2019-2020学年福建省龙岩一中实验班高二（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2019-2020学年福建省龙岩一中实验班高二（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）2019-2020学年福建省龙岩一中实验班高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知数列√5,√11,√17,√23,…，则5√5是数列的第______项()A. 19B. 20C. 21D. 222.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为()A. 4B. 3√3C. 4√3D. 6√33.若a<b<0下列不等式中不成立的是的是()< bdsfid="77" p=""></b<0下列不等式中不成立的是的是()<>A. |a|>|b|B. 1a?b >1bC. 1a>1bD. a2>b24.在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是()A. 32B. 39C. 46D. 785.在△ABC中，已知BC=2√3，AC=5，∠C=30°，则AB=()A. √7B. 2√3C. √19D. √37?10√36.设a>0，b>0，lg√2是lg4a与lg2b的等差中项，则2a +1b的最小值为()A. 2√2B. 3C. 4D. 97.已知实数?1，x，y，z，?4成等比数列，则xyz=()A. ?8B. ±8C. ?2√2D. ±2√28.若sin(θ+π4)=√26，则sin4θ+cos4θ=()A. 19B. 49C. 3281D. 49819.已知数列{a n}满足log2a n+1=log2a n+1，且a2+a4+a6=4，则log12(a5+a7+a9)的值为()A. ?5B. 15C. 5 D. ?1510.若实数x，y满足约束条件{x?3y+4≥03x?y?4≤0x+y≥0，则z=3x?2y的最大值是()A. 2B. 1C. 5D. 711.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2?a2?b22ab>0，则△ABC()A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 是锐角或直角三角形12.设函数f(x)=(x?3)3+x?1，数列{a n}是公差不为0的等差数列，则f(a1)+f(a2)+?+f(a7)=14，则a1+a2+?+a7=()A. 0B. 7C. 14D. 21二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，则cos C=_______．14.设等比数列{a n}的前n项的和为S n，且满足S2=3，S3?S1=6，则a6=________．15.已知变量x,y满足约束条件，目标函数z=2x+y的最小值为?5，则实数a=_____，此时，z=y?2的取值范围是___________．x?416.如图，四边形ABCD中，AD=DC=3，BC=5，AB=8，∠DCB=120°，则四边形ABCD的面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=|x+m|+|2x?n|，m，n∈(0,+∞)．(Ⅰ)若f(x)≥1恒成立，求2m+n的最小值；(Ⅱ)若m=2，n=3，求不等式f(x)>5的解集．18.已知数列{a n}满足a1=1，a2=1，且[3+(?1)n]a n+2?2a n+2[(?1)n?1]=0．2(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a2n?1a2n，求数列{b n}的前n项和S n．19. 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠B =π12，c =b(1+2cosA)，求角A ．20. 如图，在△ABC,B =π3,BC =2，点D 在边AB 上AD =DC ，DE ⊥AC ，E为垂足．(1)若△BCD 的面积为√33，求CD 的长；(2)若ED =√62，求角A 的大小．21. 锐角三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 三角形的面积S =54√63，sinA =√638． (1)求ABAC 的值；(2)若c ?b =1，求三角形的周长．22.已知数列{a n}满足a1=12,1a n+1=1a n+2(n∈N?)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)证明：a12+a22+a32+?+a n2<12．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由数列√5,√11,√17,√23,…，可得被开方数5，11，17，23，……，是首项为5，公差为6的等差数列{a n}∴a n=5+6(n?1)=6n?1．令6n?1=125，解得n=21．则5√5是数列的第21项．故选：C．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先利用余弦定理求出B的值，进一步判定三角形为等腰三角形，进一步利用面积公式的应用求出结果．