最优控制0

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理论形成阶段： 1953~1957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。 为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的 递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控制理 论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。
1956~1958年，庞特里亚金创立“最大值原理”。 它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对 于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态 规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问 题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在《最优过程的数学 理论》著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。
系统辨识：根据输入、输出观测确定系统的数学模型。
最优控制：寻找最优控制向量u(t) 最佳滤波（卡尔曼滤波）：存在噪声情况下，如何根据输入、 输出估计状态变量。

适应控制：参数扰动情况下，控制器的设计
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最优控制的发展简史： 先期工作：
1948年，维纳(N.Wiener)发表《控制论》，引进了信息、反馈和 控制等重要概念，奠定了控制论(Cybernetics)的基础。并提出了 相对于某一性能指标进行最优设计的概念。
确定性和随机性 单变量函数最优化和多变量函数最优化

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3. 最优化问题的解法
（1）间接法(又称解析法) 对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学解析表达式的最优 化问题，通常可采用间接法(解析法)来解决。 其求解方法是先按照函数极值的必要条件，用数学分析方法(求导 数方法或变分方法)求出其解析解，然后按照充分条件或问题的实际物 理意义间接地确定最优解。
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绪 论
主要内容：
最优控制理论的发展 最优化问题的分类
最优化问题的解法
最优控制问题的描述 本门课程的主要教学内容
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1. 最优控制理论的发展
现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括 5个方面：
线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定 性等。


h( x) 0

可行域：满足所有约束条件的优化变量的集合称为可行域，可以为有限 集、无限集或空集。
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2. 最优化问题的分类
静态最优化问题。最优化问题的解不随时间t的变化而变化，则 称为静态最优化(参数最优化)问题。 解决方法：线性规划和非线性规划法。 动态最优化问题。如果最优化问题的解随时间t的变化而变化， 即变量是时间t的函数，则称为动态最优化(最优控制)问题。 解决方法：动态规划和最大值原理。
J (u) dt t f t0
t0
tf
(0 12) (0 13)
J (u) u(t ) dt
t0
tf
线性二次型性能指标最优控制问题
1 tf T J (u ) ( x Qx u T Ru )dt 2 t0
(0 14)
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本节要点
最优控制问题的数学模型 主要参考教材：
解：设该车间每周应生产产品A、B的件数分别为X1、X2,由于每台机器工 作时间有限制，则有约束条件：
1.5 X 1 5 X 2 40 2 X 1 4 X 2 40 X1 0 X2 0 (0 1)
(0 2)
在这些约束条件下选择X1、X2 ,使总产值 J 200X1 500X 2 达到最大。
(t ) f [ x(t ), u(t ), t ] x
(0 8)
t t0 t tf
x(t0 ) x0 x(t f ) S
tf t0
(0 9)
(3)给定性能指标 J (u) [ x(t f ), t f ]

L[ x(t ), u(t ), t ]dt
(0 10)
(t )dt [a bu(t )]u(t ) x(t )dt J (u) x
0 0
T
T
（2）在计划期间内使消费基金的增长最大：
J (u) [1 u(t )][a bu(t )]u(t ) x(t )dt
0
T
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例0-4：飞船软着陆
ut
在月球表面着陆时速度必须为零，由发动机 mg 的推力变化来完成。 问题：如何选择推力，使燃料消耗最少。 vt ht 初始条件： m0 M F m0 登月舱初始质量 h0 h0 月球 初始变量 v 0 v0 初始速度 t0 0 初始时间， t f 末端时间 m 飞船的质量，h 高度， v 垂直速度， u t t v g h t v t g 月球重力加速度常数， mt M 飞船自身质量 t ku t k 常数 m F 燃料的质量
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（2）直接法(数值解法)
对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解 的最优化问题，通常可采用直接法(数值解法)来解决。
直接法的基本思想，就是用直接搜索方法经过—系列的迭代以产生 点的序列(简称点列)，使之逐步接近到最优点。直接法常常是根据经验 或试验而得到的。
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（3）以解析法为基础的数值解法。解析与数值计算相结合的方法。 （4）网络最优化方法。以网络图作为数学模型，用图论方法进行投 索的寻优方法。
根据经验数据，
dx (t ) (t ) x(t )u (t ) dt 其中： x(t ) 为国民收入；u (t ) 为积累率； (t )
为积累效果系数。
(t ) a bu(t ) 0
则
0 u (t ) a
b
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根据要求不同，可以建立不同的目标函数：
（1）在计划期间内使国民收入的增长总额最大：
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例0-1 生产计划安排问题 现有产品A、B,每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成，其所 需工时如下表所示，且每台机器每周最多只能工作40小时。若产品A的单 价为200元，产品B的单价为500元，应如何安排生产计划，即A、B各应生 产多少可使总产值最高。
第一道工序 产品A 产品B 1.5h 5h 第二道工序 2h 4h
此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作 ，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩—图克定理) 以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。
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经典控制理论设计控制方法
幅值裕量、相位裕量（频率指标） 上升时间、调节时间、超调量（时域 指标） 特点：系统的控制结构是确定的，控制参数设计一般采用试凑方法， 不是最优结果。
(4)允许控制域 u(t)
u(t ) U
(0 11)
确定一个最优控制u*(t)，使系统从初始状态x(t0)，转移到终端状态 x(tf) ，并使性能指标J(u)具有极大（极小）值。
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5. 本门课程的主要教学内容
现代数学基础：变分法（研究泛函的极值） 基础理论：最大值原理、动态规划原理 典型应用： 最小时间控制问题 最少燃料控制问题
t0
tf
(0 5)
(0 6)
J (u) [ x(t f ),t f ]
tf
(3)综合性能指标 J (u) [ x(t f ), t f ]
（鲍尔扎 Bolza 型）

