∵x＞0，∴＞0，∴m，∵x≠3，∴m的取值范围为m且．【点评】本题考查了分式方程的解以及解不等式，掌握分式的分母不为0是解题的关键．。
初中数学冀教版八年级上册12.4 分式方程
魏僧寨中学 陈贵英
1.了解分式方程的概念，以及会产生增 根的原因. 2.掌握分式方程的解法，会解可化为一 元一次方程的分式方程.
一艘轮船在静水中的最Байду номын сангаас航速为20
km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km
所用时间,与以最大航速逆流航行60 km
所用时间相等,求江水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v km/h，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知 数的方程叫做 ？
100 60 20 v 20 v
像这样分母中含有未知数的方程叫做 分式方程.
以前学过的分母里不含有未知数的方程叫 做整式方程.
【跟踪训练】
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?
得其值都为0，相应的分式无意义.
所以x=5是原分式方程的增根。
∴原分式方程无解.
为什么会产 生无解？
为什么方程会产生无解？ 产生的原因:分式方程两边同乘一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式 方程的根.所以我们解完分式方程时一定要 代入原分式方程或最简公分母进行检验.
解分式方程的思路：
(1)去分母时，原方程的整式部分别漏乘 最简公分母． (2)约去分母后，分子是多项式时，别忘 添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为 0，不舍掉，仍说成是原分式方程的解.
【抢答练习1】
【抢答练习2】
【抢答练习3】
A.-3 B.2 C.-1
D.3
【抢答练习4】
值是______.
A.-4 B.-2 C.-1
D.3
【解析】由题意得 2=-1
x-1
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1
12.4 分式方程
专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围
1.关于x的分式方程1131xxm的解为正数，则m的取值范围是 .
2.若关于x的方程311xaxx无解，求a的值.
专题二 特殊分式方程的特殊解法
3.解方程：17352846xxxxxxxx.
4. 阅读下列材料：关于x的方程11xcxc的解是121,xcxc（12,xx表示未知数x的两个实
数解，下同）；
（1）11xcxc的解是121,xcxc（即：11xcxc的解是121,xcxc）；
22xcxc的解是122
,xcxc
；
33xcxc的解是123
,xcxc
.
请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程mmxcxc（m≠0）与它们的关系，猜想它的解
是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数
的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可
以直接得解.请用这个结论解关于x的方程：2211xaxa.
状元笔记
【知识要点】
1.分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤
2
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，并写出原方程的解.
【温馨提示】
1.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程.
2.解分式方程一定要注意验根.
3.分式方程有解的条件是：①化简得到的整式方程有解；②整式方程的解使分式方程的分母的值不
为0 .
【方法技巧】
1.判断一个方程是否是分式，并不是看分式方程中是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.
2.验根的方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0（即是否符合“分母不为0”的限
制），如果分母不为0，则被验的根就是分式方程的解，如果使分母为0，则这个根就是增根，必须
舍去.
参考答案
1. m＞2且m≠3 解析：去分母，原方程可化简为2xm，因为方程的解为正数，所以20m，
得m＞2；又10x，所以x≠1，即m－2≠1，得m≠3.综上，m＞2且m≠3.
2.解：把分式方程转化为整式方程，得x（x-a）-3(x-1)=x(x-1)，整理得(a+2)x=3，分情况讨论：
（1）当a+2=0时，方程(a+2)x=3无解，即当a=-2时，原分式方程无解；（2）当a+2≠0时，方程
(a+2)x=3有解，解这个分式方程，得32xa.
①若32xa=0，则32xa是增根，此时不存在这样的a值.
②若32xa=1，则32xa是增根，此时a=1.综上所述，当a=-2或a=1时，原分式方程无解.
3.解析：可用裂项法，由于方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可
以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分，将分子化1.
3
解：原方程可化为(2)1(8)1(4)1(6)12846xxxxxxxx，
即 11112846xxxx.
移项得11112468xxxx，
通分得22(2)(4)(6)(8)xxxx，
所以22144868xxxx，
解得 x=5.
经检验x=5是原方程的解.
4.解：（1）12,mxcxc.
验证：当x1=c时，左边=mmxcxc=右边；当x2=mc时，左边=mmmmxcmxccc=右边.
所以12,mxcxc都是原方程的解；
（2）因为2211xaxa，所以221111xaxa，所以11xa，或211xa，
所以xa或11axa.