标的资产价值服从跳跃_扩散过程的美式实物期权定价研究_邱小丽
标的资产服从一类混合过程的几种欧式幂型期权的定价
ｆ １ 篁 ＾焉 ｌ
（） ］
（） １
Ｒ ｂ ｒ， ｖ ｒ ， ｍａ Ｓ Ｇ． ｏ Ｅ 考 虑 了 股 ｏ ｅｔＡｌａｏ Ｒａ ， ． Ｋ ｕ。
Ｅ Ｂ （ 一Ｏ ， Ｂ （）・ Ｈ ￡） （ Ｈ￡ ） ）Ｅ（ Ｈ ｓ Ｂ （） ＝÷｛ ｔ 一 Ｉ ＩＩ ｓ
ｌ 拊一 Ｉ一ｓ。 ）． 定 义 可 知分 数 布 朗运 动 具有 的 Ｉ Ｈ 从
价 过程 受 Ｌ ｖ ｅ ｙ过程驱 动 的期权 定价公 式 ｄ （） （） （） ＋ ￣ａｄ ￡］ Ｓ ｔ一Ｓ ｌＢＨ（） （） ２
自相似性 和 长 程 相 关 性 ． Ｂ ． ￡ 是 指 概 率 空 间 设 Ｈ（）
（２ ＦＨ， ）： ｆ ．Ｈ， ＰＨ
这 两种 方法 从不 同的方 面弥 补 了布 朗运 动刻 画
股价 过程 的不 足 ， 实 际 市场 中的 股 票价 格 并 不 限 但 于此 ， 长程 相关性 只是 股价 过程 中 的一 个性质 ， 大 重
＝ ａ Ｂ ｓ ： 一 １ ２ ． ｍ， ｓ ￡ （ （） ｉ ， ，． ０≤ ≤ ）上参 ・ 数 为 Ｈ ∈ （ ， ）的 分数 布 朗运 动 ， Ｏ１ 由构造 过 程 知
１ 基 本 知 识
具 有 Ｈｕｓ 指 数 Ｈ ∈ （ ， ） ｒｔ ０ １ 的分 数 布 朗运 动 ＢＨ ￡是指连 续 的 Ｇａ ｓｉ （） ｕ ｓ ｎ过程且 满足 Ｂ （ ） ， ａ Ｈ ０ ＝０
股票价格服从跳-扩散过程的资产交换期权定价模型
股票价格服从跳-扩散过程的资产交换期权定价模型
姚小义;邹捷中;陈超
【期刊名称】《铁道科学与工程学报》
【年(卷),期】2002(020)001
【摘要】考虑资产交换期权定价问题, 建立两种资产价格都服从跳-扩散过程的期权定价模型,运用无套利理论推导出期权价值方程,并给出对应的期权定价公式.【总页数】6页(P4-9)
【作者】姚小义;邹捷中;陈超
【作者单位】中南大学铁道校区科研所,湖南,长沙,410075;中南大学铁道校区科研所,湖南,长沙,410075;中南大学铁道校区科研所,湖南,长沙,410075
【正文语种】中文
【中图分类】F224.9;F224.0
【相关文献】
1.股票价格服从跳-扩散过程的交换期权定价模型 [J], 沈明轩;何成洁
2.股票价格服从跳-扩散过程的期权定价模型 [J], 陈超;邹捷中;刘国买
3.股票价格服从跳-扩散过程的期权定价模型 [J], 赵建国;师恪
4.股票价格服从跳-扩散过程的择好期权定价模型 [J], 朱海燕;张寄洲
5.股票价格服从跳-扩散过程的期权定价模型 [J], 宁丽娟;刘新平
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分数跳-扩散运动下欧式复杂任选期权定价
［ ） ＝ ， （） 上 （ ］ 曰
ｘ一 ｐ ｛
） ｅ ｘ
分数跳 一扩散运动 下欧式 复杂任选期权定价
４ １
引理 ４’ 设， 是一满足 Ｅ ， Ｂ （ ） ［（ ） ］＜ ∞ 的函数 ， 则对任意的 ｔ＜Ｔ ，
ＥＩ８ ） ｔ（（ ］ ） 赤 ｆ ） （ ］ ｆ ｔ ８ ） ・ （ ｚ ） Ｅ （
复 泊松 合的 过程， 表 可 示为．ｔ ＝∑ Ｕ ｛（ ，≥ｏ 是强 ，） （ ｉ Ⅳｔ ｔ ｔ 度为Ａ 泊松 ， ） 的 过程， （ｉ 一 Ｕ ＞
１ 表示第 ｉ ） 次跳跃的幅度（ 无跳跃发生时 Ｕ ＝ ） ｛ ｉ ≥０ 为独立同分布列 ， ＝Ｅ Ｕ ， ｏ ０ ，Ｕ ， ｉ ｝ 且 ［ ］ 假定 ｛ 日 ｔ ， ≥０ ，Ｎ ｔ ， ≥０ 和 ｛ ｉ ≥ １ 相互独立． Ｂ （） ｔ ｝ ｛ （） ｔ ｝ Ｕ， ｉ ｝ 令
二
ｄ （， ， ２￡Ｔ ）＝ｄ （， ， ｌ￡Ｔ ）一 ￣ ７ ／
Ｊ・ 标 正 分 的 积 布 数Ⅳ） Ｊ 等 ・ ７） 准 态 布 累 分 函 ， ＝ １ 、是 ｒ （ 二
Ⅳｒ ‘ 一
占 关于 ｎ （ ＋ ） 是 １ 分布的 望． 期
ｉ＝０
３ 欧 式 复 杂 任选 期 权 的 定 价
引理 ５ 若 股价 满足 （ ） ， 在任 意 时刻 ｔ执 行 价 格 为 Ｋ， ３式 则 ， 到期 日为 Ｔ的标 准 欧 式 看 涨 期权 和 看跌 期权 的价 格分 别 为 ：
ｃ ． ｓ ＝
。
业
［ｔＡ － ｎ （ ＋ ） （。］ Ｋ－－ ［（ 川 ， Ｓ－（ｔ ｅＯ ） Ｔ １ Ⅳ ｄ 一 ｅ（） Ｎ ｄ ） ｒｔ Ｔ８
牛淑敏 徐 云
（ 新疆 大 学数 学与 系统科 学 学院 ， 鲁木 齐 ，３０ ６ 鸟 ８０４ ）
双分数跳-扩散过程下重置期权定价
近年 来 ， 随着 金融 市场 的飞 速发展 ， 新 型期 权不
更一 般 的金融 现象 ． 关 于 双分 数 布 朗 运 动 的性 质 及
断 涌现 ， 重置 期权 ｌ １ 就是 其 中的一 种． 重 置期 权 是这
样一 种合 约 ： 当股 票 价 格 达 到某 一 预 先 给 定 的水 平 时， 按 照合 约规 定 ， 将 重 新 设 置交 割 价格 ， 以便 期 权 持有 人有更 多的获 利 机 会． 最 初 一 些 学 者在 布 朗运 动环 境下 对重 置期 权 进 行 研 究 ， 得 到 了相应 的定 价 公式 ＿ ２ ］ ． 由于受 某些 突发 事件 的影 响 ， 实 际金 融市 场 中的股票 价格 可 能会 出现 跳 跃 的情 形 ， 不 少学 者 考 虑在跳一 扩散 环境 下对 重置期 权 进行 研 究 ， 运 用偏 微 分 方 程方 法或 鞅方 法 等 ， 给 出 了重 置 期权 的显 式 定 价公 式 ｌ ＿ ３ ］ ． 通 过 对 金 融市 场 进 行 大量 的实 证分 析 发 现股 票价格 对 过去 价 格 具 有 依赖 性 ， 而 分数 布 朗运