t0
L[ x(t ),u(t ),t ]dt
(0 7)
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b. 最优控制问题的数学模型 用以下4个方程来描述 (1)给定系统的状态方程 (2)状态方程的边界条件
五十年代初期布绍（Bushaw）研究了伺服系统的时间最优控制问 题。 拉塞尔（LaSalle）发展了时间最优控制的理论，即所谓Bang— Bang控制理论。 1954年，钱学森编著《工程控制论》，作者系统地揭示了控制论 对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重大影响。 其中“最优开关曲线”、“满足指定积分条件的控制设计”等素材 ，直接促进了最优控制理论的形成和发展。







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边界条件 初始条件 末端条件 控制约束：
ht f 0, vt f 0
0 ut umax （发动机最大推力）
性能指标：选择 u *
J mt f max
t , 使 ht0 ht f
燃料最省
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优化问题的基本要素
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例0-2 搅拌槽的温度控制
设有一盛放液体的连续搅拌槽。如下图所示。槽内装有不停地转动着的搅拌器J ，使液体经常处于完全混合状态。槽中原放0℃的液体，现需将其温度经1小时后升 高到40℃。为此在入口处送进一定量的液体，其温度为u(t)，出口处流出等量的液 体，以便保持槽内液面恒定。试寻找u(t)的变化规律，使槽中液体温度经1小时后上 升到40℃，并要求散失的热量最小。
解：因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用x(t)表示其温度。由热力学可知， 槽中液体温度的变化率与温差[u(t)一x(t)]成正比，为简便计，令比例系数为1，于 是有
dx (t ) u (t ) x(t ) dt
1
(0 3)
在1小时内散失掉的热量可用下式表示：
J (u) [qx2 (t ) ru 2 (t )]dt
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最优化(optimization)技术是研究和解决最优化问题的一门学科, 它 研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优 化技术是研究和解决如下两个问题： （1）如何将最优化问题表示为数学模型 （2）如何根据数学模型（尽快）求出其最优解 最优控制(optimal control)是控制理论中的优化技术。寻找在某种性 能指标要求下最好的控制。
建立这门技术科 学，能赋予人们更宽 阔、更缜密的眼光去 观察老问题，为解决 新问题开辟意想不到 的新前景。
符曦．系统最优化及控制．机械工业出版社，2004
胡寿松. 最优控制理论与系统（第二版）. 科学出版社, 2006 李传江, 马广富. 最优控制. 科学出版社, 2011
辅助参考教材：
秦寿康．最优控制．电子工业出版社，1984
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《工程控制论》 Engineering Cybernetics 序言（钱学森）
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4. 最优控制问题的描述
最优控制问题的实质，就是求解给定条件下给定系统的控制规律，致 使系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值。
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a. 最优控制问题的性能指标 (1)积分型性能指标
(拉格朗日 Lagrange型) (2)末值型性能指标
（梅耶 Mayer 型）
J (u) L[ x(t ), u(t ), t ]dt
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其它分类：
无约束与有约束 无约束：最优解=目标函数的极值 有约束：等式约束、不等式约束 例：已知函数

f ( x) ( x a)2 b
求在无约束、等式约束 x c和不等式约束 x c 下的最优解。

线性和非线性 线性最优化问题或线性规划问题：目标函数和所有的约束条件式均为线性。
0
(0 4)
其中g和r都是正的常数。因此在目前情况下，最 优控制问题是：找u(t)的变化规律．使槽中液体 经I小时后从0℃上升到40℃ ，并要求散失的热 量最小，即方程(4）中J(u)取最小值。
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例0-3 国民收入的最优积累率问题
国民收入=消费基金+积累基金 积累率=（积累基金 / 国民收入）*100% 单位时间内国民收入增长额可表示为：

优化变量：其取值需要在优化过程中进行不断调整变化的参数称为优化 变量。包含n个优化变量的优化问题称为n维优化问题。 目标函数：描述优化目标的数学表达式，采用优化变量表示。

f ( x) f ( x1, x2 ,

, xn )
约束条件：用来描述对优化变量的限制。可以是等式约束、不等式约束 或百度文库者混合。 g( x) 0