反比例函数四边形

One To One
姓 名 门淇琪 年 级
性别
女
科目
教学课题 反比例函数与四边形
初三 数学
教师 课时
19:0021:00
授课时间 备课时间
15.4.30
教学目标
教学内容
反比例函数
yk
yk
1. 定义：一般地，形如 x （ k 为常数， k o）的函数称为反比例函数。 x 还可以写成
y kx 1
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k （也叫做比例系数 k ），
分母中含有自变量 x ，且指数为 1.
⑵比例系数 k 0
⑶自变量 x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数 y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线，
y
k x
（
k
为常数，
k
0 ）中自变量
x
0 ，函数值
y
0
，
所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与 坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y x 或 y x ）。

yk
y k
⑷反比例函数 x （ k 0）中比例系数 k 的几何意义是：过双曲线 x （ k 0 ）上任意
引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。
4．反比例函数性质如下表： k 的取值 图像所在象限 函数的增减性
k o
一、三象限
在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小
k o
二、四象限
在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大
5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可
求出 k ）
6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数
yk x 中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用 二、例题
【例 1】如果函数 y kx2k2k2 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数
y
k x
，（
k
0 ）即
y
kx
1
（
k
0
）又
在第二，四象限内，则 k 0 可以求出的值
【答案】由反比例函数的定义，得：
2k
2
k 2 k 0
1 解得
k
1或k k 0
1 2
k 1
1 k 1时函数 y kx2k2k2 为 y x
【例
2】在反比例函数
y
1 x
的图像上有三点 x1
，y1 ，x2
，y2
，x3
，y3
。若 x1 x2 0 x3
则下列各式正确的是（ ）
A． y3 y1 y2 B． y3 y2 y1 C． y1 y2 y3 D． y1 y3 y2
【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

1
1
1
解法一：由题意得 y1 x1 ， y2 x2 ， y3 x3
x1 x2 0 x3 ， y3 y1 y2 所以选 A
y1
解法二：用图像法，在直角坐标系中作出
x 的图像
描出三个点，满足 x1 x2 0 x3 观察图像直接得到 y3 y1 y2 选 A
解法三：用特殊值法
x1
x2
0
x3 ,令x1
2,
x2
1, x3
1
y1
1, 2
y2
1,
y3
1, y3
y1
y2
y mx nm 0与反比例函数y 3n m的图像
1 ，2
【例 3】如果一次函数
x
相交于点（ 2 ），那么
该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】
直线y
mx
n与双曲线y
3n
x
m
x相交于
12 ，2 ， 123nmmn
12解得mn

2 1
直线为y
2
x
1,
双曲线为y
1 x
解方程组
y
y
2x 1
x
1
得
x1 y1

1 1

x2
1 2
y2 2
另一个点为 1，1
【例
4】
如图，在 RtAOB 中，点 A 是直线 y x m 与双曲线 y
m x 在第一象限的交点，且
SAOB 2 ，则 m 的值是_____.
图

m
解:因为直线 y x m 与双曲线 y x 过点 A ,设 A 点的坐标为 xA , yA .
则有
yA
xA
m, y A
m xA
.所以 m
xA yA.
又点 A 在第一象限,所以 OB xA xA, AB yA yA .
所以 SAOB
1 OB ? 2
AB
1 2
xA yA
1 2
m
.而已知
S
AOB
2.
所以 m 4.
三、练习题
y2
1.反比例函数
x 的图像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限
D．第二、四象限
2.若 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，则 y 是 z 的（ A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数
） D、不能确定
3.如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长 y cm 与宽 x cm 之间的函数图象大致为（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，
气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 )
的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于 120 kPa
球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
时，气
5 A、不小于 4 m3
5 B、小于 4 m3
4 C、不小于 5 m3
4 D、小于 5 m3

y1 5．如图 ，A、C 是函数 x 的图象上的任意两点，过 A 作 x
垂足为 B，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 RtΔAOB 的面积
COD 的面积为 S2 则 （ ）
A． S1 ＞S2
B． S1 C． S1=S2
D． S1 与 S2 的大小关系不能确定
y
A
OB
C
D
轴的垂线，
为 S1，RtΔ x
n 1 6．关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数 y= x 的图象都经过点 A（-2，1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点 B 的坐标； （3）△AOB 的面积．
7. 如图所示，一次函数 y＝ax＋b 的图象与反比例函数 y＝kx的图象交于 A、B 两点，与 x 轴 交于点 C．已知点 A 的坐标为（－2，1），点 B 的坐标为（12，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围．
A O
C B

8． 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3，6 小时可将满池水全部排空． （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q（m3），那么将满池水排空所需的时间 t（h）将如何变化？ （3）写出 t 与 Q 的关系式． （4）如果准备在 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ （5）已知排水管的最大排水量为每小时 12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y（件） 是日销售价 x 元的反比例函数，且当售价定为 100 元/件时，每日可售出 30 件. （1）请写出 y 关于 x 的函数关系式； （2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为 1800 元，则其售价应为多少元？
ym 10．如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 x 的图象交于 A(-2，1)、B(1，n)两点。 (1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积。

