初中数学——(48)平行四边形
初中数学：平行四边形的判定方法
初中数学：平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法主要有：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
平行四边形的上述判定方法，分别从边、对角线、角三个角度，给出了确定一个四边形是平行四边形的根据。
如图，点E、F为平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的两点，且AE＝CF。
求证：四边形EBFD是平行四边形。
证法1：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD。
∴∠BAC＝∠DCA。
∴∠BAE＝∠DCF（等角的补角相等）。
∴△BAE≌△DCF（SAS）。
∴∠BEA＝∠DFC（全等三角形的对应角相等）。
∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）。
同理可得：DE∥BF。
∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（1））。
证法2：同上证法，可得△BAE≌△DCF。
∴BE＝DF。
同理可得：△DAE≌△BCF（SAS）。
故DE＝BF。
∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（2））。
证法3：同证法1可得△BAE≌△DCF。
∴BE＝DF。
∠BEA＝∠DFC。
∴BE∥DF。
∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（3））。
上面的三种方法都借助了△BAE≌△DCF，只是最后几步出现了差异。
证法4：如图2，连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO。
又∵AE＝CF，∴AO＋AE＝CO＋CF，即OE＝OF。
∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（4））。
这种方法能够紧紧抓住条件的整体特征，构造出了四边形EBFD的对角线，从而证明了四边形是平行四边形。
证法5：可根据前面证法所得到的△BAE≌△DCF和△DAE≌△BCF，得到∠EBF＝∠FDE，∠BED＝∠DFB。
∴四边形EBFD是平行四边形（判定方法（5））。
这种方法从角的角度证明了所给的四边形是平行四边形。
上面这些证法中，证法3、证法4最简便。
人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形的基本概念、重要性质和判定方法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行四边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（4）面积计算的灵活运用：学生在计算平行四边形面积时，有时难以确定底和高。
突破方法：通过讲解不同形状的平行四边形面积计算方法，让学生学会根据实际情况确定底和高，并运用到实际问题中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平行四边形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状像梯子斜靠在墙上的图形？”（如平行四边形）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行四边形的奥秘。
人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》教案
一、教学内容
人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》主要包括以下内容：
1.平行四边形的定义及性质：平行四边形的定义、对边平行且相等、Байду номын сангаас角相等、对角线互相平分。
2.特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形的性质及判定方法。
3.平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
2.提升逻辑推理能力：在学习平行四边形的判定方法及性质证明过程中，培养学生严谨的逻辑思维和推理能力。
初中数学 平行四边形的对角线有什么特点
初中数学平行四边形的对角线有什么特点平行四边形的对角线有一些特点和性质，下面将详细介绍这些特点和性质。
1. 对角线相等性质：平行四边形的对角线互相平分，即对角线的长度相等。
具体来说，如果ABCD是一个平行四边形，那么AC = BD。
证明：我们可以通过使用向量、坐标几何或几何证明来证明平行四边形的对角线相等性质。
以下是其中一种几何证明的步骤：-连接线段AC和BD。
-在平行四边形ABCD中，我们可以证明∆ABC和∆CDA是全等三角形（SSS或ASA准则）。
-因此，∠ABD = ∠CAD，且∠BAD = ∠CDA。
-从而，∠ABD + ∠BAD = ∠CAD + ∠CDA = 180°。
-根据三角形内角和为180°的性质，我们可以得出∆ABD和∆ACD是全等三角形（AAS准则）。
-由全等三角形的对应边相等性质可知，AD = BC。
-同理，我们可以证明AC = BD。
-因此，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相等。
2. 对角线互相垂直性质：平行四边形的对角线互相垂直。
具体来说，如果ABCD是一个平行四边形，那么AC ∠ BD。
证明：我们可以通过使用向量、坐标几何或几何证明来证明平行四边形的对角线互相垂直性质。
以下是其中一种几何证明的步骤：-连接线段AC和BD。
-在平行四边形ABCD中，我们可以证明∆ABC和∆CDA是全等三角形（SSS或ASA准则）。
-因此，∠ABD = ∠CAD，且∠BAD = ∠CDA。
-从而，∠ABD + ∠BAD = ∠CAD + ∠CDA = 180°。
-根据三角形内角和为180°的性质，我们可以得出∆ABD和∆ACD是全等三角形（AAS准则）。
-根据全等三角形的性质，我们可以得出∠DAB = ∠DCA。
-由于∠DAB和∠DCA互为补角，所以它们是互相垂直的。
-因此，平行四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直。
以上是平行四边形的对角线的特点和性质。
初中数学 平行四边形中的中点四边形的面积公式是什么
初中数学平行四边形中的中点四边形的面积公式是什么在平行四边形中的中点四边形，我们可以使用一种简单的公式来计算其面积。
在本文中，我们将详细讨论该公式，并提供相关的解释和示例。
让我们回顾一下平行四边形和中点四边形的定义。
平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。
中点四边形是通过连接平行四边形的对角线而形成的四边形。
计算中点四边形的面积的公式如下：1. 首先，我们需要计算平行四边形的面积。
平行四边形的面积可以通过两种方法来计算：基于底边和高度，或基于边长和夹角。
-基于底边和高度的方法：假设平行四边形的底边长度为b，高度为h。
平行四边形的面积等于底边乘以高度，即A = b * h。
-基于边长和夹角的方法：假设平行四边形的边长为a和c，夹角为θ。
平行四边形的面积等于边长的乘积与夹角的正弦值的乘积的绝对值，即A = |a * c * sin(θ)|。
2. 接下来，我们可以计算中点四边形的面积。
中点四边形的面积等于平行四边形面积的一半。
因此，中点四边形的面积为A/2。
示例：假设我们有一个平行四边形ABCD，其中底边BC = 6 cm，高度h = 4 cm。
