北京航空航天大学离散数学第8章作业答案

第八章习题答案
1. 证明：S (n ) = 1 + 2 + 3 + … + n = n (n +1)/2
证明 (1) 对于n = 0，S (0) = 0，成立。

(2) 设S (n ) = 1 + 2 + 3 + … + n = n (n +1)/2，则
S (n +1) = S (n ) + n + 1 = n (n +1)/2 + n +1 = (n + 1)( n + 2)/2
6. 用归纳法证明
13 + 23 + 33 + … + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + … + n ) 2
证明 (1) 对于n = 0，等式两边均为0。

(2) 设 13 + 23 + 33 + … + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + … + n ) 2。

13 + 23 + 33 + … + n 3 + (n +1) 3 = ( 1 + 2 + 3 + … + n ) 2 + (n +1) 3
= n 2 (n +1)2/ 4 + (n +1) 3 = (n + 1)2 ( n + 2)2 /4
= ( 1 + 2 + 3 + … + n + (n +1))2
12. 设A 和B 是可数集合，证明：
(1) A ⨯B 是可数的。

(2) 如果A 是有限集，则B A 是可数的。

证明 (1) 若A 和B 都是有穷集，则A ⨯B 是有穷集。

若A 是可数无穷集，B 是有穷集，
设 A = {a 0, a 1,…}，B = {b 1,…, b m }。

可将A ⨯B 中元素排列成序列
< a 0, b 1 >, …, < a 0, b m >, < a 1, b 1 >, …, < a 1, b m >, …
若A 是有穷集，B 是可数无穷集，也可同样证明。

若A 和B 都是可数无穷集，
设 A = {a 0, a 1,…}，B = {b 0, b 1,…}。

可将A ⨯B 中元素排列成序列
< a 0, b 0 >, < a 0, b 1 >, < a 1, b 0 >, < a 0, b 2 >,
< a 1, b 1 >, < a 2, b 0 >, …
按照两个元的下标之和递增的顺序排列，对于两个元的下标之和相等的有序偶，第一元下标小的排在前面。

(2) 若B 是有穷集，则B A 是有穷集。

若B 是可数无穷集，设 B = {b 0, b 1,…}，A = {a 1,…, a m }。

我们证明B A N 且N B A 。

定义g : B A →N 如下：
任取f ∈ B A ，若m i b a f i k i ,,2,1,)( ==，则令
m k m k k p p p f g 2121)(=，其中p i 是第i 个素数
若f 1, f 2∈ B A ，并且 f 1 ≠ f 2，
则存在1≤ i ≤ m 使得f 1 (a i ) ≠ f 2 (a i )。

设f 1 (a i ) = u ，f 2 (a i ) = v ，并且u < v ，则v i p 能整除g (f 2)，但不能整除g (f 1)，故g (f 1) ≠ g (f 2)。

g 是单射。

定义h : N → B A 如下：
h (n ) = {< a 1, b n >, …, < a m , b n >}
即h (n )是函数值为b n 的常值函数。

显然，h 是单射。

13. 如果∑是一有限的非空字母表，证明ρ(∑*)是不可数的无限集合。

证明 只需证明∑*~ N 。

设∑ = {a 1,…, a m }。

可将∑*中元素排列成序列
ε, a 1,…, a m , a 1a 1,…, a 1a m , …
按照长度递增的顺序排列∑上的字，对于长度相同的字，按字典序排列。

因为*)(*∑∑ρ ，所以*)(∑ρ N 。