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)2=c2+ab，整理得a2+b2?c2=?ab，所以cosC=a2+b2?c22ab =?12，由于0<c< bdsfid="219" p=""></c<>3．由于B=30°，a=4，则△ABC为等腰三角形，所以b=4，所以S△ABC=12?4?4?√32=4√3．故选：C．3.答案：B解析：【分析】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据不等式的性质，分别判断即可求出．【解答】解：∵a<b<0，< bdsfid="234" p=""></b<0，<>∴|a|>|b|，aab <b< bdsfid="237" p=""></b<>ab，即1b<1a，a2>b2，因此A，C，D正确，对于B：取a=?3，b=?2，a?b=?1，此时1a?b <1b，因此B不正确，故选B．4.答案：B解析：解：∵等差数列{a n}中，a3+a11=6，∴其前13项的和：S13=132(a1+a13)=132×6=39．故选：B．由等差数列前n项和公式及通项公式得S13=13(a3+a11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.答案：A解析：【分析】本题考查余弦定理，属于基础题型，因为BC=2√3，AC=5，∠C=30°，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2?2AC?BC?cos?C，代入即可求解；【解答】解：因为BC=2√3，AC=5，∠C=30°，则AB2=AC2+BC2?2AC?BC?cosC=52+(2√3)2?2×5×2√3×√3 2=7，所以AB=√7．故选A．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用等差中项的定义建立a，b 的关系是解决本题的关键，属于中档题．根据等差中项的定义建立a，b的关系，然后利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：是lg4a与lg2b的等差中项，∴2lg√2=lg4a+lg2b，即lg2=lg(4a·2b)，∴4a·2b=22a+b=2，即2a+b=1，∵2a1b=(2a+1b)×1=(2a+1b)(2a+b)=4+1+2ba +2ab，又∵a>0，b>0，∴2a +1b≥5+2√2ba2ab=9，当且仅当2ba =2ab，即a=b=13时取等号，∴2a +1b的最小值为9．故选：D．7.答案：A解析：【分析】本题考查等比数列的性质的运用，属于中档题，根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方，由此求出y的值，进而求出xyz的值．【解答】解：由等比数列的性质得，y2=xz=(?1)×(?4)=4，∴y=?2，或y=2(正数不合题意舍去)，∴xyz=4×(?2)=?8.故选A．8.答案：D解析：【分析】本题考察了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．【解答】解：∵sin(θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)=√26，∴sinθ+cosθ=13，∴sinθ·cosθ=(sinθ+cosθ)2?12=?49，∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2?2(sinθcosθ)2=1?2×(?49)2=4981．故选D．9.答案：A解析：【分析】本题考查了等比数列的定义及其性质、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．数列{a n}满足a n+1=2a n，因此数列{a n}是等比数列，公比q=2.再利用等比数列的性质、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵log2a n+1=log2a n+1，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是等比数列，公比q=2．∵a2+a4+a6=4，∴a5+a7+a9=q3(a2+a4+a6)=8×4=25，则log3(a5+a7+a9)=log1225=?5．故选：A．10.答案：C解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x，y满足约束条件{x?3y+4?03x?y?4?0x+y?0作出可行域如图，联立{x +y =03x ?y ?4=0，解得C(1,?1)，化目标函数z =3x ?2y 为y =32x ?12z ，由图可知，当直线y =32x ?12z 过C(1,?1)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 有最大值5．故选：C ．11.答案：C解析：【分析】本题考查余弦定理的运用，属于基础题．由题意结合余弦定理可得cosC <0，所以C 为钝角，即可求解．【解答】解：由c 2?a 2?b 22ab>0可得cosC =a2+b2?c22ab<0，又C ∈(0,π)，故C 为钝角，所以三角形一定为钝角三角形．故选C ．12.