根据上述方法，平行四边形的面积为A = 6 cm * 4 cm = 24 cm²。
因此，中点四边形的面积为24 cm² / 2 = 12 cm²。
另一个示例，假设我们有一个平行四边形PQRS，其中边长PQ = 8 cm，QR = 6 cm，夹角θ = 60度。
根据上述方法，平行四边形的面积为A = |8 cm * 6 cm * sin(60°)| = 24√3 cm²。
因此，中点四边形的面积为(24√3 cm²) / 2 = 12√3 cm²。
综上所述，我们可以使用不同的方法来计算平行四边形的面积，并通过将平行四边形的面积除以2来计算中点四边形的面积。
这个公式可以帮助我们更好地理解和应用平行四边形和中点四边形的性质，并解决与中点四边形相关的数学问题。
平行四边形证明题精选(初中数学)
平行四边形证明题精选(初中数学)1. 证明平行四边形的性质已知四边形ABCD，证明ABCD是平行四边形的方法有：- 证明对角线互相平分- 证明对边平行- 证明对边长度相等且对角线互相垂直证明对角线互相平分证明方法如下：1. 连接对角线AC和BD；2. 证明线段AC与线段BD的中点E重合，即AE=CE及BE=DE；3. 通过副诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
证明对边平行证明方法如下：1. 假设AB∥CD；2. 通过诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
证明对边长度相等且对角线互相垂直证明方法如下：1. 假设AB=CD且AC⊥BD；2. 通过诱导线的证明，得出结论：ABCD是平行四边形。
2. 平行四边形的性质应用在解决平行四边形证明题时，可以根据平行四边形的性质进行推导。
以下是一些常见的平行四边形证明题：证明1已知平行四边形ABCD，证明△ACF≌△EBD。
证明方法：1. 延长AC和BD相交于点F；2. 通过对角线互相平分的证明，得出△ACF≌△EBD。
证明2已知平行四边形ABCD，证明AF=CD。
证明方法：1. 连接AF；2. 通过对边平行的证明，得出AF≥CD；3. 通过对角线互相平分的证明，得出AF≤CD；4. 综合以上两个结论，得出AF=CD。
证明3已知平行四边形ABCD，证明∠DAB=∠BCD。
证明方法：1. 延长AD和BC相交于点E；2. 通过对角线互相平分的证明，得出∠DAB=∠BCD。
以上是初中数学中的一些平行四边形证明题示例及解题方法。
希望能对你的学习有所帮助！。
初中数学平行四边形(讲义及答案)含答案
初中数学平行四边形(讲义及答案)含答案一、选择题1．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB 的中点，下列结论①BE⊥AC②四边形BEFG是平行四边形③EG=GF④EA平分∠GEF其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DF分别交AB、AC于点E、G，连解FG，下列结论：（1）∠AGD＝112.5°；（2）E为AB中点；（3）S△AGD＝S△OCD；（4）正边形AEFG是菱形；（5）BE＝2OG，其中正确结论的个是（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于点G,连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG．其中，正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个BC E三点在同一直线上,点D在CG 4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中,..上.1,3BC CE ==，连接,AF H 是AF 的中点，连接CH ,那么CH 的长是( )A ．5B ．25C ．322D ．42 5．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )A ．AFD AEB ∆≅∆B ．点B 到直线AE 的距离为2C ．EB ED ⊥ D ．16AFD AFB S S ∆∆+=+6．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )A ．142310θθθθ+--=︒B ．241330θθθθ+--=︒C ．142330θθθθ+--=︒D ．241340θθθθ+--=︒7．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.若AB ＝3，BC ＝4，则PE ＋PF 的值为( )A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.48．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG.则BG 的长（ ）A ．1B ．2C ．3D ．39．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC ，则平行四边形ABCD的周长等于______________ ．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．13．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．14．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．15．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．16．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．20．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．23．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．24．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．25．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB边上求作一点N，连接CN，使CN AM；（2）在如图（2）的AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ AM.26．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．（1）如图①．求证：OE＝OF；（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则CF OF＝（直接填结果）．27．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．（1）求证：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN= °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．28．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．29．