第七章平面向量 第一课时
平面向量教案电子版
平面向量教案电子版一、教学目标1. 理解向量的概念，掌握向量的表示方法，包括几何表示和坐标表示。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 理解向量的模长和方向，并能运用其解决实际问题。
4. 掌握向量的共线定理和向量垂直的条件。
5. 能够运用向量知识解决几何问题，提高空间想象能力。
二、教学重点与难点1. 重点：向量的概念、线性运算、模长和方向、共线定理和向量垂直的条件。
2. 难点：向量的坐标表示、向量共线定理的应用、向量垂直的证明。
三、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解向量的概念、性质和运算规律。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，直观地演示向量的运算过程。
3. 引导学生通过小组讨论，探究向量共线定理和向量垂直的条件。
4. 利用例题，讲解向量知识在几何问题中的应用。
四、教学内容1. 向量的概念：向量的定义、向量的表示方法。
2. 向量的线性运算：向量加法、向量减法、向量数乘、向量点乘。
3. 向量的模长和方向：模长的定义和计算、方向的表示方法。
4. 向量的共线定理：共线定理的表述及其应用。
5. 向量垂直的条件：垂直的定义、垂直的性质和判定。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念和表示方法。
2. 第二课时：向量的线性运算。
3. 第三课时：向量的模长和方向。
4. 第四课时：向量的共线定理。
5. 第五课时：向量垂直的条件及其应用。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、练习和小组讨论，评价学生对向量概念的理解程度。
2. 通过课后作业和测试，评估学生对向量线性运算的掌握情况。
3. 通过解决问题和案例分析，检验学生运用向量知识解决实际问题的能力。
4. 结合学生的学习态度、参与度和合作能力，全面评价学生的学习效果。
七、教学反馈1. 课堂讲解：根据学生的提问和反应，及时调整讲解内容和难度。
2. 练习环节：收集学生作业，分析错误原因，针对性地进行讲解和辅导。
3. 小组讨论：鼓励学生积极参与，关注学生的思考过程和合作情况。
7.2 数乘向量课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第七章平面向量
不一定是直解) 【解】 因为 3xa＋(10－y)b＝(4y－7)a＋2xb
所以(3x，10－y)＝(4y－7，2x)，联立方程组31x0＝－4yy＝－27x，解得yx＝＝43. 故 x＝3，y＝4.
二、填 空 题
9．向量 a∥b 且|a|＝3|b|，则向量 a、b 的关系式是__a_＝__3_b_或__a_＝__－__3_b___． 【解析】 由两向量平行知 a＝3b 或 a＝－3b.
10．若向量 a＝e1＋e2，b＝e1－e2，则 2a＋3b＝__5_e_1_－__e_2 __． 【解析】 2a＋3b＝2(e1＋e2)＋3(e1－e2)＝5e1－e2.
11．在四边形 ABCD 中，A→D＝12B→C，则四边形 ABCD 是___梯___形． 【解析】 由A→D＝12B→C得A→D∥B→C，A→D＝12B→C.
12．如果 a＝－2b(b≠0)，则 a 与 b 的位置关系是_平__行__且__反__向___． 【解析】 由向量平行的概念可知 a 与 b 平行，又 λ＝－2＜0，∴a 与 b 反向．
6．(1)(－2)×12 a＝__－__a__；(2)2(a＋b)－3(a－b)＝__－__a_＋__5_b__． 【解析】 (1)(－2)×12a＝（－2）×12a＝(－1)a＝－a；
(2)2(a＋b)－3(a－b)＝2a＋2b－(3a－3b)＝2a＋2b－3a＋3b＝－a＋5b.
