必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
一对一个性化辅导教案
时取“
当且仅当时取“
基本不等式复习
知识要点梳理
知识点：基本不等式
1．如果,a b R+
∈a b
+≥（当且仅当时取“=”号）.
2．如果,a b R+
∈
2
2
a b
ab
+
⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
（当且仅当时取“=”号）.
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
①一正：函数的解析式中，各项均为正数；
②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
类型一：利用（配凑法）求最值
1．求下列函数的最大（或最小）值.
（1）求
1
1
x
x
+≥
+
（x0）的最小值；
（2）若x0,0,24,xy
y x y
>>+
=求的最大值
（3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知
51
,y=42
445
x x
x
<-+
-
求函数的最大值
类型二：含“1”的式子求最值
2．已知且，求的最小值.
变式1：若2
3
0,0,=1x y x y x y >>++，求的最小值
变式2：23
0,0,=2x y x y x y >>++，求的最小值
变式3：求函数221
4
y=(0)sin cos 2x x x π
+<<的最小值
类型三：求分式的最值问题
3. 已知0x >，求21
x x x ++的最小值
变式1：求函数2
3
1
()12x y x x +=≥+的值域
变式2：求函数2
y =
类型四：求负数范围的最值问题
4. 1
0,x x x <+求的最大值
变式1：求4
()(0)f x x x x =+≠的值域
221
2()x x f x x -+=变式：求的值域
类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值
例5.若正数a,b 满足3,ab a b =++则
（1）ab 的取值范围是
（2）a+b 的取值范围是
变式1：若x ，y>0满足2x+y+6,xy xy =则的最小值是
变式2：已知x ，y>0满足x+2y+2xy 8,x+2y =则的最小值是
课堂练习： 1：已知a,b R ∈,下列不等式中不正确的是（ ）
（A ）2ab b a 22≥+ （B ）ab 2b a ≥+ （C ）4a 4a 2≥+ （D ）4
b b 42
2≥+
2：在下列函数中最小值为2的函数是（ ）
3：若0x >，求12
3y x x =+的最小值。
4：若3x >，求1
3y x x =+-的最小值。
5：若1
02x <<，求(12)y x x =-的最大值。
6：0x >,0y >, x+3y=1 求y x 1
1
+的最小值
作业（共80分，限时40分钟）
1、（5分）设x,y 为正数, 则14
()()x y x y ++的最小值为( )
A. 6
B.9
C.12
D.15
2、（5分）若b a ,为实数，且2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ）
（A ）18 （B ）6 （C ）32 （D ）432
3. （5分）设正数x 、y 满足220x y +=，则lg lg x y +的最大值是（ ）
4. （5分）已知a,b 为正实数，且b a b a 11,12+=+则
的最小值为（ ） A ．24 B ．6 C ．3－22
D ．3+22 5. （5分）设,a b R ∈、且,2,a b a b ≠+=则必有( ) (A)2b a ab 122+≤≤ (B)22
12
a b ab +<< (C)2212a b ab +<< (D)22
12
a b ab +<< 6．（5分）下列结论正确的是 ( )
A.当0x >且1x ≠时，1lg
lg x x +2≥ B.0x >当2≥ C ．当2x ≥时，1x x +
的最小值为2 D.02x <≤时，1x x
-无最大值
7. （5分）若1a b >>，P =1(lg lg )2Q a b =+，lg 2
a b R +=，则下列不等式成立的是（ ） 8. （5分）函数11
y x x =++(1)x >-的最小值是 ． 9. （5分）已知两个正实数x y 、满足关系式440x y +=, 则lg lg x y +的最大值是_____________.
10. （5分）已知102x <<，则(12)x x -的最大值是 11、（5分）已知,x y R +
∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____ 12. （5分）若正数,a b 满足3,ab a b =++，则ab 的取值范围是
13. （10分）已知 a b c 是3个不全等的正数。
求证：
3b c a c a b a b c a b c
+-+-+-++> 14. （10分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均
速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：)0(1600
39202>++=υυυυy 。
（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（精确到1.0千辆/小时） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？
老师相信你可以做得很好的!
