初中数学《函数》PPT下载北师大版1
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其中 kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求 0 到 2或 0 到 3 6角0 的三角函数值 .
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例4 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(672)（3）sin
解：（1）因为
4
250 是第三象限角，所以co2s5 00；
sin 225,c o s15,ta n 2 2
55
55
1
2 当 角 的 终 边 在 第 三 象 限 时 ，
在 角 的 终 边 上 取 点 1 , 2 ， 则 r 1 2 2 2 5
s in 2 25 ,c o s 1 5 ,ta n 2 2
55
55
1
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例5 求下列三角函数值：
（1）
cos
9 4
（2）
tan(11
6
)
解：（1）co94 sco4s2 ()co4s2 2
（2）ta 1 n ) 1 ( tan 2 () ta nta n3
66
6 63
练习 求下列三角函数值
tan19
3
3
tan(31) 1 4
cossintan
36 3 11 31 3
22
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归纳
总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
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3 、 已 知 角 的 终 边 在 直 线 y 2 x 上 ， 求 角 的 s i n , c o s , t a n 的 值 .
解 ： 1 当 角 的 终 边 在 第 一 象 限 时 ，
在 角 的 终 边 上 取 点 1 ,2 ， 则 r = 1 2 2 2 5
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探
究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
（弧度制）
三角函数
定义域
sin
cos
tan
Biblioteka Baidu
R
R
2k(kZ)
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
y
（+） +
（ - ）（ + ）
（
-
o ）（
-
）x
（
-
o ）（
+
x ）
sin
cos
y
（ -）（+）
o
（ +）
（
-
x ）
tan
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1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
b
Oa M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
新课 导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
b
Oa M y
x
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新课 导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 :
反过来请同学们自己证明.
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如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
OMP∽ OMP
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
x
OP O P
tan MP M P
OM O M
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3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OPr 1，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
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任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数 si nb,co sa,tan b
r
r
a
直角坐标系中定义锐角三角函数 si nb,co sa,tan b
r
r
a
单位圆中定义锐角三角函数 si nb ,co s a ,ta n b a
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例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角. sin 0 ①
tan
0
②
证明：
因为①式sin0成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式tan0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P、P 0 作 x轴的垂线 MP、M 0 P0
M0 M O
x
M0P0 4
OM x
OM0 3
MP y
Px, y
OMP∽ OM0P0
P03,4
于是， sin yy|M| P M 0P 04;
1 OP O0P 5
co sxxOM O0M 3;
1 OP O0P 5
r 13
tan y 5
x 12
cos x 12
r 13
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初中数学《函数》PPT下载北师大版1 2 、 已 知 角 的 终 边 上 一 点 P 1 5 a , 8 a a R 且 a 0 ， 求 角 的 s in ,c o s ,ta n 的 值 . 解 ： 由 于 x -1 5 a ,y 8 a , 所 以 r 1 5 a 2 8 a 2 1 7aa0 1 若 a 0 则 r 1 7 a ,于 是 s i n 8 a 8 ,c o s 1 5 a 1 5 ,t a n 8 a 8 1 7 a1 7 1 7 a1 7 1 5 a1 5 2 若 a 0 则 r -1 7 a ,于 是 s i n 8 a 8 ,c o s 1 5 a 1 5 ,t a n 8 a 8 1 7 a1 7 1 7 a 1 7 1 5 a1 5
y
P(a, b)
sin
MP OP
b
1
oM
x cos OM a OP
tan MP b OM a
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2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
那么:（1）y叫做 的正弦，记作 sin，即 siny；
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说明
的终边y
P(x, y)
o
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与
x
A(1,0)
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 y轴上时，点P 的
横坐标等于0，tan
y x
无意义，此时 k(kz).
2
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
单位圆中定义任意角的三角函数
siny, co sx,tan y x
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实例
剖析
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
3 解：在直角坐标系中，作
AOB 5
，易知
AOB
3
的终边与单位圆的交点坐标为
(1 , 3)
22
，
所以 sin5 3 cos5 1 tan5 3
叫做的正切，即 tan yx0
x
任意角的三角函数值仅与有关，而与点 P在角的
终边上的位置无关.
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巩固 提高
练习 1、已知角 的终边过点 P12,5 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
rx2y212 25213
于是，sin y 5
x （2） 叫做 的余弦，记作 cos，即 co sx；
y
（3） 叫做
的正切，记作tan，即 tan y (x 0)
x
x
y
所以，正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
A1,0 x
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（2）因为 tan(672) = ta 4 n 8 2 ( 3 6 ) t0 a 4 n ，8
而 48是第一象限角，所以 ta n6(7)20；
（3）因为
4
是第四象限角，所以
sin
4
0
.
练习 确定下列三角函数值的符号
cos 16
sin( 4 )
5
3
tan(17 )
8
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y
，
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
7 3 1 6
3
o
﹒
A
x
﹒B
sin ,
6
2
cos7 3 ,
62
tan 7 3
63
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例2 已知角 的终边经过点 P0(3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 O0P (3)2(4)25
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练 习 ： 求 值 c o s 1 1 3 s in 7 1 6 ta n 1 9 3
解 ： co s 1 1 3 sin 7 1 6 tan 1 9 3
c o s 4 3 s in 1 2 6 ta n 6 3
ta nx yc sio ns3 4
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定义推广：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P与原点的距离 r x2 y2 0
那么①
y r
叫做的正弦，即
sin y
r
②
x r
叫做的余弦，即 cos x r
y ③x
OM a
sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
co s OMa
OP r
y
﹒Pa,b
tan MPb
OM a
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o
﹒ Mx
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诱思 探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求 0 到 2或 0 到 3 6角0 的三角函数值 .
