专升本工程力学第08章 应力状态
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材料力学课件第八章应力状态与强度理论
材料力学课件第八章应力 状态与强度理论
在这一章中，我们将深入研究材料的应力状态和强度理论。了解应力的分类 和表示方法以及强度指标的应用，探讨应力状态与强度理论的关系和实际应 用。
应力状态的定义
什么是应力状态?
应力状态是材料内部受力的 分布情况，包括应力的大小、 方向和分布。
为什么应力状态重 要?
应力状态决定了材料的力学 性能和强度，对材料的使用 和设计至关重要。
如何描述应力状态?
应力状态可以通过应力张量 来表示，应力张量的分量表 示了各个方向上的应力大小 和方向。
强度理论的基本概念
1 什么是强度理论?
强度理论是研究材料强
2 强度理论的目的是
什么?
3 强度理论的应用范
围?
度和破坏的理论体系，
强度理论的目的是确定
强度理论可以应用于各
通过分析材料的应力和
材料在受力过程中是否
强度理论的分类
1
线性弹性强度理论
线性弹性强度理论假设材料的应力和应变之间的关系是线性的，适用于弹性材料。
2
塑性强度理论
塑性强度理论考虑了材料的塑性变形，并通过屈服条件来描述材料的强度。
3
能量强度理论
能量强度理论通过能量的积累和释放来描述材料的强度和破坏行为。
应力状态和强度理论的关系
应力状态对强度理论 的影响
结构分析
应力状态和强度理论的实际应 用包括结构的静力分析和疲劳 强度分析。
材料选择
选择适合的材料需要考虑其强 度特性和应力状态，以确保结 构的安全和可靠。
失效分析
应力状态和强度理论的失效分 析可以帮助确定结构失效的原 因，为改进设计提供依据。
不同的应力状态会导致不 同的强度理论适用，需要 选择适合的强度理论来分 析材料的强度。
在这一章中，我们将深入研究材料的应力状态和强度理论。了解应力的分类 和表示方法以及强度指标的应用，探讨应力状态与强度理论的关系和实际应 用。
应力状态的定义
什么是应力状态?
应力状态是材料内部受力的 分布情况，包括应力的大小、 方向和分布。
为什么应力状态重 要?
应力状态决定了材料的力学 性能和强度，对材料的使用 和设计至关重要。
如何描述应力状态?
应力状态可以通过应力张量 来表示，应力张量的分量表 示了各个方向上的应力大小 和方向。
强度理论的基本概念
1 什么是强度理论?
强度理论是研究材料强
2 强度理论的目的是
什么?
3 强度理论的应用范
围?
度和破坏的理论体系，
强度理论的目的是确定
强度理论可以应用于各
通过分析材料的应力和
材料在受力过程中是否
强度理论的分类
1
线性弹性强度理论
线性弹性强度理论假设材料的应力和应变之间的关系是线性的，适用于弹性材料。
2
塑性强度理论
塑性强度理论考虑了材料的塑性变形，并通过屈服条件来描述材料的强度。
3
能量强度理论
能量强度理论通过能量的积累和释放来描述材料的强度和破坏行为。
应力状态和强度理论的关系
应力状态对强度理论 的影响
结构分析
应力状态和强度理论的实际应 用包括结构的静力分析和疲劳 强度分析。
材料选择
选择适合的材料需要考虑其强 度特性和应力状态，以确保结 构的安全和可靠。
失效分析
应力状态和强度理论的失效分 析可以帮助确定结构失效的原 因，为改进设计提供依据。
不同的应力状态会导致不 同的强度理论适用，需要 选择适合的强度理论来分 析材料的强度。
材料力学第八章应力状态分析
2
四、最大剪应力
max
※解题注意事项：
1 3
2
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先
应写清已知条件。
⑴x、y 以拉为正，以压为负； ⑵x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负； ⑶ 为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为 正，顺时针转为负。
⒉ 求得主应力ˊ、〞与0排序，确定1、2、3的值。 ⒊ 0为主应力ˊ所在截面的外法线与x 轴正向间夹角， 逆时针转为正，顺时针转为负。
x 1
圆上D1点代表x 截面； D2点代表y 截面；
E点代表方位为 角的斜截面； A1、 A2 点代表两个主平面。
1、单元体各斜截面与圆上各点相对应（点面相对应） 结论 2、圆上各点横、纵坐标与各斜截面的正、剪应力对应。
3、转向相同，夹角两倍关系
x
A1
2
D1
y x y
y x x
y 0,
x 40MPa,
' 80 0 80 0 2 ( ) 40 2 40 56.57 " 2 2
1 16.57 MPa, 2 0, 3 96.57 MPa 1 max [(16.57 (96.57)] 56.57 MPa 2
x cos2 y sin 2 x sin 2
1 cos 2 1 cos 2 x y x sin 2 2 2 x y x y cos 2 x sin 2 2 2
同理，由
F
F
z zy
yx xy
yz zy
zx xz
A
A
四、最大剪应力
max
※解题注意事项：
1 3
2
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先
应写清已知条件。
⑴x、y 以拉为正，以压为负； ⑵x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负； ⑶ 为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为 正，顺时针转为负。
⒉ 求得主应力ˊ、〞与0排序，确定1、2、3的值。 ⒊ 0为主应力ˊ所在截面的外法线与x 轴正向间夹角， 逆时针转为正，顺时针转为负。
x 1
圆上D1点代表x 截面； D2点代表y 截面；
E点代表方位为 角的斜截面； A1、 A2 点代表两个主平面。
1、单元体各斜截面与圆上各点相对应（点面相对应） 结论 2、圆上各点横、纵坐标与各斜截面的正、剪应力对应。
3、转向相同，夹角两倍关系
x
A1
2