一、选 择 题
5．已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1
＋3e2，则 x－y＝( A )
数学基础模块(下册)第七章向量
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作λa，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a的λ倍．由此得到λ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非a b a b⇔=λ≠”等条件.零向量a、b”与“0【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果aAB教学过程教师行为学生行为教学意图时间模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．模为1的向量叫做单位向量．10 *巩固知识典型例题例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．解位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a与b．图7-3 说明强调引领讲解说明强调含义观察思考主动求解通过例题进一步领会13a bA教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*运用知识 强化练习说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况18 *创设情境 兴趣导入观察图7−4中的向量AB 与MN ，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD 与PQ 所在的直线平行，两个向量的方向相反．播放 课件 质疑 引导 分析观看 课件 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点 20 *动脑思考 探索新知【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a 与向量b 平行记作a //b ．规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此总结 归纳 仔细 分析思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结KT图7−4ABCDEF HGMNQPL Z教学过程教师行为学生行为教学意图时间相互平行的向量又叫做共线向量．【想一想】图7−4中，哪些向量是共线向量？讲解关键词语23*动脑思考探索新知【新知识】图7−4中的平行向量AB与MN，方向相同，模相等；平行向量HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a= b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作 a．规定：零向量的负向量仍为零向量．显然，在图7－4中，AB= MN，GH=－TK．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆思考归纳理解记忆28教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*巩固知识 典型例题例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC -,CD DC =-； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．说明 强调引领 讲解 说明 引领 强调 含义 说明观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解通过例题进一步领 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调+ 33 *运用知识 强化练习1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC 共线的向量．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5O教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间38 *创设情境 兴趣导入王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走500 m 到达超市（B 处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m 到达学校（C 处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A 处）到达了学校（C 处）．播放 课件 质疑 引导 分析观看 课件 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点42 *动脑思考 探索新知位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．总结 归纳 仔细 分析思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结ABC图7－6500m200m图7－7ACBaba +bab教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a 与向量b 的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的和向量．其和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．【做一做】给出两个不共线的向量a 和b ，画出它们的和向量． 【想一想】（1）a ＋b 与b ＋a 相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a 和向量b 共线，如何画出它们的和向量？讲解 关键 词语50*动脑思考 探索新知如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）．总结 归纳仔细 分析 讲解 关键 词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结55 *巩固知识 典型例题例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已图7－9ADCB教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=-.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以说明 强调引领 讲解 说明 引领分析观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－11教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间12cos k F =θ．【想一想】根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？图7-12 讲解 说明思考 求解反复 强调62 *运用知识 强化练习练习7.1.21． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．2．填空（向量如图所示）： （1）a ＋b =_____________ , （2）b ＋c =_____________ , （3）a ＋b ＋c =_____________ ． 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ； （2）OB ＋BC ＋CA ．