教师评语。
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高中数学必修5第三章不等式复习一、不等式的主要性质：(1) 对称性： a b b a (2) 传达性： a b,bca c(3) 加法法例： a b a c b c ； a b,c d a c b d (4) 乘法法例： ab,c 0ac bc ； ab,cacbcab0, c d 0ac bd(5) 倒数法例： ab,ab1 1a b(6) 乘方法例： a b 0 a nb n (nN * 且 n 1)(7) 开方法例： abnanb (n N * 且 n1)二、一元二次不等式 ax 2bxc0 和 ax 2 bx c0( a0) 及其解法y ax 2bx cy ax 2 bxc2bx ca( x x 1 )( x x 2 )y axa( x x 1 )( x x 2 )二次函数y ax 2bx c（ a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根 有两相等实根ax 2bx cb 无实根a 0 的根 x 1 , x 2 ( x 1 x 2 )x 1 x 22aax 2bx c(a 0)的解集ax 2bx c 0(a 0)的解集１ . 一元二次不等式先化标准形式（ a 化正）２ . 常用 因式分解法 、求根公式法 求解一元二次不等式顺口溜： 在二次项系数为正的前提下： “大鱼”吃两边， “小鱼”吃中间三、均值不等式1. 均值不等式：假如a,b 是正数，那么a b (当且仅当时取 " " 号).abab22、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等3、均匀不等式：（a、b为正数），即 a 2 b 2 a bab2（当 a = b 时取等）2211a b四、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：| x |是指数轴上点x 到原点的距离；| x1x2 |是指数轴上x1, x2两点间的距离a a0代数意义： | a | 0a0a a02、假如a0, 则不等式：| x | a x a或 x a| x | a x a或 x a | x | a a x a| x | a a x a4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其余常有不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f ( x )0 f ( x) g( x ) 0 ；f ( x )0 f ( x )g( x ) 0g( x )g( x)0g( x )②指数不等式：转变为代数不等式a f ( x ) a g ( x ) ( a 1) f ( x ) g( x ) ； a f ( x ) a g ( x ) (0 a 1) f ( x ) g( x)③对数不等式：转变为代数不等式f ( x)0 f ( x )0 log a f ( x ) log a g( x)( a1)g( x )0log a f ( x ) log a g( x )(0 a 1)g( x )0f ( x)g( x ) f ( x )g( x )④高次不等式：数轴穿根法 :奇穿，偶不穿例题：不等式( x23x2)( x4) 20 的解为（）x3A．－ 1< ≤1 或x≥2B．<－ 3 或 1≤x≤ 2x xC．x=4 或－ 3<x≤ 1 或x≥2D．x=4 或x<－3 或 1≤x≤ 2六、不等式证明的常用方法做差法、做商法七、线性规划1、二元一次不等式（组）表示的平面地区直线 l : Ax By C 0 （或0 ）：直线定界，特别点定域。
基本不等式题型20种
基本不等式题型20种不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在解决实际问题和推导数学推论中，不等式起着非常重要的作用。
本文将介绍20种常见的基本不等式题型。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型。
例如：解不等式3x+4>10。
解：首先将不等式转化为等式：3x+4=10；然后解方程：3x=6；得到解：x=2。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次函数的不等式形式。
例如：解不等式x^2-5x+6>0。
解：首先求出一元二次函数的根：(x-2)(x-3)>0；然后画出函数的图像或根据韦达定理判断函数的正负；得到解：x<2或x>3。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
例如：解不等式|2x-3|≥5。
解：将含有绝对值的不等式拆分为两个不等式：2x-3≥5或2x-3≤-5；然后求解这两个不等式得到：x≥4或x≤-1。
四、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。
例如：解不等式(3x-2)/(2x+1)≤1。
解：首先将不等式化简：3x-2≤2x+1；然后解方程：x≤3。
五、根式不等式根式不等式是含有根式的不等式。
例如：解不等式√(x-4)≥2。
解：将不等式平方得：x-4≥4；然后解方程：x≥8。
六、乘法不等式乘法不等式是含有乘法的不等式。
例如：解不等式2x(x-1)≤0。
解：将不等式化简：2x(x-1)≤0；然后求解这个不等式得到：0≤x≤1。
七、除法不等式除法不等式是含有除法的不等式。
例如：解不等式(3x+6)/(x+2)≤4。
解：首先将不等式转化为等式：(3x+6)/(x+2)=4；然后解方程：x=-5；由于分母不能为0，所以解为x<-2或x>-5。
八、加法不等式加法不等式是含有加法的不等式。
例如：解不等式x+2>5。
解：将不等式化简：x>3。
九、减法不等式减法不等式是含有减法的不等式。
例如：解不等式2x-5≥1。
高中必修5：基本不等式整理
xy xy
yx
当且仅当 x = 2 y ，即x=2- 2, y 2 1时等号成立. yx
(2) x 2 y 1 (x 2 y)(1 1 ) 1 (3 2 y x ) 3 2
2
xy 2 x y 2
当且仅当 2 y x ，即x= 1 2 , y 1 2 时等号成立.
