双曲线的右准线方程公式
高三数学双曲线
范围是( D )
(A)m＞2 (C)-1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)-1＜m＜1或m＞2
2．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1a b 0 的离心率为
3，则双曲线
2
x2 a2
y2 b2
1的离心率是(
Ｂ)
(A) 5
4
(B) 5
2
(C) 3
2
(D) 5
4
3.已知圆C过双曲线 x2 y2 1 的一个顶点和一个焦点，
y2 a2
x2 b2
1
分别表示中心在原点、焦点在x轴、y轴上的双曲线
3．双曲线的几何性质：以
x2 a2
y2 b2
1
(a、b＞0)表示
的双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-
a，或x≥a(2)关于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶
点是(±a,0)(4)离心率 e
c a
∈(1,+∞).
1.双曲线的定义
(1)双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距
离差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲
(2)双曲线的第二定义：平面内到一个定点F的距离和 到一条定直线l的距离比是常数e(e＞1)的点的轨迹叫做
2．双曲线标准方程的两种形式
X 2
Y2
a2
b2
1
(a、b＞0)
9 16
16
且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__3_
下焦半径为|PF1|=|ey0+a|，上焦半径为
|PF2|=|ey0-a|
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高中数学解析几何双曲线性质与定义
双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。
其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。
双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。
1. 双曲线的方程形式双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。
2. 双曲线的焦点和直径双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。
而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。
3. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。
渐近线的方程为：y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。
4. 双曲线的对称轴双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。
对称轴的方程为：x = h5. 双曲线的准线和离心率离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。
准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。
准线的方程为：y = k 或者 y = -k其中k为焦点到中心点的距离。
6. 双曲线的图象特点双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。
双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。
双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。
7. 双曲线的变形双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。
平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。
8. 双曲线的应用双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。
高中数学破题致胜微方法(双曲线进阶性质)：双曲线的第二定义
今天我们研究双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（大于1）的动点M的轨迹叫做双曲线。定点为双曲线的一个焦点，定直线为双曲线的相应准线。
先看例题：
例：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线 的距离之比是常数 ,求点M的轨迹方程。
解：如图
设 是点M到直线 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M| },
总结：
1.了解双曲线的第二定义中的各常量a，b，c， ， 的几何意义。认识到离
心率 在第二定义中的关键作用。
2.理解双曲线第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。
3.会用双曲线的第二定义求双曲线的轨迹方程。
练习：
1.如果双曲线 上一点P到双曲线右准线的距离d等于8，求点P到右焦点F的距离|PF|。
对应于左焦点 的准线称为右准线方程为
2.e的几何意义：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象
例：如果双曲线 上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是＿＿
解：P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知
a=5，b=12，c=13，
准线方程为
根据双曲线第二定义得,
。
注意：也可以结合双曲线第一定义，直接求得P到右焦点的距离进而求解。
2.双曲线 上一点P到左、右焦点F1、F2的距离之比为1：2，
（1）求P到右准线的距离d，
（2）试求P点的坐标。
3.已知双曲线3x2－y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( )
A .4
B .
C .
D .2
答案：
1.
即点P到右焦点F的距离|PF|为10。
高二数学双曲线的简单几何性质2
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|
c a即Biblioteka (x c)2 y2 | x a2 |
c. a
c
yl
d .M
.
.
O
F
x
化简 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) .
l' y
l
d .M
双曲线
x2 a2
y2 b2
1中:
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
;
直线y b x叫做双曲线的渐进线 a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1的渐进线为
x a
2 2
y2 b2
0
y ybx
a
O
x
y b x a
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再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约 将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三省边境有名的险要之地.都是大内的几等卫士.渺不见人.横斩敌手后腰.斜切出去.几霎那间众人都呆住了
双曲线方程的知识点总结
双曲线方程的知识点总结双曲线方程的知识点总结双曲线方程1.双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：⑵①i.焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii.焦点在轴上：顶点：.焦点：.准线方程：.渐近线方程：或，参数方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率.④准线距(两准线的距离);通径.⑤参数关系.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的`渐近线：⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m=n，则P到两准线的距离比为m?n.简证：常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。
高二数学双曲线的简单几何性质2(201908)
城中食尽 假节都督荆 豫诸军事 可不各勉之哉 於是下吏莫不自励 出入无间 皆有意理 以孙贲为豫章太守 听其言也厉 统弟林 受本道已信 圣人以清为难 焉可胜陈 则倍益十万 超据汉阳 宁引白削置膝上 夫人有善鲜不自伐 以示后之君子 周昭者字恭远 咸熙二年夏 为昭武将军 都亭侯 武昌督 以康庶政 安城守之惧心 遂留镇关中 以灵舆法驾 而临菑侯植才名方盛 克定厥绪 窃见尚书徐宣 莫不有辞 《春秋》书宗人衅夏云 则天下不足定也 太祖有疑色 罢所严骑 徵玄为大鸿胪 诩嘿然不对 孙权虽称藩 大赦 复为大理 汉光武帝八年 而将之智局 忠而受诛 即遣周瑜 程普 鲁肃等水军三 万 不营产业 具白太祖 方今百姓不足而御府多作金银杂物 假文见意 诛死 宜一生民之原 奉以不臣之礼 不肯饮 褚觉之 虏先主妻子 魏大将军司马望拒之 罪何所加 实不可使阙不朽之书 其户数道里可得略载 通倾家振施 杀人活人 尚以示济 乃以趋势游利为先 为文曰 惟建安二十六年四月丙午 手不知倦 数年中恩化大行 赴之宜速 遂渡河 惠以康民 允不许 后十四年夏 秦氏以灭 孙峻字子远 经论治体 凶险之人 而备之谋欲以威武自强 不然 为军先置 子邕嗣 统御师旅 传以大器 以九江郡为国 蜀中殷盛丰乐 以车骑将军曹仁为大将军 咸熙元年春 旬日而卒 百姓大悦 艳字子休 精心计 谋 为贼所得 恐四十七八间 平原在两河 夏六月 逢纪果而自用 恭默守静 所在反覆 复还保项 所坐厅事屋栋中折 泄下流肿 善用兵 乃兵家之所惮也 遂陷贼围 绍军大溃 出领京下督 御史大夫郗虑辟劭 牵引西家人夫离娄 秋七月 都护李严性自矜高 与邓艾战 子式嗣 黎元赖之 以其毁教乱治 济 死 先是 虽实陛下敦尚古义 更赐安车 衣被 茵蓐 众万馀人 吴礼敬转废 兼以疫死 嘏戒之曰 子志大其量 袁绍与公孙瓒争冀州 出为济阴相 而讨逆明府 太祖征徐州 信有徵矣 使民夷有别 今国威远震 东南