数跳一 扩 散 过 程 下 重 置 期权 的 定 价 公 式 ．
关键词 ： 双 分 数 布 朗运 动 ； 跳一 扩散 过 程 ； 保 险精 算 ； 重 置 期 权
分类号 ： （ 中 图）Ｏ２ １ １ ； Ｆ ８ ３ ０ （ ２ ０ ０ ０ ＭＲ） ６ Ｏ Ｇ１ ５ ； ６ ０ Ｈ０ ７ ； ９ １ Ｂ ２ ８ 文献 标 志码 ： Ａ
第３ ７ 卷 第４ 期
Ｖｏｌ ＿ ３７ Ｎｏ ．４
宁夏大学学报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｎｉ ｎ ｇ ｘ ｉ ａ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
跳跃—扩散模型资产定价公式的数值计算方法
跳跃—扩散模型资产定价公式的数值计算方法作者：张鸿雁,李强,张志来源：《经济数学》2010年第02期摘要假定资产价格变化过程服从跳跃扩散过程,那么基于它的欧式期权就满足一个偏积分微分方程(PIDE),本文利用差分法来离散这个PIDE方程,用两种迭代方法得到方程的数值解:基于雅可比正则分裂法和预条件共轭梯度法.关键词跳跃扩散模型;差分法;FFT算法;欧式看涨期权中图分类号 O241.82文献标识码:A引言美国芝加哥大学教授Black和Scholes[1]在1973年发表了“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文,提出了著名的期权定价公式,在公式中,假设股票的价格过程是连续的几何布朗运动,但是,在现实市场中,一些突发情况会引起股票价格发生跳跃.基于上述考虑,Merton在1976年首先提出了跳跃扩散模型,在Merton模型中,资产价格在没有受到外界重大影响时服从布朗运动,当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时,就用跳跃过程来描述.本文首先介绍PIDE[2]的具体形式,在Merton模型下对其差分离散,得到一个Toeplitz矩阵方程,用两种方法解这个矩阵方程,一是基于雅可比正则分裂的迭代方法[3-4],二是预条件共轭梯度方法.考虑到Toeplitz[5]矩阵的特殊性,在迭代的过程中,将其植入到一个循环矩阵中,利用循环矩阵和向量的乘积来计算Toeplitz和向量的乘积,而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换(FFT)快速计算,这样就加快了迭代速度.共轭梯度法是解决Toeplitz线性方程组的主要方法之一,在利用共轭梯度法的情况下,快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度,但不改变其收敛速度,共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数,基于此考虑,本文采用预条件共轭梯度算法,选用R.Chan优化循环预条件器[6],预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件数,以便提高收敛速度.2 跳跃扩散模型假设市场是完备无套利的市场,在跳跃扩散模型下,资产的价格变化过程服从随机微分方程-其中,υ(t)是漂移率,σ(t)是波动率,ω(t)标准布朗运动是泊松过程的概率是1-的概率是是泊松到达强度,η-1是由S跳跃到Sη的跳跃幅度函数,是一个随机变量,用ζ表示平均跳跃幅度E(η-1),泊松过程与布朗运动ω(t)是相互独立的.由文献[7]可知,在上述假设下,基于资产价格S与时间τ的未定权益V(S,τ)满足--式中,t=T-τ是到期时间为T的时间,r是无风险利率,g(η)是跳跃幅度η的密度函数.对式(2)的积分部分进行指数变量变换,令则式(2)变为--再对其余部分进行变换,令函数f(y)是跳跃幅度的密度函数,则式(3)变为----(t,x)∈[0,T)×R,边界条件令u(τ,•)=υ(T-τ,•),则式(4)变为--(r----(τ,x)∈3 Merton模型下的有限差分离散在中,由于则通常限定x的取值范围是-称为截断点称为截断区域,式(5)中的积分部分可以分割为两部分\在计算欧式看涨期权的情况下,在R\上的积分u(τ,z)可以进行近似代替--当x→+时.(6)u(τ,x)→0, 当x→-时经济数学第 27 卷第2期张鸿雁等:跳跃扩散模型资产定价公式的数值计算方法对于式(5)中的积分部分,进行变量变换z=x+y,则-定义函数---在模型中--在的情况下,有表达式----其中是标准分布函数--考虑时间和空间节点,使---(---1),和-1)k,m=1,…,q,k=T/q.记-在[-上用复合梯形原则,有积分近似---对于时间变量与空间变量,作近似---------这里,对于时间的偏导,当m≥2时,用向后的二阶差分来近似对时间的微分,当m=1时,用向后的一阶差分近似;对于空间的偏导,用中心差分来近似.定义向量由初始条件,初始向量由式(13)~(16),则式(5)的有限差分离散能写成矩阵形式其中3/2,m≥2,I是单位矩阵,C和D定义为---λζ)/2h,如果i=j-1, 2≤i≤n-如果i=j, 2≤i≤n---k(r--λζ)/2h,如果i=j+1, 2≤i≤n-1,0,其他情形;-如果2≤i≤n-1,且-如果2≤i≤n-1,且2≤j≤n-其他情形且式(17)中,向量定义为---其中如果如果m≥2,(19)如果-1/2,如果由初始边界条件可知-- 4 基于雅可比正则分裂的迭代方法定义1 假设矩阵A可用分裂成形式A=Q-其中,Q是单调矩阵-且R≥0,则称A可以正则分裂.对于每一个形如式(21)的分裂,都存在相应的迭代方法--若A是单调矩阵,则迭代式(22)是收敛的-给出雅可比正则分裂的形式:-其中是A的对角矩阵.如果满足:--)-则分裂是正则的,且--证明过程见文献[9].