D1
y x y
y x x
y 0,
x 40MPa,
' 80 0 80 0 2 ( ) 40 2 40 56.57 " 2 2
1 16.57 MPa, 2 0, 3 96.57 MPa 1 max [(16.57 (96.57)] 56.57 MPa 2
x cos2 y sin 2 x sin 2
1 cos 2 1 cos 2 x y x sin 2 2 2 x y x y cos 2 x sin 2 2 2
同理，由
F
F
z zy
yx xy
yz zy
zx xz
A
A
材料力学 第八章 应力状态分析
利用三角函数公式
{
2
2 sin cos sin 2
并注意到 y x 化简得
x y
2
x y
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
19
8.2 解析法分析二向应力状态
2.正负号规则
y
y
x
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
31
8.2 解析法分析二向应力状态
主平面的方位：
x
y
x
n
2 x tan 2 0 x y x 60 0.6 60 40
0 15.5 ,
代入 表达式可知
1.斜截面上的应力
已知：x ，y ，x， y ； 求：任意斜截面的应力（面 ）
y
y
x
x
x
n
x
y
x
y
y
dA
t
F
n
0
F 0
t
17
8.2 解析法分析二向应力状态
列平衡方程
x
x
n
Fn 0
y
y
dA
t
dA x (dA cos ) sin x (dA cos ) cos y (dAsin ) cos y (dAsin ) sin 0
4. 切应力极值和方向
采用同样的方法：
x y
2
sin 2 x cos 2
d 令 0 d
材料力学课件-第36讲 第八章 应力状态分析(6)
x
x
应力主轴与应变主轴不重合：
x 截面为应力主平面；
弹性常数具有方向性：
x
x
x
x
S11与S66均与主轴 的方位角有关
但不为应变主平面。
作业 8-16 8-20 8-22
谢谢
2、不同组分材料之间有明显的界面；
复合材料的力学性能特点：
1、比强度、比刚度大：
2、可设计性好：
复合材料的性能可以随组分材料的组合方式的改变而改变。
3、抗疲劳性能好：
4、复合材料的力学性能分散性较大：
单向复合材料拉伸疲劳极限一般可达(40%~70%)b
金属材料拉伸疲劳极限一般为(30%~50%)b
1. 对于非主平面微体，应变能密度是否等于
2. 对于非主平面微体， 平均应力是否等于
o
s
t
sx
tx
D
sy
ty
E
C
(sx+sy)/2
sH
2a0
2a
H (sa, ta)
tH
F
(sx-sy)/2
答：等于。
2倍s轴圆心坐标，3维情形根据转轴公式证
“虎”式武装侦察直升机
NH90中型运输直升机
复合材料已经大量用于制造飞机的零部件
2
1
1
1
1
2
2
2
E1与 12——纵向弹性模量 与纵向泊松比
E2与 21——横向弹性模量 与横向泊松比
G12——纵向切变模量
可以证明：
所有应力均作用于正轴坐标平面时的三向应力状态:
二、 体应变与畸变
dx
dy
dz
t
dx
dy
dz
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
第八章2应力应变状态分析
第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。
应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。
而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。
针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。
应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。
在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。
线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。
一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。
平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。
二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。
在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。
最常见的是材料的应力-应变曲线。
应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。
在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。
而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。
当应力达到最大值时，材料会发生破坏。
除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。
例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。
剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。
同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。
应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。
通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。