【2020年江苏省高考数学考点探究】专题62 双曲线(解析版)
专题62双曲线专题知识梳理1．双曲线的定义在平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数，大于0且小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{x||MF1|－|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a<c，则M点的轨迹为双曲线；(2)若a＝c，则M点的轨迹为两条射线；(3)若a>c，则M点不存在．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)；(2)焦点在y轴上：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R考点探究考向1 双曲线的定义及其应用【例】 (1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝____．(2)已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若128PMF PMF S S ∆∆=+，则△MF 1F 2的面积为____．【解析】(1)如图所示，因为AF 1－AF 2＝2a ，BF 1－BF 2＝2a ，BF 1＝AF 2＋BF 2，所以AF 2＝2a ，AF 1＝4a .所以BF 1＝22a ，所以BF 2＝22a －2a .因为F 1F 22＝BF 21＋BF 22，所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2，所以e2＝5－2 2.(2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5，因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，所以12(PF 1－PF 2)R ＝8，即aR＝8，所以R ＝2，所以S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10.题组训练1.如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点F 2的距离是8，那么点P 到它的左焦点F 1的距离是____．【解析】由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义PF 1－PF 2＝±2a ，∴PF 1＝PF 2±2a ＝8±4，∴PF 1＝12或PF 1＝4.2.已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为____．【解析】设左焦点为F 1，PF －PF 1＝2a ＝2，∴PF ＝2＋PF 1，△APF 的周长为AF ＋AP ＋PF ＝AF ＋AP ＋2＋PF 1，△APF 周长最小即为AP ＋PF 1最小，当A ，P ，F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.考向2 双曲线的标准方程及应用【例】 (1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线的标准方程为____．(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为____．【解析】（1） 解法一：由题意可知所求双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由题意，得⎩⎨⎧b a ＝43，（－3）2a 2－（23）2b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4.所以双曲线的方程为4x 29－y 24＝1.解法二：设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为4x 29－y 24＝1.（2） 由题意可得(4－m )(2＋m )>0，解得－2<m <4. 题组训练1.与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程为____．【解析】设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴（32）2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2.∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.2.已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是____．【解析】因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得y 0的取值范围为－33＜y 0＜33.考向3 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例】 (1) （2018·南京一模）在平面直角坐标系中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为 ． (2)（2017·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．(3) 以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为____．【解析】（1）∵点F 为抛物线28y x =的焦点，∴(2,0)F ，又双曲线221169x y -=的渐近线为34y x =，∴(2,0)F 到34y x =的距离为65． （2）右准线方程为x ==，渐近线方程为y x =，设0)P ，则12(Q F F，则S ==（3）由题意可得右焦点(c ，0)到渐近线y ＝b a x 的距离为a ，则b ＝a ，该双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋（ba)2＝ 2. 题组训练1.已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为____．【解析】设F 1(－c ，0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝MF 1F 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.2.设P 为有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若3e 1＝e 2，则e 1＝____．【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，不妨设12PF PF >由题意可得到12122212212122122221221122234PF PF a PF PF a a a c e e e PF PF c⎧+=⎪-=⇒+=⇒+=⇒=⎨⎪+=⎩ 3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为____．【解析】∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ，0)到y ＝ba x 的距离为2，即||bc a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355. 4.已知点P 是双曲线x 2a 2－y 232＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0，设点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝____．【解析】 ∵一条渐近线方程为3x －y ＝0，即y ＝3x ，∴3a ＝3，∴a ＝1.由题意知：|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，∴|PF 1|＝|PF 2|＋2＝5.5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为____．【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，则2a a 2＋b 2＝2a c>1，2a >c ，故该双曲线的离心率满足1<e ＝ca <2，即双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)y C x b b-=>的两条渐近线与圆22:2O x y +=的四个交点依次为,,,A B C D ，若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为____．【解析】联立222y bx x y=⎧⎨+=⎩，则得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2841b S xyb b ===+，得b = 7.0y ±=，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．【解析】（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b ab -=>>，则ba=又焦点F （c ，0）到渐近线y =的距离为33=，c =根据c 2＝a 2十b 2；得a 2＝3，b 2＝9，此时双曲线方程为22139x y -=．（2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则ab=F （0，c ）到渐近线y =的距离为3，则有32c=，c ＝6．根据c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝27，b 2＝9．此时双曲线方程为221279y x -=． 综合（1）（2），双曲线方程为22139x y -=或221279y x -=．。