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳65（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*创设情境 兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数． 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 引导启发学生思考 66 *动脑思考 探索新知与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )． 设a =OA ，b =OB ，则 ()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=．即 OA OB -=BA （7．2） 观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．总结 归纳仔细 分析 讲解关键 词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结68 *巩固知识 典型例题例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．强调 含义说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识aAa -bBbO图7－13BbOaAba（1）（2）图7－14教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．【想一想】当a 与 b 共线时，如何画出a －b ．思考 求解点70*运用知识 强化练习1．填空：（1）AB AD -=_______________，（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它a a aaOAB C教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反． 由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．总结归纳仔细 分析讲解 关键 词语思考 归纳 理解 记忆 理解 记忆带领 学生 分析 引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ， OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ． 例6中，12a ＋12b 和−12a +12b 都叫做向量a ，b 的线性组合，或者说，AO 、OD 可以用向量a ，b 线性表示．一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 强调 含义 说明思考 求解 领会 思考 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点81*运用知识 强化练习1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）．启发 引导提问巡视指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳83 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：图7－16教学过程教师行为学生行为教学意图时间向量、向量的模、向量相等是如何定义的？结论：当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b 相等，记作a= b．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况85*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组（选做）(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则OA x y=+i j，将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题7.2 平面向量的坐标表示*创设情境兴趣导入【观察】设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则介绍质疑引导了解思考从实例出发使学生自然的走向知识点教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间图7－172OM =i ，3ON =j ．由平行四边形法则知23OA OM ON =+=+i j ．【说明】可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的． 分析自我 分析5*动脑思考 探索新知 【新知识】设i , j 分别为x 轴、y 轴的单位向量，（1）设点(,)M x y ，则i +j =OM x y （如图7－18(1)）； （2）设点1122(,)(,)A x y B x y ，（如图7－18(2)），则(1)仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆引导 式启 发学 生得 出结 果10Ox ij M (x ,y )y教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间(2)图7－1822112121()()()()i +j i +j i j =-=-=-+-AB OB OA x y x y x x y y ．由此看到，对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数(,)x y ， 使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作 (,)x y =a ． 如图7－17所示，向量的坐标为(2,3)=OA ．如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为(,)M x y 的向量的坐标为(,)=OM x y ．如图7－18（2）所示，起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． （7．5）*巩固知识 典型例题例1 如图7－19所示，用x 轴与y 轴上的单位向量i 、j 表示向量a 、b , 并写出它们的坐标．j iBA Oyx教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间解 因为a ＝OM ＋MA ＝5i ＋3j ，所以 (5,3)=a ． 同理可得 (4,3)=-b ．【想一想】观察图7－19，OA 与OM 的坐标之间存在什么关系？ 例2 已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQQP ，的坐标． 解 (3,2)(2,1)(1,3),=--=PQ (2,1)(3,2)(1,3)=--=--QP ． 说明 强调引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会15*运用知识 强化练习1． 点A 的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 的线性组合表示向量OA ．2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标． 3． 已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标． (1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况20图7－19教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间(3) (4,0),(0,3)-A B ． *创设情境 兴趣导入 【观察】观察图7－20，向量(5,3)OA =,(3,0)OP =,(8,3)OM OA OP =+=．