（问题情境）在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）（变式探究）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l1：y=443x-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=1BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，2又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=1CD，2∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=1AB=AG=BG，2∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】利用翻折不变性可知：AG=GF ，AE=EF ，∠ADG=∠GDF=22.5°，再通过角度计算证明AE=AG ，即可得到答案，具体见详解．【详解】因为∠GAD ＝∠ADO ＝45°，由折叠可知：∠ADG ＝∠ODG ＝22.5°．（1）∠AGD ＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故（1）正确；（2）设OG ＝1，则AG ＝GF ，又∠BAG ＝45°，∠AGE ＝67.5°，∴∠AEG ＝67.5°，∴AE ＝AG ，则AC ＝2AO ＝2+1），∴AB）＝， ∴AE≠EB ，故（2）错误；（3）由折叠可知：AG ＝FG ，在直角三角形GOF 中，斜边GF ＞直角边OG ，故AG ＞OG ，两三角形的高相同，则S △AGD ＞S △OGD ，故（3）错误；（4）中，AE ＝EF ＝FG ＝AG ，故（4）正确；（5）∵GF ＝EF ，∴BE EF GF OG ＝2OG ，∴BE ＝2OG ，故（5）正确．故选B ．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．C解析：C【分析】连接AH ，由四边形ABCD 是正方形与点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，容易证得△BCE ≌△CDF 与△ADH ≌△DCF ，根据全等三角形的性质，容易证得CE ⊥DF 与AH ⊥DF ，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD ，继而AG=DC ，而DG≠DC ，所以AG ≠DG ，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12DC ，∠CHG=2∠GDC ，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC ．所以∠DAG=∠CHG ，④正确，则问题得解．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=FC∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF，∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵CE⊥DF，∴△CGD为直角三角形，∴HG=HD=12 CD，∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，∴AG=AD=DC，在Rt△CGD中，DG≠DC，∴AG≠DG，故②错误；∵AG=AD, AH垂直平分DG∴∠DAG=2∠DAH,根据①，同理可证△ADH≌△DCF∴∠DAH=∠CDF，∴∠DAG=2∠CDF,∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，∴∠GHC=∠DAG，故③正确，所以①和③正确选择C.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明△BCE≌△CDF，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC，而DG≠DC，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF即可.4．A解析：A【分析】如下图，根据点H是AF的中点和HM∥FE，可得HP是△ANF的中位线，四边形MPNE是矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt△HCM中求CH 即可【详解】如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M，延长AD交FE于点N，交HM于点P∵四边形ABCD、CEFG是正方形，∴AD⊥EF，∠E=90°∵HM⊥BE∴四边形PMEN是矩形∵BC=1，CE=3∴NE=1，∴FN=2，PM=1∵HM⊥BE，FE⊥BE，点H是AF的中点∴HM是△ANF的中位线∴HP=12EF=1，AP=PN=2∴CM=1∴在Rt△CHM中，5故选：A【点睛】本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角形的形式，然后才可利用三角形中位线定理.5．B解析：B【分析】A 、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AEB ；B 、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；C 、由（1）可得∠BEF ＝90°，故BE 不垂直于AE 过点B 作BP ⊥AE 延长线于P ，由①得∠AEB ＝135°所以∠PEB ＝45°，所以△EPB 是等腰Rt △，于是得到结论；D 、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∵AF ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，又∵∠DAF ＋∠BAF ＝∠BAD ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAF ，在△AFD 和△AEB 中，AE AF BAE DAF AB AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝∴△AFD ≌△AEB （SAS ），故A 正确；∵AE ＝AF ，AF ⊥AE ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF ＝∠AFE ＝45°，∴∠AEB ＝∠AFD ＝180°−45°＝135°，∴∠BEF ＝135°−45°＝90°，∴EB ⊥ED ，故C 正确；∵AE ＝AF 2，∴FE 2AE ＝2，在Rt △FBE 中，BE 221046FB FE -=-=∴S △APD ＋S △APB ＝S △APE ＋S △BPE ， ＝11222622⨯ 16=D 正确；过点B 作BP ⊥AE 交AE 的延长线于P ，∵∠BEP ＝180°−135°＝45°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴BP=，即点B到直线AE，故B错误，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．6．D解析：D【分析】依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，∴△ABM中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，△DCM中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，2413 40θθθθ∴+--=︒；故选：D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．7．D解析：D【分析】连接OP,由矩形ABCD的可求OA=OD=52，最后由S△AOD=S△AOP+S△DOP即可解答.