概率算法
组合概率的算法
3),记者要为5名志愿都和他们帮助的 位老人拍照, ,记者要为 名志愿都和他们帮助的 位老人拍照, 名志愿都和他们帮助的2位老人拍照 要求排成一排, 位老人相邻但不排在两端 位老人相邻但不排在两端, 要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同 的排法共有( 的排法共有( ) A.1440种 B. A. 种 B.960种 C. 种 C.720种 D. 种 D.480种 种 4),某城市的汽车牌照号码由 个英文字母后接 个 个英文字母后接4个 ,某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接 数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有 数字组成,其中 个数字互不相同的牌照号码共有 ( )个 1 2 4 2 4 2 2 4 1 C26 10 D A2610 4 A C26 A10B A26 A10 C 5),用数字 ,1,2,3,4,5可以组成没有重复 ,用数字0, , , , , 可以组成没有重复 数字,并且比20000大的五位偶数共有( )个 大的五位偶数共有( 数字,并且比 大的五位偶数共有 (A)288(B)240(C)144(D)126 ) ( ) ( ) ( ) 3,二项式定理的应用 ,
n
1 例1,求和: 3C + 9C 27C + L + 3 C ,求和: 5 2 1 (1 例 2, ) 2 3 + 的常数项为 ________ x x A1=1 1 Q=4 n (2)( + 2 + x ) 的常数项为 70,则n = _______ x
2 12 4 12 6 12 6 12 12
个白球和3个黑球 例2,袋中有大小相同的 个白球和 个黑球,从 ,袋中有大小相同的5个白球和 个黑球, 中任意摸出4个球 一次摸1个 摸出后不再放回, 个球, 中任意摸出 个球,一次摸 个,摸出后不再放回, 求下列事件发生的概率: 求下列事件发生的概率: 1)摸出4个白球 )摸出 个白球 少摸出1个黑球 少摸出 个黑球 2)摸出2个或 个白球 )摸出 个或 个或3个白球 3)至 )
二项分布中临界成功概率的计算方法
6. 附录
6.1 辅助函数中的递推式
由 ui x logA pi x 得
ui1 x ui x logA
pi1 x pi x
log
A
i
n!
1!n
i
1!
x n i 1
i
!
n! n
i
!
xni
1
1 x i
确定 F x 函数值的计算方法.对于 C 0,1 ，x 0,1 及 k, n N ，函数 F x 可以按照
以下算法计算：
Step.1：选择合适的底数 A ，通常取 2,10 或 e ；
Step.2：计算 logA 1 C ；
Step.3：建立关于 ui x logA pi x 的递推算法（推导过程见附录）：
得到的数列
xp
满足
p1
lim
p
x
p
.两种方法分别称为牛顿切线法和牛顿割线法.本文为避
免另外构造导函数 F ' x 而选择牛顿割线法.
参考文献
[1] 魏曼莎. 关于二项分布的概率计算. 枣庄师专学报, 1996(03):18-20.
对给定的 C 值，通过查表，找到分位数 t ，然后对给定的 n 和 k 值，解出关于 x 的一元
二次方程即可.这种解法的优点在于简单易行，不足之处是存在一定的系统误差.设
t2 nx nx 1 x ，则2 t2 表示（1）式第二步近似产生的误差，在算出 x 后，计
算出分位数 t2 ，通过查表可以得到误差值 2 .
n!
i!n i!
xni
1
x i .