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考27 *动脑思考 探索新知 【新知识】设平面直角坐标系中，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 1122()()x y x y +=+++a b i j i j1212()()x x y y =+++i j ．所以1212(,)x x y y +=++a b ． （7．6）类似可以得到1212(,)x x y y -=--a b ． （7．7）11(,)x y λλλ=a ． （7．8）总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结35*巩固知识 典型例题图7－20教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间例3 设a ＝(1,−2), b ＝(−2,3)，求下列向量的坐标： (1) a ＋b ， (2) −3 a ， (3) 3 a −2 b ． 解 (1) a ＋b ＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1) (2) −3 a ＝−3×(1, −2)＝(−3,6)(3) 3 a −2 b ＝3×(1, −2) − 2×(−2,3)＝(3, −6) − (−4,6)＝(7, −12)．说明 强调 引领讲解说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会45 *运用知识 强化练习已知向量a , b 的坐标，求a ＋b 、 a −b 、−2 a ＋3 b 的坐标． （1） a ＝(−2,3)， b ＝(1,1)； （2） a ＝(1,0)， b ＝(−4, −3)； （3） a ＝(−1,2)， b ＝(3,0)．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 55 *创设情境 兴趣导入 【问题】前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a 、b ，当0≠λ时，有λ⇔=a b a b ∥如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？引导 分析 观察 思考思考 参与 分析 引导启发学生思考60 *动脑思考 探索新知 【新知识】设1122(,),(,),a b ==x y x y 由a b =λ，有 1212,,==x x y y λλ于是1221=x y x y λλ，即总结 归纳思考 归纳教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间12210-=x y x y ．由此得到，对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a b ==x y x y 当0≠λ时，有12210a b ⇔-=x y x y ∥． （7．9）仔细 分析 讲解理解 记忆带领 学生 总结67 *巩固知识 典型例题例4 设(1,3),(2,6)a b ==，判断向量a 、 b 是否共线． 解 由于 3×2−1×6＝0，故由公式（7．9）知，a b ∥，即向量a 、 b 共线．说明 强调 引领 分析 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会70 *运用知识 强化练习判断下列各组向量是否共线： （1） a ＝(2,3)， b ＝(1,32)； （2） a ＝(1, −1) ， b ＝(−2,2)； （3） a ＝(2, 1) ， b ＝(−1,2)．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况75*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：向量坐标的概念？任意起点的向量的坐标表示？ 共线向量的坐标表示？ 结论：质疑回答及时了解学生教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间一般地，设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，则对于从原点出发的任意向量a 都有唯一一对实数x 、y ，使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)x y =a ．向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a b ==x y x y 当0≠λ时，有12210a b ⇔-=x y x y ∥． 归纳强调知识掌握情况80 *归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知向量a , b 的坐标，求a ＋b 、 a − b 、−2 a ＋3 b 的坐标． a ＝(−2,3)， b =(1,1)； 提问 巡视 指导反思 动手 求解检验 学生 学习 效果85 *继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7.2 A 组（必做）；7.2 B 组（选做）(3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例 说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |⋅a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入介绍 质疑了解 思考从实例出发使学生自然的走。
第七章 平面向量(向量的概念向量的运算平面向量的坐标运算平移公式中点坐标公式两点距离公式化)
平面向量（向量的概念、向量的运算、平面向量的坐标运算、平移公式、中点坐标公式、两点距离公式化）一、知识回顾1、运用向量的坐标形式，以及向量运算的定义，把问题转化为三角问题来解决；2、运用向量的坐标形式，联系解析几何的知识，研究解析几何问题；3、向量的综合应用，常与三角，解几等联系在一起 。
二、基本训练1、平面直角坐标坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC =αOA +βOB ，若中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ） A 、（x －1）2+（y －2）2=5 B 、3x+2y －11=0 C 、2x －y=0 D 、x+2y －5=02、已积OB =（2，0），OC =（2，2），CA = （2cos α，2sin α），则OA 与OB 夹角的范围是（ ）A 、[0，π4]B 、[π4，5π12]C 、[π12，5π12]D 、[5π12，π2]3、平面向量a =（x ，y ），b =（x 2，y 2），c =（1，1），d =（2，2），若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a 有（ ） A 、1个B 、2个C 、多于2个D 、不存在4、已知a +b +c =→0， |a |=3，|b |=5，|c |=7，则a 与b 夹角为（ ）5.有两个向量1(1,0)e =，2(0,1)e =，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = 秒．6.已知向量a ＝(cos23x ，sin 23x )，b ＝(2sin 2cos x x -，)，且x ∈[0，2π]．若f (x )＝a · b －2λ｜a ＋b ｜的最小值是23－，求λ的值．(襄樊3理)三、例题分析：例1.