在有限差分法中,若:---则可以得到一个精确稳定的解.若保持k/h固定不变而让h→0,则存在一个使得在时条件同时成立5 预条件共轭梯度算法本文中系数矩阵A是一个矩阵,现选择优化循环预条件器[10]加快迭代过程中的收敛速度.预条件器------其中--是矩阵A中的元素,j=0,…,n-1.在所有的n阶循环矩阵中,C极小化范数-在这个意义下,C被视为A的一个近似矩阵.在预条件共轭梯度法下,每一次迭代都要计算矩阵向量积Ax和-和y是n维向量),可以利用快速富里叶变换快速计算.C可以被n阶离散富里叶矩阵对角化,即∧∧-且---1)是C的特征值是虚数单位于是-∧-对于计算Ax,可以先将A嵌入到一个2n阶的循环矩阵,然后借助2n阶快速富里叶变换来计算,即其中-1------等价于--对于矩阵方程循环优化预条件器是式(24),共轭梯度法采用析因形式[11],不生成系数矩阵,迭代算法为--是初值;(29)----终止条件是6 数值实验在模型[12]下做数值实验,当时,欧式看涨期权有解ω(t,s)=∑-λ(其中,τ=T---表示欧式看涨期权的价格.用编程进行数值试验.在所有的实验中,式(22)的迭代停止时刻由前后两个迭代矩阵之间的差的-范数决定,即当-V在模型中用FD和BDF2对空间与时间进行差分,并用三对角分裂法处理矩阵,到期时刻T=1,截断点波动率σ=0.2,跳跃方差跳跃强度λ=0.1,协定价格结果为:由表1和表2,随着差分节点数的增加,计算的误差越来越小,从空间差分节点数129开始,差分节点数每增加一倍,雅克比正则分裂迭代算法的计算误差就下降一个数量级,对于预条件共轭梯度法,当差分节点数从65增加到129时,计算误差下降了两个数量级,而在节点数从129增加到1 025的过程中,误差都是在同一数量级内减少,这说明预条件共轭梯度法的收敛速度很快.从计算的精确度来说,雅克比正则分裂法和预条件共轭梯度法相差不大,但是从计算的速度来看,后者要比前者快.本文讨论了当市场有跳跃时欧式期权定价的数值计算方法,期权的价格是一个PIDE方程的解,本文用差分法对这个方程进行离散,得到一个Toeplitz矩阵系统,本文用两种方法来处理这个系统,由表1和表2可以看出,二者在计算精度上差别不大,预条件共轭梯度法比雅可比正则分裂法的迭代结果误差更小些,而且迭代过程中的迭代次数更少,分析这些差别的原因,是由于预条件共轭梯度法对系数矩阵进行了处理,使系数矩阵的条件数减小,因而加快了迭代的收敛速度.参考文献[1] BLACK F,SCHOLES M.The price of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3),637-654.[2] ANITA Mayo. Methods for the rapid solution of the pricing PIDE in exponential and merton models[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics:2008,22(34):128-143.[3] CONT R,VOLTCHKOVA E.A finite difference scheme for option pricing in-1626.[4] 杨向群,吴峦东.带跳的幂型支付欧式期权定价[J].广西师范大学学报:自然科学版,2007,25(34),56-58.[5] STANG G.A proposal for toeplitz calculations[J].Stud Appl Math,1986,74(39):171-176.[6] CHAN T.An optimal circulant preconditioner for Toeplitzsystems[J].SIAM,J,Sci,Stat,Comput,1988,9(13):766-771.2004,38(37):35-45.[8] YOUNG D M.Iterative solution of large systems[J].New York:Academic,1971,5(23):25-35.[9] ARIEL Almendral,CORNELIS W.Oosterlee. Numercial valuation of options with jumps in the underlying[J]. Applied Numercial Mathematics,2005,53(29):1-18.iterations[J]. SIAM J Matrix Appl,1994,15(8):80-97.markets[D].Universi ta Degli Studi Di Roma “La Sapienza”Dottor to Di Ricerca in Miatematica Per Le Applicazioni Economiche e Finanziarie,2003.numerical methods for option pricing[J].Rew.Derivatives Res,2000,4(17):231-262.(School of Mathematical and Calculating Technology,Central South University,ChangSha,Hunan 410083,China)assumption.The equation was discretized by difference formula.The result was obtainedby two iterative methods:Jacobi regular splitting method and preconditioned conjugate gradient method.option。
