微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念

1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;

v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ?r

=}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a -

任意点的切平面方程为00

cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------?

??

?????

??????a a a a a a z a y a x

即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为

?

?

????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22

221x y a b

+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此

曲面只有一个切平面 。

解 椭圆柱面22

221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,

}0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r

。所以切平面方程为：

01

0cos sin sin cos =----????b a t

z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

5．证明曲面},,{3

uv

a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常

数。

证 },0,1{23v u a r u -= ，},1,0{23uv

a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv

v y u x 。

与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv

a 2

3)。于是，四面体的体积为：

3

32

9||3||3||361a uv a v u V ==是常数。

§２ 曲面的第一基本形式

1. 求双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.

解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==

2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=?=

,

∴ 错误！未找到引用源。 =

+++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。

２．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12==u r E ，0=?=v u r r F

，222b u r G v +==

，∴ 错误！未找到引用源。 =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴

坐标曲线互相垂直。

３．在第一基本形式为错误！未找到引用源。 =222sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。

解 由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2ds 得

=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的

弧长为|sinh sinh ||cosh |122

1

v v vdv v v -=?。

4．设曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。 = 2222)(dv a u du ++，求

它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。

分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，22a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，

0=v F ，2a G =。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=

δv , 设两曲线的夹角为?，则有

cos ?=

22

222211a a v

G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。 5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.

解 曲面的向量表示为r ={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为

r ={

x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r

={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r ={x , 0y ,ax 0y }，其切向量x r

={1，0，a 0y }，设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为?，则

有cos ? = 20

22020

0211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=?

6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.

解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有

Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的微分方程为E δu + F δv = 0 .

同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .

7. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.

证明 因为du,dv 不同时为零，假定dv ≠0，则所给二次方程可写成为P 2

)(dv

du + 2Q

dv du + R=0 ,设其二根dv du ,v u δδ, 则dv du v u δδ=P R ，dv du +v u

δδ=P

Q 2-……错误！未找到引用源。又根据二方向垂直的条件知E dv du v u δδ + F(dv du +v

u

δδ)+ G = 0 ……错误！

未找到引用源。

将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。则得 ER - 2FQ + GP = 0 .

8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .

证 用分别用δ、*δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*δu ＝０，*δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得

2

22222)()(ds v G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 2

2)()(+=+。

展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2dv ,而EG-2F >0，消去EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .

9．设曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。 = 2

2

2

2

)(dv a u du ++，求曲面上三条曲线u = a ±v, v =1相交所成的三角形的面积。

解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲

u

v

V=1 u=-av

u=av o

线围城的三角形的面积是

S=????+++--1

220

1

22a

u a

a

a

u dv du a u dv du a u

=2??+102

2

a

u a dv du a u =2du a u a u

a

?+-0

22)1(

=a

a u u a a u u a u a

02222223

22|)]ln()(32[++++++-

=)]21ln(3

2

2[

2++-a 。 10．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 的面积。

解 ?r

=}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a -

E =2?r

=2a ,F=?r ?r = 0 , G = 2?r =?22cos a .球面的面积为：

S = 222

2

2

2

2

20

2

4

22

4|sin 2cos 2cos a a d a

d a d π?π??π???π

πππ

π

π

π===--

-

?

??.

11.证明螺面r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r ={tcos ?,tsin ?,12-t } (t>1, 0

分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射? = arctgu + v , t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.

证明 螺面的第一基本形式为错误！未找到引用源。=22du +2 dudv+(2u +1)2dv ,

旋转曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。=?d t dt t t 222

2

)1

1(+-+ ,在旋转曲面上作一参数变换? =arctgu + v , t =12+u , 则其第一基本形式为:

2

222

222)11)(1(1)11(2dv du u

u du u u u u +++++++ =2222

222)1(211)11(dv u dudv du u

du u u +++++++=22du +2 dudv+(2u +1)2

dv = 错误！未找到引用源。 .

所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ? =arctgu + v , t =12+u .

§3曲面的第二基本形式

1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.

解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r

={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r

={-sinhusinv,sinhucosv,0},

vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F

?==0,2v r G ==cosh 2u.

所以错误！未找到引用源。 = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .

n =

2

F E

G r r v u -? =

}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1

2

v u v u v u u

--, L=11

sinh cosh 2

-=+-

u , M=0, N=

1

sinh cosh 2

+u =1 .

所以错误！未找到引用源。 = -2du +2dv 。

2. 计算抛物面在原点的2

2212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.

解 曲面的向量表示为}22

5,,{22212121x x x x x x r ++= ,

}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r

, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r

, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,

错误！未找到引用源。=2221dx dx +, 错误！未找到引用源。=2

22121245dx dx dx dx ++.

3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==

，uu r ={0,0,0},

uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F

，222b u r G v +==

， L= 0, M =

2

2

b

u b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .

4. 求出抛物面)(2

1

22by ax z +=

在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y ,},0,0{a r xx =

,}0,0,0{=xy r },0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2

222dy

dx bdy adx k n ++=. 5. 已知平面π到单位球面(S)的中心距离为d(0

解 设平面π与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d -,即(C)的曲率为

2

11d k -=

,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±21d -,所以

(C)的法曲率为n k k =±21d -=±1 .

6. 利用法曲率公式I

II

k n =,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。

证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R 的倒数1/R 。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv

R Gdv

Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1222

222=++++==或-R 1，所以)1(R G N F M E L ===，即第一、第二类基本量成比例。

7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}，

},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}，

L=

2

),,(F

EG r r r uu v u -

=0, N=

2

),,(F

EG r r r vv v u - =0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线。而u

族曲线是直线，v 族曲线是螺旋线。

8. 求曲面2xy z =的渐近线.

解 曲面的向量表示为},,{2xy y x r =

,},,0,1{2y r x + }0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r ,

22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===?=++===

. 4

2

2

4

2

2

412,412,0y

y x x N y

y x y M L ++=

++=

=.

渐近线的微分方程为222Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即

1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==.

9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.

证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.

方法二：任取曲线:()r r s Γ=，它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+，

()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+，t ρβ=，(1)s t t t ρρκακγ?=-+-

在曲线Γ上，t = 0 , s t ρργ?=,曲面的单位法向量2

s t

n EG F

ρργ?==-，即n γ=，

所以曲线Γ在它的主法线曲面上是渐近线.

10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.

证 曲面的向量表示为 r ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。

},0,1{'f r x = ,},1,0{'g r y

.''''{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ===

因为2

0x y xy r r M r EG F

?=?

=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数

构成共轭网。

11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线. 解

}

,cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==

，

uu

r ={0,0,0}，

vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F

，