概率筛原理
概率筛原理概率筛原理概率筛原理是一个重要的数学原理，被广泛应用于计算机科学、数论等领域。
本文将详细介绍概率筛原理的基本概念、算法流程和应用。
一、基本概念1.1 质数质数是指只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5等。
与之相对的是合数，即可以被其他正整数整除的正整数。
1.2 筛法筛法是指通过一定的方法从一组数据中筛选出符合某种条件的数据。
在数论中，常用的筛法包括欧拉筛法、线性筛法等。
1.3 概率算法概率算法是指使用随机化技术来解决问题的算法。
与确定性算法不同，概率算法具有一定的随机性和不确定性。
二、算法流程2.1 埃氏筛法埃氏筛法是一种简单而有效的质数判定方法。
其基本思想是从小到大枚举每个正整数，并将其所有倍数标记为合数。
最终未被标记为合数的即为质数。
具体实现时，可以使用一个数组记录每个数字是否为合数，并从2开始遍历每个数字，将其所有倍数标记为合数，直到遍历完所有数字。
2.2 概率筛法概率筛法是一种基于概率算法的质数筛选方法。
其基本思想是利用随机化技术，在不完全枚举所有数字的情况下，快速地判定一个数是否为质数。
具体实现时，可以先预处理出一组小于等于n的质数集合，并使用这些质数来判定待筛选的数字是否为质数。
对于每个待筛选的数字i，遍历已知的小于等于根号i的质数p，如果p能整除i，则i为合数；否则i为质数。
由于预处理出来的质数不包含所有小于等于n的质数，因此概率筛法并不能保证100%正确性。
但是经过统计分析可知，在实际应用中误判率很低。
三、应用3.1 素性测试素性测试是指判断一个给定正整数是否为素数或者合数。
概率筛法可以作为一种高效而准确的素性测试方法。
在实际应用中，常常使用Miller-Rabin算法和Solovay-Strassen算法等更高级别的概率素性测试算法来替代简单的埃氏筛法和概率筛法。
3.2 质因数分解质因数分解是指将一个正整数分解为若干个质数的乘积。
概率筛法可以作为一种快速而准确的质因数分解方法。
概率差化积公式
概率差化积公式
概率差分积公式是一个有用的数学工具，它可以在多个维度上求取
概率分布的积分。
它由希伯莱·威斯康星大学的数学家史蒂夫·费尔曼发现，用于定义概率分布的表示法，它更加精确，方便。
概率差分积公式可以用来求解多元概率问题，它的大的算法设计中包
括了离散型的概率分布、连续型的概率分布以及二元概率分布。
这个
公式能够计算出概率问题中要考虑的所有变量，来有效地进行解答。
概率差分积公式是当今许多科学算法的基础，它在统计学、金融科学、有限元分析、机器学习、推理排序以及电路设计等领域中都发挥着重
要作用。
概率差分积公式是一个算法多变形用法，它可以被用于估算
特定情境下出现的概率和出现的条件的概率，也可以用于研究特定情
境下发生的概率分布，对于对概率问题的探究可以提供比较精准的答案。
另外，概率差分积公式在安全领域也发挥作用，比如安全审计系统和
数据系统安全评估等细化任务需要计算一系列概率差分积的期望，才
能准确的判断数据的安全性。
概率差分积公式还被用于解决经济学中的一些复杂的问题，它可以用
来预测贸易市场的发展，以及消费者的行为习惯，企业的市场行为，
这些都是复杂的概率问题，而概率差分积公式可以帮助我们准确的预
测这些变量的关系。
概率差分积公式是一种经常用来表示概率分布的工具，既能够求解简单的概率问题，也可以处理复杂的概率问题，相比普通计算机算法，它能够更准确、更快速的完成精确计算，为各个领域提供了无限的可能。
先验概率预测算法
先验概率预测算法标题：先验概率预测算法：理论与应用引言概述：先验概率预测算法是一种基于统计学原理的预测方法，通过利用已知的先验概率信息，结合观测数据，对未来事件的发生概率进行预测。
本文将从理论与应用两个方面，详细阐述先验概率预测算法的原理、优势以及在实际应用中的具体应用场景。
正文内容：1. 先验概率预测算法的原理1.1 概率论基础- 介绍概率论的基本概念，如样本空间、事件、概率等。
- 解释条件概率和贝叶斯定理的概念与作用。
1.2 先验概率- 解释先验概率的含义和计算方法。
- 引用实际案例，说明先验概率在预测中的作用。
2. 先验概率预测算法的优势2.1 基于统计学原理- 说明先验概率预测算法是基于统计学原理的有效方法。
- 指出其相对于其他预测方法的优势，如适用性广、可解释性强等。
2.2 考虑先验信息- 强调先验概率预测算法能够充分利用已知的先验信息，提高预测准确性。