基于跳跃——扩散资产价值过程的信用风险债券的定价
基于跳跃——扩散资产价值过程的信用风险债券的定价郭子君;易建新【摘要】讨论了基于跳跃——扩散资产价值过程的信用风险债券的定价. 通过引进倒闭过程给出了以零息票债券价格为基础的信用风险债券价值构成,在风险中性概率测度下得到了信用风险零息票债券的定价公式.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2007(000)003【总页数】7页(P42-48)【关键词】信用风险债券;跳跃--扩散过程;风险中性概率;倒闭过程【作者】郭子君;易建新【作者单位】华南农业大学理学院,广东广州,510642;华南师范大学数学科学学院,广东广州,510631【正文语种】中文【中图分类】O211.63;F830.9信用风险(Credit risk)及信用衍生产品是现代金融理论研究中的一个重要领域，信用风险(违约风险)是指不能按约定完成契约上所事先规定的义务的风险，公司债券可能是具有违约风险的一种金融资产，在债券的生命期内，债券发行者的违约有不可忽视的可能性.MERTON[1]是用未定权益框架对可能违约债券定价的先驱，将违约风险视为公司资产的欧式买入期权建模，从而公司有违约风险零息票债券可由无风险证券和违约风险的卖出期权进行复制.COX、INGERSOLL和ROSS[2]运用MERTON所建立模型解决了可变利率条件下债券的定价问题.张世斌等[3]研究了有违约风险的市场结构以及有违约风险的一种美式期权的定价.JARROW、LANDO和TURNBULL[4]讨论了违约概率为外生变量的风险债券定价模型，该模型依赖于信用等级和历史违约信息来导出风险债券定价所需要的违约概率.ARVANITIS、GREGORY和LAURENT[5]通过引进倒闭过程及其强度得到违约概率并进一步用来研究信用风险债券的定价；当资产价值过程是扩散过程、利率过程由Vasicek模型确定时，MADAN和UNAL[6]研究了违约概率与公司资产及利率两因素有关的信用风险零息票债券(Zero-coupon bonds)的定价.在以上问题的研究过程中，公司资产价值过程都被假定为扩散连续过程，公司资产价值不会发生跳跃变化，因此不会发生不可预料的违约，这不能反映突发事件引起的信用(违约)风险，低估了短时期内的违约概率，SKINNER和TOWNEND[7]通过实证研究证明了结果与现实不符.在违约概率与公司资产及利率两因素有关的信用风险零息票债券(Zero-coupon bonds)定价的框架下，考虑突发事件引起的不可预料违约，本文研究了跳跃——扩散资产价值过程下有违约风险的零息票债券的定价问题.当利率过程由Vasicek 均值回复模型给定时，在Poisson过程和Brown运动混合驱动资产价值过程下，运用Madan和Unal两因素的违约概率研究方法，我们讨论了有违约风险零息票债券的定价问题.1 利率及资产价值的动态过程假设金融市场中有3种不确定性因素，其中第1种是概率空间上的一维实值Brown运动zt；第2种是概率空间上的一维实值Brown运动wt，第3种是概率空间上密度为的一维实值Poisson过程Yt，其中由zt生成的含所有零概率事件的递增σ-域流由wt生成的含所有零概率事件的递增σ-域流以及由Yt生成的含所有零概率事件的递增σ-域流它们是经济参与者感知的信息流.定义乘积概率空间如下：(Ω,F,{Ft}t≥0,P)=(Ωz⊗Ωw⊗ΩY,Fz⊗Fw⊗FY,{⊗⊗}t≥0Pz⊗Pw⊗PY),假设zt、wt相关系数为ρ,而Yt在此乘积概率空间上与zt以及wt相互独立.假设利率的不确定性由Vasicek模型描述，其动态过程给定为[8]：drt=a(b-rt)dt+σdzt,(1)其中a、b、σ都是正的常数，zt是Brown运动，b是无风险利率rt的长期均值(趋势)，a是向均值调整的速度，σ是瞬时标准差.根据利率衍生产品f(t,rt)所满足的偏微分方程：+a(b-rt)+σ2-rt f=0,(2)结合到期条件P(T,T)=1可得依赖Vasicek利率过程的到期日为T的无违约零息票债券在t时刻的价值P(t,T)[9].命题1 Vasicek利率衍生无违约零息票债券的价格为P(t,T)=A(T-t)exp{-B(T-t)rt}，其中：B(T-t)=(1-e-a(T-t))/a.由命题1，依据K.Ito公式有：注1 Vasicek利率衍生无违约零息票债券价格动态过程为=rtdt-σB(T-t)dzt.设公司价值动态过程的不确定性由Poisson过程和Brown运动驱动：dVt=Vt[(rt-υ)dt+ηdwt+(Jt-1)dYt],(3)其中Vt为t时公司价值，η为表示资产价值的波动率的常数，wt为Brown运动；Yt为参数是(跳跃强度)的Poisson过程P(Yt=m)=(为一个Poisson随机变量，Yt、zt和wt两两相互独立；J服从对数正态分布期望值为υ+1即υ=E[J-1]当dYt=1时，发生一个量为J-1的跳跃，使资产价格从S变为SJ，且各次跳跃的幅度相互独立[10].并易得以下命题：命题2 公司价值对数动态过程为dln Vt=(rt-υ-η2/2)dt+ηdwt+ln JtdYt.2 违约概率及信用风险债券评价分析设公司倒闭过程的强度为φ(t),在(t,T]时间内公司违约(倒闭)的概率q(t,T)可表示若(t,T]时间跨度公司不会违约，则债券持有人在T时的现金流为P(T,T)，若(t,T]时间跨度公司违约，则债券持有人在T时的现金流为δP(T,T)，其中δ(0≤δ<1)表示公司违约时可回收的债券价值比率；因此到期日为T的风险零息票债券在时刻t的价格p(t,T)可表示为[10,11]：p(t,T)=P(t,T)(1-q(t,T))+P(t,T)q(t,T)δ=P(t,T).