平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x P （1）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f (x ); （2）求θ的最值.例2.已知向量a = ( 3 sin ωx ，cos ωx )，b =( cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数()f x =a ·b ，已知)(x f 的最小正周期为π． （1）求ω；（2）当0＜x ≤π3 时，试求f (x )的值域．南通一例 3.已知{a n }是等差数列,公差d ≠0，其前n 项和为Sn,点列P 1（1,S 11）,P 2(2, S 22 )，……P n （n ，S n n ）及点列M 1(1,a 1)，M 2(2,a 2)，……，Mn （n ，a n ）（1）求证：1n PP (n>2且n ∈N*)与12PP 共线；（2）若12PP 与12M M 的夹角是α，求证：|tan α|≤24例4．（04湖北）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值.四、作业 同步练习 g3.1056平面向量的综合应用（1）1、已知平行四边形三个顶点的坐标分别是(4，2)，(5，7)，(－3，4)，则第四个顶点一定不是（ ） A 、(12，5) B 、(－2，9) C 、(－4，－1) D 、(3，7)2、已知平面上直线l 的方向向量e =(－45，35)，点O(0,0)和A(1,－2)在l 上的射影分别为O 1和A 1，则11O A =入e ，其中入=（ ）A 、115B 、－115C 、2D 、－23、设F1、F2为曲线C1：x 26 + y 22 = 1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2=1与曲线C 1的一个交点，则1212||||PF PF PF PF 的值是（ ）A 、14B 、13C 、23D 、－134、设a 、b 、c 是平面上非零向量，且相互不共线，则①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ② |a －b | > |a |－|b |③（b ·c ）a －（c ·a ）b 与c 不垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）= 9|a |2－4|b |2 其中真命题的序号是（ ） A 、①② B 、②③C 、③④D 、②④5、OA = (cos θ，－sin θ)，OB =（－2－sin θ，－2+cos θ），其中θ∈[0，π2 ]， 则|AB |的最大值为6、已知O 、A 、B 、C 是同一平面内不同四点，其中任意三点不共线，若存在一组实数入1、入2、入3，使入1OA +入2OB +入3OC =O ，则对于三个角：∠AOB 、∠BOC 、∠COA 有下列说法：①这三个角都是锐角；②这三个角都是钝角； ③这三个角中有一个钝角，另两个都是锐角； ④这三个角中有两个钝角，另一个是锐角。
数学课程之平面向量(doc 7页)
数学课程之平面向量(doc 7页)平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
中职数学(基础模块)下册第七章《平面向量》教学设计
思考
带领 学生 分析
移等．
我们经常用箭头来表示方向，带有方向的线段叫做有向线
理解
1
教学 过程
教师 学生 教学 行为 行为 意图
段．通常使用有向线段来表示向量．线段箭头的指向表示向量 的方向，线段的长度表示向量的大小．如图 7-2 所示，有向线 段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量 的终点．以 A 为起点，B 为终点的向量记作 AB ．也可以使用 小写英文字母，印刷用黑体表示，记作 a；手写时应在字母上
例 1 一架飞机从 A 处向正南方向飞行 200km，另一架飞机 从 A 处朝北偏东 45°方向飞行 200km， 两架飞机的位移相同 吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的
说明 强调 引领
方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向
讲解
线段表示分别为图 7-3 中的有向线段 a 与 b．
量 a 与向量 b 平行记作 a //b．
规定：零向量与任何一个向量平行． 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此 相互平行的向量又叫做共线向量． 【想一想】 图 7−4 中，哪些向量是共线向量？
仔细 分析 讲解 关键 词语
思考 归纳
理解 记忆
带领 学生 总结
*动脑思考 探索新知
3
教学 过程
归纳
a −b = a＋(−b)． 设 a =OA ，b OB ，则
思考 归纳
OA OB OA (OB)= OA BO BO OA BA ．
即
OA OB = BA
（7．2）
观察图 7－13 可以得到：起点相同的两个向量 a、 b，其
平面向量的概念及线性运算
K
G
图7−4
动脑思考
探索新知
图7−4中的平行向量 AB与 MN ，方向相同，模相等；平行 向量GH 与TK ，方向相反，模相等．
向量只有 大小与方向两 个要素．当向 量a与向量b的 模相等并且方 向相同时，称 向量a与向量b 相等，记作a =b．
下图中，哪些向量是共线向量？
N
B M TK A H L Z Q C D P F E
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量． 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定：零向 量与任何一个向 量平行．
N
B M K A H L Z Q C D P F E
与非零向量 的模相等，且方 向相反的向量叫 做向量的负向量， 记作 －a．
规定：零向 量的负向量仍为 零向量．
K
G
图7−4
巩固知识
例2
典型例题
D O C
在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
（1）找出与向量 DA 相等的向量；
1 DB； 2 AC．
创设情境
观察下图:
兴趣导入
CO 3a
-a -a -a
-a
a a
O
OC 3 a
a
A B
a
C
3a是一个向量，其方向与a的方向相同, 其模是a的模的3倍，即 |3a| = 3|a| ． -3a也是一个向量，其方向与a的方向 相反,其模是a的模的3倍，即 |-3a| = |-3||a| ．
a ∥ b a b．
（7．4）
动脑思考
高考数学一轮总复习课件-平面向量的概念、线性运算及基本定理
.
解题导引 分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,设正方形 的边长为2,然后写出A,M,N,C的坐标,利用平面向量的坐标运算求解.
解析 分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,如图,A(0,0). 设正方形的边长为2,则C(2,2), ∵M,N分别是BC,CD的中点, ∴M(2,1),N(1,2), ∴ AC =(2,2), AN =(1,2),
线交点)延长BO交AC于点M,由重心的性质可知,M为AC的中点,且BO =
2 3
BM,再把
BM
用
AB
,
AC
表示出来,得出λ,μ的值,进而可得λ-2μ.
解析
如图,延长BO交AC于点M,∵点O为△ABC的重心,∴M为AC的中点,∴BO =
2 3
BM
=
2 3
1 2
BA
1 2
BC
=-
1 3
AB
+1
3
BC
AM =(2,1), 又∵ AC =λ AM +μ AN,∴(2,2)=λ(2,1)+μ(1,2),
∴
2λ λ 2
μ μ
22,, ∴
λ μ
2, 3 2, 3
∴λ+μ=
4 3
.