- 举例说明先验信息对预测结果的影响。
3. 先验概率预测算法的应用场景3.1 金融市场预测- 分析先验概率预测算法在股市、外汇市场等金融领域的应用。
- 引用相关研究成果，验证先验概率预测算法在金融市场中的有效性。
3.2 自然灾害预测- 探讨先验概率预测算法在地震、洪水等自然灾害预测中的应用。
- 讨论该算法对减轻灾害影响的潜在作用。
3.3 产品销量预测- 说明先验概率预测算法在销售预测中的应用价值。
- 提供实际案例，展示该算法在产品销量预测中的准确性和实用性。
总结：通过对先验概率预测算法的原理、优势和应用场景的详细阐述，我们可以得出以下结论：- 先验概率预测算法是一种基于统计学原理的有效预测方法，能够充分利用先验信息提高预测准确性。
- 该算法在金融市场、自然灾害预测和产品销量预测等领域具有广泛的应用价值。
- 进一步研究和应用先验概率预测算法，有助于提升预测准确性，减少不确定性，为决策者提供更可靠的预测结果。
总之，先验概率预测算法在理论和实际应用中都具有重要意义，其能够为我们提供准确的预测结果，帮助我们做出更明智的决策。
轮盘概率算法
设P(i)，其中i=1..n，为n个个体被选择的概率，在轮盘上表示为所占扇区的面积百分比，这里显然sum(P)=1。
select用来保管n 次选择的结果。
1）第一种完成方法：能够想象一个转动的轮盘，留意这里轮盘最多只转一圈。
每次转轮盘前，把色子随机放到轮盘外缘的某处，即色子不随轮盘转动，以一个随机数sel代表它所处的位置。
轮盘转动后，色子所指示的轮盘扇区号不时变化，轮盘中止时色子所指示的轮盘上扇区号，即为本次轮盘赌所选中的个体号。
for i = 1:n %第i次掷色子sel = rand; %产生一个0、1之间的随机数，代表色子在轮盘外缘所指示的位置sumPs = 0; %轮盘初始转动的位置，从0变化到1j = 1; %轮盘初始指示的位置while sumPs<sel %终止条件为轮盘转动的位置超越色子位置sumPs = sumPs + P(j) %轮盘转动j = j + 1；%轮盘指示位置endselect(i) = j-1; %轮盘中止时色子停留位置所指示的个体end %循环终了，会对轮盘上由P所划分出来的n个区间产生n次随机选择，扇区越大，该扇区被选中的几率也越大还需求留意的是：上面的程序中，我们当然能够把n改成2*n或者10*n，产生的结果都是“个体概率所表示扇区越大，该个体被选中的几率也越大”，并且随着实验次数的增大，这一结果越准确。
2）这种办法能够想象成往划分好扇区的轮盘里扔色子，事前生成一组满足平均散布的随机数，代表n次掷色子或者n个色子一同扔，轮盘不动，色子所在区域为选择结果。
r = rand(1,n) %预先产生n个色子的位置，留意这里r服从0、1之间平均散布for i = 1:n %第i次轮盘赌select(i) = n; %本次轮盘赌的结果初始化为nfor j = 1:n %轮盘开端转动if r(j) <=P(i) %若色子停在轮盘第j扇区select(i) = j; %则第i次轮盘赌的结果为jbreak; %第i次轮盘赌完毕end %~第i次轮盘赌完毕end %~第i次轮盘赌完毕end %n次轮盘赌完毕下面为完好的matlab程序完成function Select=Roulette(P,num)%:按轮盘赌战略选择下一点,返回num次轮盘赌结果%:第一种轮盘赌办法,精度很低,% m = length(P);% Select = zeros(1,num);% for i=1:num% Select(i) = m;% 初始化为最后一个% for j=1:m %:按概率选择% if P(j)>rand()% Select(i)=j;% break;% end% end% end%:第二种轮盘赌办法,精度较高m = length(P);Select = zeros(1,num);r = rand(1,num);for i=1:numsumP = 0;j = ceil(m*rand); %产生1~m之间的随机整数while sumP < r(i)sumP = sumP + P(mod(j-1,m)+1);j = j+1;end%Select(i) = mod(j-1,m)+1-1;Select(i) = mod(j-2,m)+1;end% 本程序中轮盘赌办法的精确水平可由如下程序考证% P=rand(10,1);% P=P./sum(P);% Select=Roulette(P,1e6);% for i=1:10% Ps(i)=(sum(Select==i)/1e6);% end%:最后考证该轮盘赌办法精确水平%:比拟P和Ps差别大小，例如sum((P-Ps).^2)，数值越小，模仿结果越好！。