当倒闭概率与公司资产价值以及利率二因素有关时，假设公司倒闭过程的强度为φ(t)=α-βlnVt+γrt，其中α、β和γ是适当常数[6].此时风险零息票债券价格由资产价值过程及利率过程确定：(4)其中Q是风险中性概率，在这一概率测度下，任何证券的连续折现价格都是一个Q鞅.3 风险中性概率测度下的动态过程设由B(T-t)定义可知，ξT是指数鞅.令由Girsanov定理可知Q是与P等价的概率鞅测度.首先有：定理1 在等价概率测度Q下，zt+σB(T-s)ds以及wt+ρσB(T-s)ds都是Ft Brownian运动.证明任取常数c1、c2，EQ[ec1zt+c2wt]=E[ξTec1zt+c2wt]=E-σB(T-s)dzs-σ2B2(T-s)ds+c1zt+c2wt= 则从而zt+σB(T-s)ds以及wt+ρσB(T-s)ds是Q下的Ft Brownian运动.由于zt+σB(T-s)ds以及wt+ρσB(T-s)ds是在风险中性概率测度Q下与zt以及wt对应的Brown运动，分别记之为和计算可得：d=dzt+σB(T-t)dt,d=dwt+ρσB(T-t)dt.(5)由式(1)、(5)得：drt=(a(b-rt)-σ2B(T-t)dt+σd.(6)由命题2与式(4)得：dln Vt=((rt-υ-η2/2)-ρσηB(T-t))dt+ηd+ln JtdYt.(7)因式(6)是Ornstein-Uhlenbeck过程，求解式(6)，有：推论令由推论1和式(7)有：推论且两两相互独立.4 风险零息票债券定价根据推论1与推论2可知：记之为：φ(8)根据假设，从以上讨论可知在Q下φ(t)服从正态分布，因此Φ(t)=φ(s)ds也是风险中性概率Q下的正态分布.对于正态分布参数，我们有以下分析:Φ(t)=du=记ξ1=σ,有：EQ[ξ1]=0,η2β2u2du=η2β2(T3-t3)/3.记由于并且相互独立，有：uμJ,μJudu=μJ(T2-t2)/2,u.易知收敛，记其和函数为S(u)，因此EQ[]=2β2(T-u)S(u)du=β2I3(t),VarQ[ξ3]=β2I3(t)-β22根据以上分析得知，在风险中性概率测度Q下Φ(t)服从正态分布N(U,S2)，其中：U=I(t)-βμJ(T2-t2)/2,S2=σ2I1(t)+η2β2(T3-t3)/3+β2I3(t)-β22(T2-t2)2/4.由于Φ(t)服从正态分布，因此有：定理2 若公司价值动态过程的不确定性由Poisson过程和Brown运动驱动，则Vasicek利率衍生信用风险零息票债券的价格为p(t,T)=P(t,T)，其中P(t,T)为Vasicek利率衍生无违约零息票债券的价格，U=I(t)-β参考文献：[1] MERTON R.On the pricing of corporate debt [J].Journal ofFinance,1974,3: 449-470.[2] COX J C,INGERSOLL J E,ROSS S A.An analysis of variable rate loan contract [J].Journal of Finance,1980,35: 389-403.[3] 张世斌,付长青,劳兰珺.具有违约风险的市场结构及具有违约风险的违约零补偿的美式权益的定价[J].应用概率统计,2003(4): 371-382.[4] JARROW R A,LANDO D,TURNBULL S M.A markov model for term structure of credit risk spreads[J].Review of Financial Studies,1997(2): 481-523.[5] ARVANITIS A,GREGORY J,LAURENT P.Building models for credit spreads [J].Journal of Derivatives,1999(1): 27-43.[6] MADAN D,UNAL H.A two-factor hazard rate model for pricing risky debt and the term structure of credit spreads [J].Journal of Finance and Quantitative Analysis,2000,35:43-65.[7] SKINNER F,TOWNEND T.An empirical analysis of credit default swaps [J].International Review of Financial Analysis,2002(3): 297-309.[8] VASICEK O.An equilibrium characterization of the term structure [J].Journal of Financial Economics,1977(5): 177-188.[9] MANUEL A.Credit Risk Valuation: Methods,Models,and Applications [M].Berlin: Springer-Verlag,2001: 110-173.[10] SNYDER D L.Stochastic Point Processes [M].Beijing:The Publishing of People’s Education,1982.[11] DUFFE G,ZHOU C.Credit derivatives in banking: useful tools for managing risk [J].Journal of Monetary Economics,2001,48(1): 25-54.。
产品发明专利池的定价研究——基于跳扩散实物期权理论的模拟分析
作者： 葛翔宇;唐春霞;周艳丽