【详解】解：如图：连接OP∵矩形ABCD，AB＝3，BC＝4∴S矩形ABCD=AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,5AC=∴S△AOD=14S矩形ABCD=3，OA=OD=52∴S △AOD =S △AOP +S △DOP =()111532222OA PE OD PF PE PF +=⨯+= ∴PE+PF=2.4故答案为D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正确的做出辅助线和运用数形结合思想是解答本题的关键．.8．B解析：B【分析】首先证明AB=AF=AD ，然后再证明∠AFG=90°，接下来，依据HL 可证明△ABG ≌△AFG ，得到BG=FG ，再利用勾股定理得出GE 2=CG 2+CE 2，进而求出BG 即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF ，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF ⎧⎨⎩＝＝ ∴△ABG ≌△AFG （HL ）；∴BG=FG （全等三角形对应边相等），设BG=FG=x ，则GC=6-x ，∵E 为CD 的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x ，∴在Rt △CEG 中，32+（6-x ）2=（3+x ）2（勾股定理），解得x=2，∴BG=2，故选B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用、三角形全的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．9．C解析：C【分析】由222AB AC BC +=，得出∠BAC =90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB =∠EAC =60°，则∠DAE =150°，由SAS 证得△ABC ≌△DBF ，得AC =DF =AE =4，同理△ABC ≌△EFC （SAS ），得AB =EF =AD =3，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE =150°，则③正确；∠FDA =180°－∠DFE =30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ，1143622AEFD SDF AM DF AD ===⨯⨯=，则④不正确；即可得出结果．【详解】解：∵22234=5+，∴222AB AC BC +=，∴∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，故①正确； ∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，又∴∠BAC=90°，∴∠DAE=150°，∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴BD=BA ，BF=BC ，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC ，在△ABC 与△DBF 中，BD BA DBF ABC BF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DBF （SAS ），∴AC=DF=AE=4，同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），∴AB=EF=AD=3，∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ， ∴1143622AEFD S DF AM DF AD ===⨯⨯=， 故④不正确；∴正确的个数是3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.【详解】解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；∵∠B=∠CAE=60°，则在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G，∴∠BAG=30°，BG=12，∴22AB BG3∴菱形ABCD 的面积为：BC AG ⨯=312⨯=32，故④错误； 故正确的结论有2个，故选B.【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC 边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ， 在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD 的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC 边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为AE=4，AB=5，AC=25 在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得2224(8)x x +=-，解得x =3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E 的坐标为（-10，3）. 故答案为：（-10，3）13．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．【详解】连接BD ，BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA ．∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，∴AF=BF ，BF=DF ，∴AF=DF ，∴∠FAD=∠FDA ，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．14．42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=23，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG 34233=，故答案为：42a-23．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．15．5【分析】过点B作BD⊥l2，交直线l2于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则22OE BE+OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B作BD⊥l2，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线l1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线l2与AB交于点N．∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵直线l1与直线l2均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 16．