曲线拟合的最小二乘法

§5 曲线拟合的最小

二乘法

一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)的一般提法是:对给定的一组数据(,)(0,1,,)i i x y i m =,要求在函数类01{,,,}n ϕϕϕϕ=中找一个函数*

()y S x =,使误差平方和

2

2*

2

2()0

1

[()]min [()m

m

m

i

i i i i

S x i i i S x y S x y ϕ

δδ∈=====-=-∑∑∑ 其

中

0011()()()()

(

n n S x a x a x a x

n m ϕϕϕ=+++<

带权的最小二乘法：

22

20

()[()()]

m

i i i i x S x f x δ

ω==-∑

其中()0x ω≥是［a, b ］上的权函数。

用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在()S x 中求一函数

*

()y S x =，使2

2δ取的最小。它转化

为求多元函数

2

010

(,,,)()[()()]

m

n

n i j j i i i j I a a a x a x f x ωϕ===-∑∑

的极小点*

**01

(,,

,)n

a a a 问题。由求

多元函数极值的必要条件，有

00

2()[()()]()m

n

i j j i i k i i j k I

x a x f x x a ωϕϕ==∂=-=∂∑∑

,

,1,0(k =

若

记

0(,)()()()

m

j k i j i k

i

i x x x ϕϕωϕϕ==∑

(,)k f ϕ=

,

1,0(k =

则上式可改写为

(,)n

k

j j k

j a d

ϕ

ϕ==∑ ),,1,0(n k =

这个方程称为法方程，矩阵形式

.G a d

=

其

中

01

01(,

,,

),(,,,)

T

T

n n a a a a d d d d ==，

0001010

111011(,)(,)(,)(,)(,)

(,)(,)(,)

(,)n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=

⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

由于01,,,n ϕϕϕ线性无关，故

0G ≠，方程组存在唯一解

*

(0,1,,),

k k

a a

k n ==

从而得到函数()f x 的最小二乘解为 ***

*0011()()()()n n

S x a x a x a x ϕϕϕ=+++

可

证

*

2

()[()()]()[()()]

m

m

i

i

i

i

i

i

i i x S x f x x S x f x ωω==-≤-∑∑

故*

()S x 使所求最小二乘解。

例8 已知一组实验数据,求它的拟合曲线。

解：根据所给数据知，可选择线性函数作拟合曲线。 令101()S x a a x =+， 这里

014,1,()1,(),

m n x x x ϕϕ==== 故

44

000001100

(,)()()8,(,)(,)i i i i i

i i x x x ϕϕωϕϕϕϕϕϕω======∑∑

4

4

211000

(,)74,

(,)47,

i i

i i i i x f f ϕϕωϕω======∑∑ 4

10(,)145.5

i i i

i f x f ϕω===∑

由

方程组

010******** 2.77

2274145.5

1.13a a a a a a +==⎧⎧⇒⎨

⎨+==⎩⎩ 所

求拟合曲线为

*

1

()2.771.13

S x x =

+

例9 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如

下表，求浓度y 与时间t 的拟合曲线

().y F t =

解：将数据标在坐标纸上，可发现数据符合双曲线函数或指数函数。

1） 双曲线函数拟合

双曲线型：1,

b a y t =+ 即

.

()t y at b =+

为了确定

,,

a b 令

11,

,y x y t

== 由数据表t, y 生成数据表,

.x y 于

是可用x 的线性函数

1()S x y a bx

==+拟合数据

(,)(1,,16)i i x y i =。方法与上例一样

解方程组

3

316 3.38073 1.837210;3.38073 1.584350.5288610,

a b a b ⎧+=⨯⎨+=⨯⎩

得

80.6621,161.6822.a b ==

从

而

有

(1)

(),(80.6621

161.6

822)t

y F t t ==+ 其误差为