作者机构： 中南财经政法大学知识产权研究中心统计与数学学院;北京吉利学院基础部;中南财经政法大学金融学院
出版物刊名： 中国管理科学
页码： 368-374页
年卷期： 2014年 第S1期
主题词： 专利池;跳扩散模型;期权定价;蒙特卡洛模拟
摘要：产品发明专利池像期权一样具有垄断性,且使用它产生的收益和成本也具有与标的资产一样的不确定性。
本文首先根据期权定价理论,指出产品发明专利池的价值可由使用它产生的收益和成本决定,而收益和成本可分别用一般(或支付红利率)的跳扩散模型和扩散模型来描述。
其次,本文使用蒙特卡洛模拟方法模拟出产品发明专利池的价值。
最后,本文对依据产品发明专利池的价值转让专利池、一次付清许可费、首付加每期按比率支付许可费等三种情况下的产品发明专利池的费用进行了模拟分析。
211153708_跳跃因素下原油期货定价模型的理论研究及实证分析
第48卷 第4期西南师范大学学报(自然科学版)2023年4月Vol.48 No.4 JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Apr.2023
DOI:10.13718/j.cnki.xsxb.2023.04.011
跳跃因素下原油期货定价模型的理论研究及实证分析①
任芳玲, 乔克林, 张少峰延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000
摘要:依据我国原油期货的特点,对带有跳跃性因素的原油期货定价模型进行研究.首先利用随机微分方程法推导
出模型的解析解及模型参数的估计公式,其次对2019,2020年我国上海原油期货合约价格进行实证分析,结果表明带有跳跃性因素的原油期货定价模型的预测能力较好,证明了该模型的合理性与实用性.该研究对我国原油期货的定价提供了一定的理论和实证分析依据.
关 键 词:原油期货;跳跃性因素;定价模型;参数估计中图分类号:F224.9;G642 文献标志码:A 文章编号:10005471(2023)04008010
TheoreticalStudyandEmpiricalAnalysisonCrudeOilFuturesPricingModelunderJumpFactors
RENFangling, QIAOKelin, ZHANGShaofeng
CollegeofMathematicsandComputerScience,Yan’anUniversity,Yan’anShaanxi716000,China
Abstract:AccordingtothecharacteristicsofcrudeoilfuturesinChina,thepricingmodelofcrudeoilfu-
tureswithjumpfactorsisstudied.Firstly,theanalyticalsolutionofthemodelandtheestimationformulaofthemodelparametersarederivedbyusingthestochasticdifferentialmethod.Secondly,theempiricala-nalysisofShanghaicrudeoilfuturescontractpricesin2019and2020showsthatthepredictionabilityofthecrudeoilfuturespricingmodelwithjumpfactorisbetter,indicatingtherationalityandpracticabilityofthemodel.Theresearchprovidescertaintheoreticalbasisandempiricalanalysisforthepricingstudyofcrudeoilfuturesinourcountry.Keywords:crudeoilfutures;jumpfactors;pricingmodel;parameterestimation
中国上市公司违约风险的测度与分析_跳_扩散模型的应用
中国上市公司违约风险的测度与分析跳 扩散模型的应用唐齐鸣黄苒(华中科技大学经济学院)!摘要∀违约分析的结构方法大多选择纯扩散过程描述股票和资产价值变化,不能反映突发信息引起的异常跳跃。
违约度量的理论研究虽有考虑跳跃,却多基于假设参数和蒙特卡洛模拟。
由于资产价值变化难以直接观测,所以无法在实证中验证相关理论。
本文则在结构模型中引入跳跃,以期权定价为基础,运用市场数据分析带跳的资产价值变化,并与纯扩散模型进行比较,发现后者不能反映跳风险对整体风险的影响,从而在某些情况下高估或低估了实际违约率。
关键词跳 扩散资产价值违约风险中图分类号F224 0文献标识码AJump Diffusion Model Based on Default Risk Measurement and Analysis for Listed Company in China Abstract:Mo st of the structural methods choose pure diffusion m odel to de scribe the ev olutio n process of stock price and asset v alue,but it can no t reflect thesudden jump r isk On the other side,although many theoretical studies take thejum p facto r into consideration,mo st o f them use the assumed par am eters andMonte Carlo Sim ulation to analy ze