(3,2)-517【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴对于112y x =+当0y =时，1102x +=，解得2x=-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B 222,1,5OA OB AB OA OB ∴===+=四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，5CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒DAE ABO ∴∠=∠在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAO AAS ∴≅1,2AE OB DE OA ∴====213OE OA AE ∴=+=+=则点D 的坐标为(3,2)D -同理可证：CBF BAO ≅1,2CF OB BF OA ∴====123OF OB BF ∴=+=+=则点C 的坐标为(1,3)C -由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=MDC ∴△的周长为5CD DM CM DM C M '++=++由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-22(31)(23)17DC '∴=--+-=则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+故答案为：(3,2)-，517+．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 17．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可18．【分析】由正方形ABCD 的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，则EG 的中点为D ，即F 与D 重合，当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的路径为DF ，由D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，得出DF 是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，此时CF 最小，此时CF=12AG= 【详解】解：连接FD∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=2，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，∴EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．19．5【分析】先判断四边形BCEF的形状，再连接FM FC、，利用正方形的性质得出AFG是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC=即可．【详解】∵四边形ABCP是边长为4的正方形，//EF BC，∴四边形BCEF是矩形，∵1PE=，∴3CE=，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．23【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2 ∴12332EDM S =⨯⨯= 故答案是：2；3【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ，∵AH=AD ，AK ⊥HD ，∴∠HAK=∠DAK ，∵AD ∥BC ，∴∠DAK=∠AKG ，∴∠HAK=∠AKG ，∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ，∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2， ∴2142n x k n+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-， 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）见解析；（23；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF 的长； （3）过点D 作BC 的垂线，垂足为H ，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，FH=3DH=3，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE =． 【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．。
初中数学平行四边形教案(优秀4篇)
初中数学平行四边形教案(优秀4篇)平行四边形教案篇一教学目标：知识技能：认识平行四边形，能在方格纸上画平行四边形。
过程方法：在对简单图形分类的过程中，经历认识平行四边形的过程。
情感态度：鼓励学生发现日常生活中形状是平行四边形的物体，初步体会平行四边形的作用。
教学过程：一、创设情境1、认识平行四边形（1）出示下图，认真观察。
94页的一组图形，让学生仔细观察，然后提出分类的要求。
（2）在交流的基础上，让学生了解什么样的图形叫做平行四边形。
（3）引导学生从自动拉门、篱笆中找出平行四边形。
2、感悟平行四边形的特征⑴学会画平行四边形。
教师掩饰在方格纸上画一个平行四边形。
⑴引导学生找到平行四边形的。
不稳定性。
二、实践与应用1.下面哪些图形是平行四边形？把它涂上色。
2.在方格纸上画一个大一点的平行四边形。
三、全课小结学生汇报本节课的收获。
平行四边形教案篇二教学目标：1.经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；2.索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用；3.在探索活动过程中发展学生的探究意识。
教学重点：平行四边形性质的探索。
教学难点：平行四边形性质的理解。
教学准备：多媒体课件教学过程第一环节：实践探索，直观感知(5分钟，动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。
)1.小组活动一内容：问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。
将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。
(1)你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；(2)给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。
2.小组活动二内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？第二环节探索归纳、合作交流(5分钟，学生动手、动嘴，全班交流)小组活动3：用一张半透明的纸复制你刚才画的平行四边形，并将复制后的四边形绕一个顶点旋转180°，你能平移该纸片，使它与你画的平行四边形重合吗？由此你能得到哪些结论？四边形的'对边、对角分别有什么关系？能用别的方法验证你的结论吗？(1)让学生动手操作、复制、旋转、观察、分析；(2)学生交流、议论；(3)教师利用多媒体展示实践的过程。
初中数学课件-平行四边形的性质对边对角线应用 最新
D
A B
C
8
知识的应用
例题2、如图，已知 ABCD中，AB=8,周长等于 24，求其余各边的长度？
D C
A
B
知识的应用(例题规范格式书写)
解 :在 ABCD中， AB=8 ∴AB=CD=8,AD=BC (平行四边形的对边相等) 又∵AB+BC+CD+AD=24 A ∴ 8+BC+8+BC=24 ∴ 16+2BC=24 ∴ BC=4 ∴AD=BC=4.