交叉概率差分进化算法
交叉概率差分进化算法
交叉概率差分进化算法是一种用于优化问题的进化算法，与其他经典的遗传算法不同，交叉概率差分进化算法具有较快的收敛速度和更高的优化性能。
一、基本概念
交叉概率差分进化算法是基于进化算法的一种优化算法。
差分进化算法是一种从种群中产生差分向量并利用差分向量来更新目标向量的算法。
交叉概率差分进化算法是一种改进的差分进化算法，通过引入交叉概率来控制算法的搜索方向。
二、算法步骤
1. 初始化：生成种群，设置交叉概率、变异概率、最大迭代次数等参数。
2. 适应度计算：将初始种群的每个个体应用于优化问题，计算适应度函数值，以便评估和比较每个个体。
3. 差分向量生成：根据生成的种群和变异概率，生成一些差分向量。
4. 交叉操作：根据交叉概率，将差分向量和种群中的某些个体进行交叉操作。
5. 新种群生成：根据交叉结果和适应度函数进行新种群的生成。
6. 更新种群：将新生成的种群作为下一代种群。
7. 迭代次数判定：当达到最大迭代次数或者满足停止条件时，停止迭代过程。
8. 输出结果：输出最优解或者最优个体。
三、优化应用
交叉概率差分进化算法经常用于解决多目标优化问题、非线性规划问题、组合优化问题、图像处理、机器学习等各种优化领域。
四、总结
交叉概率差分进化算法虽然与其他的进化算法类似，但其本身具
有更高的优化性能和更快的收敛速度。
它适用于许多实际问题的求解，并被广泛应用于优化领域。
因此，我们在优化问题的求解过程中，可以尝试使用交叉概率差
分进化算法，以提高效率和准确性。
最大概率分词算法
最大概率分词算法最大概率分词算法在自然语言处理领域是一种常用的分词方法。
它通过计算词语在语料库中出现的概率来确定最合理的分词结果。
本文将介绍最大概率分词算法的原理和应用，并探讨其优缺点。
一、最大概率分词算法的原理最大概率分词算法是基于马尔可夫模型的一种分词方法。
马尔可夫模型是一种统计模型，用于描述随机事件的状态转移过程。
在最大概率分词算法中，将分词问题转化为求解最大概率路径的问题，即给定一个句子，找到一个最有可能的分词方式。
最大概率分词算法的核心思想是利用已有的语料库来统计词语的出现频率，然后根据频率计算词语的概率。
在分词过程中，通过比较相邻词语的概率来确定最合理的切分位置。
具体来说，算法会计算每个位置是否是一个词语的起始位置，然后根据词语的概率来确定最优的切分结果。
最大概率分词算法在自然语言处理领域有着广泛的应用。
它可以用于搜索引擎的关键词提取、文本分类和信息检索等任务。
在搜索引擎中，最大概率分词算法可以根据用户输入的关键词来将查询语句切分为多个独立的词语，从而提高搜索结果的准确性和召回率。
在文本分类中，最大概率分词算法可以将文本切分为多个词语，并根据词语的频率来计算文本的特征向量，从而实现对文本的分类和识别。
在信息检索中，最大概率分词算法可以将查询语句切分为多个词语，并根据词语的概率来计算查询语句与文档的匹配程度，从而提高搜索结果的相关性。
三、最大概率分词算法的优缺点最大概率分词算法有着一些优点和缺点。
首先，最大概率分词算法具有较高的准确性和鲁棒性。
通过利用大规模的语料库来统计词语的概率，最大概率分词算法可以较准确地切分文本，避免出现歧义和错误的切分结果。
其次，最大概率分词算法具有较高的效率和可扩展性。
由于最大概率分词算法是基于马尔可夫模型的，它可以通过预先计算词语的概率来快速切分文本，适用于大规模的文本处理任务。
然而，最大概率分词算法也存在一些缺点。
首先，最大概率分词算法对于未登录词和歧义词的处理效果较差。
交叉概率差分进化算法
交叉概率差分进化算法
交叉概率差分进化算法是一种优化算法，它结合了差分进化算法和交叉概率的概念。
差分进化算法是一种基于种群的优化算法，它通过不断地迭代来寻找最优解。
而交叉概率则是指在差分进化算法中，每个个体在进行变异操作后，与其他个体进行交叉的概率。
交叉概率差分进化算法的基本思想是，通过差分进化算法来生成新的个体，然后通过交叉概率来决定是否对这些个体进行交叉操作。
在交叉操作中，将两个个体的某些基因进行交换，从而产生新的个体。
这样，交叉概率差分进化算法可以在保持种群多样性的同时，加速算法的收敛速度。
交叉概率差分进化算法的具体步骤如下：