答案 4
3
例4 (2019河北邯郸重点中学9月联考,11)给定两个长度为1的平面向量OA 和
OB ,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若 OC=x O+Ay OB,则
高考数学
第七章 平面向量
§７.1 平面向量的概念、线性运算及基本定理
考点清单
考点一 平面向量的概念及线性运算
中职数学基础模块下册第七章平面向量
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作λa，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0λ≠”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aAB过 程行为 行为 意图 间模为1的向量叫做单位向量． *巩固知识 典型例题例1 一架飞机从A 处向正南方向飞行200km ，另一架飞机从A 处朝北偏东45°方向飞行200km ， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b ．图7-3 说明 强调 引领 讲解 说明 强调 含义观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会13 *运用知识 强化练习说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况18ab AKT图7−4ABCDEF HGMNQPL Z过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入观察图7−4中的向量AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个向量的方向相反．播放课件质疑引导分析观看课件自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点20*动脑思考探索新知【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a与向量b平行记作a//b．规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．【想一想】图7−4中，哪些向量是共线向量？总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结23*动脑思考探索新知【新知识】图7−4中的平行向量AB与MN，方向相同，模相等；平行向量HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a= b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作 a．规定：零向量的负向量仍为零向量．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆思考归纳理解记忆28过 程行为 行为 意图 间显然，在图7－4中，AB = MN ，GH = －TK ． *巩固知识 典型例题例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC -,CD DC =-； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．说明 强调引领 讲解 说明 引领 强调 含义 说明观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解通过例题进一步领 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调+ 33 *运用知识 强化练习1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5O过 程行为 行为 意图 间共线的向量．38 *创设情境 兴趣导入王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走500 m 到达超市（B 处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m 到达学校（C 处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A 处）到达了学校（C 处）．播放 课件 质疑 引导 分析观看 课件 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点42 *动脑思考 探索新知位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a 与向总结 归纳 仔细 分析 讲解思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结ABC图7－6500m200m图7－7ACBaba +bab过 程行为 行为 意图 间量b 的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的和向量．其和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．【做一做】给出两个不共线的向量a 和b ，画出它们的和向量． 【想一想】（1）a ＋b 与b ＋a 相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a 和向量b 共线，如何画出它们的和向量？关键 词语50*动脑思考 探索新知如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）．总结 归纳仔细 分析 讲解 关键 词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结55 *巩固知识 典型例题例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．图7－9ADCB过 程行为 行为 意图 间解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1．即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=-.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．【想一想】说明 强调 引领 讲解 说明 引领 分析观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－11过程行为行为意图间根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？图7-12 讲解说明思考求解强调62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图过 程行为 行为 意图 间*动脑思考 探索新知与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )． 设a =OA ，b =OB ，则 ()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=．即 OA OB -=BA （7．2） 观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．总结 归纳仔细 分析 讲解关键 词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结68 *巩固知识 典型例题例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．【想一想】强调 含义说明思考 求解 领会 思考 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点70aAa -bBbO图7－13BbOaAba（1）（2）图7－14过 程行为 行为 意图 间当a 与 b 共线时，如何画出a －b ． *运用知识 强化练习1．填空：（1）AB AD -=_______________，（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .强调 含义思考 求解注意 观察过 程行为 行为 意图 间解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ， OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ． 例6中，12a ＋12b 和−12a +12b 都叫做向量a ，b 的线性组合，或者说，AO 、OD 可以用向量a ，b 线性表示．一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 说明领会 思考 求解学生 是否 理解 知识 点81*运用知识 强化练习1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）．启发 引导提问巡视指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳83 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：向量、向量的模、向量相等是如何定义的？ 结论：当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a , AB 的模依次记作a ，AB ．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况图7－16过程行为行为意图间a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a= b．