强化练习 y2
1．对与反比例函数 x ，下列说法不正确的是（ ）
A．点（ 2,1）在它的图像上 B．它的图像在第一、三象限 C．当 x 0 时， y随x的增大而增大
D．当 x 0 时， y随x的增大而减小
y k k 0
2.已知反比例函数 x
的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ）
A、（2，1） B、（2，-1） C、（2，4） D、（-1，-2）
3．在同一直角坐标平面内，如果直线
y
k1 x
与双曲线
y
k2 x
没有交点，那么
k1和 k2
的关系一
定是（ ）
A. k1 + k 2 =0 B. k1 · k 2 <0
C. k1 · k 2 >0
D. k1 = k 2
4. 反比例函数 y＝kx的图象过点 P（－1.5，2），则 k＝________． 5. 点 P（2m－3，1）在反比例函数 y＝1x的图象上，则 m＝__________． 6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则 m 的值为__________．
7.
已知反比例函数
y
1 2m x
的图象上两点
Ax1 ,
y1
,
Bx2 ,
y2
，当
x1
0
x2
时，有
y1
y2 ，
则 m 的取值范围是？
8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x＝-2 时 y＝7，求： (1)求 y 和 x 之间的函数关系式； (2)当 x=8 时，求 y 的值； (3)y＝-2 时，x 的值。

9.
已知
b
3 ,且反比例函数 y
1
x
b
的图象在每个象限内，
y
随
x
的增大而增大,如果点
a,3
y 1b
在双曲线上
x ，求 a 是多少？

一．知识框架
四边形
二．知识概念
1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定 ○1 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形
○2 .对角线互相平分的四边形是平行四边形；
○3 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
○4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
7.矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD
8.矩形判定定理： ○1 .有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
○2 .对角线相等的平行四边形是矩形。
○3 .有三个角是直角的四边形是矩形。
9.菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。
10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
11.菱形的判定定理：○1 .一组邻边相等的平行四边形是菱形。
○2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
○3. 四条边相等的四边形是菱形。
12.S 菱形=1/2×ab（a、b 为两条对角线）
13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。
15.正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。
2.有一个角是直角的菱形是正方形。

16.梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 17.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 18.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。 19.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 20.等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究，要求学生在学习过程中多动手多动脑，把自己的发 现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的特点，这样有利于学生对知识的 把握。
练习题
一、选择题
1.□ABCD 中，∠A 比∠B 大 40°，则∠C 的度数为（
）
A. 60°
B. 70°
C. 100°
D. 110°
2.□ABCD 的周长为 40cm，△ABC 的周长为 25cm，则对角线 AC 长为（
）
A. 5cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 10cm
3.在□ABCD 中，∠A＝43°，过点 A 作 BC 和 CD 的垂线，那么这两条垂线的夹角度为（ ）
A. 113°
B. 115°
C. 137°
D. 90°
A
4.如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，
D
则四边形 BCEF 的周长为（ ）
DE
CC
B
A. 8.3
B. 9.6
C. 12.6
D. 13.6
O
5.下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形 A
是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
F 第4题图
B
③在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形 ABCD 是平行四边形；④一组对边相等，
一组对角相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 3 个
D. 4 个
6.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（
）
A. 88°，108°，88°
B. 88°，104°，108°
C. 88°，92°，92°
D.88°，92°，88°
7.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A.对角相等
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对边相等
8.如图，矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使 D 点落在 BC 边上的 F 点处，
如果∠BFA＝30°，那么∠CEF 等于（
）
A
D
A. 20°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
9.菱形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是（ ）
E
A.对边相等 C.对角相等
B.对角线互相平分 D.对角线互相垂直平分
B
FC
第8题图
10.已知四边形 ABCD，顺次连接各边中点，得到四边形 EFGH，添加下列条件能使四边形 EFGH 成为菱
形的是（ ）
A.平行四边形 ABCD
B.菱形 ABCD
C.矩形 ABCD
D.对角线互相垂直的四边形 ABCD

11.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（
）
A.对角线互相垂直平分 B.内角之和为 360° C.对角线相等 D.对角线平分内角
12.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（
）
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.等腰梯形
二、填空题
13.□ABCD 中，两邻边的差为 4cm，周长为 32cm，则两邻边长分别为
14.平行四边形的周长等于 56cm，两邻边长的比为 3︰1，则这个平行四边形较长的
长为
.
15.若平行四边形的两邻边长分别为 12 和 26，两长边之间的距离为 8，则两短边
的距离为 16.如图，在□ABCD 中，DB＝DC，∠A＝65°，
D
C
CE⊥BD 于 E，则∠BCE＝
.
17.三角形的三条中位线长是 3cm，4cm，5cm，
则这个三角形的周长为
.
A
18.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，
E
A 第16题图 B
E
D
过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 E、F，AB＝2，
O
BC＝3.则图中阴影部分的面积为
.
19.E 点为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，且 AE＝ B
连接 BE，则∠CBE＝
度.
F 第18题图
C AB
20.等腰梯形两底之差等于一腰长，则这个等腰梯形的锐角是
度.
三、解答题
21.如图，点 E 是□ABCD 的边 AD 延长线上
一点，若 BC＝3，□ABCD 的面积是 8，求：＝？
A
D
E
B
C
第21题图
22.求证：顺次连接矩形各边中点的四边形是棱形.
23.如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，CF 平分∠BCD 交 AD 于点 F，求证：四边形 AECF
是平行四边形.
A
F
D
B
E
C
第23题图

24.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，
∠C＝60°，AE⊥BD 于点 E，F 是 CD 的中点.
求证：四边形 AEFD 是平行四边形.
A
E
D F
B
C
第24题图
25.已知：如图，P 是正方形 ABCD 内一点，在正方形 ABCD 外有一点 E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝
BP. 求证：⑴△CPB≌△AEB；⑵PB⊥BE.
D
A
P
E
C
B
第25题图
26.如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AE∥DC，BD 平分∠ABC.
求证：⑴ AD＝EC；⑵ AB＝EC.
A
D
B
E
C
第26题图