the process The defect is the related parameterscan not be directly observed in practice,w hich m akes it difficult to apply the theo r etical results to empirical researches Based on the optio n pricing theor y and m arketdata,this paper intro duces the jump facto r into the structural mo del to describe theev olution of asset v alue w ith jum p risk After com paring w ith the pure diffusionmodel,w e find out that the latter neg lects the im pact o f jump risk and thus under estimates or o verestimates the actual default probability in some circumstances Key words:Jump diffusion;Asset Value;Default Risk本文得到教育部∃国际金融危机应对研究%应急课题(课题批准号:2009JYJR059)以及北京大学汇丰金融研究院2009年课题研究资助。
股票价格服从跳-扩散过程的交换期权定价模型
引 理 ｌ 随 机 微 分 方 程 （ ） （ ）的解 为 ： １ ，２
ｒ， １ ， １（ ） ，
Ｓ 一Ｓｏｘ｛［（一 ） 专ｊ）ｓ （ｄｌ） ｎ ＋ ｌ｝ （ ） ）ｐＩ ｓ Ａｓ 。 ｄ 口ｓＷ（ 十∑Ｉ１ ｘ） （ （ｅ ） （一 （］ 十； ） （ ， ３ ）
二 鉴墨
堕
望收益率折现的现值之差． 交换期权到期日被执行的充要条件是： 第一种股票到期
收稿 日期 ：０ ８ ２ ９ ２ ０ —０ —２
作 者 简 介 ： 明 轩 （ ９ ２ ） 男 。 徽颍 上 人 ， 教 ． 士． 沈 １８ ～ ， 安 助 倾
・１ ・ ４
安 徽 工 程 科 技 学 院 学 报
时 Ｘ （）一 ０ ． ￡ ）
定义１ 股票价格过程ｓｆ在［， 产 （ ） ｏ ］ 生的预期收益率 ｔ ￡ 卢 ） 定义为： 川一 （ｄ ｆ
股票 Ｓ ￡ （）在 ｔ 刻 的 连 续 复 利 收 益 ． 时
， ８） 其中Ｊ￡为 （
定义 ２ 交换期权 在现在时 刻的价值定义 为 ： 第一种 股票 到期 日价格 按期 望收 益率 折现 的现值 与另
２０ ０ ８年
一
Ｊ ０
ｒ，
１
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ｓｆ ｓ０ ｐ。ｚ） 专；） ｊｚ ｄｚ ＋ ｌ１Ｘ） （ ：） 。） ｛ （一ｚ） ］＋ （ ｗ（ ｎ＋ ２ ， ４ （一 （ ｊ （一 （ ｄ ） ） （ ｊ ） ）
其 中 Ｘ （） ｉ ｌ ２ 是 第 种 股 票 第 次 的 相 对 跳 跃 高 度 ， 独 立 且 与 Ｘ （） 分 布 的 随 机 变 量 （ 跳 跃 ｒ（ — ， ） 是 ｆ 同 无
摘 要 ： 虑跳 一扩 散 模 型 中交 换 期 权 的定 价 问 题． 设 Ｎｑ 股 票 的价 格 过 程都 服 从 跳 一 扩 敞过 程 ． 且 股 票 跳 考 假 ， 并 过 程 为非 时 齐 Ｐ ｉ ｏ ｏｓ ｎ过程 ， 股 票 预 期Ｉ 率 和 波 动 率 均 为 时 问 函 数 的情 况 下 ． Ｊ 公 平 保 费 原 则 和价 格 ｓ 在 益 利 ｛ ｛ 过 程 的 实际 概 率 测 度得 到 了交 换期 权 的定 价公 式 ． 关 键 词 ： 一扩 散 过 程 ； 跳 交换 期 权 ； 险 精 箅 ； 权 定价 保 期
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第30卷第1期 温 州 大 学 学 报·自 然 科 学 版 2009年2月 Vol 30, No 1 Journal of Wenzhou University · Natural Sciences Feb, 2009
标的资产价值服从跳跃-扩散过程的 美式实物期权定价研究
邱小丽1，柴 俊2 (1．温州大学城市学院，浙江温州 3250352；2．华东师范大学数学系，上海 200062)
摘 要：时间较长的投资机会对于目前来说是可以近似看作是永久的，因此这样的不可逆的投资机会类似于永久美式看涨期权．本文在初始投资成本是不确定的情况下，探讨了跳幅服从均匀分布的泊松跳跃过程对这样的实物期权价值的影响，发现跳跃过程会提高投资临界值，推迟投资． 关键词：投资机会；实物期权；跳跃-扩散过程；临界值 中图分类号：F830.59 文献标志码：A 文章编号：1674-3563(2009)01-0029-05 DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2009.01.06 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得
由于以DCF（贴现现金流）为代表的传统投资决策方法缺乏考虑项目未来现金流的不确定性和项目执行过程的灵活性，人们把目光转向期权分析方法．在考察实物期权价值时，经常会牵涉到投资中遇到的一些具体问题，比如初始成本、经营成本、竞争和分红等．一些学者考虑到除标的资产外，其余参数也可能具有不确定性，于是假设利率[1]或初始成本[2-3]等也服从布朗运动．更