3.4 基本不等式(2)
ab a b 2
一.知识梳理
1.基本不等式：ab a b (a，b R ) 2
当且仅当a b时，等号成立. 2.重要不等式：
a2 b2 2ab(a，b R),当且仅当a b时取等号.
3.基本不等式的变形：
(1) a b 2 ab(a，b R ),当且仅当a b时取等号. (2) a b 2(a, b同号)，当且仅当a b时取等号.
1 3
(
3x
43x 2
)
2
4 3
当且仅当3x 4 3x即x 2 时，等号成立.
3
所以f (x)的最大值是 4，此时x 2 .
3
3
例1（. 1）已知0 x 1, 求f (x) x(4 3x)的最大值；
（2）已知x 5 , 求f (x) 4x 2 1 的最大值.
4
4x 5
解：（2）因为x 5 ,所以4x 5 0, 4
f (x) (5 4x 1 ) 3 5 4x
2 (5 4x) 1 3 5 4x
=1 当且仅当5-4x 1 即x 1时，等号成立.
5 4x
所以f (x)的最大值是1，此时x 1.
例
2: 已 知
高中不等式经典题型
高中不等式经典题型
1.均值不等式：在实数范围内，对于任意正数a，b，总有2a+b≥ab，当且仅当
a=b时等号成立。
例如，求函数y=x+4/x的最小值。
2.绝对值不等式：对于任意实数x，y，总有∣x+y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣，当且
仅当x，y同号时等号成立。
例如，求函数f(x)=|x-1|-|x+2|的最大值。
3.柯西不等式：对于任意实数a，b，c，总有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅
当c=ad时等号成立。
例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。
4.排序不等式：对于任意实数a，b，c，总有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等
号成立。
例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。
这些不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决一些最优化问题、比较大小等问题。
在解决不等式问题时，需要灵活运用这些不等式，结合具体的题目条件进行求解。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高一数学必修5不等式题型总结
含参数的一元二次不等式的解法1 当 a1,或 0 a 1 时,{x|a x -}a解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:2一、按X 项的系数a 的符号分类，即 例1解不等式：ax 2 a 2x分析：本题二次项系数含有参数, 系数进行分类讨论。
0,a 0 a 2 2 0, a 0;2 4a a 4 0，故只需对二次项解：： 4a a 2 解得方程ax 20两根 二当 0时,解集为0时，不等式为 2x 1 0时，解集为 x|分析 解解不等式ax 2 0，5x 因为aa(x 2 X 12a2 ^2 4,X 2a 2a 2 4 2a 2aa 2 4或或x 0 ,解集为X| X2.. a 2 4 2aa 2 a 2 4 2a2 ,a 2 42a5ax 6a 0 a 0 0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
6) a x当a 0时，解集为x | x 二、按判别式 的符号分类，即例3解不等式x 分析本题中由于2 x 2或x0, a 2 二不等式的解集为例4解不等式2解因m 1；当a0,0时，解集为x | 2 0 ;ax 42X 的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
16m 2 0,二当a4,4即0,此时两根分别为 X1a a 2 16 十 或xX 2 4x 12 24)4 m0时，解集为R ；当a4即厶=0时，解集为 xx R 且 xa . a 2 16 X 2a A ，显然X 1X 2 ,a .a 21643 2m ，所以当-3，即0时，解集为当m■. 3或 m . 3，即0时，解集为 R o三＞按方程ax 2 bx c0的根X 1, X 2的大小来分类，即X 1 X 2,X 1X 2,X 1 X 2 ;例 5解不等式x 2(a bx a1 0 (a 0)分析：此不等式可以分解为： X a(x 1a)0， 故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面).(精选)知识框架】1、基本不等式原始形式若a,b∈R，则a2+b2≥2ab2）若a,b∈R，则ab≤(a+b)2/42、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b∈R*，则a+b≥2ab3、基本不等式的两个重要变形1）若a,b∈R*，则a+b/2≥√(ab)2）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/2总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1）若x>1，则x+1/x≥2(当且仅当x=1时取“=”）2）若x<1，则x+1/x≤-2(当且仅当x=-1时取“=”）3）若ab>0，则a+b/2≥√(ab)(当且仅当a=b时取“=”）4）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/25）若a,b∈R*，则a+b/2≤√(ab)≤(a+b)/2≤√(a2+b2)/26、柯西不等式1）若a,b,c,d∈R，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)22）若a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R，则有：(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)23）设a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn是两组实数，则有(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)2/4题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca题目3、已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3题目4、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc题目5、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≤abc/8题目6：设$a,b,c$均为正数，且$a+b+c=1$，证明：frac{1}{a^2b^2c^2}\geq\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{3abc}$$ 题型二：利用不等式求函数值域题目1：求下列函数的值域1）$y=3x^2+\frac{1}{2x^2}$2）$y=x(4-x)$3）$y=x+\frac{11}{x}$，其中$x>0$4）$y=x+\frac{1}{x}$，其中$x\neq 0$题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{x}$的最小值；变式1：已知$x>2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最小值；变式2：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最大值；变式3：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4x}{2-x}$的最大值；练：1、已知$x>\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最小值；题目2、已知$x<\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1：当$0<x<4$时，求$y=x(8-2x)$的最大值；变式1：当$0<x<4$时，求$y=4x(8-2x)$的最大值；变式2：设$0<x<\frac{3}{2}$，求函数$y=4x(3-2x)$的最大值。