85 *归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组（选做）(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则OA x y=+i j，将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间过 程行为 行为 意图 间*揭示课题7.2 平面向量的坐标表示*创设情境 兴趣导入【观察】 设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，OA 为从原点出发的向量，点A 的坐标为（2，3）(图7－17)．则图7－172OM =i ，3ON =j ．由平行四边形法则知23OA OM ON =+=+i j ．【说明】可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的．介绍质疑 引导 分析了解 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 5*动脑思考 探索新知 【新知识】设i , j 分别为x 轴、y 轴的单位向量，（1）设点(,)M x y ，则i +j =OM x y （如图7－18(1)）； （2）设点1122(,)(,)A x y B x y ，（如图7－18(2)），则仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆引导 式启 发学 生得 出结 果10过 程行为 行为 意图 间(1)(2)图7－1822112121()()()()i +j i +j i j =-=-=-+-AB OB OA x y x y x x y y ．由此看到，对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数(,)x y ， 使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作 (,)x y =a ． 如图7－17所示，向量的坐标为(2,3)=OA ．如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为(,)M x y 的向量的坐标为(,)=OM x y ．如图7－18（2）所示，起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向Ox ij M (x ,y )yj iBA Oyx过 程行为 行为 意图 间量坐标为2121()=--AB x x y y ，． （7．5）*巩固知识 典型例题例1 如图7－19所示，用x 轴与y 轴上的单位向量i 、j 表示向量a 、b , 并写出它们的坐标．解 因为a ＝OM ＋MA ＝5i ＋3j ，所以 (5,3)=a ． 同理可得 (4,3)=-b ．【想一想】观察图7－19，OA 与OM 的坐标之间存在什么关系？ 例2 已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQQP ，的坐标． 解 (3,2)(2,1)(1,3),=--=PQ (2,1)(3,2)(1,3)=--=--QP ．说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会15*运用知识 强化练习1． 点A 的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 的线性组合表示向量OA ．2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情图7－19过 程行为 行为 意图 间3． 已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标． (1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B (3) (4,0),(0,3)-A B ． 况20*创设情境 兴趣导入 【观察】观察图7－20，向量(5,3)OA =,(3,0)OP =,(8,3)OM OA OP =+=．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考27 *动脑思考 探索新知 【新知识】设平面直角坐标系中，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 1122()()x y x y +=+++a b i j i j1212()()x x y y =+++i j ．所以1212(,)x x y y +=++a b ． （7．6）类似可以得到总结 归纳 仔细 分析 讲解思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结图7－20过 程行为 行为 意图 间1212(,)x x y y -=--a b ． （7．7）11(,)x y λλλ=a ． （7．8）关键 词语35*巩固知识 典型例题例3 设a ＝(1,−2), b ＝(−2,3)，求下列向量的坐标： (1) a ＋b ， (2) −3 a ， (3) 3 a −2 b ． 解 (1) a ＋b ＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1) (2) −3 a ＝−3×(1, −2)＝(−3,6)(3) 3 a −2 b ＝3×(1, −2) − 2×(−2,3)＝(3, −6) − (−4,6)＝(7, −12)．说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会45 *运用知识 强化练习已知向量a , b 的坐标，求a ＋b 、 a −b 、−2 a ＋3 b 的坐标． （1） a ＝(−2,3)， b ＝(1,1)； （2） a ＝(1,0)， b ＝(−4, −3)； （3） a ＝(−1,2)， b ＝(3,0)．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 55 *创设情境 兴趣导入 【问题】前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a 、b ，当0≠λ时，有λ⇔=a b a b ∥如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？引导 分析 观察 思考思考 参与 分析 引导启发学生思考60 *动脑思考 探索新知 【新知识】总结 归纳思考 归纳过 程行为 行为 意图 间设1122(,),(,),a b ==x y x y 由a b =λ，有 1212,,==x x y y λλ于是1221=x y x y λλ，即12210-=x y x y ．由此得到，对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a b ==x y x y 当0≠λ时，有12210a b ⇔-=x y x y ∥． （7．9） 仔细 分析 讲解理解 记忆带领 学生 总结67 *巩固知识 典型例题例4 设(1,3),(2,6)a b ==，判断向量a 、 b 是否共线． 解 由于 3×2−1×6＝0，故由公式（7．9）知，a b ∥，即向量a 、 b 共线．说明 强调 引领 分析 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会70 *运用知识 强化练习判断下列各组向量是否共线： （1） a ＝(2,3)， b ＝(1,32)； （2） a ＝(1, −1) ， b ＝(−2,2)； （3） a ＝(2, 1) ， b ＝(−1,2)．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况75*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：向量坐标的概念？任意起点的向量的坐标表示？ 共线向量的坐标表示？质疑回答及时了解过 程行为 行为 意图 间结论：一般地，设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，则对于从原点出发的任意向量a 都有唯一一对实数x 、y ，使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)x y =a ．向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a b ==x y x y 当0≠λ时，有12210a b ⇔-=x y x y ∥．归纳强调学生知识掌握情况80 *归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知向量a , b 的坐标，求a ＋b 、 a − b 、−2 a ＋3 b 的坐标． a ＝(−2,3)， b =(1,1)； 提问 巡视 指导反思 动手 求解检验 学生 学习 效果85 *继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7.2 A 组（必做）；7.2 B 组（选做）(3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例 说明记录分层次要求90【教师教学后记】【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |⋅a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间过 程行为 行为 意图 间*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？介绍 质疑引导分析了解 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）总结 归纳思考 理解带领 学生 分析Fs图7—21 ︒30O过 程行为 行为 意图 间图7－22这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b ＝｜a ||b |c os<a ,b > (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．仔细 分析讲解 关键 词语记忆引导 式启 发学 生得 出结 果15由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b＝−|a ||b |.思考Ox ij F (x ,y )yBAO图7－23ab。