5、在 ABCD中, 已知∠B-∠C= 80°, 求它的四个内角的度数.
D
解: 在 ABCD中,
C
B
A
∵AB∥CD ∴∠B+∠C= 180° 又∵∠B-∠C= 80°, 解得:∠B= 130°, ∠C=50° ∴∠D= 130°, ∠A=50°
6、已知 ABCD中，∠１=８0°， 你能求出其他各角的度数吗？ 说说你的理由。
∴AB=9cm，BC=10cm
答：□ABCD的一组邻边的长分别为9cm，10cm
4.如图， ABCD中，AF⊥CD于F，AE⊥BC于E， ∠D=60°，DF=3cm，BE=2cm， 求（1）∠EAF的度数。 （2） ABCD的各边长。 A D F B E C
挑战自我
5、如右图，AB=AC，且AB=5，从等腰三角形底边上 任一点，分别作两腰的平行线，求所成的平行四边 形AEDF的周长？
例题 教学
1、如图，已知 ABCD 中， AD=3,BD⊥AD, 且BD=4, 你能求出平行四边 形的周长吗? D
解： ∵BD ⊥AD 3 ∴ ∠ADB=90 ° 在Rt △ADB中，AD=3，BD=4 ∴AB= 42 32 = 5 （勾股定理） 又∵四边形ABCD为平行四边形（已知） ∴ AD=BC=3 AB=DC=5 （平行四边形对边相等） ∴ ABCD的周长=2(AD+AB) =2(3+5) =16
人教版苏科版初中数学—平行四边形(经典例题)
班级小组姓名成绩（满分120）一、平行四边形的性质（一）平行四边形的定义：（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.在平行四边形ABCD中，∠A=∠B+24°，那么∠D等于()A.65°B.78°C.85°D.95°例1.变式1.平行四边形ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC的长为() A.5cm B.15cm C.6cm D.16cm例1.变式2.如图，AD∥BC，AB∥DC，P为四边ABCD一点，过P点作EG∥AB，FH∥AD.则图中的平行四边形有个.例1.变式3.如图所示，如果平行四边形ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE=BE，求平行四边形ABCD各内角的度数.（二）平行四边形的性质：（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.如图，在周长为20的平行四边形ABCD中，AB<AD，AC与BD交于点O，OE」BD，交AD于点E，则△ABE的周长为.例2.变式1.已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=()A.18°B.36°C.72°D.144°例2.变式2.如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是()A.AC⊥BDB.AB=CDC.BO=ODD.∠BAD=∠BCD例2.变式3.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=18，且△AOB的周长为23，求AB的长.（三）平行四边形性质的综合问题（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为()A.3B.3C.4D.8例3.变式1.以三角形的三个顶点为其中的三个顶点作形状不同的平行四边形，一共可以作出()A.1个B.2个C.3个D.4个例3.变式2.如图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB 的平分线DF交BC于点F.求证:△ABE≌△CDF.例3.变式3.如图,在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F.求证:OE=OF.二、平行四边形的判定（一）（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是()A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行例4.变式1.有公共顶点的两个全等三角形，其中一个三角形绕公共顶点旋转180后与另一个重合，那么不共点的四个顶点的连线构成形.例4.变式2.如图，已知AB=DC，AD=BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB=115°,∠ADB=35°,则∠BCF等于()A.150°B.40°C.80°D.90°例4.变式3.如图所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使EF=DE，若AB=10,BC=8,则四边形BCFD的周长是.三、平行四边形的判定（二）（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.用两个不等边的同样大小的三角形按不同的方法拼成四边形，在这些四边形中，平行四边形有()A.1个B.3个C.6个D.无数个例5.变式1.已知：如图所示，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点.求证:AF=CE.例5.变式2.下列说法正确的是()A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相互垂直的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形D.两条对角线的中点为同一点的四边形是平行四边形例5.变式3.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD 的延长线交于点E，F.求证:四边形AECF是平行四边形.四、平行线间的距离及性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AD∥BC，若AB=3cm，AD=4cm，则BC的长为()A.3cmB.4cmC.3cm或4cmD.不确定例6.变式1.下列说法中,错误的个数是()①在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离处处相等；④若两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直.A.1B.2C.3D.4例6.变式2.把直线a沿水平方向平移4cm，平移后为直线b，则直线a与直线b之间的距离为()A.等于4cmB.小于4cmC.大于4cmD.小于或等于4cm例6.变式3.如图，已知12l l ∥，AB CD ∥，2CE l ⊥，2FG l ⊥，下列说法错误的是（）A.1l 与2l 之间的距离是FG 的长度B.CE FG=C.线段CD 的长度就是1l 与2l 两条平行线间的距离D.AC BD=五、三角形的中位线（一）三角形中位线定理及其应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的一条中位线长为()A.2B.4C.6D.8例7.变式1.如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E，F 分别是AB，CD 的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE 的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°例7.变式2.如图，梯形ABCD 中，点E，F 分别为AB，CD 的中点，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于EF 上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD 的周长为()A.9B.10.5C.12D.15例7.变式3.如图，在△ABC 中，AB=BC，∠ABC=100°，BD 是∠ABC 的平分线，E 是AB 的中点.求∠EDB 的度数.