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例4 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(672)（3）sin
解：（1）因为
4
250 是第三象限角，所以co2s5 00；
sin 225,c o s15,ta n 2 2
55
55
1
2 当 角 的 终 边 在 第 三 象 限 时 ，
在 角 的 终 边 上 取 点 1 , 2 ， 则 r 1 2 2 2 5
s in 2 25 ,c o s 1 5 ,ta n 2 2
55
55
1
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例5 求下列三角函数值：
（1）
cos
9 4
（2）
tan(11
6
)
解：（1）co94 sco4s2 ()co4s2 2
（2）ta 1 n ) 1 ( tan 2 () ta nta n3
66
6 63
练习 求下列三角函数值
tan19
3
3
tan(31) 1 4
cossintan
36 3 11 31 3
22
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归纳
总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
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3 、 已 知 角 的 终 边 在 直 线 y 2 x 上 ， 求 角 的 s i n , c o s , t a n 的 值 .
解 ： 1 当 角 的 终 边 在 第 一 象 限 时 ，
在 角 的 终 边 上 取 点 1 ,2 ， 则 r = 1 2 2 2 5
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探
究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
（弧度制）
三角函数
定义域
sin
cos
tan
Biblioteka Baidu
R
R
2k(kZ)
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
y
（+） +
（ - ）（ + ）
（
-
o ）（
-
）x
（
-
o ）（
+
x ）
sin
cos
y
（ -）（+）
o
（ +）
（
-
x ）
tan
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1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
b
Oa M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
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2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
b
Oa M y
x
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2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 :
反过来请同学们自己证明.
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如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
OMP∽ OMP
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
x
OP O P
tan MP M P
OM O M
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3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OPr 1，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
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任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数 si nb,co sa,tan b
r
r
a
直角坐标系中定义锐角三角函数 si nb,co sa,tan b
r
r
a
单位圆中定义锐角三角函数 si nb ,co s a ,ta n b a
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例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角. sin 0 ①
tan
0
②
证明：
因为①式sin0成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式tan0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P、P 0 作 x轴的垂线 MP、M 0 P0
M0 M O
x
M0P0 4
OM x
OM0 3
MP y
Px, y
OMP∽ OM0P0
P03,4
于是， sin yy|M| P M 0P 04;
1 OP O0P 5
co sxxOM O0M 3;
1 OP O0P 5
r 13
tan y 5
x 12
cos x 12
r 13
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初中数学《函数》PPT下载北师大版1 2 、 已 知 角 的 终 边 上 一 点 P 1 5 a , 8 a a R 且 a 0 ， 求 角 的 s in ,c o s ,ta n 的 值 . 解 ： 由 于 x -1 5 a ,y 8 a , 所 以 r 1 5 a 2 8 a 2 1 7aa0 1 若 a 0 则 r 1 7 a ,于 是 s i n 8 a 8 ,c o s 1 5 a 1 5 ,t a n 8 a 8 1 7 a1 7 1 7 a1 7 1 5 a1 5 2 若 a 0 则 r -1 7 a ,于 是 s i n 8 a 8 ,c o s 1 5 a 1 5 ,t a n 8 a 8 1 7 a1 7 1 7 a 1 7 1 5 a1 5
y
P(a, b)
sin
MP OP
b
1
oM
x cos OM a OP
tan MP b OM a
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2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
那么:（1）y叫做 的正弦，记作 sin，即 siny；
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说明
的终边y
P(x, y)
o
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与
x
A(1,0)
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 y轴上时，点P 的
横坐标等于0，tan
y x
无意义，此时 k(kz).
2
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
单位圆中定义任意角的三角函数
siny, co sx,tan y x
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实例
剖析
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
3 解：在直角坐标系中，作
AOB 5
，易知
AOB
3
的终边与单位圆的交点坐标为
(1 , 3)
22
，
所以 sin5 3 cos5 1 tan5 3
叫做的正切，即 tan yx0
x
任意角的三角函数值仅与有关，而与点 P在角的
终边上的位置无关.
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巩固 提高
练习 1、已知角 的终边过点 P12,5 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
rx2y212 25213
于是，sin y 5
x （2） 叫做 的余弦，记作 cos，即 co sx；
y
（3） 叫做
的正切，记作tan，即 tan y (x 0)
x
x
y
所以，正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
A1,0 x
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（2）因为 tan(672) = ta 4 n 8 2 ( 3 6 ) t0 a 4 n ，8
而 48是第一象限角，所以 ta n6(7)20；
（3）因为
4
是第四象限角，所以
sin
4
0
.
练习 确定下列三角函数值的符号
cos 16
sin( 4 )
5
3
tan(17 )
8
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y
，
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
7 3 1 6
3
o
﹒
A
x
﹒B
sin ,
6
2
cos7 3 ,
62
tan 7 3
63
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例2 已知角 的终边经过点 P0(3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 O0P (3)2(4)25
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练 习 ： 求 值 c o s 1 1 3 s in 7 1 6 ta n 1 9 3
解 ： co s 1 1 3 sin 7 1 6 tan 1 9 3
c o s 4 3 s in 1 2 6 ta n 6 3
ta nx yc sio ns3 4
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定义推广：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P与原点的距离 r x2 y2 0
那么①
y r
叫做的正弦，即
sin y
r
②
x r
叫做的余弦，即 cos x r
y ③x
OM a
sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
co s OMa
OP r
y
﹒Pa,b
tan MPb
OM a
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o
﹒ Mx
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诱思 探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M