基本不等式的题型
基本不等式的题型
基本不等式是高中数学的重点内容，题型丰富多样，以下是一些常见题型：
1.基础型：直接利用基本不等式进行求解。
2.“1”的代换型：通过将“1”进行转换，再利用基本不等式求解。
3.“和”与“积”互消型：在求解过程中，通过对“和”与“积”进行转换，使其相互抵消，进而求解。
4.以分母为主元构造型：通过构建分母，再利用基本不等式求解。
5.分子含参型：通过分离分子的方式，使其转化为基本不等式的形式进行求解。
6.反解代入型：通过反解基本不等式，将其转化为代数式的形式，再代入求解。
7.因式分解型：通过对式子进行因式分解，再利用基本不等式求解。
8.均值不等式用两次：通过对基本不等式进行多次使用，进而求解。
9.换元法型：通过换元的方式，将式子转化为基本不等式的形式进行求解。
这些题型只是基本不等式中的一部分，在实际的数学问题中，还有许多其他的题型和应用方式。
高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
高中数学必修5常考题型：基本不等式Word版含解析
【知识梳理】1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式（1）有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．（2）不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例1】 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[证明] 由基本不等式可得：a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.【类题通法】1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【对点训练】1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b ≤ab . 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b≥21ab ＞0，∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b≤ab (当a ＝b 时取“＝”). 题型二、利用基本不等式求最值【例2】 (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值． (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝⎛⎭⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32. (2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 (x －3)·4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y，即y ＝2x 时，等号成立， 解得x ＝1－22，y ＝2－1， ∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y 有最小值3＋2 2. 法二：1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝3＋2x y ＋y x≥3＋2y x ·2x y ＝3＋22， 以下同解法一．【类题通法】1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【对点训练】2．(1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．(3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2 ab ＝2 100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22 ＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. (3)∵1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝⎛⎭⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y＋10， 又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2y x ×9x y＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 题型三、利用基本不等式解应用题【例3】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．【类题通法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．【对点训练】3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)． ∴y ＝4⎣⎡⎦⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为 y x＝16⎝⎛⎭⎫23－2x －50x ＝16⎣⎡⎦⎤23－2⎝⎛⎭⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10， 当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48. ∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．【练习反馈】1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞abB ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b 2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b 2＞b 解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b 2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确． 3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立． 答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y 最小值＝2， 当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋ab c＞a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b≥2 abc 2ab ＝2c ， ac b ＋ab c≥2 a 2bc bc ＝2a ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bca ＋acb ＋abc ＞a ＋b ＋c .。