（二）利用三角形的中位线求线段的长（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为()A.32 B.52C.3D.4例8.变式1.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是()A.4B.3C.2D.1例8.变式2.如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第二个三角形，再以第二个三角形的三边中点为顶点组成第三个三角形，……,则第n个三角形的周长为.例8.变式3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8，∠B=60°，BC=12，连接AC.若M，N分别是AB，DC的中点，连接MN，求线段MN的长.六、多边形的内角和和外角和（一）多边形的内角和（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是()A.4B.5C.6D.7例9.变式1.正八边形的每个内角为()A.1120°B.135°C.140°D.144°例9.变式2.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为()A.5B.5或6C.5或7D.5或6或7例9.变式3.有两个正多边形，若此两个正多边形的边数之比为1∶2，内角和的比为3∶8，求这两个正多边形的边数.（二）多边形的外角和（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.一个正多边形的每个外角都是36°,这个正多边形的边数是()A.9B.10C.11D.12例10.变式1.如果某个多边形的外角分别是10°,20°,30°,…,80°,则这个多边形的边数是()A.9B.8C.7D.6例10.变式2.一个正多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数是.例10.变式3.一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数.。
最新华东师大初中数学八年级下册《平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解
平行四边形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、（2015•海淀区二模）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE，使AE=AD ，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．【答案与解析】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键．举一反三：【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠BAC＝90°∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形，∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC ,∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°∴∠1＝∠2易证△BAC≌△BDF（SAS），∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°同理可证△BAC≌△FEC∴AB＝AD＝EF＝3∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵DF∥AE，DF⊥BD延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×32＝6.2、（2016•菏泽）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．【思路点拨】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．【答案与解析】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．类型二、矩形3、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即：OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DG O，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，==．∴矩形ABCD的面积＝4×2【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．举一反三：【变式】（2015秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD 上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC=90°，∵CF=9，BF=12，∴BC==15，∴AD=BC=15，∴AD=DF=15，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴AF平分∠DAB．4、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4．过点A作AE⊥AB且AB＝AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC＝5，求四边形ABDE的周长．【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC＝AF，AC＝EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．【答案与解析】解：∵∠ACB＝90°，AE⊥AB，∴∠1＋∠B＝∠1＋∠2＝90°．∴∠B＝∠2．∵EF⊥AC，∴∠4＝∠5＝90°．∴∠3＝∠4．在△ABC 和△EAF中，∵342BAB AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，∴△ABC≌△EAF（AAS）．∴BC＝AF，AC＝EF．∵BC＝4，∴AF＝4．∵FC＝5，∴AC＝EF＝9．在Rt△ABC中，AB=∵ED⊥BC，∴∠7＝∠6＝∠5＝90°．∴四边形EFCD是矩形．∴CD＝EF＝9，ED＝FC＝5．∴四边形ABDE的周长＝AB＋BD＋DE＋EA4＋9＋5＝18＋．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC＝EF＝9是解题关键．类型三、菱形5、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BCAC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．AC==，在Rt△ABC中，2∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD= ∠FBD ，∴∠FBD=∠EDB ，ED ∥BF. 同理，DF ∥BE ，∴四边形BFDE 是平行四边形.又∵EB=ED ，∴四边形BFDE 是菱形.类型四、正方形6、 正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF ＝FM ；（2）当AE ＝1时，求EF 的长．