有甚者，把泊松跳跃过程也考虑进去[4-5]．很多学者都把投资机会看作是欧式看涨期权[5]，或认为泊松跳跃中的跳幅是常数[5]．本文研究风险中性世界里跳幅服从均匀分布的泊松跳跃过程对美式永久实物期权价值的影响．
1 基本假设 假设投资者有机会投资于某项目，拥有此机会的时间较长，我们可以将此机会近似看作是永久的．若他进行投资，付出初始成本I，就可以获得价值为V的项目，V是项目经营带来的净现
金流的贴现之和．假设初始成本I服从几何布朗运动，项目价值V服从跳跃-扩散运动，即
()VVVdVkdtdWYdqVαλσ
=−++
（1）
IIIdIdtdW
Iασ
=+
（2）
其中Vα和Iα是V和I的期望增长率，Vα是V无跳跃发生时的收益率的标准差，I
α是I的波动
率，VW和I
W是标准维纳过程．由于一些共同的宏观经济的冲击，V与I之间的不确定性是相关
收稿日期：2008-10-21 基金项目：温州大学城市学院科研项目(Kyzd200801) 作者简介：邱小丽(1981- )，女，浙江瑞安人，助教，硕士，研究方向：金融数学 温州大学学报·自然科学版(2009)第30卷第1期 30 的，相关系数为ρ，即cov(,)VIdWdWdtρ=．q为服从参数为λ的泊松过程，VW、IW
和q是
相互独立，Y是投资项目价值的相对跳跃高度，且()kEY=，则1Y≥−． 一旦作出投资，投资成本中更进一步的不确定性是无关的．设Vμ和Iμ为分别适用于V与I的经风险调整的贴现率，记VVVδμα=−，IIIδμα=−，则0,0VIδδ>>，否则存在套利．V
δ
可理解为投资项目的红利率，Iδ可理解为拥有投资所需商品的便利收益[2]． 2 投资机会的定价模型 投资者拥有的这个投资机会相当于一张永久美式看涨期权．当/VI较小时，投资者不进入投资，相当于持有这张期权；当/VI充分大时，投资者进入投资，执行了这张期权，此时的执行价格就是进行该投资的初始成本I．对于投资者来说，最关键的是何时是进行投资的最佳时间，或者说投资的最优执行边界是什么．设投资机会价值为C，则它是V和I的二元函数．当已进入投资状态，则此时的投资机会价值就转化为经营项目所带来的利润，即 CVI=− （3）
我们需要找出的是等待时期投资机会的价值．构造投资组合CmVnIΠ=−−，m和n分别是t时刻卖空的标的资产和初始成本的份额，并考察该组合在时间段[,]ttdt+的变化情况．因跳跃部分带来的风险是与市场无关的“非系统”风险，可以认为投资组合tΠ的期望收益率是无风险收益[6]28-31，即
()EdrdtΠ=Π （4）
在[,]ttdt+时段内，该组合变化有两种可能：若跳跃事件不发生，则
22222221221()()(2)2VVII
CCCCCdmdVndIVVIIdt
VIVVIIσρσσσ
∂∂∂∂∂Π=−+−+++
∂∂∂∂∂∂
若跳跃事件发生，则
2((1),)(,)dCYVICVImYVΠ=+−−
关于跳跃事件取期望，得 12()(1)EddtddtdλλΠ=−Π+Π
由于持用空头，必须做出相应于项目的红利和初始成本的便利收益的支付()VImVnIdtδδ+
．取
CCmn
VI
∂∂==
∂∂，
，消除投资组合的风险因素，并在等式（4）两边关于Y取期望，得
2222222
22
11()22VVIIVCCCCVVIIrkV
VVIIVσρσσσλδ
∂∂∂∂+++−−
∂∂∂∂∂
()[((1),)(,)]IYCrIECYVICVIrCIδλ
∂+−++−=
∂ （5)
设最优投资边界为**(,)VI
，则有如下的价值匹配公式与平滑粘贴公式：
********
(,)(,)1(,)1VICVIVICVICVI
=−==− （6） 邱小丽等：标的资产价值服从跳跃-扩散过程的美式实物期权定价研究 31当项目价值V趋于零时，该投资机会就无任何价值，即
(,)0(0)CVIV→→ （7）
因此，当**//VIVI≤时，投资机会价值(,)CVI满足公式（5）；当**//VIVI>
时，投
资机会价值(,)CVI如公式（3）所示．
3 定价模型的求解
作自变量变换VxI=以及函数代换(,)()CVIFxI=[6]51-52，将二维美式实物期权(,)CVI转化为一维美式实物期权()Fx的自由边界问题：
22*1()[((1))()]()
2IVYIxFkxFEFYxFxFxxσδδλλδ′′′+−−++−=≤
*()1()Fxxxx=−>
（8）
***()1;()1;(0)0FxxFxF′=−==
其中2222VVIIσσρσσσ=−+，***/xVI=
为()Fx的最优投资临界值．
假设现在已知跳跃是向下的，且Y服从均匀分布，则11[(1)]21BkEYB=−+=+，．若x属
于继续持有区，(1)Yx+也属于继续持有区，从而此时((1))FYx+与()Fx的表达式一样．
设该方程有形式解()BFxAx=
，AB和为待定常数，将该解代入方程，得B满足下列方程
2111(1)()()0
221IVIBBB
Bσδδλλδλ
−+−+−++=
+ （9）
上式两边乘以1B+，然后令左边为()gBλ，即 23221
()()(2)
222IVVIgBBBB
λ
σλδδσλδδ=+−+−++−
则(1)0(0)0(1)0IVgggλλλλδδ−=>=−<=−<，，，()()ggλλ−∞=−∞+∞=+∞，，且()gBλ在(,)−∞+∞上先凹后凸．因此，方程（9）有两个负根和一个大于1的正根．由于(0)0F=，
得B应取正根，记为1
B．再由方程（8），得
11*111111()11BBBxA
BBB−
==−−， （10）
于是，投资机会价值(,)CVI的表达式如下： 1111111,1(,),1BBBAVIVI
BCVIBVIVI
B
−⎧≤⎪−⎪
=⎨
⎪−>
⎪−
⎩
（11）
至此，我们已经解决了跳跃-扩散条件下的投资决策问题：当项目价值V低于()111BB−倍
初始成本时，投资者不进入投资，处于等待状态；一旦项目价值V超过
()
111BB−倍初始成本