答案：D解析：解：由题意可得，[(a 1?3)3+a 1?1]+[(a 2?3)3+a 2?1]+?+[(a 7?3)3+a 7?1]=14，∴[(a 1?3)3+a 1?3]+[(a 2?3)3+a 2?3]+?+[(a 7?3)3+a 7?3]=0，根据等差数列的性质可得(a 4?3?3d)3+(a 4?3?2d)3+?+(a 4?3+3d)3+7(a 4?3)=0，[(a4?3?3d)3+(a4?3+3d)3]+[(a4?3?2d)3+(a4?3+2d)3]+[(a4?3+d)3+(a4?3?d)3]+(a4?3)3+7(a4?3)=0，化简可得(a4?3)[7(a4?3)2+84d2+7]=0，∴a4?3=0，即a4=3．∴a1+a2+?+a7=7a4=21，故选：D．由题意可得[(a1?3)3+a1?3]+[(a2?3)3+a2?3]+?+[(a7?3)3+a7?3]=0，再利用等差数列的性质求得a4=3，从而求得a1+a2+?+a7的值．本题主要考查等差数列的定义和性质的应用，属于中档题．13.答案：?14解析：【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cos C的值．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出其三边分别为2k，3k，4k，是解题的关键．【解答】解：因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4，所以a:b:c=2:3:4，令a=2k，b=3k，c=4k，(k>0)所以cosC=a2+b2?c22ab =4k2+9k2?16k22×2k×3k=?14．故答案为?14．14.答案：32解析：【分析】本题主要考查等比数列的通项公式及前n项的和为S n，属于基础题，【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，因为S2=3?a1+a2=3，所以a1+a1q=3，因为S3?S1=6?a2+a3=6，所以a1q+a1q2=6，所以q=2,a1=1，则a6=a1q5=32，故答案为32.15.答案：?3；[?12,1314]解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z =2x +y 的最小值为?5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z =2x +y 的最小值为?5，建立条件关系即可求出a 的值和z 的范围．【解答】解：目标函数z =2x +y 的最小值为?5，∴y =?2x +z ，要使目标函数z =2x +y 的最小值为?5，则平面区域位于直线y =?2x +z 的右上方，可以求得2x +y =?5，作出变量x ，y 满足约束条件对应的平面区域如图：则目标函数经过点A ，由{2x +y =?5x ?y +1=0，解得A(?2,?1)，同时A 也在直线x +y ?a =0上，即?2?1?a =0，解得a =?3， z =y?2x?4表示点过(x,y)与点(4,2)直线斜率，由{x ?y +1=02x ?y ?1=0得(2,3)，当过(2,3)和(4,2)时斜率最小?1 2，由{x +y +3=02x ?y ?1=0得(?23,?73)，过(?23,?73)和(4,2)时斜率最大1314，故答案为?3；[?12,1314]．16.答案：39√34解析：【分析】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，是基础题，连接BD ，在三角形DCB 中，由DC ，BC 以及cos∠DCB 的值，利用余弦定理求出BD 的长，在三角形ABD 中，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，四边形ABCD的面积由三角形BCD 面积与三角形ABD面积之和求出即可．【解答】解：如下图所示，连接BD，在△BCD中，DC=3，BC=5，∠DCB=120°，利用余弦定理得：BD2=DC2+BC2?2DC?BCcos∠DCB=9+25+15=49，∴BD=7，在△ABD中，AD=3，AB=8，BD=7，由余弦定理得：cosA=AD2+AB2?BD22AD·AB =9+64?492×3×8=12，∴sinA=√1?cos2A=√32，则S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=12×3×5×√32+12×3×8×√32=39√34．故答案为39√34．17.答案：解：(Ⅰ)|x+m|+|2x?n|=|x+m|+|x?n2|+|x?n2|≥|x+m|+|x?n2|≥|m+n2|=m+n2，故m+n2≥1，2m+n≥2，2m+n的最小值是2；(Ⅱ)①当x≤?2时，?x?2?2x+3>5，得x3，故x≤?2，②当?2<x<3< bdsfid="517" p=""></x<3<>2时，x+2?2x+3>5，得x<0，故?2<x<0，< bdsfid="521" p=""></x<0，<>③当x≥32时，x+2+2x?3>5，得x>2，故x>2，综上，不等式解集为(?∞,0)∪(2,+∞)．解析：(Ⅰ)根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可；(Ⅱ)通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．