1. 初始化种群：随机生成一定数量的个体作为初始种群。
2. 变异操作：对于每个个体，随机选择另外两个个体，并从中选择一个向量进行变异操作。
变异操作可以采用不同的方式，如随机扰动、变异因子等。
3. 交叉操作：对于每个变异后的个体，根据交叉概率决定是否进行交叉操作。
如果进行交叉操作，则随机选择另外一个个体，并从中选择一部分基因进行交换。
4. 选择操作：根据适应度函数对新生成的个体进行评估，并选择适
应度最高的个体作为下一代种群的一部分。
5. 终止条件：当达到预设的迭代次数或者满足一定的收敛条件时，算法停止。
交叉概率差分进化算法在实际应用中具有广泛的应用，如在机器学习、图像处理、信号处理等领域中。
它可以有效地解决复杂的优化问题，并且具有较好的收敛性和鲁棒性。
随机化算法（2）—数值概率算法
随机化算法（2）—数值概率算法接着上⼀篇:在这章开篇推荐下chinazhangjie总结的随机算法，因为咱两看的是同⼀本书，所以⼤家也可以去参考下他的，总结的很不错。
(顺便再PS⼀下，⼩杰也是我论坛的C/C++问题求助板块的版主,C/C++⼩⽜)这⼀章我就把书中的⼀个例⼦举出来了，感觉虽然很简单，但是很有意思。
⽤随机投点法计算Pi值设有⼀半径为r的圆及其外切四边形。
向该正⽅形随机地投掷n个点。
设落⼊圆内的点数为k。
由于所投⼊的点在正⽅形上均匀分布，因⽽所投⼊的点落⼊圆内的概率为(Pi*r*r)/(4*r*r)= Pi/4 。
所以当n⾜够⼤时，k与n之⽐就逼近这⼀概率。
从⽽，PI 约等于 (4*k)/n.如下图：因为代码⾥⽤到了上⼀章⾥的RandomNumber类，所以⼤家可以先把前⼀章看看。
我把这个伪随机类再贴⼀遍：const unsigned long maxshort = 65535L;const unsigned long multiplier = 1194211693L;const unsigned long adder = 12345L;class RandomNumber{private:// 当前种⼦unsigned long randSeed;public:// 构造函数,默认值0表⽰由系统⾃动产⽣种⼦RandomNumber(unsigned long s = 0);// 产⽣0 ~ n-1之间的随机整数unsigned short Random(unsigned long n);// 产⽣[0, 1) 之间的随机实数double fRandom();};// 产⽣种⼦RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s){if(s == 0)randSeed = time(0); //⽤系统时间产⽣种⼦elserandSeed = s;}// 产⽣0 ~ n-1 之间的随机整数unsigned short RandomNumber::Random(unsigned long n){randSeed = multiplier * randSeed + adder;return (unsigned short)((randSeed >> 16) % n);}// 产⽣[0, 1)之间的随机实数double RandomNumber::fRandom(){return Random(maxshort) / double(maxshort);}主⽂件Main:/** Author: Tanky woo* Blog: * Date: 2010.12.8* ⽤随机投点法计算Pi值* 代码来⾄王晓东《计算机算法设计与分析》*/#include "RandomNumber.h"#include <iostream>#include <iomanip>#include <time.h>using namespace std;double Darts(long n){// ⽤随机投点法计算Pi值static RandomNumber dart;long k = 0;for(long i=1; i<=n; ++i){double x = dart.fRandom();double y = dart.fRandom();// 在圆内if((x*x+y*y) <= 1)++k;}return4 * k / double(n);}int main(){// 当进⾏1,000次投点时cout << Darts(1000) << endl;// 当进⾏10,000次投点时cout << Darts(10000) << endl;// 当进⾏100,000次投点时cout << Darts(100000) << endl;// 当进⾏1,000,000次投点时cout << Darts(1000000) << endl;// 当进⾏10,000,000次投点时cout << Darts(10000000) << endl;// 当进⾏100,000,000次投点时cout << Darts(100000000) << endl;return0;}通过代码可以看出，随机投点越多，则越接近与3.1415926…这个和抛硬币时求硬币正反⾯概率类似，实验次数越多，则越接近于理论值。
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第八章 概率算法
题型：
n 解答题 （5个大题）
n 算法设计题（2个大题）
一、解答题
1．在找第k小元素的算法SELECT中如果每次调用过程SPLIT时不是采用二次取中的方法
而是随机选择一个元素作为划分元素，且该元素都恰巧是序列的中值元素，则该算法的性能
表现如何？简要说明。
解答：
算法相当于一个二分查找算法，这是因为最坏情况下每次都将查找范围缩小了一半。
2．为了使得在快速排序算法中为了尽可能取得得到平均时间复杂度的效果，可以引入随机
策略。请简述至少一种随机策略。
解答：
可引入如下策略之一来使得快速排序算法尽可能取得平均时间复杂度的效果。策略一：
预处理。即，在执行快速排序之前，先通过多次随机选择序列中两元素交换来使得初始序列
具有一定随机性。策略二：快速排序算法执行中每次调用划分算法SPLIT时，都随机选择
一个元素作为划分元素（技术上可以随机选择一个元素交换到序列最前面，然后再调用
SPLIT）。
3．简述蒙特卡洛算法的适用范围和算法特点？
解答：
在某些实际应用中经常会遇到一些问题，不论采用确定性算法还是概率算法都无法保证
每次得到正确的解。蒙特卡洛算法在一般情况下，可以保证对问题的所有实例都以高概率给
出正确解，但是通常无法判定一个具体解是否正确。
使用蒙特卡洛算法肯定能得到问题的一个解，但是这个解未必是正确的。可以通过重复调用
同一个蒙特卡洛算法多次来提高获得正确解的概率。
4．简述拉斯韦加斯算法的适用范围和算法特点？
解答：
对于迄今为止找不到有效算法的某些问题，可以使用拉斯维加斯算法来求解，可能会很
快找到问题的一个解。拉斯维加斯算法能快速地求解这类问题。
拉斯维加斯算法求解问题的解时，一旦得到问题的一个解，一定是正确的。但是，这种
算法所作随机性决策有可能导致找不到问题的解。此时，可通过多次调用同一拉斯维加斯算
法来增加得到问题解的概率。
5．设一个蒙特卡洛算法能在任何情况下以至少为1-a的概率给出正确结果。试问该算法需
要重复执行多少次才能将给出正确结果的概率提高到至少1-b（其中0
假设算法需要重复执行x次才能达到要求，即将给出正确结果的概率提高到至少1-b。
由于算法重复执行x次后给出正确结果的概率至少是1-ax，于是有，1-ax≥1-b。解此不等式
得到，x≥lnb/lna。即算法至少需要执行lnb/lna次。
四、算法设计题
1. 设计一个时间复杂度为O(n2)的算法来产生1,2,…,n.的一个随机排列。要求用文字描述算
法的基本思路，并分析其时间复杂度。
解答：
一种算法的思想是：初始化A[i]=i，1≤i≤n。随机地在A中选两个元素出来交换，此操
作执行n次。
这种算法的时间复杂度为Θ(n)。
2. 设A 是一个期望时间至多为T(n)的蒙特卡洛算法，它给出正确解的概率为p(n)。假设算
法给出的任何解的正确性可以在时间T’(n)得到验证。试基于算法A设计一个解决问题的拉
斯韦加斯算法A’使得其期望时间至多为(T(n)+T’(n))/p(n)。
解答：
设计算法A’如下：
Algorithm A’
Input: 问题的相关信息。
Output: 给出一个正确的解，或者没有结果输出。
(1) 运行算法A，得到一个解x；
(2) 如果x是问题的正确解 x就返回x，否则执行步骤(3)；
(3) 验证x是否是问题的正确解，如果是返回x，否则无结果返回。
算法A’的期望运行时间分析：由于步骤(1)期望时间至多为T(n)，步骤(3)以概率(1-p(n))来运
行且运行时间为T’(n)，步骤(2)的运行时间可以看作O(1)，于是算法A’的期望运行时间不超
过T(n)+ (1-p(n)) T’(n)≤(T(n)+T’(n))/p(n)。