【答案与解析】解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM ，∠EDM＝90°，∴∠EDF＋∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF MDFDF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF≌△DMF（SAS ），∴EF＝MF ；（2）设EF ＝MF ＝x ，∵AE＝CM ＝1，且BC ＝3，∴BM＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ，∵EB＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即()22224x x +-=， 解得：52x =，则EF ＝52． 【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ．（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．【答案】解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；理由是：延长BG交DE于点H，因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE所以△BCG≌△DCE，所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠GBC＋∠DEC＝90°，得∠BHE＝90°．所以BG⊥DE.(2)上述结论也存在．理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，同理可证△BCG≌△DCE，得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．所以BG⊥DE.7、探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE ＝10，求四边形ABCD的面积．应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为_______.【思路点拨】探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB＝∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，从而得到四边形AFCE 是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AF ＝AE ，再根据ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形列式计算即可得解．【答案与解析】解:探究：如图①，过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ，∵AE⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形AFCE 为矩形，∴∠FAE＝90°，∴∠FAB＋∠BAE＝90°，∵∠EAD＋∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠EAD，∵在△AFB 和△AED 中， 90FAB EAD F AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△AED（AAS ），∴AF＝AE ，∴四边形AFCE 为正方形，∴AFCE ABCD S S =正方形四边形＝2210AE =＝100；应用：如图，过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，则∠ADF＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，∵在△ABE 和△ADF 中，90ABC ADF AEB F AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADF（AAS ），∴AF＝AE ＝19，∴ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形 ＝12BC•AE＋12CD•AF ＝12×10×19＋12×6×19 ＝95＋57＝152．故答案为：152．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．。
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初中数学——（48）平行四边形
一、平行四边形
（一）定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
（二）性质：从角，边，对角线三个方面分析
1、平行四边形的两组对边分别平行
即：DC∥AB、AD∥BC
2、平行四边形的两组对边分别相等
即：DC＝AB、AD＝BC
3、平行四边形的两组对角分别相等
即：∠DAB＝∠DCB、∠ADC＝∠ABC
4、平行四边形的对角线互相平分
即：OD＝OB、OA＝OC
（三）平行四边形的判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形
二、中位线
（一）三角形中位线
1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，即：
DE就是△ABC的中位线
2、定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三
边的一半，即：DE∥BC、BC=2DE
3、三角形三条中位线把原三角形分成四个全等的三角形
（二）中点四边形
1、定义：顺次连接四边形各个中点所组成的四边形
2、中点四边形一定是平行四边形
3、中点四边形的面积等于原四边形的一半
三、练习题
（一）在下列条件中，能够判定四边形是平行四边形的是（ ）
A、一组对边平行，另一组对边相等
B、一组对边相等，一组对角相等
C、一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D、一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
（二）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交
AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于
A、2 B、3
C、4 D、6
（三）如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的
延长线于点F．
1、求证：△ADE≌△FCE．
2、若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长
（四）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延
长交DC的延长线于点F．
1、求证：AB=CF；
2、连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF
（五）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、
AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
1、求证：四边形DEFG是平行四边形；
2、若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度
（六）如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C
两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、
AB于M、N．
1、求证：四边形CMAN是平行四边形．
2、已知DE=4，FN=3，求BN的长
（七）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求
证：
1、DE=BF；
2、四边形DEBF是平行四边形