例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。
然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。
首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。
材料力学 第八章：应力状态分析
2 )2
材料力学
整理可得：
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标
(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
方法一：
27.5
x
2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5
x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF
、纵坐标
y
FDy
y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y
x
y
x
x
y
F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
工程力学8章—弯曲应力
1
ρ
为曲率半径
曲率
1
ρ
表示梁弯曲变形的程度。
1
ρ
1
∝M
M
⇒ 轴线越弯曲;
1 ∝ ρ EI z
EI z
⇒ 轴线变形越小(越平缓) 。
抗弯刚度(Flexural Rigidity) 因此 EI z 叫做梁的抗弯刚度 抗弯刚度
14
§8-3 纯弯曲时梁的正应力
正应力的有关公式
几何方程
物理方程
ρ σ = Eε
A
从静力学里得到，均质薄板的重心 与平面图形的形心有相同的坐标 ：
yC
∫ =
A
ydA A
Sz = A
zC
∫ zdA = S =
A
y
A
A
A 为截面面积
由
yC
为截面形心到中性轴的距离
Sz = ∫ ydA = yC A = 0
A
→
目录
yC = 0
18
中性轴应通过横截面的形心。 中性轴应通过横截面的形心
§8-3 纯弯曲时梁的正应力
A
1m
FAY
B C
l = 3m
30
I z = 5.832×10−5 m4
x
K
z 3. 全梁最大正应力 y
FBY
FS
90kN
最大弯矩 Mmax = 67.5kN⋅ m
(+)
(−)
σmax =
x 90kN
Mmax ymax IZ 180 ×10−3 2 5.832×10−5
29
目录
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
y
Sz = ∫ ydA = 0
08(2)工程力学-梁弯曲时内力和应力
b
Iz BH 2 bh3 回字框 Wz (1 ) 3 ymax 6 BH
B
12
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
例1 受均布载荷作用的简支梁如
图所示，试求： （1）1——1截面上1、2两点的 正应力； （2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
M M1
§8-3 梁的正应力强度条件 • 梁的合理截面 一、梁的正应力和剪应力强度条件 1、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上
下边缘上；
s
M
s
s
2、正应力强度条件：
s max
M max s Wz
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
求应力
bh3 1201803 Iz 1012 5.832105 m 4 12 12
120 y + qL2 8 Mmax
z
Wz I z / 2 6.48104 m3
s1 s 2
M1 y Iz
x
60 60 105 61.7MP a 5.832
M
M Wz
… …(5)
抗弯截面模量。
d
4
64
空心圆： I z
d 4
64
(1 4 )
bh3 矩形： I z 12
（六）抗弯截面模量：
Iz D3 圆 Wz ymax 32
D d
D
d D
I z D3 圆环 Wz (1 4 ) ymax 32
1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）变 纵向线变为曲线，且上缩 下伸；横向线与纵向线变
材料力学课件第八章 应力应变状态分析
30
2
2
35.7MPasin 230 ＝16.9MPa
63.7MPa 0 sin 2 30 35.7MPacos 2 30 ＝ 45.4MPa
30
2
、 的指向如图c所示。
二、应力圆
(8 1)
x
y
2
2
x
2
y
cos 2
x
sin
2
2
(c)
(8
2)
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
2 0
3 82.1MPa 56.5MPa 25.6MPa
tan
20
59.6 56.5
1.0530, 20
46.5o ,0
23.3o
主平面方位示于图e中。(从应圆上可看出
为负角)。
3．b点的单元体如图g，应力圆如图h
x 78.6MPa
(g)
O (h)
1 OA1 78.6MPa 2 0 3 OA3 78.6MPa
求与z轴垂直的ef斜截面上的应力。ef截面的外法线为n，x与
n的夹角为，ef截面亦称面。
以拉为＋，压力－；以对单元体内任一点顺时针错动为＋，
逆时针错动为－ 。图a中，
。
由x轴逆时针转到n时的 为 ，
e
反之为负。如图d。
取部分单元体efb(图c)为分离体
Fn 0
dAxdAcos cos xdAcos sin
单元体每个截面的应力均匀分布，相互
平行面上的应力，其大小和性质分别相同。 图b所示单元体的右侧截面上的应力，为横截 面上a点的切应力，由切应力互等定理画出其 它三个截面上的切应力。
dx 0 dy 0单元体 a点 dz 0