18.答案：解：(1)由[3+(?1)n]a n+2?2a n+2[(?1)n?1]=0，计算得a 3=3，a 4=14，a 5=5，a 6=18. 当n 为奇数时，a n+2=a n +2，即数列{a n }的奇数项成等差数列，公差为2，∴a n =a 1+n?12×2=n ；当n 为偶数时，a n+2=12a n ；即数列{an}的偶数项成等比数列，公比为12，∴a n =a 2(12)n?22=(12)n 2.∴数列{an}的通项公式为(2)由(1)，知b n =a 2n?1a 2n =(2n ?1)(12)n ，∴S n =1×12+3×(12)2+5×(12)3+?+(2n ?3)×(12)n?1+(2n ?1)×(12)n ，① 12S n =1×(12)2+3×(12)3+5×(12)4+?+(2n ?3)×(12)n +(2n ?1)×(12)n+1，② 由①?②，得12S n =12+2[(12)2+(12)3+?+(12)n ]?(2n ?1)×(12)n+1 =12+12[1?(12)n?1]1?12(2n ?1)×(12)n+1=32?(2n +3)×(12)n+1，∴S n =3?(2n +3)(12)n ．解析：本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．(1)通过n =1,2,3,4，计算可得a 3,a 4,a 5,a 6的值，讨论n 为奇数和偶数，由等差数列和等比数列的通项即可得到数列{a n }的通项公式；(2)求出b n =(2n ?1)·(12)n，运用错位相减法，即可得到数列{b n }的前n 项和S n ．19.答案：解：在△ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠B =π12，c =b(1+2cosA)，由正弦定理可得：sinC =sinB(1+2cosA)=sin π12(1+2cosA)，∴sin(π12+A)=sinπ12(1+2cosA)，即sin π12cosA +cos π12sinA =sin π12+2sin π12cosA ，∴cosπ12sinA ?sinπ12cosA =sin π12，∴sin(A ?π12)=sin π12．解得A ?π12=π12．∴A =π6．解析：利用已知条件，通过正弦定理以及B 的大小，化简方程为A 的三角函数的形式，求解即可．本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，基本知识的考查．20.答案：解：(1)由已知在△ABC,B =π3,BC =2，得S △BCD =12BC ?BD ?sinB =√33，又B =π3，∴BD =23．在△BCD 中，由余弦定理得：CD 2=BC 2+BD 2?2BC ?BD ?cosB =289，∴CD =2√73． (2)在△CDE 中CDsin∠DEC =DEsin∠DCE ，∵AD =DC ，∴A =∠DCE ，∴CD =AD =DE sinA =√62sinA ，在△BCD 中BCsin∠BDC =CDsinB ，又∠BDC =2A ，得2sin2A =CD sinπ3，CD =√3sin2A ，∴CD =√62sinA=√3sin2A ，解得：cosA =√22，所以A =π4．解析：(1)直接利用已知条件，根据三角形的面积公式和余弦定理求出结果， (2)进一步利用正弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，正弦和余弦定理的应用．21.答案：解：由已知可得，S =12bcsinA =12bc ×√638=5√634，∴bc =20，∵sinA =√638且A 为锐角，∴cosA =18，(1)AB ????? ?AC ????? =bccosA =20×18=52；(2)∵c ?b =1，bc =20，∴c =5，b =4，由余弦定理可得，cosA =18=b 2+c 2?a 22bc =25+16?a 22×5×4，∴a =6∴三角形的周长a +b +c =5+4+6=15．解析：由已知及三角形的面积公式S =12bcsinA 可求bc ，由sin A 结合同角平方关系可求cos A ，(1)AB ????? ?AC=bccosA ，代入可求； (2)由c ?b =1可求b ，c ，由余弦定理可得，cosA =18=b 2+c 2?a 22bc可求a ，进而可求三角形的周长．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理等知识的简单应用，属于基础试题．22.答案：解：(Ⅰ)由数列{a n }满足a 1=12,1a n+1=1a n +2(n ∈N ?)．可知数列{1a n}为等差数列，且首项为12，公差为2，故a n =12n ．(Ⅱ)证明：依题可知a n2=(12n )2=14?1n 2<14?1n ?1n?1=14(1n?1?1n)，n >1，所以a 12+a 22+a 32+?+a n 2<14(1+1?12+12?13+?+1n?1?1n )=14(2?1n )=12?14n ，故a 12+a 22+a 32+?+a n 2<12．解析：(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，通过裂项相消法数列的和即可．本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．。